数学归纳法(一)课件新课标人教A版选修2-2.ppt

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1、2.3 2.3 数学归纳法数学归纳法1) 55(22nnnan1、已知数列、已知数列 an 的通项公式为的通项公式为 分别计算分别计算a1、a2、a3、a4、的值、的值,猜想猜想an3、三角形的内角和为三角形的内角和为180，四边形的内角和为，四边形的内角和为2180,五五 边形的内角和为边形的内角和为3180，于是有：凸，于是有：凸n边边形的内角和为形的内角和为 Sn= (n- 2) 180。2、对于数列，已知对于数列，已知，na11=annnaaa+=+11求出数列前求出数列前4项项, 你能得到什么猜想？你能得到什么猜想？ 如何通过如何通过有 限 个 步 骤有 限 个 步 骤的 推 理 ，

2、 证的 推 理 ， 证明明n取所有正取所有正整数都成立？整数都成立？问题引入问题引入数学归纳法数学归纳法对于某些与对于某些与 有关的命题常常采用下面的有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：方法来证明它的正确性：1.1.先证明当先证明当n n取第一个值取第一个值n n0 0时命题成立；时命题成立；2.2. 当当n=k(kn=k(k N N* *，knkn0 0) )时命题成立，时命题成立， 当当n=k+1n=k+1时命题也成立。时命题也成立。这种证明方法就叫做。数学归纳法数学归纳法正整数n假设假设证明证明 多多米米诺诺骨骨牌牌课课件件演演示示 例例1：用数学归纳法证明用数学归纳法证明：1

3、 12 22 23 33 34 4n(nn(n1) 1) 1(1)(2)3n nn 从从n=kn=k到到n=k+1n=k+1有什么变化有什么变化利 用 假利 用 假设设凑结论凑结论证明证明:2)假设假设n=k时命题成立时命题成立,即即122334k(k+1)2)(1(31 kkk则当则当n=k+1时，时， )1(.433221 kk)2)(1( kk)2)(1(31 kkk+)2)(1( kk= =)2)(1( kk)131( k n=k+1时命题正确。时命题正确。 由由(1)和和(2)知，当知，当 ，命题正确，命题正确。Nn = 2111)1(31 kkk1)当当n=1时，左边时，左边=12

4、=2,右边右边= =2. 命题成立命题成立1 111223 33 3数学归纳法步骤，用框图表示为：数学归纳法步骤，用框图表示为： 验证验证n= =n0 0时时命题成立。命题成立。若若n = k ( k n0 0 ) 时命题成立，时命题成立，证明当证明当n=k+1时命题也成立。时命题也成立。 命题对从命题对从n0 0开始的所有开始的所有的正整数的正整数n都成立。都成立。归纳奠基归纳奠基归纳递推归纳递推 注：两个步骤注：两个步骤,一个结论一个结论,缺一不可缺一不可上如证明对吗？为什么？上如证明对吗？为什么？证明证明：当当n=1时，左边时，左边设设n=k时，有时，有135.(21)2(1)1kk即即

5、n=k+1时，命题成立。时，命题成立。根据根据问可知，对问可知，对nN，等式成立，等式成立。思考：用数学归纳法证明用数学归纳法证明: :当当 Nn2) 12(.531nn1右边右边12) 12(.531kk等式成立。等式成立。第二步证明第二步证明中没有用到假中没有用到假设，这不是数设，这不是数学归纳法证明学归纳法证明。则，当则，当n=k+1时时212 (1 )1 (1 )2(1 )kkk135（2n1）正确解法：正确解法：用数学归纳法证明用数学归纳法证明n2即当即当n=k+1时等式也成立。时等式也成立。根据（根据（1 1）和（）和（2 2）可知，等式对任何都成立。）可知，等式对任何都成立。n

6、N证明：证明：135（2k1）+2(k+1)1那么当那么当n=k+1时时（2）假设当）假设当nk时，等式成立，即时，等式成立，即（1）当）当n=1时，左边时，左边1，右边，右边1，等式成立。，等式成立。135（2k1）k2 + 2(k+1)1k2 2k1k2 （k+1）2（假设）（假设）（利用假设）（利用假设）注意：注意：递推基础不可少，递推基础不可少， 归纳假设要用到，归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉结论写明莫忘掉。证明传递性证明传递性（凑结论）凑结论）用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项： 明确首取值明确首取值n n0 0并验证真假。（必不可少）并

7、验证真假。（必不可少） “ “假设假设n=kn=k时命题正确时命题正确”并写出命题形式。并写出命题形式。分析分析“n=k+1n=k+1时时”命题是什么，并找出与命题是什么，并找出与“n=k”n=k”时时命题形式的差别。弄清左端应增加的项。命题形式的差别。弄清左端应增加的项。明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等， 并并 用上假设。用上假设。课堂练习课堂练习2 2、求证：求证：1+2+3+1+2+3+n=+n=12n(n+1 )课堂小结课堂小结1、数学归纳法能够解决哪一

8、类问题？、数学归纳法能够解决哪一类问题？一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题2、数学归纳法证明命题的步骤是什么？、数学归纳法证明命题的步骤是什么？两个步骤和一个结论，缺一不可两个步骤和一个结论，缺一不可3、数学归纳法证明命题的关键在哪里？、数学归纳法证明命题的关键在哪里？关键在第二步，即归纳假设要用到，解题目标要明确关键在第二步，即归纳假设要用到，解题目标要明确4、数学归纳法体现的核心思想是什么？、数学归纳法体现的核心思想是什么？递推思想，运用运用“有限有限”的手段，来解决的手段，来解决“无限无限”的问题的问题注意类比思想的运用作业：作业：求证求

9、证: :( (n+1)(n+2)n+1)(n+2)(n+n)=2(n+n)=2n n 1 1 3 3 (2n-1)(2n-1)证明：证明： n=1 n=1时：左边时：左边=1+1=2=1+1=2，右边，右边=2=21 11=21=2，左边，左边= =右边，等右边，等 式成立。式成立。 假设当假设当n=k(kN n=k(kN ）时有：）时有： (k+1)(k+2)(k+1)(k+2)(k+k)=2(k+k)=2k k 1 1 3 3 (2n-1), (2n-1), 当当n=k+1n=k+1时：时： 左边左边=(k+2)(k+3)=(k+2)(k+3)(k+k)(k+k+1)(k+k+2)(k+k

10、)(k+k+1)(k+k+2) =(k+1)(k+2)(k+3) =(k+1)(k+2)(k+3)(k+k)(k+k) = 2 = 2k k 1 1 3 3(2k-1)(2k+1)(2k-1)(2k+1)2 2 = 2 = 2k+1k+11 1 3 3 (2k-1) (2k-1) 2(k+1)-1=2(k+1)-1=右边，右边， 当当n=k+1n=k+1时等式也成立。时等式也成立。 由由 、可知，对一切可知，对一切nN ,nN ,原等式均成立。原等式均成立。 （2k+1)(2k+2)k+1多米诺骨牌游戏的原理多米诺骨牌游戏的原理 这个猜想的证明方法这个猜想的证明方法1nan（1）第一块骨牌倒下

11、。）第一块骨牌倒下。（2）若第）若第k块倒下时，块倒下时，则相邻的第则相邻的第k+1块也倒下。块也倒下。根据（根据（1）和）和 （2），），可知不论有多少块骨牌，可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。都能全部倒下。（1）当）当n=1时猜想成立。时猜想成立。（2）若当）若当n=k时猜想成立，时猜想成立，即即 ，则当，则当n=k+1时猜想时猜想也成立，即也成立，即 。1kak111kak根据（根据（1）和（）和（2），可），可知对任意的正整数知对任意的正整数n，猜，猜想想 都成立。都成立。nn1n+1naa,a =1,a=(n),1+a*N已知数列已知数列从前，有个小孩叫万百千，他开始上学识字。第从

12、前，有个小孩叫万百千，他开始上学识字。第一天先生教他个一天先生教他个“一一”字。第二天先生又教了个字。第二天先生又教了个“二二”字。第三天，他想先生一定是教字。第三天，他想先生一定是教“三三”字字了，并预先在纸上划了三横。果然这天教了个了，并预先在纸上划了三横。果然这天教了个“三三”字。于是他得了一个结论：字。于是他得了一个结论：“四四”一定是一定是四横，四横，“五五”一定是五横，以此类推，一定是五横，以此类推，从此，从此，他不再去上学，家长发现问他为何不去上学，他他不再去上学，家长发现问他为何不去上学，他自豪地说：自豪地说：“我都会了我都会了”。家长要他写出自己的。家长要他写出自己的名字，名

13、字，“万百千万百千”写名字结果可想而知。写名字结果可想而知。” ” 费尔马费尔马(1601.81665.1)，法国数学家，法国数学家。 的数都是质数的数都是质数任何形如任何形如猜想猜想于是他用归纳推理提出于是他用归纳推理提出都是质数，都是质数，)( 126553712257121712512*222243212Nnn (费马猜想费马猜想)670041764142949672971225522 是一个合数：是一个合数：时，时，nn结论是错误的结论是错误的。例例4求证：凸求证：凸n边形的对角线的条数为边形的对角线的条数为(3)( ),(4)2n nf nn证明：（证明：（1）当）当n=4时，四边形

14、的对角线时，四边形的对角线有有2条，条，f(4)=2，所以对于，所以对于n=2，命题成立，命题成立.（2）设凸）设凸k边形的对角线的条数为边形的对角线的条数为(3)( ),(4)2k kf kk当当n=k+1时，时，k+1边形比边形比k边形多了一个顶点边形多了一个顶点,1a1n1时，当31211213n3a时，当41311314n4a时，当解：解：nan1猜想：猜想：211112n2a时，当 如何通过如何通过有 限 个 步 骤有 限 个 步 骤的 推 理 ， 证的 推 理 ， 证明明n取所有正取所有正整数都成立？整数都成立？证明证明2、对于数列，已知对于数列，已知，na11=annnaaa+=

15、+11求出数列前求出数列前4项项,你能得到什么猜想？你能得到什么猜想？1(1)当n=1时a =1成立1kkaak+1则n=k+1时,a即n=k+1时猜想也成立根据根据(1)(2)可知对任意正整数可知对任意正整数n猜想都成立猜想都成立.*Nnn1n+1nna对于数列 a,已知a =1,a=(n),1+a1猜想其通项公式为a =,怎样证明?n证明证明：(2)假设n=k时猜想成立即1ka k111kk11k练习：练习：1 1、如果如果aan n 是一个等差数列，是一个等差数列， 则则a an n= =a a1 1+(n-1)d+(n-1)d对于一切对于一切nNnN* *都成立。都成立。 证明证明:(

16、1):(1)当当n=1n=1时时, ,左边左边=a=a1 1, ,右边右边=a=a1 1 + +（1-11-1）d=ad=a1 1, , 当当n=1n=1时，结论成立时，结论成立(2)(2)假设当假设当n=kn=k时结论成立时结论成立, ,即即a ak k=a=a1 1+(k-1)d+(k-1)d 当当n=k+1n=k+1时，结论也成立时，结论也成立. .由由(1)(1)和和(2)(2)知知, ,等式对于任何等式对于任何nNnN* *都成立。都成立。利用假设利用假设1kkaad则1(1)akdd1akd凑结论凑结论1(1)1akd注意注意 1 1. . 用数学归纳法进行证明时用数学归纳法进行证

17、明时, ,要分要分两个步骤两个步骤, ,两个步骤缺一不可两个步骤缺一不可. .2 (1)(1)(归纳奠基归纳奠基) )是递推的基础是递推的基础. . 找准找准n n0 0(2)(2)(归纳递推归纳递推) )是递推的依据是递推的依据n nk k时时命题成立作为必用的条件运用，而命题成立作为必用的条件运用，而n nk+1k+1时情况则有待时情况则有待利用假设利用假设及已知的定义、及已知的定义、公式、定理等加以证明公式、定理等加以证明证明：（证明：（1）当）当n=1时，左边时，左边=1，右边，右边=1，等式成立；等式成立；（2）假设当）假设当n=k时，等式成立，即时，等式成立，即2222(1)(21)1236k kkk那么那么 222222(1)(21)123(1)(1)6k kkkkk22(1)(21)6(1)(1)(276)66(1)(2)(23)(1)(1) 12(1) 166k kkkkkkkkkkkk 这就是说，当这就是说，当n=k+1时，等式也成立，时，等式也成立， 由（由（1）和（）和（2）可以断定，等式对任何）可以断定，等式对任何nN+都成立。都成立。1113.( ).1231(1)( )f nnnnf kf k已知则11431331231KKKK答案：