实对称矩阵的标准形讲稿.ppt

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1、实对称矩阵的标准形第一页，讲稿共四十七页哦9.6 对称矩阵的标准形对称矩阵的标准形一、实对称矩阵的一些性质一、实对称矩阵的一些性质二、对称变换二、对称变换三、实对称矩阵可正交相似于实对角矩阵三、实对称矩阵可正交相似于实对角矩阵四、实二次型的主轴问题四、实二次型的主轴问题第二页，讲稿共四十七页哦一、一、实对称矩阵的一些性质实对称矩阵的一些性质引理引理1 1 设设A是实对称矩阵，则是实对称矩阵，则A的特征值皆为实数的特征值皆为实数证：设证：设 是是A的任意一个特征值，则有非零向量的任意一个特征值，则有非零向量满足满足第三页，讲稿共四十七页哦其中其中 为为 的共轭复数，的共轭复数，又由又由A实对称，

2、有实对称，有令令第四页，讲稿共四十七页哦第五页，讲稿共四十七页哦由于是非零复向量，必有由于是非零复向量，必有故故 第六页，讲稿共四十七页哦引理引理2 2 设设A是实对称矩阵，在是实对称矩阵，在 n 维欧氏空间维欧氏空间 上上定义一个线性变换如下：定义一个线性变换如下：则对任意有则对任意有 或或第七页，讲稿共四十七页哦证：取证：取 的一组标准正交基，的一组标准正交基，则在基则在基 下的矩阵为下的矩阵为A，即，即第八页，讲稿共四十七页哦任取任取即即第九页，讲稿共四十七页哦于是于是又又 是标准正交基，是标准正交基，第十页，讲稿共四十七页哦二、二、对称变换对称变换1 1、定义、定义则称为则称为对称变换

3、（对称变换（symmetric transformation）设为欧氏空间设为欧氏空间V中的线性变换，如果满足中的线性变换，如果满足 2 2、基本性质、基本性质第十一页，讲稿共四十七页哦（1）n维欧氏空间维欧氏空间V的对称变换与的对称变换与n级实对称矩阵在级实对称矩阵在标准正交基下是相互确定的：标准正交基下是相互确定的：1 1）实对称矩阵可确定一个对称变换实对称矩阵可确定一个对称变换 正交基正交基证：设证：设为为V的的一组标准一组标准定义定义V的线性变换：的线性变换：则即为则即为V的对称变换的对称变换第十二页，讲稿共四十七页哦2 2）对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵对称变换在标准正交基

4、下的矩阵是实对称矩阵为为V的一组标准正交基，的一组标准正交基，证：设证：设 为为n维欧氏空间维欧氏空间V上的对称变换，上的对称变换，为为在这组基下的矩阵，即在这组基下的矩阵，即或或第十三页，讲稿共四十七页哦于是于是第十四页，讲稿共四十七页哦即即所以所以A为对称矩阵为对称矩阵由是对称变换，有由是对称变换，有第十五页，讲稿共四十七页哦（2）（引理（引理3 3）对称变换的不变子空间的正交补也是对称变换的不变子空间的正交补也是它的不变子空间它的不变子空间对对 任取任取即即 证：设证：设 是对称变换，是对称变换，W为为 的不变子空间的不变子空间 由由W是是 子空间，有子空间，有因此因此故故 也为的不变子

5、空间也为的不变子空间第十六页，讲稿共四十七页哦1 1、（引理（引理（引理（引理4 4）实对称矩阵属于不同特征值的特征向量实对称矩阵属于不同特征值的特征向量 分别是属于分别是属于 的特征向量的特征向量 则则 三、三、实对称矩阵的正交相似对角化实对称矩阵的正交相似对角化是正交的是正交的 基下的矩阵，基下的矩阵，证：设实对称矩阵证：设实对称矩阵A为为 上对称变换的在标准正交上对称变换的在标准正交是是A的两个不同特征值的两个不同特征值，第十七页，讲稿共四十七页哦又又即即 正交正交有有即即由由第十八页，讲稿共四十七页哦（定理（定理7 7）对对 总有正交矩阵总有正交矩阵T，使，使、证：设证：设A为为 上对

6、称变换在标准正交基下的矩阵上对称变换在标准正交基下的矩阵由实对称矩阵和对称变换互相确定的关系，只需证由实对称矩阵和对称变换互相确定的关系，只需证有有n个特征向量作成的标准正交基即可个特征向量作成的标准正交基即可第十九页，讲稿共四十七页哦n=1时，结论是显然的时，结论是显然的 对对 的维数的维数n用归纳法用归纳法 有一单位特征向量有一单位特征向量 ，其相应的特征值为，其相应的特征值为 ，即，即假设假设n1时结论成立，对时结论成立，对 设其上的对称变换设其上的对称变换设子空间设子空间显然显然W是是 子空间，子空间，第二十页，讲稿共四十七页哦则则 也是也是 子空间，且子空间，且 又对又对 有有所以是

7、所以是 上的对称变换上的对称变换由归纳假设知由归纳假设知 有有n1 个特征向量个特征向量构成构成 的一组标准正交基的一组标准正交基第二十一页，讲稿共四十七页哦从而就是从而就是 的一组标准正交基，的一组标准正交基，又都是又都是 的特征向量的特征向量即结论成立即结论成立第二十二页，讲稿共四十七页哦3、实对称矩阵正交相似实对角矩阵步骤实对称矩阵正交相似实对角矩阵步骤设设(1)求出求出A的所有不同的特征值：的所有不同的特征值：其重数其重数 必满足必满足 ;(2)对每个对每个 ，解齐次线性方程组，解齐次线性方程组 求出它的一个基础解系：求出它的一个基础解系：第二十三页，讲稿共四十七页哦它是它是A的属于特

8、征值的属于特征值 的特征子空间的特征子空间 的一组基的一组基正交基正交基把它们按把它们按 正交化过程化成正交化过程化成 的一组标准的一组标准(3)因为因为 互不相同，互不相同，且且所以所以第二十四页，讲稿共四十七页哦则则T是正交矩阵，且是正交矩阵，且将将的分量依次作的分量依次作矩阵矩阵T的第的第1，2，n列，列，使使 为对角形为对角形就是就是V的一组的一组标准正交基标准正交基第二十五页，讲稿共四十七页哦例例1 1 设设 求一正交矩阵求一正交矩阵T使使 成对角形成对角形解：先求解：先求A的特征值的特征值第二十六页，讲稿共四十七页哦A的特征值为的特征值为 （三重）（三重）,其次求属于其次求属于 的

9、特征向量，即求解方程组的特征向量，即求解方程组第二十七页，讲稿共四十七页哦得其基础解系得其基础解系 把它正交化，得把它正交化，得 第二十八页，讲稿共四十七页哦再单位化，得再单位化，得第二十九页，讲稿共四十七页哦这是特征值这是特征值 (三重三重)的三个单位正交特征向量，的三个单位正交特征向量，也即是特征子空间也即是特征子空间 的一组标准正交基的一组标准正交基第三十页，讲稿共四十七页哦再求属于再求属于 的特征向量，即解方程组的特征向量，即解方程组第三十一页，讲稿共四十七页哦得其基础解得其基础解 再单位化得再单位化得 这样这样 构成构成 的一组标准正交基，它们的一组标准正交基，它们都是都是A的特征向

10、量，正交矩阵的特征向量，正交矩阵 第三十二页，讲稿共四十七页哦第三十三页，讲稿共四十七页哦使得使得 第三十四页，讲稿共四十七页哦注意注意成立的正交矩阵不是唯一的成立的正交矩阵不是唯一的1.1.对于实对称矩阵对于实对称矩阵A，使，使而且对于正交矩阵而且对于正交矩阵T,还可进一步要求还可进一步要求第三十五页，讲稿共四十七页哦证：如果由上述方法求得的正交矩阵证：如果由上述方法求得的正交矩阵T取正交矩阵取正交矩阵则则 是正交矩阵且是正交矩阵且第三十六页，讲稿共四十七页哦同时有同时有第三十七页，讲稿共四十七页哦2.2.如果不计较主对角线上元素的如果不计较主对角线上元素的排列的次序，与排列的次序，与实对称

11、矩阵实对称矩阵A正交相似的对角矩阵是唯一确定的正交相似的对角矩阵是唯一确定的3.3.因为正交相似的矩阵也是互相合同的，所以可因为正交相似的矩阵也是互相合同的，所以可用实对称矩阵的特征值的性质刻画其正定性：用实对称矩阵的特征值的性质刻画其正定性：第三十八页，讲稿共四十七页哦设设 为实对称矩阵为实对称矩阵A的所有特征值的所有特征值(i)A为正定的为正定的(ii)A为半正定的为半正定的(iii)A为负定（半负定）的为负定（半负定）的(iv)A为不定的为不定的且且 第三十九页，讲稿共四十七页哦4.实对称矩阵实对称矩阵A的正、负惯性指数分别为正、负特的正、负惯性指数分别为正、负特特征值的个数（重根按重数

12、计）特征值的个数（重根按重数计）n秩秩(A)是是0为为A的特征值的重数的特征值的重数.第四十页，讲稿共四十七页哦1、解析几何中主轴问题解析几何中主轴问题将将 上有心二次曲线或上有心二次曲线或 上有心二次曲面通过坐标上有心二次曲面通过坐标的旋转化成标准形，这个变换的矩阵是正交矩阵的旋转化成标准形，这个变换的矩阵是正交矩阵.四、实二次型的主轴问题四、实二次型的主轴问题2、任意任意n元实二次型的正交线性替换化标准形元实二次型的正交线性替换化标准形（1）正交线性替换正交线性替换如果线性替换如果线性替换 X=CY的矩阵的矩阵C是正交矩阵，则称之为是正交矩阵，则称之为正交线性替换正交线性替换.第四十一页，

13、讲稿共四十七页哦（2）任一任一n元实二次型元实二次型 都可以通过正交的线性替换都可以通过正交的线性替换 变成平方和变成平方和 其中平方项的系数其中平方项的系数 为为A的全部特征值的全部特征值第四十二页，讲稿共四十七页哦例例2 2 在直角坐标系下，二次曲面的一般方程是在直角坐标系下，二次曲面的一般方程是 则则式可以写成式可以写成 令令 第四十三页，讲稿共四十七页哦对对中的中的 有正交矩阵有正交矩阵C（且（且 ）确定的坐标变换公式确定的坐标变换公式 或或这样由这样由知道经过由知道经过由 的坐标轴旋转，的坐标轴旋转，第四十四页，讲稿共四十七页哦曲面曲面的方程化成的方程化成 其中其中 这时，再按这时，再按 是否为零，作适当的坐标轴的是否为零，作适当的坐标轴的平移或旋转可以将曲面的方程化成标准方程平移或旋转可以将曲面的方程化成标准方程第四十五页，讲稿共四十七页哦如当如当全不为零时，作平移全不为零时，作平移 曲面方程曲面方程可以化为可以化为 第四十六页，讲稿共四十七页哦其中其中第四十七页，讲稿共四十七页哦