矩阵与矩阵的标准形.ppt

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1、矩阵与矩阵的标准形现在学习的是第1页，共111页为多项式矩阵或为多项式矩阵或 矩阵。矩阵。定义定义 如果 矩阵 中有一个 阶 子式不为零，而所有 阶子式(如果有的话)全为零，则称 的秩为 ，记为零矩阵的秩为0。定义定义 一个 阶 矩阵称为可逆的，如果有一个 阶 矩阵 ，满足这里 是 阶单位矩阵。称为 矩阵的逆矩阵，记为 。()Ar(1)r 1r()Arrank()Arnn()B()()()()ABBAEEn()B()A1()A现在学习的是第2页，共111页定理定理 一个 阶 矩阵 可逆的充要必要是 一个非零的常数。定义 下列各种类型的变换，叫做 矩阵的初等变换：矩阵的任二行(列)互换位置；非零

2、常数 乘矩阵的某一行(列)；矩阵的某一行(列)的 倍加到另一行(列)上去，其中 是 的一个多项式。对单位矩阵施行上述三种类型的初等变换便得相应得三种 矩阵得初等矩阵 n()Adet()Ac()(,),(),(,()P i j P i cP i j()现在学习的是第3页，共111页定理定理 对一个 的 矩阵 的行作初等行变换，相当于用相应的 阶初等矩阵左乘 。对 的列作初等列变换，相当于用相应的 阶初等矩阵右乘 。定义定义 如果 经过有限次的初等变换之后变成 ，则称 与 等价，记之为mn()Am()A()A()An()A()A()B()()AB()B定理定理 与 等价的充要条件是存在两个可逆矩阵

3、 与 ，使得()A()B()P()Q()()()()BPAQ现在学习的是第4页，共111页 矩阵矩阵Smith标准形的存在性标准形的存在性 定定 理理 任意一个非零的 型的 矩阵都等价于一个对角形矩阵对角形矩阵，即mn12()()()()00rddAd 现在学习的是第5页，共111页其中 是首项系数为1的多项式且称这种形式的 矩阵为 的Smith标准形。称为 的不变因子。1,()ird1()()(1,2,1)iiddir()A12(),(),()rddd()A例 122221()1A将其化成Smith标准形。现在学习的是第6页，共111页2222222223232432432110()1110

4、1000000A解：现在学习的是第7页，共111页32322432100100000001000000(1)现在学习的是第8页，共111页例 22(1)()(1)A 将其化成Smith标准形。2(1)()(1)A 解：现在学习的是第9页，共111页2(1)(1)(1)(2)1 现在学习的是第10页，共111页32222(1)2021(1)(1)11(1)(1)现在学习的是第11页，共111页例 3将其化为Smith标准形。222223232123()4353234421A22222421()32321234353234A解：现在学习的是第12页，共111页2222222242143733344

5、3532344214373334210现在学习的是第13页，共111页22222221042143733341202413343734现在学习的是第14页，共111页2222221200104313410001043134现在学习的是第15页，共111页2222321000103443110001001现在学习的是第16页，共111页32210001000110001000(1)(1)现在学习的是第17页，共111页将其化为Smith标准形。例 411()1aaAaa100010()001000aaAaa解：现在学习的是第18页，共111页221000()1000100010000()1000

6、1000aaaaaaa现在学习的是第19页，共111页223100001()0001000100001()000()1000aaaaaa现在学习的是第20页，共111页331000010000()100010000100001()000aaaa现在学习的是第21页，共111页4100001000010000()a矩阵标准形的唯一性定定 义义：为一个为一个 矩阵且矩阵且 对于对于任意的正整数任意的正整数 ，必有非零的必有非零的 阶子式，阶子式，的全部的全部 阶子式的最大公因式阶子式的最大公因式 称为称为 的的 阶阶行列式因子行列式因子。()A()rank Ark1kr()Ak()Ak()kD()

7、Ak现在学习的是第22页，共111页显然，如果 ，则行列式因子一共有 个。例 1 求的各阶行列式因子。解：()rank Arr22221()1A现在学习的是第23页，共111页由于 ，所以 。显然 而且其余的7各2 阶子式也都包含 作为公因子，所以另外(1,)1 1()1D2222321(1)()1(1)()1fg(),()fg32323()()AD 2()D现在学习的是第24页，共111页注意：观察 三者之间的关系。定理：等价（相抵）矩阵有相同的各阶行列式因子从而有相同的秩。设 矩阵 的Smith标准形为123(),(),()DDD()A现在学习的是第25页，共111页12()()()()0

8、0rddAd容易计算上面的标准形的各阶行列式因子为现在学习的是第26页，共111页1121212()()()()()()()()()rrDdDddDddd显然有：112211()()()()()()()()rrrdDDdDDdD现在学习的是第27页，共111页由于 与上面的Smith标准形具有相同的各阶行列式因子，所以 的各阶行列式因子为而又是由这些行列式因子唯一确定的，于是我们得到定 理：的Smith标准形是唯一的。例 1 求下列 矩阵的Smith标准形。()A()A12(),(),()rDDD12(),(),()rddd()A现在学习的是第28页，共111页2222121000000(1)

9、0(1)00000(2)nacacaca现在学习的是第29页，共111页00120120(3)12002000解：（1）容易计算出12224434()1,()(1)()(1),()(1)DDDD 122234()1,()(1),()(1),()(1)dddd 现在学习的是第30页，共111页221(1)()(1)(1)A （2）首先观察此矩阵的元素排列规律，显然下面看 阶行列式因子。有一个阶子式要注意，即()()nnDa1n 1n 现在学习的是第31页，共111页121 211nncacc ccac容易计算出 从而 121121()()()1()1,()1,()1,()()nnnnDDDddd

10、da1()1nD现在学习的是第32页，共111页111()na现在学习的是第33页，共111页(3)4111(2)定理定理 矩阵 与 等价的充要条件是对于任何的 ，它们的 阶行列式因子相同。定理定理 矩阵 与 等价的充要条件是 与 有相同的不变因子。()A()Bkk()A()B()B()A现在学习的是第34页，共111页与一般的数字矩阵一样，我们有下面的推论：推论 矩阵 可逆的充要条件为 与单位矩阵等价。推论 矩阵 可逆的充要条件为 可以表示成一系列初等矩阵的乘积。()A()A()A()A现在学习的是第35页，共111页初等因子和矩阵的相似初等因子和矩阵的相似设 矩阵 的不变因子为在复数域内将

11、它们分解成一次因式的幂的乘积：()A12(),(),()rddd 11112221221211221212()()()()()()()()()ssrsrreeeseeeseeersddd现在学习的是第36页，共111页其中 是互异的复数，是非负整数。因为 ，所以满足如下关系1,sije1|()(1,1)iiddir112111222212000rrssrseeeeeeeee定义 在上式中，所以指数大于零的因子称为 矩阵 的初等因子()A(),0,1,1,ijejijeir js现在学习的是第37页，共111页例 如果 矩阵 的不变因子为()A 1222323341(1)(1)(1)(1)(1)

12、(2)dddd 则 的初等因子为()A2,1,2323(1),(1),(1),(1),(2)现在学习的是第38页，共111页例 如果 矩阵 的秩为4，其初等因子为()A5 62233,1,(1),(1),()i 3()i求 的Smith标准形。()A解：首先求出 的不变因子()A 233342321(1)()()(1)(1)1diiddd 现在学习的是第39页，共111页从而 的Smith标准形为定理 阶 矩阵 与 等价的充要条件是它们有相同的秩且有相同的初等因子。()A223231000000(1)0000()00(1)000000(1)(1)00000000A n()A()B现在学习的是第

13、40页，共111页定理 设 矩阵为准对角形矩阵，则 与 的初等因子的全体是 的全部初等因子。此定理也可推广成如下形式：()()()BAC()B()C()A现在学习的是第41页，共111页定理 若 矩阵则 各个初等因子的全体就是 的全部初等因子。12()()()()tAAAA12(),(),()tAAA()A现在学习的是第42页，共111页例 1 求 矩阵的初等因子，不变因子与标准形。解：记22000000()00(1)10022A21223(),(),(1)1()22AAA现在学习的是第43页，共111页那么对于 ，其初等因子为 由上面的定理可知 的初等因子为因为 的秩为4，故 的不变因子为1

14、23()00()0()000()AAAA3()A,1,1()A,1,1,1 ()A()A现在学习的是第44页，共111页 4321(1)(1),(1),1dddd 因此 的Smith标准形为()A1000000()00(1)0000(1)(1)A 现在学习的是第45页，共111页例 2 判断下面两个 矩阵是否等价？22223141()1122A22122()2232211B现在学习的是第46页，共111页例 3 求下面 矩阵不变因子1000100015432现在学习的是第47页，共111页例 4 求下列 矩阵的行列式 因子与不变因子121001000001nnaaaa现在学习的是第48页，共1

15、11页数字矩阵的相似与 矩阵的等价定理：设 是两个 阶的数字矩阵，那么 与 相似的充分必要条件为它们的特征矩阵 与等价。定义：对于数字矩阵 ，我们称 的不变因子为 的不变因子，称 的初等因子为 的初等因子。,A BnABIAIBAIAAIAA现在学习的是第49页，共111页 对于任何一个数字矩阵 所以 ，于是可得下面两个定理定理：两个同阶的方阵 相似的充分必要条件是它们有相同的初等因子。定理：两个同阶的方阵 相似的充分必要条件是它们有相同的行列式因子（或不变因子）。例 设 ，证明：,A B,A B,AIAn()rankIAn0现在学习的是第50页，共111页（1）阶矩阵与11aaAanaaBa

16、现在学习的是第51页，共111页相似；（2）阶矩阵与n11aaAa现在学习的是第52页，共111页不相似。矩阵的Jordan标准形定义：称 阶矩阵11aaBan现在学习的是第53页，共111页为Jordan块。设 为Jordan块，称准对角形矩阵111iiiiiinnaaJa 12,sJ JJ现在学习的是第54页，共111页为Jordan标准形矩阵。由前面的例题和定理可知Jordan块的初等因子为，从而Jordan标准形矩阵的初等因子为12sJJJJ()inia1212(),(),()snnnsaaa现在学习的是第55页，共111页于是可以得到下面的定理定理：设 的初等因子为则，这里,n nA

17、CA1212(),(),()snnnsaaaAJ12sJJJJ现在学习的是第56页，共111页其中 我们称 是矩阵 的Jordan标准形。特别地，我们有定理：可以对角化的充分必要条件是111iiiiiinnaaJa ,(1,2,)isJAAA现在学习的是第57页，共111页的初等因子都是一次因式。例 1 求矩阵的Jordan标准形。解：先求出 的初等因子。对 运用初等变换可以得到110430102A AIA现在学习的是第58页，共111页所以 的初等因子为211043010211(1)(2)IA2(1),2A现在学习的是第59页，共111页故 的标准形为或A110010002J20001100

18、1J现在学习的是第60页，共111页例 2 求矩阵的Jordan标准形。解：先求出 的初等因子。对 运用初等变换可以得到112336224AAIA现在学习的是第61页，共111页1123362241(2)IA 所以 的初等因子为A,2 现在学习的是第62页，共111页故 的Jordan标准形为或000000002J000020000JA现在学习的是第63页，共111页求Jordan标准形的另一种方法：特征矩阵秩的方法.具体操作步骤：（1）先求出该矩阵的特征多项式及其特征值（2）其Jordan标准形的主对角线上都是 的特征值，并且特征值 在主对角线上出现的次数等于 作为特征根的重数。对于每个特征

19、值 ，求出以它为主对角元的各级Jordan 块的数目 ，首先求出 那么以 为主对角元的 Jordan 块的总数是Aiii()iN()irank AIi现在学习的是第64页，共111页这里 为该矩阵的阶数，而以 为主对角元的 级 Jordan 块的数目是依次先求出直至满足条件()()iiNnrank AInit11(;)()()2()tiittiiN trank AIrank AIrank AI(1;),(2;),(;)iiiNNN t现在学习的是第65页，共111页为止。（3）根据第二步求出的各级Jordan块的数目，就可以写出 的一个Jordan标准形。例 1 用矩阵秩的方法求出矩阵的Jor

20、dan标准形。()(1;)(2;)(;)iiiiNNNN tA2321822143A现在学习的是第66页，共111页解：先求出 的特征多项式及其特征值。对于特征值 ，它是 的1重根，从而 在 的 Jordan 标准形的主对角线上出现一次，因此 中主对角元为1 的Jordan块只有一个且它为一阶的。A2()232182(1)(3)2143fIA11()f1AJ现在学习的是第67页，共111页对于特征值 ，先求 所以 从而23(3)rank AI13213231520842146000AI(3)2rank AI2()2321Nn现在学习的是第68页，共111页特征值 是 的两重根，从而 在 的Jo

21、rdan标准形 的主对角线上出现两次，因此 中主对角元为 3的Jordan块只有一个且它为二阶的。故 的标准形为或2AJ()f23JA100031003J310030001J现在学习的是第69页，共111页例 2 用矩阵秩的方法求出矩阵的Jordan标准形。解：首先求出其特征值，显然其特征多项式为1234012300120001A4()(1)fIA现在学习的是第70页，共111页所以 为 的4重根，从而 在 的 Jordan 标准形 的主对角线上出现四次，下面计算 中主对角元为1 的Jordan块的数目，先计算 ，容易得到那么中主对角元为 的Jordan块数是由此立即可得其Jordan标准形为

22、()fAJJ()()431Nnrank AI1()rank AI()3rank AI1现在学习的是第71页，共111页1100011000110001A如何求相似变换矩阵？设 阶方阵 的Jordan标准形为 ,则存在可逆矩阵 使得nAJP1P APJ现在学习的是第72页，共111页，称 为相似变换矩阵。对于相似变换矩阵的一般理论我们不作过多的讨论，只通过具体的例题说明求 的方法。例 1 求方阵的Jordan标准形及其相似变换矩阵 。PP308316205AP现在学习的是第73页，共111页解：首先用初等变换法求其Jordan标准形：230831620510001000(1)IA现在学习的是第7

23、4页，共111页故 的初等因子为从而 的Jordan标准形为 再求相似变换矩阵：设所求矩阵为 ，则 ，对于 按列分块记为21,(1)AA100011001JP1P APJP123,PXXX现在学习的是第75页，共111页于是有从而可得1231231231223,100,011001,APA XXXAXAXAXPJXXXXXXX 1122323,AXXAXXAXXX 现在学习的是第76页，共111页整理以后可得三个线性方程组前面的两个方程为同解方程组，可以求出它们的一个基础解系：可以取 ，但是不能简单地取，这是因为如果 选取不当会使得第三个非齐次线性方程组无解。由于1232()0()0()IA

24、XIA XIA XX120,1,0,2,0,1TT 11X22X2X12,现在学习的是第77页，共111页的任意线性组合都是前两个方程组的解，所以应该取 使得第三个非齐次方程有解，即其系数矩阵与增广矩阵有相同地秩，容易计算出其系数矩阵的秩为1，从而应该使得增广矩阵 的秩也为1。即21122Xkk2,IAX现在学习的是第78页，共111页22124082,306204kIAXkk容易看出只需令 就会使得上述矩阵的秩为1，于是再由第三个方程解出一个特解为123,2kk 212324,3,2TX31,0,0TX 现在学习的是第79页，共111页，那么所求相似变换矩阵为例 2 求方阵的Jordan标准

25、形及其相似变换矩阵 。123041,130020PXXX126103114A 现在学习的是第80页，共111页解：首先用初等变换法求其Jordan标准形：21261311410001000(1)IA现在学习的是第81页，共111页故 的初等因子为从而 的Jordan标准形为 再求相似变换矩阵：设所求矩阵为 ，则 ，对于 按列分块记为A21,(1)A100011001J123,PXXXP1P APJ现在学习的是第82页，共111页于是有从而可得1231231231223,100,011001,APA XXXAXAXAXPJXXXXXXX1122323,AXXAXXAXXX现在学习的是第83页，共

26、111页整理以后可得三个线性方程组前面的两个方程为同解方程组，可以求出它们的一个基础解系：可以取 ，但是不能简单地取，这是因为如果 选取不当会使得第三个非齐次线性方程组无解。由于1232()0()0()IA XIA XIA XX 121,1,0,3,0,1TT 11X22X2X12,现在学习的是第84页，共111页的任意线性组合都是前两个方程组的解，所以应该取 使得第三个非齐次方程有解，即其系数矩阵与增广矩阵有相同地秩，容易计算出其系数矩阵的秩为1，从而应该使得增广矩阵的秩也为1。即21122Xkk2,IAX现在学习的是第85页，共111页122122263,113113kkIAXkk容易看只

27、要 就会使得上述增广矩阵的秩为1。令 ，于是再由第三个方程解出一个特解为12kk121kk2122,1,1TX32,0,1TX 现在学习的是第86页，共111页，那么所求相似变换矩阵为从而有123122,110011PXXX1100011001P AP现在学习的是第87页，共111页一般地，设 ，则存在 阶可逆矩阵 使得其中 为Jordan块，记这里n nACnP121tJJP APJiJ12,tPP PPin niPC现在学习的是第88页，共111页那么有记 ，又可得121122,1,2,tttiiiAP APAPPJ P JPJAPPJit12,iiiiinPXXX112121iiiiii

28、iiiiininiinAXXAXXXAXXX现在学习的是第89页，共111页注意：是矩阵 的对应于特征值 的特征向量，特征向量 的选取应该保证特征向量 可以求出，同样特征向量 的选取应该保证特征向量 可以求出，依此类推，并且使得线性无关。Jordan标准形的某些应用例 1 对于方阵1 iXAi1 iX2iX2iX3iX12,iiiinXXX现在学习的是第90页，共111页126103114A 求 。解：首先用初等变换法求其Jordan标准形：10A现在学习的是第91页，共111页21261311410001000(1)IA故 的初等因子为A21,(1)现在学习的是第92页，共111页从而 的J

29、ordan标准形为再求相似变换矩阵 且 ，那么 按照前面例题的方式，容易计算出 A100011001JP1P APJ10101APJ P现在学习的是第93页，共111页122110011P从而10101122100110011001100110219206011210930113101031APJ P 现在学习的是第94页，共111页例 2 求解常系数线性微分方程组解：令1132123313383825dxxxdtdxxxxdtdxxxdt 现在学习的是第95页，共111页112233308316,205dxdtxdXdxAXxdtdtxdxdt那么此方程组可表示成dXAXdt现在学习的是第9

30、6页，共111页由前面的例题可知存在使得041130020P1100011001P APJ现在学习的是第97页，共111页作线性替换从而可得整理即得方程123,TXPYYyyy1dYP APYJYdt现在学习的是第98页，共111页1122333dyydtdyyydtdyydt 首先得到两个很显然的解1133,ttyk eyk e现在学习的是第99页，共111页然后再解第三个方程其解为这样得到223tdyyk edt232()tyek tk11232212332041413030202xyyyxyyyxyy现在学习的是第100页，共111页即其中 为任意常数。例 3 设 为数域 上的 阶方阵且

31、满足 ，证明：与对角矩阵 13232321332(44)(33)(22)tttxk tkk exk tkk exk tk e 123,k k kAFn2AAA现在学习的是第101页，共111页1100J相似。证明：设 的Jordan标准形为A现在学习的是第102页，共111页121,1iiitiJJJJJ 即有可逆矩阵 使得由于 ，所以有Q1Q AQJ2AA212121()JQ AQQ A QQ AQJ现在学习的是第103页，共111页从而 即2,1,2,.iiJJit2222112112iiiiiiiii 现在学习的是第104页，共111页因此，只有当 为一阶矩阵时上面的矩阵等式才成立且 ，

32、所以有这说明 为一个对角矩阵且主对角线上的元素只能为1 或0，适当地调换主对角线上的元素次序可以得到方阵iJ2ii1,0iiJ现在学习的是第105页，共111页1100此矩阵仍然与 相似。例 4 设 为数域 上的 阶方阵且存在AAFn现在学习的是第106页，共111页正整数 使得 ，证明：与对角矩阵相似且主对角线上的元素均为 次单位根。证明：设 的Jordan标准形为nnAInAA121,1iiitiJJJJJ 现在学习的是第107页，共111页即有可逆矩阵 使得由于 ，所以有从而有Q1Q AQJnAI111()nnnJQ AQQ A QQ IQIninniikniJI现在学习的是第108页，共111页因此，只有当 为一阶矩阵时上面的矩阵等式才成立，这样有 ，这表明 为对角矩阵，所以 与对角矩阵相似。例 5 试写出Jordan标准形均为的两个矩阵。iJtnJA1212现在学习的是第109页，共111页解答：2212,1,2122abc 这里 为任意的非零数。,a b c现在学习的是第110页，共111页现在学习的是第111页，共111页