高考理科数学一轮复习：第4章（2）三角函数的图象与性质ppt课件（含答案）.pptx

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1、第二讲 三角函数的图像与性质,【高考帮理科数学】第四章：三角函数、解三角形,考情精解读,A考点帮知识全通关,目录 CONTENTS,考纲要求,命题规律,命题分析预测,考点1 三角函数的图象与性质,考点2 y=Asin(x+)的图象及应用,考法1 三角函数的图象变换,考法2 由三角函数的图象求解析式式,考法3 三角函数的单调性,考法4 三角函数的奇偶性、周期性、对称性,考法5 三角函数图象与性质的综合应用,B考法帮题型全突破,C方法帮素养大提升,方法 化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,考情精解读,考纲要求 命题规律 命题分析预测,理科数学 第四章：三

2、角函数、解三角形,1.能画出y=sin x,y=cos x,y=tan x的图象,了解三角函数的周期性. 2.理解正弦函数、余弦函数在区间0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等),理解正切函数在区间(- 2 , 2 )内的单调性. 3.了解函数y=Asin(x+)的物理意义;能画出 y=Asin(x+)的图象,了解参数A,对函数图象变化的影响. 4.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单实际问题.,考纲要求,命题规律,1.分析预测本讲是高考考查的重点内容,主要考查:(1)三角函数的图象变换;(2)三角函数的性质及应用;(3)三角函数图象与性质

3、的综合应用.有时也与三角恒等变换综合考查,多以选择题和填空题的形式呈现,难度中等偏下,分值5分. 2.学科素养本讲主要考查考生的直观想象能力和数学运算能力及化归思想和整体代换思想的应用.,命题分析预测,A考点帮知识全通关,考点1 三角函数的图象与性质 考点2 y=Asin(x+)的图象及应用,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,1. “五点法”画三角函数图象 “五点法”作图原理:在正弦函数y=sin x,x0,2的图象上,起关键作用的五个点是(0,0),( 2 ,1),(,0),( 3 2 ,-1),(2,0). 在余弦函数y=cos x,x0,2的图象上,起关键作用的五个点是(0,1),(

4、 2 ,0),(,-1),( 3 2 ,0),(2,1). 五点法作图有三步:列表、描点、连线(注意光滑).,考点1 三角函数的图象与性质,2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质 注意：(1)y=tan x无单调递减区间;(2)y=tan x在整个定义域内不单调.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,1.用“五点法”作y=Asin(x+)(A0,0)的图象 找五个关键点,分别为使y取得最小值、最大值的点和曲线与x轴的交点.其步骤为: (1)先确定周期T= 2 ,在一个周期内作出图象; (2)令X=x+,令X分别取0, 2 , 3 2 ,2,求出对应的x值,列表如下: 由此可得五个关键点;,考点

5、2 y=Asin(x+)的图象及应用（重点）,(3)描点画图,再利用函数的周期性把所得的图象向左右分别延伸,得到y=Asin(x+)的图象. 2.三角函数的图象变换 (1)函数y=Asin(x+)+k中,参数A,k的变化引起图象的变换:A的变化引起图象中振幅的变换,即纵向伸缩变换;的变化引起周期的变换,即横向伸缩变换;的变化引起左右平移变换;k的变化引起上下平移变换.图象平移遵循规则“左加右减,上加下减”. (2)函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(x+)(A0,0,0)的图象的步骤:,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,辨析比较 联系:上述两种变换方法都是针对x而言的,即x本

6、身加减多少,而不是x加减多少. 区别:先平移变换(左右平移)再周期变换(伸缩变换),平移的量是|个单位,而先周期变换(伸缩变换)再平移变换(左右平移),平移的量是| |个单位.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,3.函数y=Asin(x+)(A0,0)的物理意义 当函数y=Asin(x+)(A0,0,x0,+)表示一个简谐振动量时,则A叫作振幅,T= 2 叫作周期,f= 1 叫作频率,x+叫作相位,x=0时的相位叫作初相. 4.函数y=Asin(x+)(A0,0)的性质 (1)周期性:y=Asin(x+)存在周期性,其最小正周期为T= 2 . (2)奇偶性:=k时,函数y=Asin(x+)

7、为奇函数;=k+ 2 (kZ)时,函数y=Asin(x+)为偶函数. (3)单调性:根据y=sin t和t=x+的单调性来研究,由- 2 +2kx+ 2 +2k,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,kZ得单调递增区间;由 2 +2kx+ 3 2 +2k,kZ得单调递减区间. (4)对称性:利用y=sin x的对称中心为(k,0)(kZ)求解,令x+=k(kZ),求得x. 利用y=sin x的对称轴为x=k+ 2 (kZ)求解,令x+=k+ 2 (kZ),求得其对称轴. 规律总结 1.函数y=Asin(x+)和y=Acos(x+)的最小正周期均为 2 |

8、,y=tan(x+)的最小正周期为 | .,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,2.周期与对称性之间的关系 (1)正弦曲线或余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是 1 2 周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是 1 4 周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是 1 2 周期. 3.对称轴(对称中心)与函数值的关系 在判断对称轴或对称中心时,用以下结论可快速解题:设y=f(x)=Asin(x+), g(x)=Acos(x+),x=x0是对称轴方程f(x0)=A,g(x0)=A;(x0,0)是对称中心f(x0)=0,g(x0)=0.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,B考法

9、帮题型全突破,考法1 三角函数的图象变换 考法2 由三角函数的图象求解析式 考法3 三角函数的单调性 考法4 三角函数的奇偶性、周期性、对称性 考法5 三角函数图象与性质的综合应用,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,考法1 三角函数的图像变换,考法指导 处理三角函数图象变换问题时,要先弄清哪一个是原始函数(图象),哪一个是最终函数(图象),若变换前后的两个函数不同名,应先把变换前后的两个函数化为同名函数,再解决问题.主要有以下几种方法: 1.常规法 常规法主要有两种:先平移后伸缩;先伸缩后平移.值得注意的是,对于三角函数图象的平移变换问题,其平移变换规则是“左加、右减”,并且在变换过程中只

10、变换自变量x,如果x的系数不是1,那么需把x的系数提取后再确定平移的单位和方向.,2.方程思想法 可以把变换前后的两个函数变为同名函数,且x的系数变为一致,通过列方程求解,如y=sin 2x变为y=sin(2x+ 3 ),可设平移个单位,则2(x+)=2x+ 3 = 6 ,即向左平移 6 个单位,若0,则向右平移|个单位. 3.快速法 平移变换的实质就是点的坐标的变换,横坐标的平移变换对应着图象的左右平移,纵坐标的平移变换对应着图象的上下平移.一般可选定变换前后的两个函数f(x),g(x)的图象与x轴的交点(如图象上升时与x轴的交点),其分别为(x1,0),(x2,0)(f(x1)=0,g(x

11、2)=0),则由x2-x1的值可判断出左右平移的情况,由g(x)max-f(x)max的值可判断出上下平移的情况,由三角函数最小正周期的变化可判断出伸缩变换的情况.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,示例1 (1)要得到函数y=sin(5x- 4 )的图象,只需将函数y=cos 5x的图象 A.向左平移 3 20 个单位 B.向右平移 3 20 个单位 C.向左平移 3 4 个单位 D.向右平移 3 4 个单位 (2)将函数f(x)=sin(4x+ 3 )的图象向左平移(0)个单位后,得到的图象关于直线x= 12 对称,则的最小值为 A. 6 B. 5 24 C. 4 D. 7 24,理科

12、数学 第四章：三角函数、解三角形,思路分析 (1)利用诱导公式以及图象变换规律列方程求解;(2)利用函数y=Asin(x+)的图象的变换规律和正弦函数的图象的对称性,可得4 12 +4+ 3 = 2 +k,kZ,由此求得的最小值. 解析 (1)函数y=cos 5x=sin(5x+ 2 )=sin 5(x+ 10 ), (将变换前后的两个函数名化为同名) y=sin(5x- 4 )=sin 5(x- 20 ),设平移个单位,则 10 +=- 20 , (方程思想) 解得=- 3 20 ,故把函数y=cos 5x的图象向右平移 3 20 个单位,可得函数y=sin(5x- 4 )的图象.,理科数学

13、 第四章：三角函数、解三角形,(2)把函数f(x)=sin(4x+ 3 )的图象向左平移(0)个单位后,可得y=sin4(x+)+ 3 =sin(4x+4+ 3 )的图象, (常规法,注意是对自变量x的平移,左加右减) 所得图象关于直线x= 12 对称,4 12 +4+ 3 = 2 +k(kZ),= 4 - 24 (kZ), 0,min= 5 24 . 答案 (1)B (2)B,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,点评 对于函数图象的平移方向类问题的求解,注意“正向左,负向右”的前提是把x的系数提取出来,如由y=sin(-x)变为y=sin(-x-1),不能简单地依据“负向右”得出平移方向是

14、向右,正确的描述应该是向左平移一个单位. 突破攻略 解题时牢记由确定图象的左(0)右(1),由A确定图象的纵向伸(A1)缩(0A1).,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,考法2 由三角函数的图象求解析式,考法指导确定解析式y=Asin(x+)+b(A0,0)的步骤和方法: (1)求A,b.先确定函数的最大值M和最小值m,则A= 2 ,b= + 2 .特别地,当b=0时,A=M=-m. (2)求.先确定函数的周期T,则可得= 2 .常用的确定周期T的方法:曲线与x轴的相邻两个交点之间的距离为 2 ;相邻的两条对称轴之间的距离为 2 ;对称中心到对称轴的距离的最小值是 4 ;相邻的两个最低点(

15、最高点)之间的距离为T.,(3)求.常用的方法有: 代入法:把图象上的一个已知点代入(此时A,b已知)或把图象与直线y=b的交点代入求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上). 五点法:确定值时,往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口,具体如下: 选“第一个点”(即图象上升时与x轴的交点)时,令x+=2k(kZ);选“第二个点”(即图象的“峰点”)时,令x+= 2 +2k(kZ);选“第三个点”(即图象下降时与x轴的交点)时,令x+=+2k(kZ);选“第四个点”(即图象的“谷点”)时,令x+= 3 2 +2k(kZ);选“第五个点”时,令x+=2+2k(kZ).,理科数学 第四章：

16、三角函数、解三角形,示例2 已知函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,0),其部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为 A.f(x)=2sin( 1 2 x+ 4 ) B.f(x)=2sin( 1 2 x+ 3 4 ) C.f(x)=2sin( 1 4 x+ 3 4 ) D.f(x)=2sin(2x+ 4 ),理科数学 第四章：三角函数、解三角形,思路分析 抓住所给图象的一些显著特征“五点法”作图中的对应点,注意解析式中的各个参数与函数图象特征的彼此“呼应”,最值点与零点是解决此类问题的关键点. 解析 由题图可知,函数图象上两个相邻的最值点分别为最高点(- 2 ,2),最低点( 3 2

17、,-2), 所以函数的最大值为2,即A=2. (由最值点求A) 由图象可得x=- 2 ,x= 3 2 为相邻的两条对称轴, 所以函数的周期T=2 3 2 -(- 2 )=4,故 2 =4,解得= 1 2 . (由周期求),理科数学 第四章：三角函数、解三角形,所以f(x)=2sin( 1 2 x+). 把点(- 2 ,2)代入可得2sin 1 2 (- 2 )+=2, 即sin(- 4 )=1,所以- 4 =2k+ 2 (kZ),解得=2k+ 3 4 (kZ). (最值点定不会产生增解) 又0,所以= 3 4 . 所以f(x)=2sin( 1 2 x+ 3 4 ). 答案 B,理科数学 第四章

18、：三角函数、解三角形,拓展变式1 函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,| 2 )的部分图象如图所示,若将f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的 1 2 (纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,则g(x)的解析式为 A.g(x)=sin(4x+ 6 ) B.g(x)=sin(4x+ 3 ) C.g(x)=sin(x+ 6 ) D.g(x)=sin(x+ 12 ),理科数学 第四章：三角函数、解三角形,答案 A 解析 根据题中函数的图象知A=1, 3 4 = 11 12 - 6 = 3 4 ,则T=,= 2 =2.所以f(x)=sin(2x+). 由f( 6 )=1,解得=2k+ 6 (k

19、Z),因为| 2 ,所以= 6 .所以f(x)=sin(2x+ 6 ). 将f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的 1 2 (纵坐标不变),得g(x)=sin(4x+ 6 ).故选A.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,考法3 三角函数的单调性,考法指导 三角函数单调性问题的常见类型及求解策略 (1)已知三角函数解析式求单调区间, 求函数的单调区间应遵循简单化原则:将解析式先化简为y=Asin(x+)或y=Acos(x+)的形式,并注意复合函数的单调性规律“同增异减”; 求形如y=Asin(x+)或y=Acos(x+)(其中0)的单调区间时,要视“x+”为一个整体,通过解不等式求解.但如

20、果0,那么先借助诱导公式将化为正数,再求解.,(2)已知三角函数解析式,讨论在给定区间上的单调性,通常有两种方法: 先求出函数全部的单调区间,然后通过给整数取特定的值,得到在给定区间上的单调性. 由给定区间出发,得出x+的范围,对照正弦函数或余弦函数的单调区间得到函数在相应区间上的单调性. (3)已知三角函数的单调区间求参数,需根据函数的单调区间,利用集合间的关系求解.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,示例3 已知函数f(x)=Asin(x+)(A0,0)的图象与直线y=b(0bA)的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8,则f(x)的单调递减区间是 A.6k,6k+3(kZ) B.6k-

21、3,6k(kZ) C.6k,6k+3(kZ) D.6k-3,6k(kZ) 思路分析 由题意可得,第一个交点与第三个交点之间的距离是一个周期;第一个交点与第二个交点的中点的横坐标对应的函数值是最大值.从这两个方面考虑可求得参数,的值,进而利用三角函数的单调性求区间.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,解析 由已知画出草图,如图所示, 则函数的周期T= 2 =8-2=6,得= 3 , 由“五点法”作图可得 3 2+4 2 += 2 , (由2,4关于对称轴对称可得) 求得=- 2 ,函数f(x)=Asin( 3 x- 2 ). 令2k+ 2 3 x- 2 2k+ 3 2 (kZ), (把 3

22、x- 2 视为一个整体,根据y=sin x的单调递减区间进行求解) 解得6k+3x6k+6(kZ),即x6k-3,6k(kZ). (把k变为k-1可得) 答案 D,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,拓展变式2 已知函数f(x)=2sin x+1(0)在区间- 2 , 2 3 上是增函数,则的取值范围是 A.(0, 3 4 B.(0,1 C. 3 4 ,1 D. 3 2 ,1 答案 A 解析 由2k- 2 x2k+ 2 ,kZ,得 2 - 2 x 2 + 2 ,kZ.故函数f(x)的增区间为 2 - 2 , 2 + 2 ,kZ.f(x)在区间- 2 , 2 3 上是增函数, 2 2 +2,

23、2 3 2 +2, kZ,解得1-4k且 3 4 +3k,kZ,0,(0, 3 4 .故选A.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,考法4 三角函数的奇偶性、周期性、对称性,考法指导 1.三角函数具有奇偶性的充要条件 函数y=Asin(x+)(xR)是奇函数=k(kZ); 函数y=Asin(x+)(xR)是偶函数=k+ 2 (kZ); 函数y=Acos(x+)(xR)是奇函数=k+ 2 (kZ); 函数y=Acos(x+)(xR)是偶函数=k(kZ).,2.三角函数周期的求解方法: 定义法; 公式法:函数y=Asin(x+)(y=Acos(x+)的最小正周期T= 2 | ,函数y=Atan(

24、x+)的最小正周期T= | ; 图象法:求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象,通过观察图象得出周期; 转化法:对于较为复杂的三角函数,可通过恒等变形将其转化为y=Asin(x+)+b(或y=Acos(x+)+b或y=Atan(x+)+b)的类型,再利用公式法求得周期.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,3.三角函数图象的对称轴和对称中心的求解方法 函数y=Asin(x+)图象的对称轴和对称中心可结合y=sin x图象的对称轴和对称中心求解,具体方法是利用整体代换思想求解,令x+=k+ 2 ,kZ,解得x= (2+1)2 2 ,kZ,即对称轴方程;令x+=k,kZ, 解得x=

25、,kZ,即对称中心的横坐标(纵坐标为0).对于y=Acos(x+),y=Atan(x+),可以利用类似方法求得(注意y=Atan(x+)的图象无对称轴).,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,示例4 函数f(x)=Acos(x+),其中A0,0,若函数f(x)是奇函数,则=. 思路分析 利用函数奇偶性的定义或性质求解. 解析解法一因为函数f(x)是奇函数,所以对任意的x都有f(x)=-f(-x),即Acos(x+)=-Acos(-x+),整理得cos xcos -sin xsin =-cos xcos - sin xsin ,即cos xcos =0,所以cos =0,即=k+ 2 ,kZ.

26、 解法二因为函数f(x)是奇函数,所以f(0)=0,即cos =0,所以=k+ 2 ,kZ.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,示例5 先将函数y=2sin( 2 3 x+ 3 4 )图象上所有点的横坐标缩短为原来的 1 3 ,纵坐标不变,再把得到的图象向右平移 8 个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,则下列说法正确的是 A.函数g(x)图象的一条对称轴是x= 4 B.函数g(x)图象的一个对称中心是( 2 ,0) C.函数g(x)图象的一条对称轴是x= 2 D.函数g(x)图象的一个对称中心是( 8 ,0),理科数学 第四章：三角函数、解三角形,思路分析 根据图象平移、伸缩变换规律求

27、出函数g(x)的解析式,利用函数y=cos t图象的对称性,分别求出对称中心与对称轴进行判断. 解析 先将函数y=2sin( 2 3 x+ 3 4 )图象上所有点的横坐标缩短为原来的 1 3 ,纵坐标不变,可得函数y=2sin(2x+ 3 4 )的图象,再向右平移 8 个单位长度,得到函数g(x)=2sin2(x- 8 )+ 3 4 =2sin(2x+ 2 )=2cos 2x的图象. (注意图象变换规律与函数解析式的对应),理科数学 第四章：三角函数、解三角形,令2x=k,得x= 2 ,kZ, (利用余弦函数的性质求对称轴) 所以函数g(x)图象的对称轴方程为x= 2 ,kZ. 当k=1时,对

28、称轴方程为x= 2 .显然 2 = 4 没有整数解, 所以x= 4 不是函数g(x)的对称轴. 令2x=k+ 2 ,得x= 2 + 4 ,kZ, (利用余弦函数的性质求对称中心) 故函数g(x)图象的对称中心为( 2 + 4 ,0),kZ. 显然 2 + 4 = 8 和 2 + 4 = 2 均没有整数解,所以( 8 ,0)和( 2 ,0)均不是函数g(x)的对称中心 答案 C,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,突破攻略 正弦函数、余弦函数、正切函数的对称轴与对称中心,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,拓展变式3 已知函数f(x)=sin(2-x)sin( 3 2 -x)- 3 cos2

29、x+ 3 . (1)求f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程; (2)当x0, 7 12 时,求f(x)的最小值和最大值. 解析 (1)由题意,得f(x)=(-sin x)(-cos x)- 3 cos2x+ 3 =sin xcos x- 3 cos2x+ 3 = 1 2 sin 2x- 3 2 (cos 2x+1)+ 3 = 1 2 sin 2x- 3 2 cos 2x+ 3 2 =sin(2x- 3 )+ 3 2 , 所以f(x)的最小正周期T= 2 2 =;,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,令2x- 3 =k+ 2 (kZ),则x= 2 + 5 12 (kZ), 故所求图象的对称轴

30、方程为x= 2 + 5 12 (kZ). (2)当0 x 7 12 时,- 3 2x- 3 5 6 , 由函数图象(图略)可知,- 3 2 sin(2x- 3 )1,即0sin(2x- 3 )+ 3 2 2+ 3 2 . 故f(x)的最小值为0,最大值为 2+ 3 2 .,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,考法5 三角函数图像与性质的综合应用,示例6 已知函数f(x)=2 3 sin( 2 + 4 )cos( 2 + 4 )-sin(x+). (1)求f(x)的最小正周期. (2)若将f(x)的图象向右平移 6 个单位,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)在区间0,上的最大值和最小值.

31、思路分析 (1)先将f(x)转化成y=Asin(x+)的形式再求周期; (2)将f(x)解析式中的x换成x- 6 ,得g(x),然后利用整体思想求最值.,解析 (1)因为f(x)=2 3 sin( 2 + 4 )cos( 2 + 4 )-sin(x+)= 3 cos x+sin x=2sin(x+ 3 ), 所以T= 2 1 =2,即f(x)的最小正周期为2. (2)由已知,得g(x)=f(x- 6 )=2sin(x+ 6 ), 因为x0,所以x+ 6 6 , 7 6 , 所以sin(x+ 6 )- 1 2 ,1. 所以g(x)=2sin(x+ 6 )-1,2. 故函数g(x)在区间0,上的最

32、大值为2,最小值为-1.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,突破攻略 解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤: 第一步:将f(x)化为asin x+bcos x的形式; 第二步:构造f(x)= 2 + 2 ( 2 + 2 sin x+ 2 + 2 cos x); 第三步:和角公式逆用,得f(x)= 2 + 2 sin(x+)(其中为辅助角); 第四步:利用f(x)= 2 + 2 sin(x+)研究三角函数的性质; 第五步:反思回顾,查看关键点、易错点和答题规范.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,拓展变式4 已知函数f(x)=4sin(x- 4 )cos x在x= 4 处取得最值,

33、 其中(0,2). (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)将函数f(x)的图象向左平移 36 个单位,再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,若为锐角,g()= 4 3 - 2 ,求cos .,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,解析 (1)f(x)=4sin(x- 4 )cos x=2 2 sin xcos x-2 2 cos2x= 2 (sin 2x- cos 2x)- 2 =2sin(2x- 4 )- 2 , f(x)在x= 4 处取得最值,2 4 - 4 =k+ 2 ,kZ,=2k+ 3 2 ,kZ, (0,2),= 3 2 , f(x

34、)=2sin(3x- 4 )- 2 ,T= 2 3 .,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,(2)将函数f(x)的图象向左平移 36 个单位,得到h(x)=2sin3(x+ 36 )- 4 - 2 =2sin(3x- 6 )- 2 的图象, 再将h(x)图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍,纵坐标不变,得到g(x)=2sin(x- 6 )- 2 的图象, 故g()=2sin(- 6 )- 2 = 4 3 - 2 ,可得sin(- 6 )= 2 3 , 为锐角,- 6 - 6 3 , cos(- 6 )= 1( 2 3 ) 2 = 5 3 , 故cos =cos(- 6 + 6 )=cos(-

35、6 )cos 6 -sin(- 6 )sin 6 = 5 3 3 2 - 2 3 1 2 = 15 2 6 .,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,C方法帮素养大提升,思想方法,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,方法 化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用 示例7 已知函数f(x)=4sin(x- 3 )cos x+ 3 . (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间; (2)若函数g(x)=f(x)-m在0, 2 上有两个不同的零点x1,x2,求实数m的取值范围,并计算tan(x1+x2)的值.,思想方法,思路分析 (1)先将函数解析式化为一角一函数的形式,然后利用公式法求出其周

36、期,利用换元法求其单调递增区间; (2)函数g(x)在0, 2 上有两个不同的零点,即方程f(x)=m在0, 2 上有两个不同的解,进而转化为函数f(x)在0, 2 上的图象与直线y=m有两个不同的交点,画出函数图象,根据图象即可得到参数m的取值范围,进而求得tan(x1+x2)的值.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,解析 (1)f(x)=4sin(x- 3 )cos x+ 3 =4( 1 2 sin x- 3 2 cos x)cos x+ 3 =2sin xcos x-2 3 cos2x+ 3 =sin 2x- 3 cos 2x=2sin(2x- 3 ).(利用恒等变换化为一角一函数)

37、 所以函数f(x)的周期为T=. 由2k- 2 2x- 3 2k+ 2 (kZ),得k- 12 xk+ 5 12 (kZ).(整体换元求单调区间) 所以函数f(x)的单调递增区间为k- 12 ,k+ 5 12 (kZ).,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,(2)函数g(x)=f(x)-m在0, 2 上有两个不同的零点x1,x2,即函数y=f(x)与y=m在0, 2 上的图象有两个不同的交点,在直角坐标系中画出函数y=f(x)=2sin(2x- 3 )在0, 2 上的图象,如图所示, 由图象可知,当且仅当m 3 ,2)时,方程f(x)=m有两个不同的解x1,x2,且x1+x2=2 5 12 = 5 6 , 故tan(x1+x2)=tan 5 6 =-tan 6 =- 3 3 .,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,温馨提醒 研究三角函数的性质时,要先利用三角恒等变换把已知三角函数化为y=Asin(x+)+b或y=Acos(x+)+b的形式,然后将x+视为整体进行求解.,理科数学 第四章：三角函数、解三角形,