专题11 圆锥曲线（解析版）-2021年高考冲刺之二轮专题精讲精析.doc

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1、专题11圆锥曲线一、单选题1已知，为的两个顶点，点在抛物线上，且到焦点的距离为13，则的面积为（ ）A12B13C14D15【答案】A【分析】设,求出抛物线的准线, 根据抛物线的性质,抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离可求出,最后根据即可得出结果.【详解】解:因为点在抛物线上,设，抛物线的准线方程为，根据抛物线的性质,抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离.由，得，所以.故选:A【点睛】与抛物线有关的问题，一般情况下都与抛物线的定义有关由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径2已知椭圆的

2、焦距为4，直线与椭圆相交于点、，点是椭圆上异于点、的动点，直线、的斜率分别为、，且，则椭圆的标准方程是（ ）ABCD【答案】C【分析】设，得，由，以及点差法，求出，再由焦距，以及椭圆的性质，求出和，即可得出椭圆方程.【详解】因为椭圆的焦距为，则；设，因为直线与椭圆相交于点、，所以设，则，又点是椭圆上异于点、的动点，直线、的斜率分别为、，且，所以，又，两式作差可得，则，所以，由解得，所以椭圆的标准方程是.故选：C.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于，先由椭圆的对称性，设出、两点坐标，再根据直线、斜率的乘积，由点差法求出和的关系式，即可根据椭圆性质求解.3已知双曲线的焦点到渐近线的距离为1，且

3、与椭圆有公共焦点.则双曲线的渐近线方程为（ ）ABCD【答案】C【分析】求出椭圆焦点坐标，得双曲线的焦点坐标，再由焦点到渐近线的距离可求得，得渐近线方程【详解】由题意已知椭圆的焦点坐标为，即为双曲线的焦点坐标，双曲线中，渐近线方程为，其中一条为，于是有，渐近线方程为故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆与双曲线的焦点坐标，考查双曲线的渐近线方程，关键是求出解题时要注意椭圆中，双曲线中两者不能混淆4点、分别为椭圆的左、右顶点，直线与椭圆相交于、两点，记直线、的斜率分别为、，则的最小值为（ ）ABCD【答案】B【分析】设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，计算出的值，利用基本不等式

4、可求得的最小值.【详解】设点、，联立，消去并整理得，由韦达定理可得，设直线的斜率为，则，所以，而，因此，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：B.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于求得，进而利用韦达定理法求得为定值，再结合基本不等式求得最值.5已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是两曲线在第一象限的交点，且在上的投影等于，分别是椭圆和双曲线的离心率，则的最小值是（ ）AB6C8D【答案】C【分析】由在上的投影等于可知PF1PF2， 利用椭圆与双曲线的焦距相同找到和的关系，最后构建函数利用导数求出的最小值.【详解】如图，设半焦距为点是两曲线在第一象限的交点，且在上的投影等于，PF1PF2设

5、，则，在中，由勾股定理可得：.两边同除以c2，得2， 所以，当即时取等号，因此9e12+e22的最小值是8故选：C.【点睛】求最值题目一般分为三步：写表达式；消元；求值域.6已知双曲线(，)的左右焦点分别为，为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线离心率的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【分析】由双曲线的定义和基本不等式可得当，时，取得最小值，再由即可求出离心率范围.【详解】为双曲线右支上的任意一点，则，即，则，当且仅当，即时等号成立，此时，即，即，.故答案为：C.【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消

6、掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.7已知曲线与曲线恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是（ ）ABC D【答案】C【分析】对分类讨论，可得和时的解析式，可得曲线与必相交于，根据题意有两不同的公共点，所以将直线与曲线联立，根据判别式及韦达定理，即可求得范围，综合分析，即可得结果.【详解】因为曲线，当时，当时，所以曲线与曲线必相交于，所以为了使曲线与恰有两个不同的公共点，将代入方程，整理得：，当时，满足题意，当时，因为曲线与恰有两个不同的公共点，所以，且2为方程的根，解得，方程两根异号，满足题意，综上实数的取值范围是，

7、故选：C【点睛】解题的关键是根据绝对值不等式的解法，分类讨论，可得和时的解析式，即可得交点，再联立直线与曲线，可得二次型函数，易错点为需分和两种情况分析，即可求得答案，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.8已知椭圆C：，M，N是坐标平面内的两点，且M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|BN|（ ）A4B8C12D16【答案】B【分析】根据已知条件，作出图形，的中点连接椭圆的两个焦点，便会得到三角形的中位线，根据中位线的性质及椭圆上的点到两焦点的距离和为即可求出【详解】设的中点为，椭圆的左右焦点分别为，如图，连接，是的中点，是的中点，是的中

8、位线；，同理；，在椭圆上，根据椭圆的标准方程及椭圆的定义知：，故选：【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用三角形中位线定理得到，然后再利用椭圆的定义解答.9已知椭圆：，过点的直线与椭圆相交于，两点，若弦恰被点平分，则直线的斜率为（ ）ABCD2【答案】B【分析】设两点坐标代入方程，根据题意利用点差法得到方程，再代入用中点坐标，即可得解.【详解】设,，则由题意得两式相减得：整理得：又弦被点平分，则，代入上式得，即直线的斜率为，故选：B.【点睛】方法点睛：解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题涉及弦中点的

9、问题时用“点差法”解决，往往会更简单10已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为，直线与椭圆的一个交点为在第一象限）满足，则该椭圆的离心率为ABCD【答案】C【分析】由已知画出图形，由已知直线方程可得直线的倾斜角，结合，可得焦点三角形为直角三角形，再由椭圆定义及勾股定理列式求得椭圆离心率【详解】如图所示，由直线，可知该直线的斜率为，倾斜角因为，得设，则，解得，可得 该椭圆的离心率故选：【点睛】离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出，从而求出;构造的齐次式，求出;采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;根据圆锥曲线的统一定义求解11已知抛物线的焦点为，

10、过点的直线交抛物线于，两点，且，则（ ）A6B7C8D9【答案】C【分析】设直线，与抛物线方程联立得，求出，根据抛物线定义化简解得，由可得结果.【详解】由得，所以，准线为，设直线，联立，消去并整理得，设，则，所以，因为，所以，所以，所以，即，所以，所以.故选：C【点睛】关键点点睛：利用抛物线的定义将和转化为到准线的距离求解是解题关键.12已知双曲线C：（，）的渐近线方程为，若动点P在C的右支上，分别为C的左，右焦点，的最小值是2a（其中O为坐标原点），则的最小值为（ ）A4B8C16D24【答案】B【分析】设（），则，代入中利用基本不等式即可求出其最小值.【详解】依题意知：， 解得，设（），则

11、，所以，（当即时取等号），即的最小值为8.故选：B.【点睛】关键点睛：解题关键是根据双曲线的定义设出（），从而根据基本不等式求出最小值.二、填空题13已知椭圆：的焦距为2，为其左、右焦点，点，在椭圆上，且，是以为顶角的等腰三角形，则椭圆的标淮方程为_【答案】【分析】设，则可得，由椭圆定义得出，再利用余弦定理可求出，得出椭圆方程.【详解】设，是以为顶角的等腰三角形，由椭圆定义可得，即，即，则可得，即，解得，则，椭圆的标淮方程为.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题考查焦点三角形的相关问题，解题的关键是正确理解椭圆的定义，利用定义结合条件表示出焦点三角形的各边长度，利用余弦定理建立等量关系求出.14

12、已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点做直线交双曲线于点、，连接（为坐标原点）并延长交双曲线于点.若，且，则四边形的面积为_.【答案】【分析】根据A，B关于原点对称，关于原点对称，利用双曲线的对称性得到四边形是平行四边形，设，由双曲线的定义得，再结合，在中，由余弦定理求得m.，再由求解.【详解】如图所示：因为A，B关于原点对称，关于原点对称，由双曲线的对称性可知：四边形是平行四边形，设，因为，所以，由a=3,由双曲线的定义得，因为，所以，在中，由余弦定理得：，即，化简得，解得，所以，故答案为：【点睛】关键点点睛：本题关键是通过双曲线的对称性得到四边形是平行四边形，再由双曲线的定义结合余弦定理求得

13、边长.15已知双曲线：(，)的右焦点为，以(为坐标原点)为直径的圆与双曲线的两渐近线分别交于两点(不同于原点).若的面积等于，则双曲线的离心率为_.【答案】【分析】连接交轴于，可得，由，可得，则根据面积可建立关于方程，求出离心率.【详解】连接交轴于，连接，则，因为，所以，即，所以，因为，所以，即.故答案为：.【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.16设抛物线：()的焦点为，过的直线(斜率存在)与抛物线相交

14、于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，若点，且，则的值为_.【答案】【分析】设出直线方程，根据得到关于的一个方程，再根据垂直平分线过点得到关于的另一个方程，联立方程即可求解出的值.【详解】，设直线方程，代入得，设、，则，即，设线段中点为，则，线段的垂直平分线的方程为，令，得，联立和得.故答案为：.【点睛】方法点睛：抛物线过焦点的弦长的两种求解方法：（1）弦长公式法：利用弦长公式或完成弦长计算；（2）利用抛物线的焦半径公式：已知，抛物线方程为，过抛物线焦点，则.三、解答题17设命题：实数满足为焦点在轴上的椭圆；命题：实数满足点，位于直线两侧（1）若，为真，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条

15、件，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）.【分析】（1）结合椭圆的标准方程及点在直线两侧可求得命题、命题为真时的取值范围，再由复合命题的真假即可得解；（2）分别表示出、对应的集合、，转化条件为，按照、讨论，即可得解.【详解】若命题为真命题，则，解得，若命题为真命题，则；（1）当时，若命题为真命题，则，解得，若为真，则命题、均为真，所以实数的取值范围为；（2）由题意，对应的集合或，对应的集合，因为是的充分不必要条件，所以，当即时，或，不合题意；当即时，或，要满足，则，解得，所以；综上，实数的取值范围为.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化命题之间的关系为集合间的关系，分类讨论即可得解.18

16、设抛物线：的焦点为，点是抛物线上一点，且（1）求抛物线的方程；（2）设直线与抛物线交于、两点，若（为坐标原点）求证：直线过定点【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）利用抛物线定义求出，得到抛物线的方程；（2）设直线的方程为，代入抛物线方程得，设，利用韦达定理和得利用直线系方程推出过定点【详解】（1）是抛物线上一点，且，解得，即抛物线的方程为.（2）设直线的方程为，由消去得，则，因为，所以，即化简得由得，所以直线的方程为，所以直线经过定点【点睛】本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，关键点是利用韦达定理和得到，考查学生的分析问题解决问题能力和计算能力.19在平面直角坐标系中

17、，已知椭圆：的离心率为，且经过点.（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆的右焦点，直线与椭圆相切于点（点在第一象限），过原点作直线的平行线与直线相交于点，问：线段的长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.【答案】（1）；（2）是定值， .【分析】（1）根据条件列出关于a,b,c方程组求解得到a，b的值，从而得到椭圆的标准方程；（2）设出P的坐标，利用椭圆上某点处的切线方程公式求出切线方程，利用平行线的关系得出直线 l的方程，与直线的方程联立，求得的坐标，利用两点间距离公式求得关于的表达式，并利用P的坐标满足椭圆方程，消元并化简得到常数值.【详解】解：（1）由题意知椭圆的方程为（2）设直线的

18、方程为过原点且与平行的直线的方程为椭圆的右焦点，由整理得到直线的方程为，联立为定值【点睛】本题考查根据离心率和定点确定求的标准方程，椭圆与直线相交所得弦长问题和定值问题，属中档题，涉及椭圆上某点处的切线方程，弦长公式，运算化简能力，注意：曲线上处的切线的方程为。20已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，过作直线与椭圆交于，两点，的周长为8.（1）求椭圆的方程；（2）点、点分别为椭圆长轴的左、右端点，过点作轴的垂线，为垂线上异于点的动点，连接交椭圆于点.问：在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由，【答案】（1）；（2）存在；.【分析】（1）的周长为8，所以，再由可得

19、的值，再由即可求得值，进而可得椭圆的方程；（2）由题意知，设直线的方程为与联立可得，设，与椭圆方程联立消元，利用韦达定理可以求出点坐标用表示，假设存在定点使得即，转化为坐标运算，化简整理即可求出的值，即可得点的坐标.【详解】（1）的周长为8，所以又离心率为，椭圆的方程为.（2）由题可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，由得，由得.，由及由韦达定理，得，则，假设存在定点满足要求，则，即，整理得.，存在轴上的定点，使得.【点睛】关键点点睛：若，则，需要转化为坐标运算，因此需要设直线的方程为与联立可得，由消元求出，设点结合，即可求.21已知椭圆：()的焦距为，过左顶点且斜率为的直线和以椭圆的右顶点为

20、圆心，短半轴为半径的圆相切.（1）求椭圆的方程；（2）若过点作两条互相垂直的直线和，分别交椭圆于，两点，问轴上是否存在一定点，使得成立，若存在，则求出该定点，若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，定点为.【分析】（1）设右焦点，右顶点，求出，根据题中条件，由直线与圆位置关系，列出方程，求出，即可得出椭圆方程；（2）由（1）可知右顶点，且过点的直线和的斜率存在且不为0，设直线和的方程分别为和，设，联立直线与椭圆方程，表示出，两点坐标，设轴上存在一定点，使得成立，根据斜率公式，由韦达定理，列出方程求解，得出，即可得出结果.【详解】（1）设右焦点，右顶点，因为，所以，因为椭圆的左顶点，故

21、直线方程为，即，由题意知，解得，所以椭圆的方程为.（2）由（1）可知右顶点，且过点的直线和的斜率存在且不为0，设直线和的方程分别为和，设，联立，得，因为直线和椭圆交于，两点，所以，即，即，同理.设轴上存在一定点，使得成立，则，即，即，因为，即，解得.因此轴上存在一定点，使得成立.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于，根据，得到，得出，坐标之间关系，再由直线与椭圆联立后的结果，结合韦达定理，由斜率之和为，列出方程求解，即可求解.22已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点，直线交椭圆于不同的两点，（1）求椭圆的方程；（2）求的取值范围；（3）若直线不过点，试问直线，的斜率之和是否为

22、定值，若是定值求出定值，若不是定值说明理由【答案】（1）；（2）；（3）直线，的斜率之和是定值0.【分析】（1）由题可得出，解出即可得出椭圆方程；（2）联立直线与椭圆方程，利用即可求出的取值范围；（3）利用韦达定理可得，的斜率之和为0.【详解】（1）设椭圆的方程为，因为，所以，又因为，解得，故椭圆方程为（2）将代入并整理得，解得（3）设直线，的斜率分别为，设，则，分子所以直线，的斜率之和是定值0【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为形式；（5）代入韦达定理求解.