专题10 立体几何与空间向量（解析版）-2021年高考冲刺之二轮专题精讲精析.doc

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1、专题10立体几何与空间向量一、单选题1如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）ABCD【答案】A【分析】由三视图知原几何体是圆台，上底面半径为，下底面半径为，高为，利用表面积公式即可求解.【详解】由三视图可得，该几何体为圆台，上底面半径为，下底面半径为，高为，可求其母线长为，由圆台表面积公式可得，故选：A2在我国古代数学名著九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在鳖臑中，平面，且，为的中点，则异面直线与所成的角为（ ）A30B45C60D90【答案】D【分析】由题可证明平面，即可得出，从而得出所成角.【详解】平面，平面，平面，平面，异面直线与所成的角为.故答案为：.

2、3已知直角三角形的两直角边分别为1，若绕三角形的斜边旋转一周形成的几何体，则该几何体的体积为（ ）ABCD【答案】C【分析】可知绕三角形的斜边旋转一周形成的几何体为两个圆锥形成的组合体，求出即可.【详解】如图，直角三角形中，则，绕三角形的斜边旋转一周形成的几何体为两个圆锥形成的组合体，设圆锥底面圆心为，则，则该几何体的体积为.故选：C.4正方体中，P是线段(不含端点)上的点，记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则（ ）ABCD【答案】A【分析】取点为的中点，其在面上的投影为点，分别取的中点，可推出，再计算三个角的正切值，即可得解【详解】解：不妨取点为的中点，其在面上的投

3、影为点，如图所示，分别取的中点，连接，则，因为，所以，所以，因为平面，所以，所以，因为，所以，所以故选：A【点睛】关键点点睛：此题考查空间中角的大小比较，理解线线角、线面角、二面角的定义是解题的关键，考查空间想象能力，属于中档题5如图所示，是二面角棱上的一点，分别在平面内引射线，如果，设二面角的大小为，则（ ）A1BCD【答案】D【分析】过上一点分别在内作的垂线，交于点和点，则即为二面角的平面角，设，则，由此利用余弦定理可求出【详解】解：过上一点分别在内作的垂线，交于点和点，则即为二面角的平面角，设， 因为，所以，所以，故选：D【点睛】关键点点睛：此题考查二面角的平面角的求法，解题的关键是利用

4、二面角的平面角的定义在图中作出二面角的平面角，考查空间想象能力的计算能力，属于中档题6已知，若，则的值为（ ）ABC6D8【答案】D【分析】由，可得，则有，从而可求出的值，【详解】解：因为，所以，因为，所以，解得，故选：D7把一个半径为20的半圆卷成圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（ ）A10BCD【答案】B【分析】根据半圆的弧长是圆锥底面圆的周长，计算底面圆的半径，求出圆锥的高.【详解】半径为20的半圆卷成圆锥的侧面，则圆锥的底面圆周长为，所以底面圆的半径为r=10，所以圆锥的高为.故选：B8已知，、分别是平面，的法向量，则平面，的位置关系是（ ）A平行B垂直C所成的二面角为锐角D所成的二面角为

5、钝角【答案】B【分析】直接利用、的数量积运算判断.【详解】因为，且分别是平面，的法向量，而，所以，的位置关系是垂直，故选：B9下列命题正确的是（ ）A空间任意三点确定一个平面B两条垂直直线确定一个平面C一条直线和一点确定一个平面D两条平行线确定一个平面【答案】D【分析】根据平面的概念和性质依次判断各个选项即可得到结果.【详解】对于，若三点共线，则此三点无法确定一个平面，错误；对于，两条直线垂直，有可能两条直线为异面直线，此时无法确定一个平面，错误；对于，若点在直线上，则这条直线和这个点无法确定一个平面，错误；对于，两条平行直线可确定唯一的一个平面，正确.故选：.10已知，是两条不同的直线，是两

6、个不同的平面，则下列结论一定正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】D【分析】根据直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系逐一进行判断即可.【详解】A选项中，若，有可能，故A错误；B选项中，若，则可能与平行，故B错误；C选项中，若，则，故C错误；D选项中，若，则，而，故，故D正确；故选：D11如图，棱长为4的正四面体，分别是，上的动点，且，则中点的轨迹长度为（ ）ABCD【答案】D【分析】把正四面体放在正方体中，建立空间直角坐标系，利用空间两点间距离公式、中点坐标公式以及圆的标准方程进行求解即可.【详解】把正四面体放在正方体中，并建立如图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长

7、为，因为正四面体的棱长为4，所以有，因此相应点的坐标为：，因为是上的动点，所以设点的坐标为：，设，因此有，因此，设中点为，因此有：，因为，所以，化简得：，把代入中得：，显然 中点的轨迹是圆，半径为，圆的周长为：.故选：D【点睛】关键点睛：利用正方体这个模型，结合解析法是解题的关键.12已知四面体ABCD的四个面都为直角三角形，平面BCD，若该四面体的四个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（ ）ABCD【答案】C【分析】根据题意将四面体ABCD还原为正方体，求出该正方体的外接球的表面积，即为四面体的外接球的表面积.【详解】如图所示，可将四面体ABCD还原为正方体，则四面体的外接球即为正方体的

8、外接球因此球O的半径，表面积故选：C.二、填空题13已知一个棱长为6cm的正方体塑料盒子（无上盖），上口放着一个半径为5cm的钢球，则球心到盒底的距离为_cm【答案】10【分析】球心到底面的距离，实际上是求两个简单的组合体的上顶点到下底面的距离，可以看做下面是一个正方体上面是一个四棱锥，四棱锥的斜高是5，用勾股定理做出四棱锥的高，求和得到结果【详解】由题意知求球心到底面的距离，实际上是求两个简单的组合体的上顶点到下底面的距离，可以看做下面是一个正方体，正方体的棱长是6cm，上面是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个边长为6的正方形，斜高是5，则四棱锥的高是，所以球心到盒底的距离为64=10cm.故答

9、案为：10【点睛】关键点点睛：本题考查简单组合体的结构特征，考查四棱锥的高与斜高之间的关系，本题解题的关键是看清球心到底面的距离是四棱锥顶点到底面的距离.14如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，底面为正方形，侧面底面，为底面内的一个动点，且满足，则点在正方形内的轨迹为_（填序号）【答案】【分析】先找符合条件的特殊位置，然后根据符合条件的轨迹为线段的垂直平分面与平面的交线得到结论.【详解】符合条件的轨迹为线段的垂直平分面与平面的交线，不正确根据题意可知，则点符合“为底面内的一个动点，且满足”，设的中点为，连接、，取的中点，连接，所以，因为平面底面，所以平面，所以，因为，所以，点也符合“为底面内的一

10、个动点，且满足”，且，所以平面，当点在线段DN上运动时，都有，且是中点，总有，所以点在正方形内的轨迹是线段,所以正确不正确.故答案为：.【点睛】方法点睛：处理空间中的轨迹问题有几何法：通过证明或几何作图，确定图形中轨迹位置，再计算它的值；代数方法：分析给定图形中的数量关系，要把题中的条件想办法转化到平面上来，把平面内的问题尽可能地解析化，用数量关系来研究几何关系，得到轨迹方程.15已知正四棱锥的所有棱长都相等，是的中点，则，所成角的正弦值为_【答案】【分析】连接交于点，根据平行关系可知所求角为，由长度关系可确定，进而求得结果.【详解】连接交于点，连接，四棱锥为正四棱锥，四边形为正方形，为中点，

11、又为中点，与所成角即为与所成角，即.设，即与所成角的正弦值为.故答案为：.【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角16已知下列命题：若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内.：若三条直线，互相平行且分别交直线于，三点，则这四条直线共面.：若直线与平

12、面相交，则与平面内的任意直线都是异面直线.：如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交.则下述命题中所有真命题的序号是_ 【答案】【分析】根据空间基本图形的公理、异面直线的概念及空间中点、线、面的位置关系判断所给四个命题的真假，然后判断与逻辑连接词有关的复合命题的真假.【详解】对于，利用公理1可知，当一条线上有两个点在一个平面内时，则这条线在这个平面内，故正确；对于，由公理2可知，通过一组相交线或一组平行线有且仅有一个平面，所以为真命题；对于，假设直线与平面相交于点，则直线与平面内不过点的直线为异面直线，故为假命题；对于，当两条异面直线中的一条与一个平面平行时，另一条

13、直线与这个平面有可能平行也有可能相交，故为假命题；所以为假，为真，为假，为真故答案为： .三、解答题17如图甲，已知直角梯形ABCD，AB/CD，AB2CD2BC4，E为AB的中点，将三角形ADE沿DE折起，使点A到达点F（如图乙），且.（1）证明：DE平面FEB；（2）求平面FDE与平面FBC所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）先证明，再利用线面垂直的判定定理可得答案；（2）过点E作交BF于点G，分别以ED，EB，EG为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面FDE与平面FBC的法向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.【详解】（1）由于，所以，所以，在平

14、面FEB内，所以平面FEB.（2）如图，过点E作交BF于点G，BE与DE在平面BCDE内，所以平面BCDE.分别以ED，EB，EG为x，y，z轴建立空间直角坐标系，.设平面FED的法向量为，令，得.设平面FBC的法向量为，令，得，平面FDE与平面FBC所成的锐二面角为，则. 【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.18如图甲，设长方形的边，点、分别满足，

15、如图乙，将直角梯形沿直线折到的位置.（1）证明：平面；（2）当二面角为直二面角时，求多面体的体积；（3）若中点的，当在底面上的射影恰好落在上，且时，求二面角所成角的余弦值.（如图丙）【答案】（1）证明见解析；（2）2；（3）.【分析】（1）由题可知，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；（2）在图甲中，连交于，由，可得为、中点由勾股定理可得，即，图乙中有，再由平面平面，可得平面，平面，从而可求出多面体的体积；（3）由题意可得二面角的平面角与的平面角互补，结合前面的证明可知为二面角的平面角，则在中求解即可，或建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量求解即可【详解】解：（1）证明：在图甲中，易知，

16、从而在图乙中有，因为平面，平面，所以平面（2）在图甲中，连交于，由，可得为、中点由勾股定理可得，即，图乙中有，平面平面，平面，平面，且在图甲中，（3）方法一、由（1）平面，同理平面，又平面平面，二面角的平面角与的平面角互补平面，又且平面，为二面角的平面角，记为.在图甲中，中，所求角的余弦值为方法二、如图建立空间直角坐标系.，可得记平面的一个法向量为记，又平面的一个法向量为所求角的余弦值为【点睛】关键点点睛：此题考查线面平行的判定，考查二面角的求法，解题的关键是将翻折前后的图形进行比较，弄清哪些长度和角度变了，哪些没变，哪些点、线共面，哪些不共面，翻折后的线与原来的线有什么联系，要注意找出互相平

17、行或垂直的直线，考查空间想象能力，属于中档题19如图，在四棱锥中，底面为菱形，侧面是边长为2的正三角形，为的中点，且平面（1）证明：平面平面；（2）求三棱锥的高.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）由线面垂直得到面面垂直，先证平面，由平面，即可得到平面平面；（2）运用等体积法，由，即可求得三棱锥的高.【详解】证明：（1）连接、，平面，平面，底面是菱形且，是等边三角形，又点是的中点，又，平面，又平面，平面平面；（2）由（1）得且，是等腰直角三角形，又，在中，边上的高为，设点到平面的距离为，由，即，即三棱锥的高为【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的判

18、定定理.20如图，正方体中，、分别为、的中点选用合适的方法证明以下问题：（1）证明：平面平面；（2）证明：面【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】如图建立空间直角坐标系，利用空间向量证明即可（1）求出两个平面的法向量，若两法向量共线，则可得证；（2）求出向量，若此向量与平面的法向量共线，则可得证【详解】（1）建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2，则，设平面的法向量为，取，同理平面的法向量为，平面平面；（2）、分别为、的中点，面21已知长方体中，E，F分别是，的中点.（1）求证：直线平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）取的中点

19、P，连接，根据中位线定理结合线面平行的判定定理证明即可；（2）直线与平面所成角就是直线与平面所成角，再由平面，结合直角三角形的边角关系得出答案.【详解】解：（1）取的中点P，连接，由条件E，F分别是，的中点可知，且故为平行四边形，所以平面，且平面平面（2）平面平面直线与平面所成角就是直线与平面所成角.平面在平面内的射影为因此就是直线与平面所成角.在中，则直线与平面所成角的正弦值为22在四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，为线段的中点，过的平面与线段，分别交于点，（1）求证：平面；（2）若，点为的中点，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）利用线面平行的判定

20、定理与性质定理证得，再利用线面垂直的判定定理证得平面，从而得到平面. （2）建立空间直角坐标系，根据向量法求线面角的正弦值【详解】证明：（1）因为，且为线段的中点，所以，又因为，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面所以平面，又平面平面，所以，又，且平面平面，平面平面，所以平面，所以平面，（2）因为，为线段的中点，所以，又因为平面平面，所以平面，以为坐标原点，的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系；则，则，所以， 设平面的法向量为，则，即不妨令，可得为平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，于是有；所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】关键点点睛：（1）考查了线面平行的判定与性质定理，考查了线面垂直的判定定理；（2）考查了用空间向量方法求线面角，考查数形结合，将几何问题转化为代数问题求解，考查学生的运算能力与空间想象能力，属于中档题.