概率论与数理统计习题解答(50页).doc

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1、-概率论与数理统计习题解答-第 48 页第一章 随机事件及其概率1. 写出下列随机试验的样本空间：（1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和；（2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标；（3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数；（4）测量一汽车通过给定点的速度. 解 所求的样本空间如下（1）S= 2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12（2）S= (x, y)| x2+y202. 设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件：（1）A发生，B和C不发生；（2）A与B都发生，而C不发生；（3）A、B、C都发生；（4）

2、A、B、C都不发生；（5）A、B、C不都发生；（6）A、B、C至少有一个发生；（7）A、B、C不多于一个发生；（8）A、B、C至少有两个发生. 解 所求的事件表示如下3在某小学的学生中任选一名，若事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是三年级学生，事件C表示该学生是运动员，则（1）事件AB 表示什么？（2）在什么条件下ABC=C成立？（3）在什么条件下关系式是正确的？（4）在什么条件下成立？解 所求的事件表示如下（1）事件AB表示该生是三年级男生，但不是运动员. （2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC=C成立. （3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式是正确的. （4）当全校女生都在三

3、年级，并且三年级学生都是女生时，成立. 4设P(A)0.7，P(AB)0.3，试求解 由于 A-B = A AB, P(A)=0.7 所以P(A-B) = P(A-AB) = P(A) -P(AB) = 0.3,所以 P(AB)=0.4, 故 = 1-0.4 = 0.6.5. 对事件A、B和C，已知P(A) = P(B)P(C) ，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 求A、B、C中至少有一个发生的概率. 解 由于故P(ABC) = 0 则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) P(AB) P(BC) P(AC)+P(ABC)6. 设盒中有只红球和b只白球，现从中随机

4、地取出两只球，试求下列事件的概率： A两球颜色相同， B两球颜色不同. 解由题意，基本事件总数为，有利于A的事件数为，有利于B的事件数为, 则 7. 若10件产品中有件正品，3件次品,（1）不放回地每次从中任取一件，共取三次，求取到三件次品的概率；（2）每次从中任取一件，有放回地取三次，求取到三次次品的概率. 解（1）设A=取得三件次品 则（2）设B=取到三个次品, 则8. 某旅行社100名导游中有43人会讲英语，35人会讲日语，32人会讲日语和英语，9人会讲法语、英语和日语，且每人至少会讲英、日、法三种语言中的一种，求：（1）此人会讲英语和日语，但不会讲法语的概率；（2）此人只会讲法语的概率

5、. 解 设 A=此人会讲英语, B=此人会讲日语, C=此人会讲法语根据题意, 可得(1) (2) 9. 罐中有12颗围棋子，其中8颗白子4颗黑子，若从中任取3颗，求：（1）取到的都是白子的概率；（2）取到两颗白子，一颗黑子的概率；（3）取到三颗棋子中至少有一颗黑子的概率；（4）取到三颗棋子颜色相同的概率. 解 (1) 设A=取到的都是白子 则 (2) 设B=取到两颗白子, 一颗黑子 (3) 设C=取三颗子中至少的一颗黑子 (4) 设D=取到三颗子颜色相同10. （1）500人中，至少有一个的生日是7月1日的概率是多少(1年按365日计算)？（2）6个人中，恰好有个人的生日在同一个月的概率是多

6、少？解 (1) 设A = 至少有一个人生日在7月1日, 则 (2)设所求的概率为P(B)11. 将C，C，E，E，I，N，S 7个字母随意排成一行，试求恰好排成SCIENCE的概率p.解 由于两个C，两个E共有种排法，而基本事件总数为，因此有12. 从5副不同的手套中任取款4只，求这4只都不配对的概率. 解 要4只都不配对，我们先取出4双，再从每一双中任取一只，共有中取法. 设A=4只手套都不配对，则有13. 一实习生用一台机器接连独立地制造三只同种零件，第i只零件是不合格的概率为 ，i=1，2，3，若以x表示零件中合格品的个数，则P(x=2)为多少？解 设Ai = 第i个零件不合格，i=1,

7、2,3, 则所以 由于零件制造相互独立，有：14. 假设目标出现在射程之内的概率为0.7，这时射击命中目标的概率为0.6，试求两次独立射击至少有一次命中目标的概率p. 解 设A=目标出现在射程内，B=射击击中目标，Bi =第i次击中目标, i=1,2.则 P(A)=0.7, P(Bi|A)=0.6 另外 B=B1+B2，由全概率公式另外, 由于两次射击是独立的, 故P(B1B2|A)= P(B1|A) P(B2|A) = 0.36由加法公式P(B1+B2)|A)= P(B1|A)+ P(B2|A)P(B1B2|A)=0.6+0.6-0.36=0.84 因此 P(B)= P(A)P(B1+B2)

8、|A)=0.70.84 = 0.58815. 设某种产品50件为一批，如果每批产品中没有次品的概率为0.35，有1，2，3，4件次品的概率分别为0.25, 0.2, 0.18, 0.02，今从某批产品中抽取10件，检查出一件次品，求该批产品中次品不超过两件的概率. 解 设Ai =一批产品中有i件次品，i=0, 1, 2, 3, 4, B=任取10件检查出一件次品,C=产品中次品不超两件, 由题意 由于 A0, A1, A2, A3, A4构成了一个完备的事件组, 由全概率公式 由Bayes公式故 16. 由以往记录的数据分析，某船只运输某种物品损坏2%，10%和90%的概率分别为0.8，0.1

9、5，0.05，现在从中随机地取三件，发现三件全是好的，试分析这批物品的损坏率是多少（这里设物品件数很多，取出一件后不影响下一件的概率）. 解 设B=三件都是好的，A1=损坏2%, A2=损坏10%, A1=损坏90%，则A1, A2, A3是两两互斥, 且A1+ A2 +A3=, P(A1)=0.8, P(A2)=0.15, P(A2)=0.05. 因此有 P(B| A1) = 0.983, P(B| A2) = 0.903, P(B| A3) = 0.13,由全概率公式由Bayes公式, 这批货物的损坏率为2%, 10%, 90%的概率分别为 由于P( A1|B) 远大于P( A3|B),

10、P( A2|B), 因此可以认为这批货物的损坏率为0.2.17. 验收成箱包装的玻璃器皿，每箱24只装，统计资料表明，每箱最多有两只残次品，且含0，1和2件残次品的箱各占80%，15%和5%，现在随意抽取一箱，随意检查其中4只；若未发现残次品，则通过验收，否则要逐一检验并更换残次品，试求：（1）一次通过验收的概率；（2）通过验收的箱中确定无残次品的概率. 解 设Hi=箱中实际有的次品数, , A=通过验收则 P(H0)=0.8, P(H1)=0.15, P(H2)=0.05, 那么有：(1)由全概率公式(2)由Bayes公式 得18. 一建筑物内装有5台同类型的空调设备，调查表明，在任一时刻，

11、每台设备被 使用的概率为0.1，问在同一时刻（1）恰有两台设备被使用的概率是多少？（2）至少有三台设备被使用的概率是多少？解 设5台设备在同一时刻是否工作是相互独立的, 因此本题可以看作是5重伯努利试验. 由题意，有p=0.1, q=1-p=0.9, 故(1) (2) 第二章 随机变量及其分布1. 有10件产品，其中正品8件，次品两件，现从中任取两件，求取得次品数X的分律. 解 X的分布率如下表所示：X012p28/4516/451/452. 进行某种试验，设试验成功的概率为，失败的概率为，以X表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率. 解 X的分布律为：X取偶数

12、的概率：3. 从5个数1，2，3，4，5中任取三个为数.求：Xmax ()的分布律及P(X4)；Ymin ()的分布律及P(Y3). 解 基本事件总数为：，X345p0.10.30.6 (1)X的分布律为：P(X4)=P(3)+P(4)=0.4 (2)Y的分布律为Y123p0.60.30.1P(X3) =04. C应取何值，函数f(k) =，k1，2，0成为分布律？解 由题意, , 即解得：5. 已知X的分布律X112P 求：（1）X的分布函数；（2）；（3）. 解 (1) X的分布函数为(2) (3) F(x)0x10.616. 设某运动员投篮投中的概率为P0.6，求一次投篮时投中次数X的分

13、布函数，并作出其图形. 解 X的分布函数 7. 对同一目标作三次独立射击，设每次射击命中的概率为p，求：（1）三次射击中恰好命中两次的概率；（2）目标被击中两弹或两弹以上被击毁，目标被击毁的概率是多少？解 设A=三次射击中恰好命中两次，B=目标被击毁，则(1) P(A) =(2) P(B) =8. 一电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求：（1）每分钟恰有6次呼唤的概率；（2）每分钟的呼唤次数不超过10次的概率. 解 (1) P(X=6) =或者P(X=6) = = 0.21487 0.11067 = 0.1042.(2) P(X10) = 0.997169. 设随机变量X服从泊

14、松分布，且P(X1)P(X2)，求P(X4)解 由已知可得， 解得=2， (=0不合题意)= 0.0910. 商店订购1000瓶鲜橙汁，在运输途中瓶子被打碎的概率为0.003，求商店收到的玻璃瓶，（1）恰有两只；（2）小于两只；（3）多于两只；（4）至少有一只的概率. 解 设X=1000瓶鲜橙汁中由于运输而被打破的瓶子数，则X服从参数为n=1000, p=0.003的二项分布，即XB(1000, 0.003), 由于n比较大，p比较小，np=3, 因此可以用泊松分布来近似, 即X(3). 因此 (1) P(X=2) (2)(3)(4) 11. 设连续型随机变量X的分布函数为求：（1）系数k；（

15、2）P(0.25X0.75)；（3）X的密度函数；（4）四次独立试验中有三次恰好在区间(0.25，0.75)内取值的概率. 解 (1) 由于当0x1时，有 F(x)=P(Xx)=P(X0)+P(0Xx)=kx2 又F(1) =1, 所以k12=1因此k=1. (2) P(0.25X0.75) = F(0.75)-F(0.25) = 0.752-0.252=0.5 (3) X的密度函数为 (4) 由(2)知，P(0.25X80/100)=P(Z0.8)= 如果供电量只有80万千瓦，供电量不够用的概率为：P(Z90/100)=P(Z0.9)=14. 某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命(

16、单位 小时)都服从同一指数分布，分布密度为试求在仪器使用的最初200小时以内，至少有一只电子元件损坏的概率. 解 设X表示该型号电子元件的寿命，则X服从指数分布，设A=X200，则 P(A)= 设Y=三只电子元件在200小时内损坏的数量，则所求的概率为：15. 设X为正态随机变量，且XN(2，)，又P(2X4) = 0.3，求P(X0)解 由题意知即故 16. 设随机变量X服从正态分布N(10，4)，求a，使P(|X10|0时，当y0时，0因此有 22. 若随机变量X的密度函数为求Y的分布函数和密度函数. 解 y= 在(0,1)上严格单调，且反函数为 h(y)= , y1, h(y)=因此有

17、Y的分布函数为：23. 设随机变量X的密度函数为试求YlnX的密度函数. 解 由于严格单调，其反函数为, 则24. 设随机变量X服从N(,)分布，求Y的分布密度. 解 由于严格单调，其反函数为y0, 则当时因此 25. 假设随机变量X服从参数为2的指数分布，证明：Y在区间(0, 1)上服从均匀分布. 解 由于在(0, +)上单调增函数，其反函数为：并且，则当当y0或y1时，=0.因此Y在区间(0, 1)上服从均匀分布.26. 把一枚硬币连掷三次，以X表示在三次中正面出现的次数，Y表示三次中出现正面的次数与出现反面的次数之差的绝对值，试求（X，Y）的联合概率分布. 解 根据题意可知, (X,Y)

18、可能出现的情况有：3次正面，2次正面1次反面, 1次正面2次反面, 3次反面, 对应的X,Y的取值及概率分别为 P(X=3, Y=3)= P(X=2, Y=1)=P(X=1, Y=1)= P(X=0, Y=3)= 于是，（X，Y）的联合分布表如下：XY0123103/83/8031/8001/827. 在10件产品中有2件一级品，7件二级品和1件次品，从10件产品中无放回抽取3件，用X表示其中一级品件数，Y表示其中二级品件数，求：（1）X与Y的联合概率分布；（2）X、Y的边缘概率分布；（3）X与Y相互独立吗？解 根据题意，X只能取0，1，2，Y可取的值有：0，1，2，3，由古典概型公式得：(1

19、) 其中, ,可以计算出联合分布表如下 YX012300021/12035/12056/1201014/12042/120056/12021/1207/120008/1201/12021/12063/12035/120(2) X,Y的边缘分布如上表(3) 由于P(X=0,Y=0)=0, 而P(X=0)P(Y=0)0, P(X=0,Y=0)P(X=0)P(Y=0), 因此X,Y不相互独立.28. 袋中有9张纸牌，其中两张“2”，三张“3”，四张“4”，任取一张，不放回，再任取一张，前后所取纸牌上的数分别为X和Y，求二维随机变量(X, Y)的联合分布律，以及概率P(XY6)解 (1) X,Y可取的

20、值都为2,3,4, 则(X,Y)的联合概率分布为：YX23422/931/344/92/91/34/9(2)P(X+Y6) = P(X=3, Y=4) + P(X=4, Y=3) + P(X=4,Y=4)=1/6+1/6+1/6=1/2.29. 设二维连续型随机变量(X, Y)的联合分布函数为求：（1）系数A、B及C； （2）(X, Y)的联合概率密度； （3）X，Y的边缘分布函数及边缘概率密度；（4）随机变量X与Y是否独立？解 (1) 由(X, Y)的性质, F(x, -) =0, F(-,y) =0, F(-, -) =0, F(+, +)=1, 可以得到如下方程组：解得：(2) (3)

21、X与Y的边缘分布函数为：X与Y的边缘概率密度为：(4) 由(2),(3)可知：, 所以X，Y相互独立. 30. 设二维随机变量(X, Y)的联合概率密度为（1）求分布函数F(x, y)；（2）求(X，Y)落在由x0，y0，xy1所围成的三角形区域G内的概率. 解 (1) 当x0, y0时， 否则，F(x, y) = 0. (2) 由题意，所求的概率为31. 设随机变量（X，Y）的联合概率密度为求：（1）常数A；（2）X，Y的边缘概率密度；（3）.解 (1) 由联合概率密度的性质，可得解得 A=12.(2) X, Y的边缘概率密度分别为：(3) 32. 设随机变量（X，Y）的联合概率密度为求 P

22、(XY1).解 由题意，所求的概率就是(X,Y)落入由直线x=0 ,x=1, y=0, y=2, x+y=1围的区域G中, 则33. 设二维随机变量(X, Y)在图2.20所示的区域G上服从均匀分布，试求(X, Y)的联合概率密度及边缘概率密度. 解 由于(X, Y)服从均匀分布，则G的面积A为：(X, Y)的联合概率密度为： X,Y的边缘概率密度为：34. 设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在(0, 0.2)上服从均匀分布，Y的概率密度是求：（1）X和Y和联合概率密度； （2）P(YX).解 由于X在(0, 0.2)上服从均匀分布，所以y=xy(1) 由于X，Y相互独立，因此X, Y的联合

23、密度函数为：0 0.2 x(2) 由题意，所求的概率是由直线x=0, x=0.2, y=0, y=x所围的区域，如右图所示， 因此35. 设（X，Y）的联合概率密度为求X与Y中至少有一个小于的概率.解 所求的概率为36. 设随机变量X与Y相互独立，且 X113 Y 31P P 求二维随机变量（X，Y）的联合分布律. 解 由独立性，计算如下表XY-113-31/81/203/401/413/83/209/403/41/21/56/2037. 设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为 X123 Y 1 2 abc（1）求常数a，b，c应满足的条件；（2）设随机变量X与Y相互独立，求常数a，b，c.解

24、 由联合分布律的性质，有： , 即 a + b + c = 又，X, Y相互独立，可得 从而可以得到： 38. 设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为求边缘分布函数与，并判断随机变量X与Y是否相互独立. 解 由题意, 边缘分布函数 下面计算FY(y) 可以看出，F(x,y)= Fx(x) FY(y), 因此，X，Y相互独立. 39. 设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为求边缘概率密度与，并判断随机变量X与Y是否相互独立. 解 先计算, 当x1时, 当x1时, 再计算, 当y1时, 当y1时, 可见, , 所以随机变量X, Y相互独立40. 设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为求边缘概

25、率密度与，并判断随机变量X与Y是否相互独立. 解 先计算, 当x1时, 当1x0时, 再计算, 当y1时, 当1y0时, 由于, 所以随机变量X,Y不独立41. 设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为求随机变量ZX2Y的分布密度. 0zxyzxyxyyx-2y=z解 先求Z的分布函数F(z)Dy 当z0, y0, x-2yzy 求得x-2y=zDy 当z0时，积分区域为：D=(x,y)|x0, y0, x-2yz， xy0zxyzxy由此, 随机变量Z的分布函数为 因此, 得Z的密度函数为：42. 设随机变量X和Y独立，X，Y服从b，b(b0)上的均匀分布，求随机变量ZXY的分布密度. 解

26、解法一 由题意，令则解法二43. 设X服从参数为的指数分布，Y服从参数为的指数分布，且X与Y独立，求ZXY的密度函数. 解 由题设，X, Y并且，X，Y相互独立，则由于仅在x0时有非零值，仅当z-x0，即zx时有非零值，所以当z0时，有0zx, 因此44. 设（X，Y）的联合分布律为 X 0123 Y000.050.080.1210.010.090.120.1520.020.110.130.12求：（1）ZXY的分布律；（2）Umax（X，Y）的分布律；（3）Vmin（X，Y）的分布律. 解 (1) X+Y的可能取值为：0，1，2，3，4，5，且有 P(Z=0)=P(X=0,Y=0) = 0

27、P(Z=1)=P(X=1,Y=0) + P(X=0,Y=1) = 0.06 P(Z=2)=P(X=2,Y=0) + P(X=0,Y=2) + P(X=1,Y=1) = 0.19 P(Z=3)=P(X=3,Y=0) + P(X=1,Y=2) + P(X=2,Y=1) = 0.35 P(Z=4)=P(X=2,Y=2) + P(X=3,Y=1) = 0.28 P(Z=5)=P(X=3,Y=2) = 0.12 Z=X+Y的分布如下 Z012345p00.060.190.350.280.12同理，U=max(X,Y)的分布如下 U0,1,2,3U0123p00.150.460.39V012p0.280.

28、470.25同理，V=min(X,Y)的分布分别如下 V0,1,2第三章 随机变量的数字特征1. 随机变量X的分布列为 X 10 12 P 求E(X)，E(X1)，E(X2)解 或者2. 一批零件中有9件合格品与三件废品，安装机器时从这批零件中任取一件，如果取出的废品不再放回，求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望. 解 设取得合格品之前已经取出的废品数为X, X的取值为0, 1, 2, 3, Ak表示取出废品数为k的事件， 则有：3. 已知离散型随机变量X的可能取值为1、0、1，E(X)0.1，E(X2)0.9，求P(X=-1)，P(X0)，P(X1).解 根据题意得： 可以解得 P(X

29、=-1)=0.4, P(X=1)=0.5, P(X=0) = 1- P(X=-1) - P(X=1) = 1-0.4-0.5=0.14. 设随机变量X的密度函数为求E(X).解 由题意, , 5. 设随机变量X的密度函数为求E(2X)，E().解 6. 对球的直径作近似测量，其值均匀分布在区间a，b上，求球的体积的数学期望. 解 由题意，球的直接DU(a,b), 球的体积V= 因此，7. 设随机变量X，Y的密度函数分别为求E(XY)，E(2X3Y2). 解 8. 设随机函数X和Y相互独立，其密度函数为求E(XY).解 由于XY相互独立, 因此有 9. 设随机函数X的密度为求E(X), D(X)

30、.解 10. 设随机函数X服从瑞利(Rayleigh)分布, 其密度函数为其中0是常数，求E(X)，D(X).解 11. 抛掷12颗骰子，求出现的点数之和的数学期望与方差. 解 掷1颗骰子，点数的期望和方差分别为： E(X) = (1+2+3+4+5+6)/6= 7/2 E(X2)=(12+22+32+42+52+62)/6=91/6因此 D(X) = E(X2)-(E(X) 2 = 35/12 掷12颗骰子, 每一颗骰子都是相互独立的, 因此有： E(X1+X2+X12)=12E(X) = 42 D(X1+X2+X12) =D(X1)+D(X2)+D(X12)=12D(X)=3512. 将n

31、只球（1n号）随机地放进n只盒子（1n号）中去，一只盒子装一只球，将一只球装入与球同号码的盒子中，称为一个配对，记X为配对的个数，求E(X), D(X).解 （1）直接求X的分布律有些困难，我们引进新的随机变量Xk , 则有：，Xk服0-1分布因此：（2）服从0-1分布，则有故，E(X)=D(X)=1.我们知道，泊松分布具有期望与方差相等的性质，可以认定，X服从参数为1的泊松分布. 13. 在长为l的线段上任意选取两点，求两点间距离的数学期望及方差. 解 设所取的两点为X,Y, 则X,Y为独立同分布的随机变量, 其密度函数为 依题意有 D(X-Y) = E(X-Y)2)-(E(X-Y)2 =

32、14. 设随机变量X服从均匀分布，其密度函数为求E(2X2)，D(2X2). 解 15. 设随机变量X的方差为2.5，试利用切比雪夫不等式估计概率 的值. 解 由切比雪夫不等式, 取, 得16. 在每次试验中，事件A发生的概率为0.5，如果作100次独立试验，设事件A发生的次数为X，试利用切比雪夫不等式估计X在40到60之间取值的概率解 由题意，XB(100，0.5), 则E(X) = np = 50, D(X) = npq = 25 根据切比雪夫不等式, 有17. 设连续型随机变量X的一切可能值在区间a，b内，其密度函数为，证明：（1）aE(X)b；（2）.解 (1) 由题意，aXb, 那么

33、 则由于所以(2) 解法(一)即 ,又 解法(二), 由于18. 设二维随机变量（X，Y）的分布律为 X01 Y10.1 0.2 20.20.4求E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)，cov(X, Y)，及协方差矩阵.解 由题设， E(XY) = 000.1+010.2+100.3+110.4 = 0.4 cov(X,Y) = E(XY)-E(X)E(Y) = 0.4-0.60.7 = -0.02协方差矩阵为19. 设二维随机变量（X，Y）的分布律为 X 101 Y1 00 1 试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.解 由于因此, 即X和Y是不相关的.但由于, 因此X,Y不是相互独

34、立的.20. 设二维随机变量（X，Y）的密度函数为求E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)，cov(X, Y)，及协方差矩阵. 解 又 同理可得 ,协方差矩阵为21. 已知随机变量(X, Y)服从正态分布，且E(X)E(Y)=0，D(X)=16，D(Y)=25，cov(X,Y)12，求(X, Y)的密度函数.解 由题意, 则密度函数为 22. 设随机变量X和Y相互独立，且E(X)E(Y)0，D(X)D(Y)1，试求E(XY)2).解 由于因此有23. 设随机变量X和Y的方差分别为25，36，相关系数为0.4，试求D(XY)，D(XY).解 由题意， D(X+Y)=2(cov(X,Y)+D(X)

35、+D(Y) = 24+25+36=85 因为 cov(X, -Y) = -cov(X,Y) = -12因此D(X-Y) = 2(cov(X, -Y)+D(X)+D(-Y) = -24 + 25 + 36 = 37.24. 设随机变量X和Y相互独立，且都服从正态分布N(0, s2)，令UaXbY，VaX-bY，试求U和V的相关系数.解 由于X，Y相互独立，则都服从N(0, s2)第四章 大数定律与中心极限定理1. 设Xi，i1，2，50是相互独立的随机变量，且它们都服从参数为l0.02的泊松分布. 记XX1X2+X50，试利用中心限定理计算P(X2).解 由题意，E(Xi) = D(Xi) =

36、l = 0.02， 由中心极限定理: 随机变量近似服从标准正态分布 所以有:2. 某计算机系统有100个终端，每个终端有2的时间在使用，若各个终端使用与否是相互独立的，试分别用二项分布、泊松分布、中心极限定理，计算至少一个终端被使用的概率. 解 设X为被使用的终端数, 由题意, XB(100, 0.02) (1) 用二项分布计算 (2) 用泊松分布近似计算 因为 l = np = 1000.02 = 2, 查表得 0.1353 = 0.8647. (3) 中心极限定近似计算3. 一个部件包括10个部分，每部分的长度是一个随机变量，它们相互独立，服从同一分布，数学期望为2mm，均方差不0.05m

37、m，规定部件总长度为200.1mm时为合格品，求该部件为合格产品的概率. 解 设Xi表示一部分的长度, i=1, 2, , 10. 由于X1, X2, , X10相互独立, 且E(Xi) =2, D(Xi)=0.052, 根据独立同分布中心极限定理，随机变量 近似地服从标准正态分布. 于是4. 计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为最接近于它的整数），设所有的取整误差是相互独立的，且它们都在(-0.5, 0.5)上服从均匀分布. (1) 若将1500个数相加，试求误差总和的绝对值超过15的概率；(2) 多少个数相加可使误差总和绝对值小于10的概率为0.05的概率.解 设Xi表示一个加数的误差，则XiU(-0.5, 0.5), E(Xi) =0, D(Xi)=1/12 (1) 根据独立同分布中心极限定理，随机变量近似地服从标准正态分布. 于是 因此所求的概率为：1-P(-15X15) = 1-0.8198 = 0.1802 (2) 由题意，设有n个数相加可使误差总和绝对值小于10的概率为0.90,X = nXi. 由独立同分布的中心极限定理，随机变量