矩阵与矩阵的Jordan标准形.ppt

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1、第一章第一章 第一节第一节 函数函数矩阵与矩阵的Jordan标准形 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望为多项式矩阵或为多项式矩阵或 矩阵。矩阵。定义定义 如果 矩阵 中有一个 阶 子式不为零，而所有 阶子式(如果有的话)全为零，则称 的秩为 ，记为零矩阵的秩为0。定义定义 一个 阶 矩阵称为可逆的，如果有一个 阶 矩阵 ，满足这里 是 阶单位矩阵。称为 矩阵的逆矩阵，记为 。北京理工大学高数教研室定理定理 一个 阶 矩阵 可逆的充要必要是 一个非零的常

2、数。定义 下列各种类型的变换，叫做 矩阵的初等变换：(1)矩阵的任二行(列)互换位置；(2)非零常数 乘矩阵的某一行(列)；(3)矩阵的某一行(列)的 倍加到另一行(列)上去，其中 是 的一个多项式。对单位矩阵施行上述三种类型的初等变换便得相应得三种 矩阵得初等矩阵 北京理工大学高数教研室定理定理 对一个 的 矩阵 的行作初等行变换，相当于用相应的 阶初等矩阵左乘 。对 的列作初等列变换，相当于用相应的 阶初等矩阵右乘 。定义定义 如果 经过有限次的初等变换之后变成 ，则称 与 等价，记之为定理定理 与 等价的充要条件是存在两个可逆矩阵 与 ，使得北京理工大学高数教研室 矩阵矩阵Smith标准

3、形的存在性标准形的存在性 定定 理理 任意一个非零的 型的 矩阵都等价于一个对角矩阵对角矩阵，即 北京理工大学高数教研室其中 是首项系数为1的多项式且称这种形式的 矩阵为 的Smith标准形。称为 的不变因子。例 1将其化成Smith标准形。北京理工大学高数教研室解：北京理工大学高数教研室北京理工大学高数教研室例 2将其化成Smith标准形。解：北京理工大学高数教研室北京理工大学高数教研室北京理工大学高数教研室例 3将其化为Smith标准形。解：北京理工大学高数教研室北京理工大学高数教研室北京理工大学高数教研室北京理工大学高数教研室北京理工大学高数教研室北京理工大学高数教研室将其化为Smith

4、标准形。例 4解：北京理工大学高数教研室北京理工大学高数教研室北京理工大学高数教研室北京理工大学高数教研室矩阵标准形的唯一性定定 义义：为一个为一个 矩阵且矩阵且 对对于任意的正整数于任意的正整数 ，必有非零的必有非零的 阶子式，阶子式，的全部的全部 阶子式的最大公因式阶子式的最大公因式 称为称为 的的 阶阶行列式因子行列式因子。北京理工大学高数教研室显然，如果 ，则行列式因子一共有 个。例 1 求的各阶行列式因子。解：北京理工大学高数教研室由于 ，所以 。显然 而且其余的7各2 阶子式也都包含 作为公因子，所以另外北京理工大学高数教研室注意：观察 三者之间的关系。定理：等价（相抵）矩阵有相同

5、的各阶行列式因子从而有相同的秩。设 矩阵 的Smith标准形为北京理工大学高数教研室容易计算上面的标准形的各阶行列式因子为北京理工大学高数教研室显然有：北京理工大学高数教研室由于 与上面的Smith标准形具有相同的各阶行列式因子，所以 的各阶行列式因子为而又是由这些行列式因子唯一确定的，于是我们得到定 理：的Smith标准形是唯一的。例 1 求下列 矩阵的Smith标准形。北京理工大学高数教研室北京理工大学高数教研室解：（1）容易计算出北京理工大学高数教研室（2）首先观察此矩阵的元素排列规律，显然下面看 阶行列式因子。有一个阶子式要注意，即北京理工大学高数教研室容易计算出 从而 北京理工大学高

6、数教研室北京理工大学高数教研室(3)定理定理 矩阵 与 等价的充要条件是对于任何的 ，它们的 阶行列式因子相同。定理定理 矩阵 与 等价的充要条件是 与 有相同的不变因子。北京理工大学高数教研室与一般的数字矩阵一样，我们有下面的推论：推论 矩阵 可逆的充要条件为 与单位矩阵等价。推论 矩阵 可逆的充要条件为 可以表示成一系列初等矩阵的乘积。北京理工大学高数教研室初等因子和矩阵的相似初等因子和矩阵的相似设 矩阵 的不变因子为在复数域内将它们分解成一次因式的幂的乘积：北京理工大学高数教研室其中 是互异的复数，是非负整数。因为 ，所以满足如下关系定义 在上式中，所以指数大于零的因子称为 矩阵 的初等

7、因子北京理工大学高数教研室例 如果 矩阵 的不变因子为则 的初等因子为北京理工大学高数教研室例 如果 矩阵 的秩为4，其初等因子为求 的Smith标准形。解：首先求出 的不变因子北京理工大学高数教研室从而 的Smith标准形为定理 阶 矩阵 与 等价的充要条件是它们有相同的秩且有相同的初等因子。北京理工大学高数教研室定理 设 矩阵为准对角形矩阵，则 与 的初等因子的全体是 的全部初等因子。此定理也可推广成如下形式：北京理工大学高数教研室定理 若 矩阵则 各个初等因子的全体就是 的全部初等因子。北京理工大学高数教研室例 1 求 矩阵的初等因子，不变因子与标准形。解：记北京理工大学高数教研室那么对

8、于 ，其初等因子为 由上面的定理可知 的初等因子为因为 的秩为4，故 的不变因子为北京理工大学高数教研室因此 的Smith标准形为北京理工大学高数教研室例 2 判断下面两个 矩阵是否等价？北京理工大学高数教研室例 3 求下面 矩阵不变因子北京理工大学高数教研室例 4 求下列 矩阵的行列式 因子与不变因子北京理工大学高数教研室数字矩阵的相似与 矩阵的等价定理：设 是两个 阶的数字矩阵，那么 与 相似的充分必要条件为它们的特征矩阵 与等价。定义：对于数字矩阵 ，我们称 的不变因子为 的不变因子，称 的初等因子为 的初等因子。北京理工大学高数教研室 对于任何一个数字矩阵 所以 ，于是可得下面两个定理

9、定理：两个同阶的方阵 相似的充分必要条件是它们有相同的初等因子。定理：两个同阶的方阵 相似的充分必要条件是它们有相同的行列式因子（或不变因子）。例 设 ，证明：北京理工大学高数教研室（1）阶矩阵与北京理工大学高数教研室相似；（2）阶矩阵与北京理工大学高数教研室不相似。矩阵的Jordan标准形定义：称 阶矩阵北京理工大学高数教研室为Jordan块。设 为Jordan块，称准对角形矩阵北京理工大学高数教研室为Jordan标准形矩阵。由前面的例题和定理可知Jordan块的初等因子为，从而Jordan标准形矩阵的初等因子为北京理工大学高数教研室于是可以得到下面的定理定理：设 的初等因子为则，这里北京理

10、工大学高数教研室其中 我们称 是矩阵 的Jordan标准形。特别地，我们有定理：可以对角化的充分必要条件是北京理工大学高数教研室的初等因子都是一次因式。例 1 求矩阵的Jordan标准形。解：先求出 的初等因子。对 运用初等变换可以得到北京理工大学高数教研室所以 的初等因子为北京理工大学高数教研室故 的标准形为或北京理工大学高数教研室例 2 求矩阵的Jordan标准形。解：先求出 的初等因子。对 运用初等变换可以得到北京理工大学高数教研室所以 的初等因子为北京理工大学高数教研室故 的Jordan标准形为或北京理工大学高数教研室求Jordan标准形的另一种方法：特征矩阵秩的方法.具体操作步骤：（

11、1）先求出该矩阵的特征多项式及其特征值（2）其Jordan标准形的主对角线上都是 的特征值，并且特征值 在主对角线上出现的次数等于 作为特征根的重数。对于每个特征值 ，求出以它为主对角元的各级Jordan 块的数目 ，首先求出 那么以 为主对角元的 Jordan 块的总数是北京理工大学高数教研室这里 为该矩阵的阶数，而以 为主对角元的 级 Jordan 块的数目是依次先求出直至满足条件北京理工大学高数教研室为止。（3）根据第二步求出的各级Jordan块的数目，就可以写出 的一个Jordan标准形。例 1 用矩阵秩的方法求出矩阵的Jordan标准形。北京理工大学高数教研室解：先求出 的特征多项式

12、及其特征值。对于特征值 ，它是 的1重根，从而 在 的 Jordan 标准形的主对角线上出现一次，因此 中主对角元为1 的Jordan块只有一个且它为一阶的。北京理工大学高数教研室对于特征值 ，先求 所以 从而北京理工大学高数教研室特征值 是 的两重根，从而 在 的Jordan标准形 的主对角线上出现两次，因此 中主对角元为 3的Jordan块只有一个且它为二阶的。故 的标准形为或北京理工大学高数教研室例 2 用矩阵秩的方法求出矩阵的Jordan标准形。解：首先求出其特征值，显然其特征多项式为北京理工大学高数教研室所以 为 的4重根，从而 在 的 Jordan 标准形 的主对角线上出现四次，下

13、面计算 中主对角元为1 的Jordan块的数目，先计算 ，容易得到那么中主对角元为 的Jordan块数是由此立即可得其Jordan标准形为北京理工大学高数教研室如何求相似变换矩阵？设 阶方阵 的Jordan标准形为 ,则存在可逆矩阵 使得北京理工大学高数教研室，称 为相似变换矩阵。对于相似变换矩阵的一般理论我们不作过多的讨论，只通过具体的例题说明求 的方法。例 1 求方阵的Jordan标准形及其相似变换矩阵 。北京理工大学高数教研室解：首先用初等变换法求其Jordan标准形：北京理工大学高数教研室故 的初等因子为从而 的Jordan标准形为 再求相似变换矩阵：设所求矩阵为 ，则 ，对于 按列分

14、块记为北京理工大学高数教研室于是有从而可得北京理工大学高数教研室整理以后可得三个线性方程组前面的两个方程为同解方程组，可以求出它们的一个基础解系：可以取 ，但是不能简单地取，这是因为如果 选取不当会使得第三个非齐次线性方程组无解。由于北京理工大学高数教研室的任意线性组合都是前两个方程组的解，所以应该取 使得第三个非齐次方程有解，即其系数矩阵与增广矩阵有相同地秩，容易计算出其系数矩阵的秩为1，从而应该使得增广矩阵 的秩也为1。即北京理工大学高数教研室容易看出只需令 就会使得上述矩阵的秩为1，于是再由第三个方程解出一个特解为北京理工大学高数教研室，那么所求相似变换矩阵为例 2 求方阵的Jordan

15、标准形及其相似变换矩阵 。北京理工大学高数教研室解：首先用初等变换法求其Jordan标准形：北京理工大学高数教研室故 的初等因子为从而 的Jordan标准形为 再求相似变换矩阵：设所求矩阵为 ，则 ，对于 按列分块记为北京理工大学高数教研室于是有从而可得北京理工大学高数教研室整理以后可得三个线性方程组前面的两个方程为同解方程组，可以求出它们的一个基础解系：可以取 ，但是不能简单地取，这是因为如果 选取不当会使得第三个非齐次线性方程组无解。由于北京理工大学高数教研室的任意线性组合都是前两个方程组的解，所以应该取 使得第三个非齐次方程有解，即其系数矩阵与增广矩阵有相同地秩，容易计算出其系数矩阵的秩

16、为1，从而应该使得增广矩阵的秩也为1。即北京理工大学高数教研室容易看只要 就会使得上述增广矩阵的秩为1。令 ，于是再由第三个方程解出一个特解为北京理工大学高数教研室，那么所求相似变换矩阵为从而有北京理工大学高数教研室一般地，设 ，则存在 阶可逆矩阵 使得其中 为Jordan块，记这里北京理工大学高数教研室那么有记 ，又可得北京理工大学高数教研室注意：是矩阵 的对应于特征值 的特征向量，特征向量 的选取应该保证特征向量 可以求出，同样特征向量 的选取应该保证特征向量 可以求出，依此类推，并且使得线性无关。Jordan标准形的某些应用例 1 对于方阵北京理工大学高数教研室求 。解：首先用初等变换法

17、求其Jordan标准形：北京理工大学高数教研室故 的初等因子为北京理工大学高数教研室从而 的Jordan标准形为再求相似变换矩阵 且 ，那么 按照前面例题的方式，容易计算出 北京理工大学高数教研室从而北京理工大学高数教研室例 2 求解常系数线性微分方程组解：令北京理工大学高数教研室那么此方程组可表示成北京理工大学高数教研室由前面的例题可知存在使得北京理工大学高数教研室作线性替换从而可得整理即得方程北京理工大学高数教研室首先得到两个很显然的解北京理工大学高数教研室然后再解第三个方程其解为这样得到北京理工大学高数教研室即其中 为任意常数。例 3 设 为数域 上的 阶方阵且满足 ，证明：与对角矩阵

18、北京理工大学高数教研室相似。证明：设 的Jordan标准形为北京理工大学高数教研室即有可逆矩阵 使得由于 ，所以有北京理工大学高数教研室从而 即北京理工大学高数教研室因此，只有当 为一阶矩阵时上面的矩阵等式才成立且 ，所以有这说明 为一个对角矩阵且主对角线上的元素只能为1 或0，适当地调换主对角线上的元素次序可以得到方阵北京理工大学高数教研室此矩阵仍然与 相似。例 4 设 为数域 上的 阶方阵且存在北京理工大学高数教研室正整数 使得 ，证明：与对角矩阵相似且主对角线上的元素均为 次单位根。证明：设 的Jordan标准形为北京理工大学高数教研室即有可逆矩阵 使得由于 ，所以有从而有北京理工大学高数教研室因此，只有当 为一阶矩阵时上面的矩阵等式才成立，这样有 ，这表明 为对角矩阵，所以 与对角矩阵相似。例 5 试写出Jordan标准形均为的两个矩阵。北京理工大学高数教研室解答：这里 为任意的非零数。北京理工大学高数教研室北京理工大学高数教研室