专题5 直线与圆（解析版）-2021年高考冲刺之二轮专题精讲精析.doc

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1、专题5直线与圆一、单选题1若是直线：上一动点，过作圆：的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（ ）ABCD【答案】B【分析】画出图象，根据对称性可得四边形面积，利用勾股定理可得，当PC最小时，PA最小，面积最小，根据点到直线距离公式，即可求得答案.【详解】圆：，圆心为（-2，0）半径，画出图象，如图所示：因为直线与圆相切，所以，且所以四边形面积，又，所以当最小时，PA最小，四边形面积的最小值，由图象可得，最小值即为点C到直线的距离，所以，所以所以四边形面积的最小值，故选：B【点睛】解题的关键是画出图象，根据几何关系，得到PC最小时，面积最小，再求解，将动点问题转化为点到直线距离问题，考

2、查分析理解，计算求值的能力，属中档题.2已知圆：，从点发出的光线，经直线反射后，光线恰好平分圆的周长，则入射光线所在直线的斜率为（ ）ABCD【答案】C【分析】根据光路可逆，易知圆心关于直线的对称点，在入射光线上，由此可求得结果.【详解】圆：，圆心为，由已知，反射光线经过，故C点关于直线的对称点M在入射光线上设，则，解得，即，且光源，所以入射光线的斜率，故选：C.【点睛】关键点点睛：（1）由光线恰好平分圆的周长，得出所在直线经过圆心；（2）入（反）射光线关于反射面的对称直线即为反（入）射光线.3直线过定点（ ）ABCD【答案】D【分析】由已知方程得，由于时，此式恒成立，所以，解方程可得结果【详

3、解】解：由，得，即，因为时，上式恒成立所以，解得，所以直线过的定点为，故选：D4已知直线和互相平行，则实数m的值为（ ）AB2CD2或4【答案】A【分析】根据两条直线平行的性质即可求出实数m的取值.【详解】因为直线和互相平行，所以，解得或，当时，与重合，不符合题意，故，故选：A5若在直线上有一点P，它到点和的距离之和最小，则该最小值为（ ）ABCD【答案】C【分析】求出关于直线对称的点为，则，从而得出答案.【详解】点关于直线对称的点为,如图则,所以 当且仅当三点共线时取得等号.故选：C6已知直线，则该直线的倾斜角为（ ）ABCD【答案】C【分析】根据直线斜率与倾斜角之间的关系：即可求解.【详解

4、】设直线的倾斜角为，（） 直线，所以.故选：C7已知直线：和直线：，则与之间的距离为（ ）A1BC2D3【答案】A【分析】由平行线间距离公式计算【详解】由题意可知两直线平行，由平行线之间距离公式计算可得故选：A8已知直线，若，则的值为（ ）ABCD或【答案】B【分析】当两直线斜率存在时，利用斜率之积等于得解【详解】，解得故选：B9若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【分析】由直线l与曲线的方程可得它们的图形，结合图形分析可知直线l与半圆相切到过时有两个交点，即可求的取值范围.【详解】由题意知：直线过定点，曲线为y轴上半部分的半圆，如下图示：如图，当且仅当直线l与

5、半圆相切，到直线l过时，它们有两个交点，当直线l与曲线相切时，得，当直线l过时，得，结合图象知：时直线l与曲线有两个交点.故选：B10圆：与圆：的位置关系是（ ）A相离B相交C外切D内切【答案】C【分析】利用配方法，求出圆心和半径，结合圆与圆的位置关系进行判断即可【详解】两圆的标准方程为，和，对应圆心坐标为O1（1，2），半径为，和圆心坐标O2，半径为，则圆心距离|O1O2|，则|O1O2|，即两圆外切，故选：C11一束光线从点射出，经x轴上一点C反射后到达圆上一点B，则的最小值为（ ）ABCD【答案】C【分析】做出圆关于轴的对称圆，进而根据图形得即可求解.【详解】解：如图，圆的圆心，其关于轴

6、的对称圆的圆心为，由图得.故选：C.【点睛】解题的关键在于求圆关于轴的对称圆圆心，进而将问题转化求解.12若方程表示圆，则实数a的取值范围为（ ）ABCD【答案】B【分析】方程配方，左边配成平方和的形式，右边为正即可表示圆【详解】方程化为标准方程为，有，.故选：B二、填空题13设直线l的斜率为k，且，则直线的倾斜角的取值范围是_.【答案】【分析】利用倾斜角与斜率关系图象得解.【详解】由图得当时，故答案为：【点睛】熟悉倾斜角与斜率函数图象是解题关键.14已知直线与直线平行，则直线，之间的距离为_.【答案】【分析】利用直线平行与斜率之间的关系、点到直线的距离公式即可得出【详解】解：因为直线与直线平

7、行，所以，解得，当时，则故答案为：【点睛】熟练运用直线平行与斜率之间的关系、点到直线的距离公式，是解题关键15已知圆和圆相交于A、B两点，则线段AB的长度为_【答案】【分析】由两圆方程相减可得公共弦的方程，再由直线和圆相交的弦长公式，计算可得所求值【详解】解：由圆和圆相减可得，公共弦的方程为，又圆的圆心为，半径为，可得到直线的距离为，则，故答案为：【点睛】关键点点睛：两圆相交，相交弦所在直线的方程可有两圆方程相减而得到，处理圆的弦长选择垂径定理为好16已知，是椭圆的两个焦点，且椭圆上存在一点，使得，若点，分别是圆D：和椭圆C上的动点，则当椭圆的离心率取得最小值时，的最大值是_【答案】【分析】根

8、据题中条件，得到的最大值不小于即可，由余弦定理，结合基本不等式，得到点为短轴的顶点时，最大；不妨设点为短轴的上顶点，记，得出离心率的最小值，连接，得到，根据椭圆的定义，结合三角形的性质，求出的最大值，即可得出结果.【详解】若想满足椭圆上存在一点，使得，只需的最大值不小于即可，由余弦定理，可得，当且仅当 ，即点为短轴的顶点时，的余弦值最小，即最大；如图，不妨设点为短轴的上顶点，记，则 ，于是离心率，因此当椭圆的离心率取得最小值时，则椭圆 ；连接，根据圆的性质可得:，所以只需研究的最大值即可；连接，当且仅当，三点共线（点在线段的延长线上）时，不等式取得等号，所以的最大值为 ，因此的最大值是.故答案

9、为：.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据题中条件，得到椭圆离心率，求出椭圆方程，再由椭圆的定义，以及圆的性质，将动点到两点距离的最值问题，转化为椭圆上一动点到焦点，以及到定点的距离的最值问题，即可求解.三、解答题17已知圆：.（1）过点的直线与圆相切，求直线的方程；（2）过圆上一点作两条相异直线分别与圆相交于，两点，且直线和直线的倾斜角互补.求证：直线的斜率为定值.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）由于点在圆上，只要直线与直线垂直，利用垂直关系得出斜率，即可得出直线的方程；（2）由直线和直线的倾斜角互补，得出直线和的斜率相反数，分别设出直线，的方程，并与圆的方程联立，求出

10、的坐标，再由斜率公式证明直线的斜率为定值.【详解】解：（1）由题意可知，点在圆上，则点是圆的切点.又圆的方程可化为，.所以圆的圆心为，半径.所以.由可求得，.此时，所求直线的方程为，即.故所求直线的方程为.（2）由题意知，直线和的斜率存在，且互为相反数.可设直线的方程为由消元，得.由点在圆上可知，点的横坐标是上述方程的一个解.所以，即.可设直线的方程为，同理可得，.所以.故直线的斜率为定值.18已知直线：.（1）求经过点且与直线平行的直线方程；（2）求与直线垂直，且与两坐标轴围成的三角形面积为3的直线方程.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）由题意设所求直线的方程为，然后把点代入方程中求出

11、的值即可；（2）由题意设所求直线的方程为，然后分别求出直线在两坐标轴上的截距，再由直线与两坐标轴围成的三角形面积为3，列方程可求出的值【详解】解：（1）由题意，可设所求直线的方程为.把点代入，得，即.故所求直线的方程为.（2）由题意，可设所求直线的方程为.令，则；令，则.由題意知，.解得.故所直线的方程为或.19已知一束光线经过直线和的交点M，且射到x轴上一点后被x轴反射.（1）求点M关于x轴的对称点P的坐标；（2）求反射光线所在的直线的方程.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）联立直线方程，求得交点，再由点关于x轴对称后点的坐标特点可得答案.（2）由已知得经过点P与点N，根据直线的两点式可

12、求得直线的方程.【详解】解：（1）由，得，.点M关于x轴的对称点P的坐标为.（2）由已知得经过点P与点N，的方程为，即.20已知直线：，求直线的方程，使得：（1）与平行，且过点；（2）与垂直，且与两坐标轴围成的三角形面积为3.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）利用两直线平行，设：，再代入点的坐标即可.（2）利用两直线垂直，设：，再再求与坐标轴的交点即可.【详解】解：（1）设：，过点，解得.所以的方程为：.（2）设：，设与轴交于点，与轴交于点，.所以的方程为：或.【点睛】此题考查直线的平行与垂直，注意巧设可以减少计算量.21已知直线：和圆：.（1）求圆的圆心、半径（2）求证：无论为何值，直

13、线总与圆有交点；（3）为何值时，直线被圆截得的弦最短？求出此时的弦长.【答案】（1）圆心，半径（2）证明见解析（3）时，直线被圆截得的弦最短，弦长为【分析】（1）利用可求得结果；（2）利用直线经过的定点在圆内可证结论成立；（3）设圆心到直线的距离为，直线被圆截得的弦为，根据弦长公式可知最大即时，弦长最短，由此可求得结果.【详解】（1）因为所以，所以，所以半径.（2）由得，由得，所以直线经过定点，因为，所以定点在圆内，所以无论为何值，直线总与圆有交点.（3）设圆心到直线的距离为，直线被圆截得的弦为，则，则当最大值时，弦长最小，因为，当且仅当时，取最大值，取最小值，此时，所以.所以时，直线被圆截得

14、的弦最短，弦长为.【点睛】关键点点睛：第（2）问的关键是证明直线经过的定点在圆内，第（3）问的关键是推出时，弦长最短.22已知圆关于直线对称的图形为圆.（）求圆的方程；（）若过点的直线与圆交于，两点，当时，求直线的斜率.【答案】（）；（）.【分析】（）由圆与圆关于直线对称有直线与直线垂直，且、的中点在，即可求得坐标，进而写出圆的方程；（）由弦长，结合已知有直线为，利用点线距离公式、勾股定理即可求直线的斜率.【详解】（）整理圆C的方程：，即圆心为，直线：，令，则在上，代入可得：，即，又圆与圆关于直线对称，即圆的方程为；（）当直线为时，不合题意；可设直线为，而圆心到直线的距离为，由题意，有，解得.