最新《概率论与数理统计》课后习题解答.doc

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1、精品资料概率论与数理统计课后习题解答.概率论与数理统计课后习题解答习题一3设,表示三个事件,用,的运算关系表示下列各事件：（1）发生,与不发生;（2）与都发生,而不发生;（3）,都发生;（4）,都不发生;（5）,中至少有一个发生;（6）,中恰有一个发生;（7）,中至少有两个发生;（8）,中最多有一个发生.解：（1）； （2）； （3）； （4）；（5）； （6）； （7）；（8）或5在房间里有个人，分别佩戴从号到号的纪念章，任选人记录其纪念章的号码（1）求最小的号码为的概率;（2）求最大的号码为的概率.解：设事件表示“最小的号码为”，事件表示“最大的号码为”，由概率的古典定义得（1）；（2）6

2、一批产品共有件，其中有件废品，求：（1）任取件产品恰有件是废品的概率;（2）任取件产品没有废品的概率;（3）任取件产品中废品不少于件的概率.解：设事件表示“取出的件产品中恰有件废品”，由概率的古典定义得（1）；（2）；（3）8从,这十个数字中任意取出三个不同的数字，求下列事件的概率：表示“这三个数字中不含和”；表示“这三个数字中包含或”；表示“这三个数字中含但不含”解：由概率的古典定义得；9已知,，求和解：10已知,求解：11某种品牌电冰箱能正常使用年的概率为,能正常使用年的概率为,现某人购买的该品牌电冰箱已经正常使用了年,问还能正常用到年的概率是多少?解：设事件分别表示“该品牌电冰箱能正常使

3、用10,15年”，依题可知，则所求的概率为12某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨最后一个号码（1）求他拨号不超过三次而接通的概率;（2）若已知最后一个数字是奇数，那么他拨号不超过三次而接通的概率又是多少?解：设事件分别表示“他拨号不超过三次而接通”，事件分别表示“最后一个数字是奇数”，则所求的概率为（1）（2）13一盒里有个电子元件,其中有个正品,个次品.从中每次抽取一个,不放回地连续抽取四次,求第一、第二次取得次品且第三、第四次取得正品的概率解：设事件表示“第次取得次品”（），则所求的概率为 14一仓库中有箱同种规格的产品,其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有箱、箱、箱,三厂产品的

4、次品率依次为,从这箱中任取 一箱,再从这箱中任取一件产品,求取得正品的概率解：设事件分别表示“产品是甲，乙，丙厂生产的”，事件表示“产品是正品”，显然，事件构成一个完备事件组，且由全概率公式得15甲、乙、丙三门高炮同时独立地各向敌机发射一枚炮弹,它们命中敌机的概率都是.飞机被击中弹而坠毁的概率为,被击中弹而坠毁的概率为,被击中弹必定坠毁.（1）求飞机坠毁的概率;（2）已知飞机已经坠毁,试求它在坠毁前只被命中弹的概率.解：设事件表示“飞机被击中弹而坠毁”，事件表示“飞机坠毁”，显然，事件构成一个完备事件组，由二项概率公式计算得 （1）由全概率公式得（2）由贝叶斯公式得16设甲袋中装有个红球,个白

5、球;乙袋中装有个红球,个白球.先从甲袋中任取个球放入乙袋中,然后从乙袋中任取一个球,求取到是白球的概率.解：设事件表示“从甲袋取出的个球中有个白球”，事件表示“从乙袋中取出的一个球是白球”，显然，事件构成一个完备事件组，且，由全概率公式得17已知男子有是色盲患者,女子有是色盲患者.现在从男女人数相等的人群中随机地挑选一人,恰好是色盲患者,问此人是男性的概率是多少?解：设事件表示“此人是男性”，事件表示“此人是色盲患者”，显然，事件构成一个完备事件组，且，由贝叶斯公式得18设机器正常时生产合格品的概率为,当机器发生故障时生产合格品的概率为,而机器正常（即不发生故障）的概率为.某天,工人使用该机器

6、生产的第一件产品是合格品,求机器是正常的概率.解：设事件表示“该机器正常”，事件表示“产品是合格品”，显然，事件构成一个完备事件组，且由贝叶斯公式得19三人独立地去破译一个密码,他们能够译出的概率分别是,问能将密码译出的概率是多少?解：设事件分别表示“第一人，第二人，第三人破译出密码”，显然事件相互独立，且，则所求的概率为20加工某一零件共需经过四道工序,设第一、二、三、四道工序的次品率分别是,和.假设各道工序是互不影响的,求加工出来的零件的次品率.解：设事件表示“第道工序加工出次品”，显然事件相互独立，且，则所求的概率为21设第一个盒子里装有个蓝球,个绿球,个白球;第二个盒子里装有个蓝球,个

7、绿球,个白球.现在独立地分别从两个盒子里各取一个球.（1）求至少有一个蓝球的概率;（2）求有一个蓝球一个白球的概率;（3）已知至少有一个蓝球,求有一个蓝球一个白球的概率.解：设事件表示“从第一个盒子里取出的球是篮球，白球”，事件表示“从第二个盒子里取出的球是篮球，白球”，显然事件与相互独立，且，则所求的概率为（1）；（2）；（3）122设一系统由三个元件联结而成（如图）,各个元件独立地工作,且每个元件能正常工作的概率均为().求系统能正常工作的概率.32图解：设事件表示“第个元件正常工作”，事件表示“该系统正常工作”，显然，事件相互独立，且，则所求的概率为24一批产品中有的次品,进行放回抽样检

8、查,共取件样品.计算：（1）这件样品中恰有件次品的概率;（2）这件样品中最多有件次品的概率.解：设事件表示“该样品是次品”，显然，这是一个伯努利概型，其中，由二项概率公式有（1）（2）习题二2.离散型随机变量的概率函数为：（1）（2）分别求（1）、（2）中的值。解：（1），解得；（2），解得3.对某一目标进行射击，直到击中为止，若每次射击命中率为，求射击次数的概率分布。解：设随机变量表示“直接击中目标时的射击次数”，显然，可取，故的概率分布为：4.一大楼装有5个同类型的供水设备。调查表明在任一时刻，每个设备被使用的概率为0.1，且各个设备的使用是相互独立的。求在同一时刻被使用的设备数的概率分布

9、，并求在同一时刻：（1）恰有2个设备被使用的概率；（2）至少有3个设备被使用的概率；（3）最多有3个设备被使用的概率；（4）至少有1个设备被使用的概率。解：设随机变量表示“在同一时刻被使用的设备数”，显然，其中，故的概率分布为（1）恰有2个设备被使用的概率为（2）至少有3个设备被使用的概率为（3）最多有3个设备被使用的概率为（4）至少有1个设备被使用的概率为7. 设随机变量，当为何值时，概率取得最大值？ 解：因概率取得最大值，则，即即，故8.设随机变量的分布函数为求：（1）的概率分布。 （2）概率 。解：（1）依题可知，随机变量可取，则的概率分布为（2）9.设随机变量的概率密度为 求的分布函数

10、。解：随机变量的分布函数为10.设的分布函数为求：（1）系数；（2）的概率密度；（3）概率。解：（1）由于是连续函数，有，而，故；（2）（3）11.随机变量的概率密度为，求系数及的分布函数。解：由于，有，解得；随机变量的分布函数为12.已知的概率密度为，求常数及解：由于，有，解得；13.随机变量的分布函数为 求。 解：14.某种电子元件的使用寿命（单位：h）的概率密度为 求在150h内：（1）3个电子元件中没有1个损坏的概率；（2）3个电子元件中只有1个损坏的概率；（3）3个电子元件全损坏的概率。解：设随机变量表示“在150h内，3个电子元件中损坏的元件数”，显然，其中，（1）3个电子元件中没

11、有1个损坏的概率为：；（2）3个电子元件中只有1个损坏的概率为：；（3）3个电子元件全损坏的概率为：15.一个袋内装有5个白球，3个红球。第一次从袋内任意取一个球，不放回，第二次又从袋内任意取两个球，表示第次取到的白球数（）。求（1）的联合概率分布及边缘概率分布；（2），。解：（1）依题可知，随机变量可取，随机变量可取，而 （）则的联合概率分布，与的边缘概率分布分别为012011（2）16.设与相互独立，证明：对任意实数，事件与事件相互独立。解：因与相互独立，则，而故事件与事件相互独立。17.设二维随机变量的联合概率密度为 求：（1）常数；（2）；（3）；（4）。解：（1）由于，有，解得；（2

12、）；（3）；（4）18.设二维随机变量的联合概率密度为 则称在圆域上服从均匀分布。试判断与是否相互独立。解：同理，显然，故与不独立。习题三1 甲乙两台机器一天中出现次品的概率函数分别为01230.40.30.20.101230.30.50.20若两台机器的日产量相同，问哪台机器较好？解：依题有，显然，即甲机器的平均次品数比乙机器的平均次品数大，故乙机器较好。2 某种电子元件的寿命（单位：）的概率密度为 其中为常数.求这种电子元件的平均寿命.解：3. 设随机变量的概率密度为 已知，求的值.解：依题可知，4. 设10只同种电器元件中有两只废品，装配仪器时，从这批元件中任取一只，若是废品，则扔掉重新

13、任取一只，若仍是废品，则再扔掉重新任取一只.试求在取到正品之前已取出的废品数的概率分布与数学期望.解：依题可知，随机变量可取，而故随机变量的概率分布为012且5设随机变量，试求.解：依题可知，且，而故.6设随机变量，且有，求.解：依题可知，则.而即，解得.7. 掷颗骰子，求点数之和的数学期望.解：设随机变量表示“颗骰子的点数之和”，表示“第颗骰子的点数”，显然，相互独立，且，而的概率分布为123456显然，故.8设随机变量的概率密度为 求.解：因故.9.设随机变量的概率密度函数为 求解：6分，11设随机变量的分布函数为 试确定常数，并求.解：因为连续函数，则，即则，所以，. 习题四1.设，求下

14、列概率（1）;(2);(3);(4).解：（1）（2）（3）（4）2已知某次测试的成绩，95分以上的同学占2.28%.求（1）介于80分与90分之间的同学的比例；（2）小于60分的同学的比例.解：因即，查表得，则，故（1）（2） 3已知随机变量，且，求.解：因即，则4. 已知随机变量，且 求.解：依题有由此可得，解得6.设随机变量，求. 解：因，则11一加法器同时收到48个噪声电压，设它们是相互独立的随机变量，且都在区间上服从均匀分布，记，求.解：依题可知，由独立同分布中心极限定理得12. 一部件包括100个部分，每部分的长度是一个随机变量，它们相互独立，且服从同一分布，其数学期望为2mm，均

15、方差为0.05mm.规定总长度200mm误差在1mm内算合格品，试求产品合格的概率.解：设随机变量表示“第个部分的长度”，则相互独立，且表示“该部件的总长度”， 由独立同分布中心极限定理得13. 掷硬币900次，试求：（1）至少出现正面480次的概率；（2）出现正面在420次到480次之间的概率.解：设随机变量表示“掷900次硬币中出现正面的次数”，则，由棣莫弗拉普拉斯中心极限定理得（1）（2）14. 一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于的概率，若船舶遭受了90000次波浪冲击，问其中有次纵摇角度大于的概率是多少？ 解：设随机变量表示“在90000次波浪冲击中纵摇角大于的次

16、数”，则，由棣莫弗拉普拉斯中心极限定理得16.设有30个电子器件，它们的使用情况如下：损坏，接着使用；损坏，接着使用等等.设器件的使用寿命服从参数（单位：）的指数分布.令为30个器件使用的总时数，问超过350h的概率是多少？解：设随机变量表示“第个电子器件的使用寿命”，依题可知，相互独立，且，由独立同分布中心极限定理得习题六1设总体的概率密度为，其中， 为来自总体的样本，求参数的矩估计量。解：总体的一阶原点矩为，而样本的一阶原点矩为，用样本的一阶原点矩估计总体的一阶原点矩，即有，由此得的矩估计量为3设总体，现从该总体中抽取容量为10的样本，样本观测值为：0.5，1.3，0.6，1.7，2.2，

17、1.2，0.8，1.5，2.0，1.6试求参数的矩估计值。解：总体的一阶原点矩为，而样本的一阶原点矩为，用样本的一阶原点矩估计总体的一阶原点矩，即有，由此得的矩估计量为，其矩估计值为6设为来自总体的一组样本观测值，求下列总体概率密度中的最大似然估计值。（1）（）；（2）（已知）；（3）解：（1）似然函数为因为0不是的最大值，考虑两边取对数，得 解方程 ，即解得，即为的最大似然估计值。（2）似然函数为因为0不是的最大值，考虑两边取对数，得 解方程 ，即解得，即为的最大似然估计值。（3）似然函数为因为0不是的最大值，考虑两边取对数，得 解方程 ，即解得，即为的最大似然估计值。8若总体服从参数为的泊

18、松分布，即，；为样本观测值，求参数的矩估计值和最大似然估计值。解：（1）总体的一阶原点矩为而样本的一阶原点矩为，用样本的一阶原点矩估计总体的一阶原点矩，即有，由此得的矩估计量为（2） 似然函数为取对数解方程 得所以，参数的最大似然估计量为15设某种电子元件的使用寿命服从正态分布，任抽9个测得其寿命（单位：h）如下：3540，4130，3210，3700，3650，2950，3670，3830，3810试在以下两种条件下，求该批电子元件的平均寿命置信水平为99%的置信区间。（1）已知总体的标准差小时；（2）总体的标准差未知。解：（1）依题可知，查标准正态分布表得，则故该批电子元件的平均寿命置信水

19、平为99%的置信区间为，即（2）依题可知，而查分布表得，则故该批电子元件的平均寿命置信水平为99%的置信区间为，即18某批牛奶中被混入了一种有害物质三聚氰胺。现从中随机抽取10盒进行检测，得到每公斤牛奶中三聚氰胺的含量如下（单位：毫克/公斤）：0.86，1.53，1.57，1.81，0.99，1.09，1.29，1.78，1.29，1.58假设这批牛奶中三聚氰胺的含量（单位：毫克/公斤）服从正态分布，试求：（1） 含量均值的置信水平为90%的置信区间； （2）含量方差的置信水平为90%的置信区间。解：（1）依题可知，而查分布表得，则故该批电子元件的平均寿命置信水平为99%的置信区间为，即（2）查分布表得，则该批电子元件的方差的置信水平为90%的置信区间为，即19在一批铜丝中，抽取9根，测得其抗拉强度为578 582 574 568 596 572 570 784 578设抗拉强度服从正态分布，求的置信水平为95%的置信区间。解：依题可知，而查分布表得，则该批钢丝的方差的置信水平为95%的置信区间为，即