2022年相似三角形的判定教案 .pdf

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1、学习必备欢迎下载27.2.1 相似三角形的判定学习目标、重点、难点【学习目标】 1掌握两个三角形相似的判定条件（三个角对应相等，三条边的比对应相等，则两个三角形相似） 相似三角形的定义，和三角形相似的预备定理（平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）2掌握“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法；掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法3会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的问题【重点难点】 1相似三角形的定义与三角形相似的预备定理2运用三角形相似的条件解决简单的问题知识概览图定义及表示方法两个三角形的三

2、组对应边的比相等两个三角形的两组对应边的比相等，并且它们的夹角相等两个三角形有两对对应角相等相似三角形的性质：对应角相等，对应边的比相等新课导引【生活链接】小明为了迎接世界中学生数学大会的召开，制作了一个如右图所示形状的花束，三边长分别是35 cm，40 cm，50 cm，小丽也想制作一个这样形状的花束，但她手中只有一根长100 cm 的木条，她应该怎么制作呢? 【问题探究】如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似，但是定义中条件较多，过于苛刻，你能减少定义中的条件来判断两个三角形相似吗? 教材精华知识点 1 相似三角形相似三角形是形状相同的三角形，它们的对应角都相等

3、，对应边的比都相等 如图 2710 所示，ABC与DEF的形状相同，大小不同，这两个三角形相似，所以AD，BE，CF，ABBCACDEEFDF 拓展相似三角形的定义既是最基本的判定方法，也是最重要的性质知识点 2 相似三角形的表示方法ABC与DEF相似， 可以写成ABCDEF，也可以写成DEFABC，读作“ABC相似于DEF”或“DEF相似于ABC”拓展用“” 这个符号表示两个图形相似时，对应的顶点应该写在对应的位置上，如图 2710 所示，表示ABC与DEF相似，A的对应角是D，B的对应角是E，C的对应角是F，即ABCDEF，而不要写成ABCEFD，如果把ABC写成BAC，那么就应该记作BA

4、CEDF，这样做的目的是为了指明对应角、对应边相似三角形相似三角形的判定精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页学习必备欢迎下载知识点 3 三角形的相似比两个三角形相似，对应边的比叫做相似比例如 :若ABCDEF，则ABBCCADEEFFD设比值为k，于是ABBCCADEEFFDk，即ABC与DEF的相似比为k拓展这时DEF与ABC的相似比为1k若BC6，EF8，则ABC与DEF的相似比为6384，DEF与ABC的相似比为43. 探究交流如果两个三角形的相似比k1，那么这两个三角形有怎样的关系? 点拨当两个三角形相似，且

5、相似比为1 时，这两个三角形全等，也就是说，这两个三角形的对应角都相等，对应边都相等， 这两个三角形能够重合三角形全等是三角形相似的特例知识点 4 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等把这个定理应用到三角形中，可以得到：平行于三角形一边的直线截其他两边( 或两边的延长线) ，所得的对应线段的比相等知识点 5 相似三角形的判定定理判定定理 1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似如图 2711 所示， 在ABC中，过AB上一点D作DEBC交AC于点E，求证ADEABC证明：DEBC，ADEABC，AEDACB连接DC，BE，S EBCS

6、DBC，SABESACD同高的两个三角形面积的比等于底边的比，,ADEADEABEACDSSADAESABSAC. ,ADEADEABEACDSSADAESSABAC. 如图 2712 所示，过点D作DFAC交BC于点F易证.BDBFABBC又BDABAD，BFBCFCBCDE，ABADBCDEABBC，即ADDEABBCADAEDEABACBC. 又AA，ADEABC，AEDACB，ADEABC判定定理 2：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似如图 2713 所示，在ABC和ABC中，ABBCACA BB CA C，求证ABCABC证明：在线段AB( 或它的延长线 ) 上

7、截取ADAB，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页学习必备欢迎下载过点D作DEBC交AC于点E，ADEABC，A DDEA EA BB CA C. 又ABBCACA BB CA C，AD=AB，A EACA CA C. AE=AC，同理DE=BC，ADEABC(SSS)，ABCABC例如：在ABC与ABC中，AB4 cm，BC6 cm，AC8 cm，AB 12 cm，BC 18 cm，AC 24 cm，此时41123ABA B，61183BCB C，81243ACA C，ABBCACA BB CA C，ABCABC书

8、写格式：在ABC与ABC中，ABBCACA BB CA C，ABCABC判定定理 3：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似如图2714 所示书写格式： 在ABC与ABC中， ABACA BA C，AA，ABCABC判定定理 4：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似如图 27 15 所示，在ABC与ABC中，AA，BB，求证ABCABC证明：在ABC的边AB上截取ADAB，过点D作DEBC交AC于点E，ADEABC，且ADEABC，ABCABC书写格式：在ABC与ABC中，AA，BB，ABCABC规律方法小结判定三角形

9、相似的方法主要有以下几种：(1) 定义；(2) 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；(3) 如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；(4) 如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；(5) 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；(6) 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形都与原三角形相似( 此知识常用，但有时需要证明) ；(7) 若两个直角三角形满足一个锐角对应相等，或两组直角边的比相等，则这两个直角三角形相似知识点 6 相似三角形的性质相似三角形对应角相等，对应边

10、的比相等拓展相似三角形的性质可用于有关角的计算、线段的计算以及三角形的周长和面积的计算等，还可以用于证明两角相等、两条线段相等规律方法小结运用转化思想把要求证的线段间的关系逐步转化为易证的线段间的关系，即由未知向已知转化当两个三角形相似，但又没有指明对应的情况时，应进行分类讨精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页学习必备欢迎下载论课堂检测基本概念题 1、所有的直角三角形都相似吗?所有的等腰直角三角形呢?为什么 ? 2、根据下列条件判定ABC与ABC是否相似，并说明理由 (1)A120，AB 7 cm，AC14 cm，A

11、 120，AB 3 cm ，AC 6 cm ；(2)AB 4 cm ，BC6 cm，AC8 cm，AB 12 cm ，BC 18 cm，AC 21 cm基础知识应用题3、如图 2717 所示，根据下列情况写出各组相似三角形的对应边的比例式 (1)ABCADE，其中DEBC； (2)OABOAB，其中ABAB； (3)ABCADE，其中ADEB. 4、如图 2718 所示，已知ABCDEF，那么下列结论正确的是 ( ) AADBCDFCE BBCDFCEAD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页学习必备欢迎下载 C CD

12、BCEFBE DCDADEFAF5、如图 2719 所示，ABDACE，求证ABCADE 6、如图 2720 所示，在不等边三角形ABC中，P是AB边上一点，过点P作一条直线，使截得的三角形与ABC相似，则满足条件的直线一共有多少条?请画出图形 7、如图 2722 所示，在RtABC中，C90，ABC中有一个内接正方形DEFC，连接AF交DE于G，AC 15，BC10，求GE的长综合应用题 8、如图 2723 所示，从ABCD的顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和 CF，垂足分别为E，F，求证ABAE+ADAFAC2 9、如图 2724 所示，小明为了测量一楼房MN的高度，在离N点 20 m

13、的A处放了一个平面镜，小明沿NA后退到C点，正好从镜子中看到楼顶M点，若AC1.5 m ，小明的眼睛离地面的高度为16 m，请你帮助小明计算一下楼房的高度( 结果保留小数点后一位) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页学习必备欢迎下载探索与创新题 10、如图 2725 所示，在直角梯形ABCD中，D90，AD7，AB2，DC3，P为AD上一点，以P，A，B为顶点的三角形与以P，D，C为顶点的三角形相似，那么这样的点P一共有多少个 ?为什么 ? 体验中考 1、如图 2728 所示，已知ABC是边长为6 cm的等边三角形

14、，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC匀速运动，其中点P运动的速度是1 cm/s， 点Q运动的速度是2 cm/s，当点Q到达点C时，P，Q两点都停止运动，设运动时间为t s ，解答下列问题 (1)当t2 时，判断BPQ的形状，并说明理由； (2)设BPQ的面积为S cm2，求S与t的函数关系式； (3)作QRBA交AC于点P，连接PR，当 t 为何值时，APRPRQ? 2、如图 2729 所示，在ABCD中，E在DC上，若DE:EC1:2 ，则BF:BE= . 学后反思精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页

15、学习必备欢迎下载附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析由相似三角形的定义可知，所有的直角三角形不都相似，而所有的等腰直角三角形都相似解：所有的直角三角形不都相似如图2716 所示的两个直角三角形中的两个锐角显然不相等，因此这两个直角三角形不相似所有的等腰直角三角形都相似因为任意一个等腰直角三角形的三个内角分别为45，45，90，三条边的比为1：1：2 ，因此所有的等腰直角三角形都相似【解题策略】所有的直角三角形中不满足对应角都相等，因此所有的直角三角形不都相似2、分析根据判断两个三角形相似的判定定理3 与判定定理2 来判定解： (1) 73ABA B,14763ACA C，ABACA BA

16、 C又AA，ABCABC (2) 41123ABA B, 61183BCB C,821ACA C, ABBCACA BB CA C. 即ABC与ABC的三组对应边的比不相等，所以它们不相似【解题策略】此类题主要考查相似三角形的判定定理3、分析要写出比例式，关键应明确哪些边是对应边，而要找到对应边，比较好的方法是找到对应角( 或对应的顶点 ) 以(2) 为例，由于ABAB， AA， BB，AOBAOB，因此点A与点A是对应点，点B与点B是对应点，另一个公共点O是两个三角形的对应点解： (1) .ADAEDEABACBC (2) AOBOABA OB OA B. (3) .ADAEDEABACBC

17、【解题策略】两个三角形相似，在找对应角和对应边时应按照对应字母来找4、分析如图 27 18 所示，把直线AD向右平移，且使点A与点B重合容易证明：ADBD，DFDF，由比例线段的特点知BCBDADCED FDF故选 A5、分析由于ABDACE，所以BADCAE，所以精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页学习必备欢迎下载BACDAE又ABACADAE，所以问题得证证明：ABDACE，BADCAE，BAD+DACCAE+DAC，即BACDAE又ABDACE，ABADACAE，即ABACADAE，ABCADE【解题策略】解决

18、此类问题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法6、分析可利用“如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似”和“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”来画直线，故过点P分别作BC，AC的平行线，或过点P作与C相等的角，从而得到相似三角形解：满足条件的直线一共有四条，如图2721 所示【解题策略】本题考查相似三角形的识别方法，通过构造“两角对应相等”使两个三角形相似7、分析根据相似三角形的判定方法和性质列出比例式，从而求得GE的长解：在 Rt ABC中，C90，正方形DEFC为其内接正方形，ADEACB，AGEAFB，ADDEAEACCB

19、AB. 设正方形DEFC的边长为x，则151510 xx，x=6AGEAFB，AEGEABFB. 又1569315155AEADABAC, 35GEFB，即31065GE，GE=125. 【解题策略】利用比例式求线段的长度是求线段的一种重要方法，主要是根据相似的关系列出比例式，再由比例式列出方程，从而通过解方程求得线段的长8、分析等式左边的两项均为两条线段之积，而右边为AC2，故应设法将AC2拆成两条线段乘积的形式， 由图中可知AC2AC(AG+GC) ACAG+ACGC， 从而只需证ACAG和ACGC与所证等式的左端两项分别相等即可证明：过B作BGAC于G，BGACEA90， 3 3，精选学

20、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页学习必备欢迎下载ABGACE，AGABAEAC，ACAGABAE又BCAD， CFAF， 1 2，CGBAFC 90，CBGACF，CBCGACAF，ACCGCBAF由 +得AC(AG+CG) ABAE+CBAF又CBAD，ABAE+ADAFAC2【解题策略】一般地，要证形如abcd+ef 的线段关系，常常在a( 或b) 上取一点P，使ab转化为两项9、分析根据物理学中的反射定律可知：光线的反射角等于入射角，即BAPMAP，从而BACMAN，这样就可以得到MNABCA，再利用相似三角形的

21、性质即可求出MN解：BCCA，MNAN，BCAMNA90，又BAPMAP，BACMAN，BCAMNA，MN:BCAN:AC，即MN： 1.6=20:1.5，MN=1.6201.5 213(m) ，楼房的高度约为213 m【解题策略】利用相似三角形的对应边成比例，列出比例式求线段的长是常用的方法10、分析PAB与PDC中各有一个直角，两边对应成比例，所以应分两种情况进行讨论，即APBDPC和APBPCD，分别求解即可解：设APx，则PD7x当PABPDC，即AD90，APBDPC时，273xx, x145. 当PABCDP，即AD=90，APBDCP时，237xx，x1=1，x2=6因此AP的值

22、有三个，也就是这样的点P一共有三个【解题策略】本题中PAB与PDC相似，由于没有指明两个三角形的对应点(除点A和点D外)，所以要分类讨论体验中考1、分析 (1)B60，只要判断出BQ与BP的关系即可 (2) 用含t的代数式分别表示BP和BP边上的高，因此需过点Q作BP边上的高； (3) 找出使APRPRQ成立的条件即可解： (1) BPQ是等边三角形，理由如下：当t2 时，AP 212，BQ224，BPABAP624 BQBP又B60，BPQ是等边三角形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页学习必备欢迎下载 (2)过点

23、Q作QEAB，垂足为点E由QB 2t，得QE2tsin 60 3t由APt，得PB6tSBPQ12BPQE12(6t) 3 t 32t2+33t (3)QRBA，QRCA60，RQCB60又C60，QRC是等边三角形，QRRCQC62t. BEBQcos 60 2t12t，EPABAPBE6tt62t. EPQR，又EPQR，四边形EPRQ是平行四边形，PREQ3t又PEQ90，APRPRQ90APRPRQ，QPRA60tan 60 =QRPR，即623tt=3 ，解得t=65当t65s 时，APRPRQ. 【解题策略】分析动点问题时，要抓住动点的起点、运动方向、速度、时间、距离等要素2、分析DE:EC1:2 ，设DEx，则EC2x，AB3x由ABFCEF，得3,2BFABFECEBF:BE3:5 故填 3:5 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页