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1、1 27.2.7 相似三角形判定的应用教学内容:相似三角形判定的应用重点、难点重点:掌握相似三角形的判定方法。难点:灵活运用相似三角形的判定方法解决有关问题。教学过程(一)复习1. 相似三角形的定义:对应角相等,对应边成比例的三角形,叫做相似三角形。2. 注意:(1)定义中对应角相等,对应边成比例,是指3 组对应角分别相等,三组对应边成比例。(2)ABCA B C读作ABC相似于A B C,与全等三角形一样,表示对应顶点的字母应写在对应位置上。(3)所谓相似三角形是指两个三角形形状一样,大小不一定一样。(4)相似三角形定义本身揭示了相似三角形的性质:相似三角形对应角相等,对应边成比例。(5)相
2、似比带有顺序性,如ABCA B C的相似比为ABA BBCB CCAC Ak反过来A B CABC的相似比为A BABB CBCC ACAk1(6)全等三角形是相似比为1 的相似三角形,但相似三角形不一定是全等三角形。(二)三角形相似的判定方法(1)定义法:对应角相等,对应边成比例的三角形相似。如图,若AA,BBCCABA BBCB CCAC A,ABCBCA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 5 页 - - - - - - - - - 2 则ABCA B C
3、。与三个角对应相等, 三条边对应相等, 两个三角形全等类似, 定义法在计算和证明中一般用得较少。(2)三角形相似的判定定理:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线) 相交,所构成的三角形与原三角形相似。推理格式:如图DEBCADEABC/ /,图 2 (3)判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。推理格式:如图,AABB,ABCA B C。简单地说:两角对应相等,两三角形相似。(4)判定定理 2:如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似。推理格式:如图,ABA BACA C,且AAABC
4、A B C可简单说成:两边对应成比例且夹角相等,则两三角形相似。(5)判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似。推理格式:如图 5,ABA BACA CCBC B,ABCA B C简单地说:三边对应成比例, 则两三角形BACDEABCBCAABCBCAABCBCA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页,共 5 页 - - - - - - - - - 3 相似。(6)直角三角形相似的判定定理:如果一个直角三角形的斜边和一条
5、直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似。推理格式:如图 6 在Rt ABC和Rt A B C中,CCABA BACA C90 ,ABCA B C推论:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似(如图)。说明:灵活运用相似三角形的判定方法解决相关问题,其关键是确定相似三角形,通常按下列思路来分析:1. 有平行线(有时要构造平行线)时,可选择平行法判定三角形相似。2. 若已经有一组角相等, 可再找另一组角相等, 运用判定定理 1;或再证明夹这组角的两边对应成比例,运用判定定理2。3. 若已知两条对应边成比例,可找夹角相等,运用判定定理2。4.
6、若是两个直角三角形, 可找一对锐角相等或夹直角的两直角边对应成比例,或应用斜边、直角边对应成比例来判定相似。5. 利 用 相 似 三 角 形 的 传 递 性 证 相 似 , 如 : 若ABCA B C111、A B CA B C111222,则ABCA B C222。6. 注意:仅两边成比例,一对角相等的三角形不一定相似。【典型例题】例 1. 如图 8,四边形 ABCD 的对角线相交于点O,BACCDB。求证:DACCBD。分析:欲证DACCBD,可寻求它们所在的三角形OAD与OBC相似,ACBCBACADBCBADO名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - -
7、 - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页,共 5 页 - - - - - - - - - 4 而AODBOC,故只需证AOBODOCO,由已知可得AOBDOC,从而有AOBODOCO成立。证明:A O BDOCBACCDB,A O BDOCAOBODOCO,A O DB O CA O DB O CD A CC B D,说明: 由于相似三角形的对应角相等,所以经常运用此法证明角的相等。例 2. 如图 9,平行四边形 ABCD 中,E 是 AB 延长线上一点,连结 DE,交 AC 于 G,交 BC 于 F,那么图中相似三角形(不含全等三角形)共有(
8、)对。A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 分析:找相似形一找平行线、二找角相等、三找线段成比例,本题只能从前两方面入手。解:AEDCAEGCDGDFCEBF/ /,BCADBFEADEFCGDAG/ /,BEFAEDBEFCDF,AEDCDF共有 5 对,选 B。例 3. 已知:如图 10,ABCCDB90 ,ACaBCb,( 1 ) 当BD与a、 b 之 间 满 足 怎 样 的 关 系 时 ,ABCCDB?( 2 ) 当BD与a、 b 之 间 满 足 怎 样 的 关 系 时 ,ABCBDC?(3)当 BD 与 a,b 之间满足怎样的关系时,这两个三角形相似?ADBCEFGABDCab名师
9、资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页,共 5 页 - - - - - - - - - 5 解:(1)ABCCDB90当ACBCBCBD时,ABCCDB即abbBD时,ABCCDBBDba,2故当BDba2时,ABCCDB(2)ABCCDB90,当ABBDACBC时,ABCBDC即abBDab22时,ABCBDCBDbaab22当BDb aba22时,ABCBDC(3)综合( 1),( 2)可知:当BDba2或BDbaab22时这两个三角形相似。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页,共 5 页 - - - - - - - - -