专题18 高考中的数学文化（解析版）-2021年高考冲刺之二轮专题精讲精析.doc

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1、专题18高考中的数学文化一、单选题1年，欧拉在给哥德巴赫的一封信中列举了多面体的一些性质，其中一条是：如果用、和表示闭的凸多面体的顶点数、棱数和面数，则有如下关系：.已知正十二面体有个顶点，则正十二面体有（ ）条棱ABCD【答案】A【分析】由已知条件得出，代入欧拉公式可求得的值，即为所求.【详解】由已知条件得出，由欧拉公式可得.故选：A.2龙马负图、神龟载书图像如图甲所示，数千年来被认为是中华传统文化的源头；其中洛书有云，神龟出于洛水，甲壳上的图像如图乙所示，其结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足u，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数；若从阳数和阴数中分别随机抽出2个和1个，则被

2、抽到的3个数的数字之和超过16的概率为（ ）ABCD【答案】A【分析】由题可求出所有情况共40种，再求出满足条件的情况即可求出概率.【详解】依题意，阳数为1、3、5、7、9，阴数为2、4、6、8，故所有的情况有种，其中满足条件的为，共13种，故所求概率.故选：A3数学著作孙子算经中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将1到2020共2020个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列则该数列共有（ ）A132项B133项C134项D135项【答案】D【分析】由题意抽象出数列是等差数列，

3、再根据通项公式计算项数.【详解】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，记为，则，令，解得：，所以该数列的项数共有135项.故选：D【点睛】关键点点睛：本题以数学文化为背景，考查等差数列，本题的关键是读懂题意，并能抽象出等差数列.4攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式宋代称为撮尖，清代称攒尖依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为，则侧棱与底面外接圆半径的比为（ ）ABCD【答案】A【分析】根据正六棱锥的底面为正六

4、边形计算可得结果.【详解】正六棱锥的底面为正六边形，设其外接圆半径为，则底面正边形的边长为，因为正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为，所以侧棱长为，所以侧棱与底面外接圆半径的比为.故选：A【点睛】关键点点睛：掌握正六棱锥的结构特征是解题关键.5张丘建算经卷上第题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织尺布，现一月（按天计）共织尺”，则从第天起每天比前一天多织（ ）A尺布B尺布C尺布D尺布【答案】D【分析】设该女子第尺布，前天工织布尺，则数列为等差数列，设其公差为，根据，可求得的值.【详解】设该女子第尺布，前天工织布尺，则数列为等差数列，设其公差为，由题意可

5、得，解得.故选：D.6中国古代数学著作九章算术中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（ ）A3斤B6斤C9斤D12斤【答案】C【分析】根据题意转化成等差数列问题，再根据等差数列下标的性质求.【详解】由题意可知金锤每尺的重量成等差数列，设细的一端的重量为，粗的一端的重量为，可知，根据等差数列的性质可知，中间三尺为.故选：C【点睛】本题考查数列新文化，等差数列的性

6、质，重点考查理解题意，属于基础题型.7古希腊时期，人们把宽与长之比为的矩形称为黄金矩形，把这个比值称为黄金分割比例下图为希腊的一古建筑.其中部分廊、檐、顶的连接点为图中所示相关对应点，图中的矩形，均近似为黄金矩形.若与间的距离大于18.7m，与间的距离小于12m则该古建筑中与间的距离可能是（ ）（参考数据：，）A29mB29.8mC30.8mD32.8m【答案】C【分析】由矩形和是黄金矩形，由边长的比求出范围即可得【详解】由黄金矩形的定义可知，所以，即，对照各选项，只有C符合故选：C【点睛】本题考查数学文化，考查学生的阅读理解能力，转化与化归能力，创新意识属于基础题8德国著名的天文学家开普勒说

7、过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得（ ）ABCD【答案】C【分析】计算出，然后利用二倍角公式以及诱导公式可计算得出的值，即可得出合适的选项.【详解】因为是顶角为的等腰三角形，所以，则，而，所以，.故选：C.【点睛】本题考查利用二倍角公式以及诱导公式求值，考查计算能力，属于中等题.9

8、九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著.书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周四尺. 高三尺.何积及为米几何?”其意思为:“ 在屋内墙角处堆放米，米堆底部的弧长为4尺.米堆的高为3尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ）A7斛B3斛C9斛D12斛【答案】B【分析】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可【详解】解：设圆锥的底面半径为，则，解得，故米堆的体积为，1斛米的体积约为1.62立方，故选：B【点睛】本题主要考查椎体的体积的计算，比较基础10九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三

9、视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为（ ）ABCD【答案】D【分析】利用三视图还原原几何体，结合三视图中的数据可计算出该“堑堵”的侧面积.【详解】由三视图还原原几何体如下图所示：由三视图可知，该几何体是直三棱柱，底面是腰长为的等腰直角三角形，且直三棱柱的高为，因此，该“堑堵”的侧面积为.故选：D.【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的侧面积，一般要求还原原几何体，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题.11干支是天干（甲、乙、癸）和地支（子、丑、亥）的合称，“干支纪年法”是我国传统的纪年法.如图是查找公历某年所对应干支的程序框图.例如公元年，即输入，执行该程序框

10、图，运行相应的程序，输出，从干支表中查出对应的干支为辛酉.我国古代杰出数学家秦九韶出生于公元年，则该年所对应的干支为（ ）六十干支表（部分）戊辰己巳庚午辛未壬申己未庚申辛酉壬戌癸亥 A戊辰B辛未C已巳D庚申【答案】A【分析】输出，计算输出结果，查表可得结果.【详解】输入，第一次循环，不成立；第二次循环，不成立；第三次循环，不成立；由上可知，每执行一次循环后，的值对应地在上一次循环后的值中减去，则输出的的值为除后的余数，则输出的的值为，因此，公元年对应的干支为戊辰.故选：A.【点睛】本题考查数学文化中的“干支纪年法”，考查程序框图的应用，考查计算能力，属于中等题.12古代中国的太极八卦图是以同圆

11、内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律.图2（正八边形）是由图1（八卦模型图）抽象而得到，并建立如下平面直角坐标系，设.则下述四个结论：以直线为终边的角的集合可以表示为；以点为圆心、为半径的圆的弦所对的弧长为；中，正确结论的个数是（ ） ABCD【答案】B【分析】根据终边相同的角的定义可判断命题的正误；利用扇形的弧长公式可判断命题的正误；利用平面向量数量积的定义可判断命题的正误；利用平面向量的坐标运算可判断命题的正误.【详解】对于命题，以直线为终边的角的集

12、合可以表示为，命题错误；对于命题，以点为圆心、为半径的圆的弦所对的弧长为，命题正确；对于命题，由平面向量数量积的定义可得，命题错误；对于命题，易知点，所以，命题正确.故选：B.【点睛】本题以数学文化为背景，考查了终边相同的角的集合、扇形的弧长、平面向量数量积的定义以及平面向量的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.二、填空题13世界四大历史博物馆之首卢浮宫博物馆始建于年，原是法国的王宫，是法国文艺复兴时期最珍贵的建筑物之一，以收藏丰富的古典绘画和雕刻而闻名于世，卢浮宫玻璃金字塔为正四棱锥，且该正四棱锥的高为米，底面边长为米，是华人建筑大师贝聿铭设计的.若玻璃金字塔五个顶点恰好在一个球面上，则该球

13、的半径为_米.【答案】【分析】作出图形，设球体的半径为，根据几何关系可得出关于的等式，进而可解得的值.【详解】如下图所示：在正四棱锥中，设为底面正方形的对角线的交点，则底面，由题意可得，则，设该球的半径为，设球心为，则，由勾股定理可得，即，解得.故答案为：.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带

14、其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.14明朝著名易学家来知德以其太极图解释一年、一日之象的图式，一年气象图将二十四节气配以太极图，说明一年之气象，来氏认为“万古之人事，一年之气象也，春作夏长秋收冬藏，一年不过如此”.上图是来氏太极图，其大圆半径为4，大圆内部的同心小圆半径为1，两圆之间的图案是对称的，若在大圆内随机取一点，则该点落在黑色区域的概率为_.【答案】【分析】设大圆面积为，小圆面积，求得，进而求得黑色区域的面积，结合面积比，即可求解.【详解】设大圆面积为，小圆面积，则，可得黑色区域的面积为，所以落在黑色区域的概率为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类

15、问题的步骤：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”，再求出总的基本事件对应的“几何度量”，然后根据求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题15九章算术是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述，比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小；以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺，问这块圆柱形木料的直径是多少？长为0.5丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）.已知弦尺，弓形高寸，估算该木材镶嵌墙内部分的体积约为_立方寸.（注：

16、一丈=10尺=100寸，答案四舍五入，只取整数）【答案】317【分析】根据弓形的锯口深1寸，锯道长1尺，求出圆的半径，从而求出弓形（阴影部分）面积后，由柱体体积公式得木材体积【详解】如图，设圆半径为寸（下面长度单位都是寸），连接，已知，在中，即，解得，由得，所以，图中阴影部分面积为扇形（平方寸），镶嵌在墙体中木材是以阴影部分为底面，以锯刀长为高的柱体，所以其体积为（立方寸）故答案为：317【点睛】本题考查柱体的体积，关键是求底面面积，方法是由扇形面积减去相应三角形面积得弓形面积，属基础题16中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员

17、独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体的棱长为_【答案】【分析】从图形中作一个最大的水平截面，它是一个正八边形，八个顶点都在边长为铁正方形边上，由此可计算出棱长【详解】作出该图形的一个最大的水平截面正八边形，如图，其八个顶点都在边长为1的正方形上，设“半正多面体”棱长为，则，解得，故答案为：【点睛】本题考查学生的空间想象能力，抽象概括能力，解题关键是从“半正多面体”中作出一个截面为正八边形且正八边形的八个顶点都在边长为1的正方形上，由此易得棱长