讨论Jordan规范标准形及其过渡矩阵的求法.doc

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1、-/讨论标准形及其过渡矩阵的求法摘要：本文较系统的总结了标准形及其过渡矩阵的通用的求法。关键字：标准形，特征向量，过渡矩阵一、求解标准形1、通过矩阵求标准形定义：是一个数域，是一个文字，作多项式环。一个矩阵，若它的元素是的多项式，称其为矩阵，用表示。定义：设矩阵的秩为，对于正整数，中必有非零的级子式，中全部级子式的首相系数为的最大公因式称为的级行列式因子。定义：矩阵的初等变换：、。若经过有限次初等变换变为，称与等价。在初等变换过程中，行列式因子是不变的，也就是说等价的矩阵具有相同的行列式因子。对任意一个非零的的矩阵进行有限次适当的初等变换总能将其化为以下形式的矩阵 其中是首项系数为的多项式，且

2、。称其为的标准形。依据以上论述可以求得：，因此可以断定矩阵的标准形是唯一的。我们称标准形的主对角线上非零元素为的不变因子；将不变因子分解成为互不相同的首项为的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的按出现的次数计算）称为的初等因子。下面给出一个定理。定理：为数域上级矩阵，分别为的特征矩阵。以下命题等价：相似等价有相同的行列式因子有相同的不变因子有相同的初等因子我们简称矩阵的特征矩阵的三个因子（行列式因子、不变因子、初等因子）为的三个因子。从定理可以看出，三个因子都是矩阵的相似不变量，因此，我们可以将一个线性变换的任一矩阵的因子定义为的因子。从以上论述我们可以得到一个寻找相似矩阵最简形的

3、方向：对于矩阵，我们想办法找到一个形式比较简单的矩阵，使得和有相同的因子（考虑计算方便的因素，我们选取初等因子），那么，相似。先给出求矩阵的初等因子的方法：通过初等变换，将化为对角形式，将主对角线上的元素分解为互不相同的一次因式方幂的乘积，这些一次因式的方幂就是的全部初等因子。形矩阵的具体形式为：，其中可以求得矩阵的全部初等因子是：这样，对于任意阶矩阵求出其初等因子，就可以写出相应的具有相同初等因子（因此也是相似的）的形矩阵，在不考虑块排列次序的前提下，写出的矩阵是唯一确定的。这样就证明了定理。至此，通过矩阵这个桥梁，已经完整的解决了怎样求一个矩阵的标准形的问题。可以看到，关键是找到了相似不变

4、量不变因子，从不变因子的角度，构造出了一个与原矩阵相似的唯一的矩阵。下面，我们从线性空间本身出发，通过恰当的直和分解来证明定理。2、通过直和分解求标准形相似矩阵有相同的特征多项式，所以我们可以定义线性变换的特征多项式。设线性变换的特征多项式为，是的全部不同的根。可以证明，可以分解成子空间的直和，其中，。记，称是上的一个幂零线性变换，我们现在考虑上的幂零线性变换。因为是线性变换的特征值，可以断定。取，有，故存在正整数使得且。显然有，向量组线性无关，令，则为的一个不变子空间，我们称为由生成的循环不变子空间。显然有： 对于线性空间，利用商空间和子空间直和分解技巧，可以得到如下结论：可分解为的循环不变

5、子空间的直和：，则以下向量组（为便于书写和理解，我们用如下形式表示出来）为的一组基：其中，为的一个循环不变子空间的一组基。在上面给出的这组基下，在上的矩阵为，其中则在同一组基下，线性变换在上得矩阵为。是前面对做直和分解的一个子空间，我们将所有的以上形式的基合并为的一组基，则在该组基下的矩阵为矩阵。值得注意的是：；也称为属于特征值的根子空间。从以上直和分解的证明思路可以看出，我们只证明了标准型的存在性，并没有给求出具体形式的标准型的方法，更没有给出其唯一性的证明，事实上，这两个问题可以用下面的方法得到完满的解决。2.1、对直和分解方法的一个补充设为维线性空间中一线性变换，为的一个特征值，构造线性

6、变换，定义以下空间：则： 显然，为子空间，且，因为为的一个特征值，可以断定，故存在正整数使得，相应的有：可以证明，上面的有，且为幂零线性变换。这样，我们将直和分解成两个子空间，其中的上有幂零线性变换，由前面的论述过程可知，在上存在一组基，使得在此基下的矩阵为，其中而，这样，就可以用数学归纳法证得矩阵的存在性。对于构造出的序列空间可以求得等于中以为特征值，且阶为的块的个数，所以，以为特征值的块的阶和个数完全由序列空间：确定，和基的选取无关。注：为计算方便，我们做如下简单转换：由于，可以知道，所以，就可以写成，对于一个线性变换，先求出它的全部特征值，再先后求出各个特征值的块，这样，就完成了唯一性的

7、证明，并且给出了标准型的具体求法。上面我们从两方面完成了标准形存在性和唯一性的证明，并且给出了具体的求法。由于代数基本定理告诉我们，每个次数的复系数多项式在复数域中有一根。由此，由定理可以得出出以下定理。定理：每个级复矩阵，存在可逆矩阵，使得，是形矩阵，在不考虑主对角线上块的排列次序的情况下，这个矩阵是唯一的。下面我们来求相似矩阵的过渡矩阵。二、求解过渡矩阵1、通过矩阵求解相似，则与等价，故存在可逆矩阵使得 对，存在使得 对，存在使得，可以证明，这样，就得到了我们想要的过渡矩阵。但由于上面的很难求得，所以，在具体计算上是极其局限的。下面用另一种相对来说可用于具体计算的方法解决过渡矩阵的问题。2

8、、用商空间的技巧求过渡矩阵关于标准形的讨论，本质上我们是对一个线性变换，找出一组基，使得在此组基下的矩阵有尽量简单的形式以便于我们研究。对于线性变换，由其特征多项式可以求得其所有特征值，对每个特征值，它的全部特征向量再添加零向量就构成了的一个特征子空间，记为，显然，当时，也就是说恰有个线性无关的特征向量时，在一组基下的矩阵是对角矩阵。当时，在任何基下的矩阵都不能是对角形矩阵。从前面的论述我们已经知道，总存在一组基，使得在这组基下的矩阵为标准形，那么，我们可以合理猜想，当的线性无关的特征向量个数小于线性空间维数时，肯定是某些特征子空间的维数小于相应特征值的重数，那能不能找到个线性无关的向量，和个

9、特征向量组合成一线性无关的向量组（这个向量组与有紧密的关系），最后将这新构造的个向量组合并起来恰好是个，若这个向量线性无关，则构造了空间的一组新基，且使得在这组基下的矩阵为矩阵呢？应该注意到，上面提出的“猜想”的过程，恰好是前面“通过直和分解求标准形”中采用的分解空间为根子空间，进而将根子空间分解为循环不变子空间的“逆过程”。下面，我们就来简单地论述这件事情。首先给出商空间的定义和基本性质：定义：是数域上的一个维线性空间，是的一个子空间。在集合上定义加法：，对，定义数乘： 。可以验证这个加法和数乘是合理的。关于该加法和数乘组成数域上的线性空间，称为对的商空间，记为。一般记；设为的一组基，将其扩

10、充成的一个基组：。易证得为的一组基，则。可以定义一个从到线性映射。是子空间，在 内我们定义诱导变换：，其实诱导变换可以表示为。从“通过直和分解求标准形”的论述可以看出，我们真正要处理的问题是：对根子空间上的一个幂零线性变换，找出各个循环不变子空间的基组。只有一个特征值。定义，为的唯一特征值0的特征子空间。则可以定义商空间。现在我们假设，在内诱导变换有一个维循环不变子空间，由知，所以，若，则，这显然是不可能的，所以，。也就是说，我们得到在内一个维的循环不变子空间，显然其中。上面这个结论的意义在于，我们可以用它来解决这样一个问题：如果在上找到了一个循环子空间的基组，那么同时就得到了上相应的一个循环

11、不变子空间的基组。我们在实际运算中遇到的问题是在上找循环不变子空间基组，由于，我们可以转而去求较低维空间上的循环不变子空间，再利用上述结论回到空间上即可，如果上还是不好求解，我们可以再前一步去上求解循环子空间，再一步步返回。这样，往前走的第一步，我们降的维数为，第二步降的维数为，第三步为这个降维次数一般情况甚至大多数情况下是很快的，当维数降至维的时候，我们是很容易求得想要的循环不变子空间的基组的。这样，我们就找到了一个操作难度不是很大的（至少对于一般教低维的矩阵）求过渡矩阵的方法。为便于直观理解，下面将给出一道简单的例题，用本文中叙述的各个方法来求解相应的问题。三、一道例题例：为维线性空间上的

12、线性变换，求的标准形极其过渡矩阵。解：在下的矩阵为1、 通过矩阵求解：，故的不变因子为，相应的标准形矩阵为2、 通过直和分解的方法求解：，（四重特征值）。，也就是说，中以为特征值，且阶为的块的个数为。故，相应的标准形矩阵为：。3、 求过渡矩阵，（四重特征值）。则考虑，。是幂零矩阵。解齐次方程得基础解系：。将其扩充为的一组基，则为的一组基，又，。故，是在上诱导变换的两个循环不变子空间，则是在上两个循环不变子空间。故在基下的矩阵为形矩阵，过渡矩阵，可求得：。四、求过渡矩阵的一个补充例题的另一个解法：解：解齐次方程得基础解系：，再解非齐次方程得，在基下的矩阵为形矩阵，过渡矩阵，可求得：。这种求法的基

13、本思路是，先求得特征向量，再有特征向量导出根向量。这种求法明显的缺陷是，当由特征向量导出根向量时，方程往往是无解的，即使有界，由于解不唯一，选哪个，导出到哪一步结束等问题的确定较复杂。但对于部分矩阵（例如例题中所示），还是可以运用此法的。关于过渡矩阵的求法，值得注意的是，由于块顺序的关系，过渡矩阵必然不是唯一的，即使确定了块顺序之后，由求解过程可以看出，方程的解不是唯一的，故过渡矩阵也必然不是唯一的，这里对于过渡矩阵之间的关系就不赘述了。五、小结在通过直和分解求标准形的证明过程中，进行了两次直和分解：前者是将空间分解为根子空间的直和，后者是将根子空间分解为循环子空间的直和，它们分别被称为空间第一、第二分解定理。在将根子空间分解为循环不变子空间的直和时提到，“利用商空间的技巧”，第二个分解的具体证明在参考文献中第七章前两节可以详细地看到。子空间和商空间是研究线性空间的两种基本方法，在标准形的求解过程中的应用比较好的解释了这一点。参考文献1王萼芳,石生明,.高等代数第三版.北京:高等教育出版社, 2003.2蓝以中.高等代数简明教程（上、下）第二版.北京:北京大学出版社,2007.3姚慕生.高等代数.上海:复旦大学出版社,2002.4李炯生,查建国,王新茂.线性代数第二版.安徽:中国科学技术大学出版社,2010.5蓝以中.高等代数学习指南.北京:北京大学出版社,2008.