2022-2023学年高二数学人教A版2019选择性必修第三册同步讲义第7讲离散型随机变量的分布列及其性质4种常考题型（解析版）.pdf

《2022-2023学年高二数学人教A版2019选择性必修第三册同步讲义第7讲离散型随机变量的分布列及其性质4种常考题型（解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022-2023学年高二数学人教A版2019选择性必修第三册同步讲义第7讲离散型随机变量的分布列及其性质4种常考题型（解析版）.pdf（11页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第 7 讲 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列 及 其 性 质 4 种 常 考 题 型【考 点 分 析】考 点 一：随 机 变 量 的 基 本 概 念 随 机 变 量 的 概 念：如 果 随 机 试 验 的 结 果 可 以 用 一 个 变 量 来 表 示，那 么 这 样 的 变 量 叫 做 随 机 变 量.常 用 希 腊 字 母 4、等 表 示.离 散 型 随 机 变 量 的 概 念：对 于 随 机 变 量 可 能 取 的 值，可 以 按 一 定 次 序 一 一 列 出，这 样 的 随 机 变 量 叫 做 离 散 型 随 机 变 量.连 续 型 随 机 变 量 的 概 念：对 于 随

2、机 变 量 可 能 取 的 值，可 以 取 某 一 区 间 内 的 一 切 值，这 样 的 变 量 就 叫 做 连 续 型 随 机 变 量.考 点 二：离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列：设 离 散 型 随 机 变 量 4 可 能 取 得 值 为 为，X2,，X3,，。取 每 一 个 值 川&=1,2,.）的 概 率 为 pe=xj=p,.,则 称 表 4 X X2 XiPPl Pl Pi为 随 机 变 量。的 概 率 分 布，简 称 j 的 分 布 列.注：分 布 列 的 两 个 性 质：任 何 随 机 事 件 发 生 的 概 率 都 满 足：0 4 尸（4）41,并 且 不 可 能

3、 事 件 的 概 率 为 0,必 然 事 件 的 概 率 为 1.由 此 你 可 以 得 出 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列 都 具 有 下 面 两 个 性 质：匕 20,z=1,2,3-6+鸟+=1,z=1,2,3-【题 型 目 录】题 型 一：随 机 变 量 概 念 题 型 二：离 散 型 随 机 变 量 与 连 续 型 随 机 变 量 题 型 三：离 散 型 随 机 变 量 分 布 列 题 型 四：离 散 型 随 机 变 量 分 布 列 的 性 质【典 型 例 题】题 型 一：随 机 变 量 概 念【例 1】甲、乙 两 队 在 一 次 对 抗 赛 的 某 一 轮 中 有 3个

4、 抢 答 题，比 赛 规 定：对 于 每 一 个 题，没 有 抢 到 题 的 队 伍 得。分，抢 到 题 并 回 答 正 确 的 得 1分，抢 到 题 但 回 答 错 误 的 扣 1分（即 得-1分）.若 X 是 甲 队 在 该 轮 比 赛 获 胜 时 的 得 分（分 数 高 者 胜），则 X 的 所 有 可 能 取 值 之 和 是（）A.3 B.4 C.5 D.6 答 案 C【2析】通 过 分 析 所 有 甲 获 胜 可 能 的 情 况 来 确 定 X 所 有 可 能 的 取 值，加 和 即 可 得 到 结 果.【详 解】若 甲 抢 到 一 题 但 答 错，乙 抢 到 两 题 都 答 错，则

5、 X=-l；若 甲 没 抢 到 题，乙 抢 到 三 题 但 答 错 两 题 或 全 错、中 抢 到 两 题，一 对 一 错，乙 抢 到 一 题 但 答 错，则 X=0；若 甲 抢 到 一 题 并 答 对，乙 抢 到 两 题 一 对 一 错 或 全 错、甲 抢 到 三 题，两 对 一 错，则 X=l：若 甲 抢 到 两 题 且 答 对，则 X=2；若 甲 抢 到 三 题 且 答 对，则 X=3；.X所 有 可 能 取 值 之 和 为-1+0+1+2+3=5.故 选：C.【例 2】袋 中 有 3个 白 球、5 个 黑 球，从 中 任 取 2 个，则 可 以 作 为 随 机 变 量 的 是（）.A.

6、至 少 取 到 1个 白 球 B.取 到 白 球 的 个 数 C.至 多 取 到 1个 白 球 D.取 到 的 球 的 个 数 答 案 B析】根 据 随 机 变 量 的 定 义 进 行 求 解.【详 解】根 据 随 机 变 量 的 定 义，选 项 B 是 随 机 变 量，其 可 能 取 值 为 0,1,2,其 他 三 个 选 项 均 不 能 作 为 随 机 变 量.故 选：B【例 3】甲、乙 两 班 进 行 足 球 对 抗 赛，每 场 比 赛 赢 了 的 队 伍 得 3 分，输 了 的 队 伍 得 0 分，平 局 的 话,两 队 各 得 1分，共 进 行 三 场.用 自 表 示 甲 的 得 分

7、，则 4=3 表 示（）.A.甲 匾 三 场 B.甲 赢 一 场、输 两 场 C.甲、乙 平 局 三 次 D.甲 赢 一 场、输 两 场 或 甲、乙 平 局 三 次【答 案】D【分 析】4=3表 示 甲 队 得 分 为 3 分 这 个 事 件，可 以 直 接 列 举 情 况 即 可.【详 解】由 于 赢 了 的 队 伍 得 3 分，输 了 的 队 伍 得。分，平 局 的 话，两 队 各 得 1分，所 以 1=3可 以 分 成 两 种 情 况,即 3+0+0或 1+1+1,即 甲 赢 一 场、输 两 场 或 甲、乙 平 局 三 次.故 选：D.【例 4】袋 中 装 有 除 颜 色 外，质 地 大

8、 小 完 全 相 同 的 4 个 小 球，其 中 有 1个 红 球、3 个 白 球，从 中 任 意 取 出 1个 观 察 颜 色，取 后 不 放 回，如 果 取 出 的 球 的 颜 色 是 红 色，则 停 止 取 球，如 果 是 白 色，则 继 续 取 球，直 到 取 到 红 球 时 停 止，记 停 止 时 的 取 球 次 数 为 久 则 g所 有 可 能 取 值 的 集 合 为，g=2的 意 义 为.【答 案】1,2,3,4 第 一 次 取 到 白 球，第 二 次 取 到 红 球，并 且 停 止 取 球.【分 析】根 据 取 球 的 过 程 和 随 机 变 量 的 意 义 可 得 答 案.【

9、详 解】若 第 一 次 取 到 红 球，则 停 止 取 球，此 时 g=i,若 第 一 次 取 到 白 球，第 二 次 取 到 红 球，则 停 止 取 球，此 时&=2；若 第 一 次 和 第 二 次 都 取 到 白 球，第 三 次 取 到 红 球，则 停 止 取 球，此 时 4=3；若 前 3次 都 取 到 白 球，则 第 四 次 必 取 到 红 球，则 停 止 取 球，此 时 4=4；综 上 所 述：g所 有 可 能 取 值 的 集 合 为 1,2,3,4.4=2的 意 义 为 第 一 次 取 到 白 球，第 二 次 取 到 红 球，并 且 停 止 取 球.故 答 案 为：1,2,3,4）

10、；第 一 次 取 到 白 球，第 二 次 取 到 红 球，并 且 停 止 取 球.【题 型 专 练】1.先 后 抛 掷 一 个 骰 子 两 次，记 随 机 变 量 E为 两 次 掷 出 的 点 数 之 和，则 4的 取 值 集 合 是（）A.1,2,3,4,5,6 B.2,3,4,5,6,7）C.2,4,6,8,10,12 D.2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12【答 案】D析】根 据 随 机 变 量 j的 确 定 其 可 能 取 值 即 可.【详 解】因 为 随 机 变 量 4表 示 两 次 掷 出 的 点 数 之 和，所 以。的 取 值 可 能 为：2,3,4,5,6,7,8,

11、9,10,11,12,故 j的 取 值 集 合 是 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12）,故 选：D.2.袋 中 装 有 5 个 红 球、10个 黑 球.每 次 随 机 抽 取 1个 球 后，若 取 得 黑 球 后 则 另 外 换 1个 红 球 放 回 袋 中，直 到 取 得 红 球 为 止.若 抽 取 的 次 数 为 X,则 表 示 事 件“放 回 3 个 红 球”的 是（）A.X=2 B.X=3 C.X=4 D.X=5【答 案】C【分 析】根 据 题 意 得 到“放 回 3 个 红 球”表 示 的 含 义，由 此 即 可 得 到 答 案.【详 解】因 为“放 回 3 个 红

12、球”表 示 前 3 次 摸 到 的 都 是 黑 球，第 4 次 摸 到 红 球，所 以 X=4.故 选：C3.（多 选 题）一 副 扑 克 牌 共 有 54张 牌，其 中 52张 是 正 牌，另 2 张 是 副 牌（大 王 和 小 王），从 中 任 取 4 张，则 随 机 变 量 可 能 为（）A.所 取 牌 数 B.所 取 正 牌 和 大 王 的 总 数 C.这 副 牌 中 正 牌 数 D.取 出 的 副 牌 的 个 数【答 案】BD【分 析】根 据 随 机 变 量 的 定 义 分 析 判 断 即 可.【详 解】对 于 A,所 取 牌 数 为 4,是 一 个 常 数，不 是 随 机 变 量，

13、所 以 A 错 误，对 于 B,4 张 牌 中 所 取 正 牌 和 大 王 的 总 数 可 能 为 3,4,所 以 是 随 机 变 量，所 以 B 正 确，对 于 C,这 副 牌 中 正 牌 数 为 52,是 一 个 常 数，不 是 随 机 变 量，所 以 C 错 误，对 于 D,4 张 牌 中 所 取 出 的 副 牌 的 个 数 可 能 为 0,1,2,所 以 是 随 机 变 量，所 以 D 正 确，故 选：BD4.从 4 名 男 生 和 2 名 女 生 中 任 选 3 人 参 加 演 讲 比 骞，设 随 机 变 量 X 表 示 所 选 3 人 中 女 生 的 人 数，则 X41表 示.【答

14、 案】所 选 3 人 中 至 多 有 1名 女 生【分 析】根 据 XVI包 含 X=l或 X=0,结 合 题 意 分 析 即 可.【详 解】XW1 包 含 两 种 情 况：X=l 或 x=（）.故 XW1 表 示 所 选 3 人 中 至 多 有 1名 女 生.故 答 案 为：所 选 3 人 中 至 多 有 1名 女 生.题 型 二：离 散 型 随 机 变 量 与 连 续 型 随 机 变 量【例 1】下 面 给 出 的 四 个 随 机 变 量 中 是 离 散 型 随 机 变 量 的 为（）高 速 公 路 上 某 收 费 站 在 半 小 时 内 经 过 的 车 辆 数:一 个 沿 直 线 y=2

15、x进 行 随 机 运 动 的 质 点 离 坐 标 原 点 的 距 离 X?；某 同 学 射 击 3 次，命 中 的 次 数 X?；某 电 子 元 件 的 寿 命 X：A.B.C.D.答 案 C折】根 据 给 定 条 件，利 用 离 散 型 随 机 变 量 的 定 义 分 析 各 命 题，再 判 断 作 答.【详 解】对 于，半 小 时 内 经 过 的 车 辆 数 可 以 一 一 列 举 出 来，故 是 离 散 型 随 机 变 量；对 于，沿 直 线 y=2x进 行 随 机 运 动 的 质 点，质 点 在 直 线 上 的 位 置 不 能 列 举 出 来，故 不 是 离 散 型 随 机 变 量；对

16、 于，某 同 学 射 击 3 次，命 中 的 次 数 可 以-一 列 举 出 来，故 是 离 散 型 随 机 变 量；对 于，某 电 子 元 件 的 寿 命 可 为 任 意 值，不 能 一 一 列 举 出 来，故 不 是 离 散 型 随 机 变 量；故 选：C.【例 2】下 面 给 出 四 个 随 机 变 量：一 高 速 公 路 上 某 收 费 站 在 半 小 时 内 经 过 的 车 辆 数 一 个 沿 直 线 y=2x进 行 随 机 运 动 的 质 点，它 在 该 直 线 上 的 位 置；某 指 挥 台 5 分 钟 内 接 到 的 雷 达 电 话 次 数 X；某 同 学 离 开 哈 尔 滨

17、市 第 三 中 学 的 距 离 匕 其 中 是 离 散 型 随 机 变 量 的 为（）A.B.C.D.答 案 C【分 析】根 据 给 定 条 件，利 用 离 散 型 随 机 变 量 的 定 义 分 析 各 命 题，再 判 断 作 答.【详 解】对 于，半 小 时 内 经 过 的 车 辆 数 可 以 一 一 列 举 出 来，是 离 散 型 随 机 变 量；对 于，沿 直 线 y=2x进 行 随 机 运 动 的 质 点，质 点 在 直 线 上 的 位 置 不 能-一 列 举 出 来，不 是 离 散 型 随 机 变 量；对 于，5 分 钟 内 接 到 的 雷 达 电 话 次 数 可 以 一 一 列

18、举 出 来，是 离 散 型 随 机 变 量；对 于，某 同 学 离 开 哈 尔 滨 市 第 三 中 学 的 距 离 可 为 某 一 区 间 内 的 任 意 值，不 能 一 一 列 举 出 来，不 是 离 散 型 随 机 变 量，所 以 给 定 的 随 机 变 量 是 离 散 型 随 机 变 量 的 有.故 选：C【题 型 专 练】1.下 面 是 离 散 型 随 机 变 量 的 是（）A.电 灯 炮 的 使 用 寿 命 XB.小 明 射 击 1次，击 中 目 标 的 环 数 XC.测 量 一 批 电 阻 两 端 的 电 压，在 10V20V之 间 的 电 压 值 XD.一 个 在 y 轴 上 随

19、 机 运 动 的 质 点，它 在 y 轴 上 的 位 置 x【答 案】B【分 析】变 量 的 取 值 是 随 机 出 现 且 可 一 一 列 举 出 来 的 随 机 变 量 称 为 离 散 型 随 机 变 量，据 此 逐 项 判 断 即 可.【详 解】对 于 A,电 灯 炮 的 使 用 寿 命 是 变 量，但 无 法 将 其 取 值 一 一 列 举 出 来，故 A 不 符 题 意；对 于 B,小 明 射 击 1次，击 中 目 标 的 环 数 X 是 变 量，目.其 取 值 为 0,1,2,1 0,故 X 为 离 散 型 随 机 变 量，故 B 符 合 题 意；对 于 C,测 量 一 批 电 阻

20、 两 端 的 电 压，在 10V20V之 间 的 电 压 值 X 是 变 量，但 无 法 一 一 列 举 出 X 的 所 有 取 值，故 x 不 是 离 散 型 随 机 变 量，故 C 不 符 题 意；对 于 D,一 个 在 y 轴 上 随 机 运 动 的 质 点，它 在 y 轴 上 的 位 置 X 是 变 量，但 无 法 一 一 列 举 出 其 所 有 取 值，故 X 不 是 离 散 型 随 机 变 量，故 D 不 符 题 意.故 选：B.2.（多 选 题）下 列 随 机 变 量 中 属 于 离 散 型 随 机 变 量 的 是（）A.某 电 话 亭 内 的 一 部 电 话 1小 时 内 使

21、用 的 次 数 记 为 XB.测 量 一 个 年 级 所 有 学 生 的 体 重，在 60依 70版 之 间 的 体 重 记 为 XC.测 量 全 校 所 有 同 学 的 身 高，在 170a 175cm之 间 的 人 数 记 为 XD.一 个 数 轴 上 随 机 运 动 的 质 点 在 数 轴 上 的 位 置 记 为 X 答 案 AC【彳 析】根 据 离 散 型 随 机 变 量 的 定 义 知，离 散 型 随 机 变 量 是 可 以 列 举 的；连 续 型 随 机 变 量 不 能 一 一 列 举。【详 解】电 话 1小 时 内 使 用 的 次 数 是 可 以 列 举 的，是 离 散 型 随

22、机 变 量，选 项 A 正 确；体 重 无 法 一 一 列 举，选 项 B 不 正 确：人 数 可 以 列 举，选 项 C 正 确；数 轴 上 的 点 有 无 数 个，点 的 位 置 是 连 续 型 随 机 变 量；选 项 D 不 正 确；故 选 AC.3.（多 选 题）下 列 随 机 变 量 是 离 散 型 随 机 变 量 的 是（）A.某 景 点 一 天 的 游 客 数 XB.某 寻 呼 台 一 天 内 收 到 寻 呼 次 数 XC.水 文 站 观 测 到 江 水 的 水 位 数 XD.某 收 费 站 一 天 内 通 过 的 汽 车 车 辆 数 X【答 案】ABD【分 析】根 据 离 散

23、型 随 机 变 量 的 定 义，结 合 选 项，即 可 判 断 和 选 择.【详 解】对 四 个 选 项，游 客 数、寻 呼 次 数、汽 车 车 辆 数 的 取 值 都 是 随 机 的 整 数，满 足 题 意；但 水 位 数 是 实 数，不 是 离 散 型 随 机 变 量，不 满 足 题 意.故 选：ABD.题 型 三：离 散 型 随 机 变 量 分 布 列【例 1】从 装 有 3 个 红 球，2 个 白 球 的 袋 中 随 机 取 出 2 个 球，设 其 中 有 4 个 红 球，则 随 机 变 量 的 概 率 分 布 为：.40 1 2P【答 案】见 解 析【分 析】离 散 型 随 机 变

24、量 的 分 布 列 根 据 等 可 能 事 件 的 概 率 计 算 即 可.【详 解】根 据 题 意 由 等 可 能 事 件 的 概 率 计 算 公 式 可 知：C2 1p(=o)=一 7 C；10p(J=l)=3故 答 案 为:尸（造 嚏 得 g 0 i 2P1io353io【例 2】袋 中 装 有 一 些 大 小 相 同 的 球，其 中 标 号 为 1号 的 球 1个，标 号 为 2 号 的 球 2 个，标 号 为 3号 的 球 3 个，一，标 号 为 号 的 球 个.现 从 袋 中 任 取 一 球，所 得 号 数 为 随 机 变 量 X,若 尸（X=）=0.2,则.【答 案】9【分 析】

25、本 题 为 古 典 概 型，求 出 袋 中 求 的 总 数 量，即 可 表 示 出 P（X=），根 据?（X=）=0.2即 可 计 算 出 的 值.【详 解】由 题 意 可 知，所 有 球 的 个 数 为 1+2+3+=*、，由 古 典 概 型 的 概 率 公 式 可 得 P(X=)=7 1 7=商=2,解 得”=9.2故 答 案 为：9.【例 3 在 高 考 结 束 后，程 浩 同 学 回 初 中 母 校 看 望 数 学 老 师，顺 便 帮 老 师 整 理 初 三 年 级 学 生 期 中 考 试 的 数 学 成 绩，并 进 行 统 计 分 析，在 整 个 年 级 中 随 机 抽 取 了 20

26、0名 学 生 的 数 学 成 绩，将 成 绩 分 为 40,50),50,60),60,70),70,80),80,90),90,100,共 6 组，得 到 如 图 所 示 的 频 率 分 布 直 方(1)从 样 本 中 随 机 选 取 一 名 学 生，已 知 这 名 学 生 的 分 数 不 低 于 70分，问 这 名 学 生 数 学 成 绩 为 优 秀 的 概 率；(2)在 样 本 中，采 取 分 层 抽 样 的 方 法 从 成 绩 在 70,100 内 的 学 生 中 抽 取 13名，再 从 这 13名 学 生 中 随 机 抽 取 3 名，记 这 3 名 学 生 中 成 绩 为 优 秀 的

27、 人 数 为 X,求 X 的 分 布 列.2【答 案】石；(2)分 布 列 见 解 析【分 析】(1)先 由 频 率 直 方 图 中 频 率 之 和 为 1求 得 a=0.025,从 而 求 得 不 低 于 70分 与 不 低 于 90分 的 人 数，由 此 求 得 这 名 学 生 成 绩 是 优 秀 的 概 率；(2)结 合(1)中 结 论，求 得 成 绩 在 70,80,80,90 与 90,100 内 的 人 数，从 而 利 用 分 层 抽 样 比 例 相 同 求 得 各 区 间 所 抽 人 数，由 此 利 用 组 合 数 求 得 X 各 取 值 的 概 率，进 而 得 到 X 的 分

28、布 列 与 数 学 期 望.【详 解】(1)依 题 意，得(0.005+0.010+0.020+0.030+4+0.010)x10=1,解 得 a=0.025,则 不 低 于 70 分 的 人 数 为 200 x(0.030+0.025+0.010)x10=130,成 绩 在 90,100 内 的，即 优 秀 的 人 数 为 200 x 0.010 x10-20：2故 这 名 学 生 成 绩 是 优 秀 的 概 率 为 点；(2)成 绩 在 70,80 内 的 有 200 x 0.030 x10=60(人)；成 绩 在 80,90 内 的 有 200 x0.025x10=50(人)；成 绩 在

29、 90,100 内 的 有 20人；故 采 用 分 层 抽 样 抽 取 的 13名 学 生 中，成 绩 在 70,80)内 的 有 6 人，在 80,90)内 的 有 5 人，在 90,100 内 的 有 2 人，所 以 由 题 可 知，X 的 可 能 取 值 为 0,1,2,贝 l P(X=0)=，P(X=l)=L i=A,p(y=2)=4-=,7 Cl 26)C：3 26 13 I Cl 26所 以 X 的 分 布 列 为:【题 型 专 练】1.某 小 组 共 10人，利 用 假 期 参 加 义 工 活 动.己 知 参 加 义 工 活 动 次 数 为 1,2,3 的 人 数 分 别 为 3

30、,3,4.现 从 这 10人 中 随 机 选 出 2 人 作 为 该 组 代 表 参 加 座 谈 会.(1)设 A 为 事 件“选 出 的 2 人 参 加 义 工 活 动 次 数 之 和 为 4”，求 事 件 4 发 生 的 概 率；(2)设 X 为 选 出 的 2 人 参 加 义 工 活 动 次 数 之 差 的 绝 对 值，求 随 机 变 量 X 的 分 布 列.【答 案】(1)；;(2)答 案 见 解 析【分 析】(1)根 据 古 典 概 型 的 概 率 计 算 公 式、组 合 数 计 算 公 式 求 得 P(A).(2)根 据 古 典 概 型 的 概 率 计 算 公 式、组 合 数 计

31、算 公 式 求 得 X 的 分 布 列.【详 解】(1)4=1+3=2+2,所 以/缶)=墨 6=:jo n(2)X 的 可 能 取 值 为 0,L2,C；+C；+C；_ 4p（x=o）=C；C；+C 一 7P（X=1）=15P X=2)=*rC1=上 4l C；。15所 以 X 的 分 布 列 为：X 0 1 2P4157T54152.某 城 市 为 了 加 快“两 型 社 会”(资 源 节 约 型，环 境 友 好 型)的 建 设，本 着 健 康、低 碳 的 生 活 理 念，租 自 行 车 骑 游 的 人 越 来 越 多，自 行 车 租 车 点 的 收 费 标 准 是 每 车 每 次 租 车

32、 时 间 不 超 过 两 小 时 免 费，超 过 两 小 时 的 部 分 每 小 时 收 费 2 元(不 足 1小 时 的 部 分 按 1小 时 计 算).有 甲、乙 两 人 相 互 独 立 来 该 租 车 点 租 车 骑 游(各 租 一 车 一 次).设 甲、乙 不 超 过 两 小 时 还 车 的 概 率 分 别 为!，；两 小 时 以 上 且 不 4 2超 过 三 小 时 还 车 的 概 率 分 别 为:，两 人 租 车 时 间 都 不 会 超 过 四 小 时.2 4(1)求 甲、乙 两 人 所 付 的 租 车 费 用 相 同 的 概 率；(2)设 甲、乙 两 人 所 付 的 租 车 费

33、用 之 和 为 随 机 变 量 X,求 X 的 分 布 列.【答 案】,；答 案 见 解 析 10【分 析】(1)利 用 相 互 独 立 事 件 的 概 率 乘 法 公 式 以 及 互 斥 事 件 的 概 率 加 法 公 式 求 解.(2)利 用 相 互 独 立 事 件 的 概 率 乘 法 公 式 以 及 互 斥 事 件 的 概 率 加 法 公 式 计 算 概 率，再 按 步 骤 写 出 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列.(1)由 题 意 得，甲、乙 在 三 小 时 以 上 且 不 超 过 四 小 时 还 车 的 概 率 分 别 为 1，4 4租 车 费 相 同，即 两 人 都 在

34、同 一 时 间 段 还 车，标 记 甲、乙 两 人 所 付 的 租 车 费 用 相 同 为 事 件 4,贝 I j P（/A八）=_1x_1+1 _x1_+1 _1x_=5-4 2 2 4 4 4 16所 以 甲、乙 两 人 所 付 的 租 车 费 用 相 同 的 概 率 为 2.16(2)由 题 可 知，X 可 能 取 的 值 有 0,2,4,6,8,且p(x=o)P(X=2)1 1 1=X=4 2 81 1 1 1 5=-X H-x=一 4 4 2 2 16.X 1 1 1 1 1 1 5X=4)=-x i x i x=；7 2 4 4 2 4 4 16p(X=6)=-x l+l xl=；

35、7 2 4 4 4 16P(X=8)=-xl=.,7 4 4 16所 以 甲、乙 两 人 所 付 的 租 车 费 用 之 和 X 的 分 布 列 为 X 0 2 4 6 8p285165163161163.某 学 院 为 了 调 查 本 校 学 生 2014年 9 月“健 康 上 网”（健 康 上 网 是 指 每 天 上 网 不 超 过 两 个 小 时）的 天 数 情 况，随 机 抽 取 了 40名 本 校 学 生 作 为 样 本，统 计 他 们 在 该 月 30天 内 健 康 上 网 的 天 数，并 将 所 得 的 数 据 分 成 以 下 六 组：0,5,（5,10,（10,15,，（25,

36、30,由 此 画 出 样 本 的 频 率 分 布 直 方 图，如 图 所 示.频 率（1）根 据 频 率 分 布 直 方 图，求 这 40名 学 生 中 健 康 上 网 天 数 超 过 20天 的 人 数；（2）现 从 这 40名 学 生 中 任 取 2 名，设 丫 为 取 出 的 2 名 学 生 中 健 康 上 网 天 数 超 过 20天 的 人 数，求 F 的 分 布 列.【答 案】（1）10:（2）答 案 见 解 析.【分 析】（1）结 合 图 形 知，求 出 健 康 上 网 天 数 未 超 过 20天 的 频 率，从 而 可 求 健 康 上 网 天 数 超 过 20天 的 频 率，从

37、而 可 求 健 康 上 网 天 数 超 过 20天 的 人 数；（2）随 机 变 量 y 的 所 有 可 能 取 值 为 o,1,2.分 别 求 出 尸（y=o）,p（y=i）,p（y=2）,能 够 得 到 y 的 分 布 列.（1）解：由 图 可 知，健 康 上 网 天 数 未 超 过 20天 的 频 率 为（0.01+0.02+0.03+0.09）x5=0.15x5=0.75,健 康 上 网 天 数 超 过 20天 的 学 生 人 数 是 40 x（1-0.75）=40 x 0.25=10；所 以 健 康 上 网 天 数 超 过 20天 的 学 生 人 数 是 10.（2）解：随 机 变

38、量 丫 的 所 有 可 能 取 值 为 0，I，2.C*29 CC 5 C；。3p（y=o）=-=,p（y=i）=|,二=一,P（Y=2）=-=,1 52 1 13 Ct 52的 分 布 列 为：Y 0 1 2P29525133524.学 校 组 织 解 题 能 力 大 赛，比 赛 规 则 如 下：依 次 解 答 一 道 解 析 几 何 题 和 两 道 立 体 几 何 题，解 析 几 何 正 确 得 2 分，错 误 得 0 分：两 道 立 体 几 何 全 部 正 确 得 3 分，只 正 确 一 道 题 得 1分，全 部 错 误 得 0 分;总 分 是 两 部 分 得 分 之 和.小 明 同 学

39、 准 备 参 赛，他 目 前 的 水 平 是：解 析 几 何 解 答 正 确 的 概 率 是;每 道 立 体 几 何 解 答 正 确 的 概 率 均 为 g,假 设 小 明 同 学 每 道 题 的 解 答 相 互 独 立，(1)求 小 明 同 学 恰 好 有 两 道 题 解 答 正 确 的 概 率；(2)求 小 明 同 学 获 得 的 总 分 X 的 分 布 列.【答 案】(1);(2)答 案 见 解 析【分 析】(1)由 概 率 的 乘 法 公 式 与 加 法 公 式 求 解；(2)分 析 X 的 可 能 取 值，求 出 对 应 概 率 后 即 可 得 分 布 列；(1)解：由 题 意 解

40、析 几 何 题 解 答 正 确 的 概 率 是 3，立 体 几 何 题 解 答 正 确 的 概 率 为 2(所 以 小 明 同 学 恰 好 有 两 道 题 解 答 正 确 的 概 率 n 3 2 八 2 3 八 2、2 八 3、2 2 6 6 8 4P=-x x(l)+X(1-)x+(1)x-X-=-h-H-=-：5 3 3 5 3 3 5 3 3 45 45 45 9(2)解：由 题 意 得 X 的 可 能 取 值 为 0,1,2,3,5,o i l 7 2 2 1 1 2 R所 以 尸(X=0)=_x _ x_=,P(X=l)=-x(-x-+-x-)=5 3 3 45 5 3 3 3 3

41、45 小 3 1 1 3 1 3,2 1 1 2、2 2 2 20 45 3 3 45 15 5 3 3 3 3 5 3 3 45 9-3 2 2 12 4P(X=5)=x x=,5 3 3 45 15则 X 的 分 布 列 为 题 型 四：离 散 型 随 机 变 量 分 布 列 的 性 质【例 1】设 随 机 变 量 4 的 分 布 为 巾=1，2,3,4,5),则 P；X 0 1 2 3 5P2458451 49415【答 案】|2【分 析】利 用 题 意 得 到 g 的 分 布，然 后 利 用 概 率 之 和 为 1得 到=七，即 可 求 出 答 案 2【详 解】解：由 题 意 知，g

42、的 分 布 为 5?2。所 以。+2。+3。+4。+5。=1,解 得。353 454。5%所 以 楣 兴 总=小 尚+尸 Y+尸 1-115-_ 1 _2，1 5 _ _L._1_3_5_-5 2 2 35 5 52故 答 案 为：【例 2】已 知 随 机 变 量 X 的 分 布 列 是:X 1 2 3P 0.25 b则 a+6=（）A.0.75 B.1.5 C.1 D.0.25【答 案】A【分 析】根 据 概 率 之 和 为 1即 可 得 解.【详 解】解：因 为 P（X=1）+P（X=2）+P（X=3）=1,所 以 0.25+。+6=1,所 以 a+b=0.75.故 选：A.【例 3】已

43、知 随 机 变 量 X的 概 率 分 布 为：P=）=升 扁（=1 2 3），其 中 2 是 常 数,则 P（1 X 3）的 值 为（）【答 案】A【分 析】根 据 分 布 列 的 性 质 概 率 和 为 1可 求 出 2,再 根 据 尸（1V X 3）=P（X=1）+P（X=2）即 可 解 出.【详 解】因 为 P（X=1）+P（X=2）+P（X=3）=1,即 4+4+4=1，解 得：儿=:，所 以，2 6 12 32 2 XP（1 X+C：；=幽 二 上 吟 的.M M故 答 案 为：1024.【例 5】两 对 挛 生 兄 弟 共 4 人 随 机 排 成 一 排，设 随 机 变 量 J 表

44、 示 挛 生 兄 弟 相 邻 的 对 数，则（）A.P（J=（）P（J=1）B.P（J=（）=P（g=l）C.P（J=0）尸（J=2）【答 案】B【分 析】根 据 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列 计 算 概 率 即 可.【详 解】4 人 排 成 一 排 共 有 A：=2 4种 不 同 的 排 法，J 的 所 有 可 能 取 值 为 0，1,2,所 以 P（J=0）=网 短=1，%=1）=笔 名=；，尸（g=2）=&=；,所 以 p（g=o）=p（g=i）=p（4=2）.故 选:B.【题 型 专 练】I.随 机 变 量 X的 分 布 列 如 下 表，则 尸（1X1=1）等 于（)【答

45、 案】C2【分 析】根 据 概 率 之 和 为 1，即 可 求 解 a+c=；,进 而 可 求 P（|X|=1）.1 9 2【详 解】由 分 布 列 可 知 a+c=l-=,故 尸（|X|=1）=P（X=1）+尸（X=-l）=a+c=【分 析】先 由 各 个 概 率 和 为 1可 求 出。，再 由 P（1 4 X 4 3）=P（X=1）+P（X=2）+P（X=3）可 求 得 结 果.【详 解】因 为 0.1+0.1+a+0.3+0.2+0.1=l,所 以。=0.2,所 以 P（1WXW3）=P（X=1）+P（X=2）+P（X=3）=0.1+0.2+0.3=0 6故 选：C.3.已 知 离 散

46、型 随 机 变 量 X的 分 布 列 为 P（X=）=+%+|（“=1,2,15）,其 中 a 为 常 数，则 P（X 4 8）=（）A.1 B.|C.-D.-2 3 4 5【答 案】B【分 析】根 据 离 散 型 随 机 变 量 的 概 率 之 和 为 1可 求 解 a=g,进 而 根 据 概 率 公 式 即 可 求 解.【详 解】P（X=）=+=a（J+l-6）,所 以 P（X=1）+P（X=2）+P（X=15）=l=a（/i5+T-l）=l=a=1；故 P（X 4 8）=P（X=1）+P（X=2）+尸（X=8）=-（A/8+T-1）=-故 选：B4.若 离 散 型 随 机 变 量 X的

47、分 布 列 为 P（X=0）=0 4,P（X=l）=a,P（X=2）=2。，则 a 的 值 为（）A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4【答 案】B【分 析】由 概 率 和 为 1直 接 求 解 即 可.【详 解】由 0.4+“+2a=l解 得 a=0.2.故 选：B.5.设 随 机 变 量 J 的 概 率 分 布 为 尸 偌=%）=,。为 常 数，k=,2,3,4,贝 Ua=.【答 案】【分 析】由 概 率 之 和 为 1以 及 数 列 求 和 公 式 即 可 求 解.【详 解】由 题 意 知：随 机 变 量 g的 所 有 可 能 取 值 的 概 率 和 为 1,a a a a.即

48、5+牙+百+m=1.则 号*+泉+*）=1，151 6由 等 比 数 列 的 求 和 公 式，得，+，+，+，=2 22 23 24 所 以 3=1,得 4=t.16 15故 答 案 为：悔 46.某 同 学 参 加 3 门 课 程 的 考 试.假 设 该 同 学 第 一 门 课 程 取 得 优 秀 成 绩 的 概 率 为，第 二、第 三 门 课 程 取 得 优 秀 成 绩 的 概 率 分 别 为 PM(P4)，且 不 同 课 程 是 否 取 得 优 秀 成 绩 相 互 独 立.记 J 为 该 生 取 得 优【分 析】结 合 概 率 和 为 1,可 得 a+b 的 值，由 P=O),P售=3)列 方 程，从 而 求 得 P+4.【详 解】由 分 布 列 的 性 质 有 三 6+。+2三 4=1,解 得。+3=9言 5=199；125 125 125 25依 表 中 的 尸(4=0),P(4=3)可 知，5、八 7 1254 24-p q=5 125pq3 2m p=q=-.3 2所 以+4=不+=1.19故 答 案 为：；1