2022年相似三角形的判定教案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载27.2.1 相像三角形的判定学习目标、重点、难点【学习目标】 1把握两个三角形相像的判定条件（三个角对应相等,三条边的比对应相等,就两个三角形相像） 相像三角形的定义,和三角形相像的预备定理（平行于三角形一边的直线 和其它两边相交,所构成的三角形与原三角形相像）2把握“ 两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相像” 的判定方法；掌 握“ 两角对应相等,两个三角形相像” 的判定方法3会运用“ 两个三角形相像的判定条件” 和“ 三角形相像的预备定理” 解决简洁的问 题【重点难点】 1相像三角形的定义与三角形相像的预备定理

2、2运用三角形相像的条件解决简洁的问题学问概览图 定义及表示方法两个三角形的三组对应边的比相等相像三角形相像三角形的判定两个三角形的两组对应边的比相等,并且它们的夹角相等两个三角形有两对对应角相等 相像三角形的性质：对应角相等,对应边的比相等 新课导引【生活链接】小明为了迎接世界中同学数学大会的召开,制作了一个如右图所示外形 的花束,三边长分别是 35 cm,40 cm,50 cm,小丽也想制作一个这样外形的花束,但她手 中只有一根长 100 cm 的木条,她应当怎么制作呢 . 【问题探究】假如两个多边形满意对应角相等,对应边的比相等,那么这两个多边形相像,但是定义中条件较多,过于苛刻,你能削减

3、定义中的条件来判定两个三角形相像吗 . 教材精华 学问点 1 相像三角形相像三角形是外形相同的三角形,它们的对应角都相等,对应边的比都相等 如图 2710 所示, ABC与 DEF的外形相同,大小不同,这两个三角形相像,所以 F,AB DEBCAC EFDFA D, B E, C拓展相像三角形的定义既是最基本的判定方法,也是最重要的性质学问点 2 相像三角形的表示方法名师归纳总结 ABC与 DEF相像, 可以写成ABC DEF,也可以写成DEF ABC,读作“ ABC第 1 页,共 10 页相像于DEF” 或“ DEF相像于ABC” 拓展用“ ”这个符号表示两个图形相像时,对应的顶点应当写在对

4、应的位置上,如图 2710 所示,表示ABC与 DEF相像, A 的对应角是 D, B 的对应角是 E, C的对应角是 F,即 ABC DEF,而不要写成ABC EFD,假如把ABC写成 BAC,那么就应当记作BAC EDF,这样做的目的是为了指明对应角、对应边- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载学问点 3 三角形的相像比两个三角形相像,对应边的比叫做相像比例如 : 如 ABC DEF,就AB BC CA设比值为 k,于是AB BC CA k,即DE EF FD DE EF FD ABC与 DEF的相像比为 k拓展 这时 DEF与 AB

5、C的相像比为 1如 BC6, EF8,就 ABC与 DEF的相像k比为6 3, DEF与 ABC的相像比为 4 . 8 4 3探究沟通 假如两个三角形的相像比 k1,那么这两个三角形有怎样的关系 . 点拨 当两个三角形相像,且相像比为 1 时,这两个三角形全等,也就是说,这两个三角形的对应角都相等,对应边都相等, 这两个三角形能够重合三角形全等是三角形相像的特例学问点 4 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线,所得的对应线段的比相等把这个定理应用到三角形中,可以得到：平行于三角形一边的直线截其他两边 或两边的延长线 ,所得的对应线段的比相等学问点 5 相像三角形的判定定理判定定理 1：平

6、行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似如图 2711 所示, 在 ABC中,过 AB上一点 D作 DE BC交 AC于点 E,求证ADEABC证明： DE BC, ADE ABC, AED ACB连接 DC,BE, S EBCS DBC, S ABES ACD同高的两个三角形面积的比等于底边的比,SADEAD,SADEAE AC. . SABEABSACDSADESADE,ADAESABESACDABAC如图 2712 所示,过点易证BDBF.ABBCD作 DF AC交 BC于点 F又 BDAB AD,BFBCFCBCDE,AB ADABBCDE,即AD ABDEBC

7、BCAD ABAE ACDE BC. 又 A A, ADE ABC, AED ACB, ADE ABC判定定理 2：假如两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相像名师归纳总结 B如图 2713 所示,在 ABC和 ABC 中,AB A BBCAC,求证 ABC A第 2 页,共 10 页B CA CC 证明：在线段AB 或它的延长线 上截取 ADAB,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 过点 D作 DE BC 交 A学习必备欢迎下载C 于点 E, ADE ABC ,A D DE A E . A B B C A C又AB BC AC,AD=AB,

8、A B B C A CA E AC . AE=AC,同理 DE=BC,A C A C ADE ABCSSS, ABC A BC 例如：在ABC与 ABC 中, AB4 cm,BC6 cm, AC8 cm,AB 12 cm,BC 18 cm,AC 24 cm,此时 AB 4 1,BC 6 1,AC 8 1,A B 12 3 B C 18 3 A C 24 3AB BC AC, ABC ABC A B B C A C书写格式：在ABC与 AB C 中,AB BC AC, ABC A B C A B B C A C判定定理 3：假如两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形

9、相像如图2714 所示,A A ,书写格式： 在 ABC与 AB C 中, AB A BACA C ABC ABC 判定定理 4：假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相像如图 27 15 所示,在ABC与 ABC 中, A A , BB ,求证ABC AB C 证明：在ABC的边 AB上截取 ADAB ,过点 D作 DE BC交 AC于点 E, ADE A BC ,且ADE ABC, ABC A BC 书写格式：在ABC与 ABC 中, A A ,B B ,ABC ABC 规律方法小结 判定三角形相像的方法主要有以下几种：1 定义；2 平行于三角形一边的直线和

10、其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相像；3 假如两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相像；4 假如两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相像；两个角对应相等,那么这两个三角形相像；5 假如一个三角形的两个角与另一个三角形的 6 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形都与原三角形相像 此学问常用,但有时需要证明 ；7 如两个直角三角形满意一个锐角对应相等,或两组直角边的比相等,就这两个直角三角形相像学问点 6 相像三角形的性质相像三角形对应角相等,对应边的比相等拓展相像三角形的性质可用于有关角的运算、线段的运算以及三角形的周长和面积的运算等,仍可

11、以用于证明两角相等、两条线段相等规律方法小结 运用转化思想把要求证的线段间的关系逐步转化为易证的线段间的关系,即由未知向已知转化当两个三角形相像,但又没有指明对应的情形时,应进行分类讨名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载论课堂检测基本概念题 1、全部的直角三角形都相像吗 .全部的等腰直角三角形呢 .为什么 . 2、依据以下条件判定ABC与 ABC 是否相像,并说明理由 1A120 , AB 7 cm,AC14 cm, A 120 , AB 3 cm,AC 6 cm；2 AB 4 cm,BC6 cm,

12、AC8 cm,AB 12 cm,BC 18 cm,A C 21 cm基础学问应用题3、如图 2717 所示,依据以下情形写出各组相像三角形的对应边的比例式 1 ABC ADE,其中 DE BC； 2 OAB OAB ,其中 AB AB； 3 ABC ADE,其中 ADE B. 4、如图 2718 所示,已知AB CD EF,那么以下结论正确选项名师归纳总结 AAD DFBC BBC CEDF第 4 页,共 10 页CEAD- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - C CD EFBC D学习必备欢迎下载ADCD EFBEAF5、如图 2719 所示,ABD AC

13、E,求证ABC ADE 6、如图 2720 所示,在不等边三角形ABC中, P是 AB边上一点,过点P 作一条直线,使截得的三角形与ABC相像,就满意条件的直线一共有多少条 .请画出图形 7、如图 2722 所示,在 Rt ABC中, C90 , ABC中有一个内接正方形 DEFC,连接 AF交 DE于 G,AC 15,BC10,求 GE的长综合应用题 8、如图 2723 所示,从 ABCD的顶点 C向 AB和 AD的延长线引垂线 CE和 CF,垂足分别为 E, F,求证 ABAE+AD AF AC 2 9、如图 2724 所示,小明为了测量一楼房 MN的高度,在离 N点 20 m的 A 处放

14、了一个名师归纳总结 平面镜,小明沿NA后退到 C点,正好从镜子中看到楼顶M点,如 AC1.5 m ,小明的眼睛第 5 页,共 10 页离地面的高度为16 m,请你帮忙小明运算一下楼房的高度 结果保留小数点后一位 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载探究与创新题 10、如图 2725 所示,在直角梯形 ABCD中, D90 , AD7,AB2,DC3,P 为AD上一点,以 P,A,B 为顶点的三角形与以 P,D,C为顶点的三角形相像,那么这样的点 P一共有多少个 .为什么 . 体验中考 1、如图 2728 所示,已知ABC是边长为 6 c

15、m的等边三角形,动点 P,Q同时从 A,B两点动身,分别沿 AB,BC匀速运动,其中点 P运动的速度是 1 cm/s,点 Q运动的速度是 2 cm/s,当点 Q到达点 C时, P,Q两点都停止运动,设运动时间为 1当 t 2 时,判定BPQ的外形,并说明理由；t s ,解答以下问题 2 设 BPQ的面积为 S cm 2,求 S 与 t 的函数关系式； 3 作 QR BA交 AC于点 P,连接 PR,当 t 为何值时,APR PRQ. 2、如图 2729 所示,在 ABCD中, E 在 DC上,如 DE: EC1:2 ,就 BF: BE= . 学后反思名师归纳总结 - - - - - - -第

16、6 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载附： 课堂检测及体验中考答案 课堂检测 1、分析 由相像三角形的定义可知,全部的直角三角形不都相像,而全部的等腰直角 三角形都相像解：全部的直角三角形不都相像如图2716 所示的两个直角三角形中的两个锐角明显不相等,因此这两个直角三角形不相像全部的等腰直角三角形都相像由于任意一个等腰直角三角形的三个内角分别为 45 ,45 ,90 ,三条边的比为 1：1：2 ,因此全部的等腰直角三角形都相像【解题策略】全部的直角三角形中不满意对应角都相等,因此全部的直角三角形不 都相像2、分析依据判定两个三角形相像的判定定

17、理3 与判定定理2 来判定. 解： 1 AB7,AC147,ABACA B3A C63A BA CBCAC又 A A ,ABC ABC 2 AB41, BC61,AC8, AB A BA B123B C183A C21B CA C即 ABC与 AB C 的三组对应边的比不相等,所以它们不相像【解题策略】此类题主要考查相像三角形的判定定理3、分析 要写出比例式,关键应明确哪些边是对应边,而要找到对应边,比较好的方法是找到对应角 或对应的顶点 以2 为例,由于 AB AB, A A , B B ,AOB AOB,因此点 A 与点 A 是对应点,点 B 与点 B 是对应点,另一个公共点 O是两个三角

18、形的对应点名师归纳总结 解： 1 ADAEDE.第 7 页,共 10 页ABACBC 2 AOBOAB. A OB OA B 3 ADAEDE.ABACBC【解题策略】两个三角形相像,在找对应角和对应边时应依据对应字母来找4、分析如图 27 18 所示,把直线AD向右平移,且使点A 与点 B 重合简洁证明：AD BD , DFDF ,由比例线段的特点知BCBDAD应选 ACED FDF5、分析由于 ABD ACE,所以 BAD CAE,所以- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - BAC DAE又AB ADAC学习必备欢迎下载,所以问题得证AE证明：ABD A

19、CE, BAD CAE, BAD+DAC CAE+DAC,即 BAC DAE又 ABD ACE,AB AD,AC AE即AB AC, ABC ADEAD AE【解题策略】解决此类问题的关键是娴熟把握相像三角形的判定方法6、分析 可利用“ 假如一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等,那么这两个三角形相像”和“ 平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相像” 来画直线,故过点 P 分别作 BC, AC的平行线,或过点 P 作与 C相等的角,从而得到相像三角形解：满意条件的直线一共有四条,如图 2721 所示【解题策略】此题考查相像三角形的识别方法,通过构造“ 两角对

20、应相等” 使两个三角形相像7、分析依据相像三角形的判定方法和性质列出比例式,从而求得GE的长解：在 Rt ABC中, C90 ,正方形 ADE ACB, AGE AFB,AD ACDEAE. CBAB设正方形 DEFC的边长为 x,就15 15xx , x=610GE. AGE AFB,AE ABFBDEFC为其内接正方形,又AE ABAD15693, GE3,主要是依据相像的AC15155FB5即GE63, GE=12 5. 105【解题策略】利用比例式求线段的长度是求线段的一种重要方法,关系列出比例式,再由比例式列出方程,从而通过解方程求得线段的长8、分析 等式左边的两项均为两条线段之积,

21、而右边为 AC 2,故应设法将 AC 2拆成两条线段乘积的形式, 由图中可知 AC 2AC AG+GC AC AG+AC GC,从而只需证 AC AG和 AC GC与所证等式的左端两项分别相等即可证明：过 B 作 BGAC于 G, BGA CEA90 , 3 3,名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - ABG ACE,AG AEAB,学习必备欢迎下载ACAC AGAB AE 又 BC AD, CFAF, 1 2, CGB AFC 90 , CBG ACF,CB ACCG,AFAC CGCB AF 由 +得 AC AG+C

22、G ABAE+CBAF又 CBAD, ABAE+ADAFAC 2【解题策略】一般地,要证形如 abcd+ef 的线段关系,经常在 a 或 b 上取一点 P,使 ab 转化为两项9、分析 依据物理学中的反射定律可知：光线的反射角等于入射角,即 BAP MAP,从而 BAC MAN,这样就可以得到MNA BCA,再利用相像三角形的性质即可求出 MN解： BCCA,MNAN, BCA MNA90 ,又 BAP MAP, BAC MAN, BCA MNA, MN: BCAN: AC,即 MN： 1.6=20:1.5, MN=1.6 20 213m ,1.5楼房的高度约为 213 m【解题策略】利用相像

23、三角形的对应边成比例,列出比例式求线段的长是常用的方法10、分析 PAB与 PDC中各有一个直角,两边对应成比例,所以应分两种情形进行 争论,即 APB DPC和 APB PCD,分别求解即可解：设 AP x,就 PD7x当 PAB PDC,即 A D90 , APB DPC时,7xx2, x14 5. 3当 PAB CDP,即 A D=90 , APB DCP时,x72x, x1=1,x2=6除点 A3因此 AP的值有三个,也就是这样的点P一共有三个【解题策略】此题中PAB与 PDC相像,由于没有指明两个三角形的对应点和点 D外,所以要分类争论体验中考1、分析 1B60 ,只要判定出 BQ与

24、 BP的关系即可 2 用含 t 的代数式分别表 示 BP和 BP边上的高,因此需过点 Q作 BP边上的高； 3 找出访APR PRQ成立的条件即可解： 1 BPQ是等边三角形,理由如下：当 t 2 时, AP 2 12,BQ2 24,BPABAP624 BQBP又 B60 , BPQ是等边三角形名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2学习必备欢迎下载过点 Q作 QEAB,垂足为点E由 QB 2t ,得 QE2t sin 60 3 t 由 AP t ,得 PB6t S BPQ1 2BPQE1 26 t 3 t 3t2+3

25、3 t 2 3QR BA, QRC A60 , RQC B60 又 C60 , QRC是等边三角形,QRRCQC62t . BEBQ cos 60 2t 1 2t ,EPABAPBE6t t 62t . EPQR,又 EP QR,四边形 EPRQ是平行四边形,PREQ3 t 又 PEQ90 , APR PRQ90 APR PRQ, QPR A60 tan 60 = QR,即6 2 t = 3 ,解得 t = 63 t 5 PR当 t 6 s 时, APR PRQ. 5【解题策略】分析动点问题时,要抓住动点的起点、运动方向、速度、时间、距离等要素名师归纳总结 BF2、分析DE: EC1:2 ,设DEx,就EC2x, AB3x由ABF CEF,得第 10 页,共 10 页AB CE3 , 2BF: BE3:5 故填 3:5 FE- - - - - - -