高考理科数学一轮复习：第12章-（1）排列与组合ppt课件（含答案）.pptx

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1、第一讲 排列与组合,【高考帮理科数学】第十二章：计数原理,考情精解读,A考点帮知识全通关,目录 CONTENTS,考纲解读,命题规律,命题分析预测,考点1 两个基本计数原理 考点2 排列与排列数 考点3 组合与组合数,考法1 两个基本计数原理的综合应用 考法2 排列问题 考法3 组合问题 考法4 分组与分配问题 考法5 排列与组合的综合应用,B考法帮题型全突破,理科数学 第十二章：计数原理,考情精解读,考纲解读 命题规律 命题分析预测,理科数学 第十二章：计数原理,1.分类加法计数原理、分步乘法计数原理 (1)理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理. (2)会用分类加法计数原理或分步乘法计数原

2、理分析和解决一些简单的实际问题. 2.排列与组合 (1)理解排列、组合的概念. (2)能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. (3)能解决简单的实际问题.,考纲解读,命题规律,1.分析预测从近五年的考查情况来看,本讲主要考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用,以及排列、组合的应用,一般以小题的形式单独考查或以古典概型为载体进行考查,有时也与概率相交汇以解答题的形式呈现. 2.学科素养本讲主要考查考生的逻辑推理能力.,命题分析预测,A考点帮知识全通关,考点1 两个基本计数原理 考点2 排列与排列数 考点3 组合与组合数,理科数学 第十二章：计数原理,考点1 两个基本计数原理(重点),1

3、.分类加法计数原理 完成一件事可以有n类不同方案,各类方案相互独立,在第1类方案中有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2种不同的方法在第n类方案中有mn种不同的方法.那么,完成这件事共有N=m1+m2+mn种不同的方法. 2.分步乘法计数原理 完成一件事需要经过n个步骤,缺一不可,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法做第n步有mn种不同的方法.那么,完成这件事共有N=m1m2mn种不同的方法.,理科数学 第十二章：计数原理,辨析比较 两个计数原理的联系与区别,考点2 排列与排列数 (重点),1.排列与排列数:一般地,从n个不同元素中取出m(mn)个元素,按照一定的顺序排成一

4、列,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.所有不同排列的个数,叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号 A 表示. 2.排列数公式: A =n(n-1)(n-2)(n-m+1)= ! ()! (n,mN*,且mn). n个不同元素全部取出的一个排列,叫作n个元素的一个全排列.这时公式中m=n,即有 A =n!=n(n-1)(n-2)21. 规定:0!=1.,理科数学 第十二章：计数原理,名师提醒 (1)m,nN*,且mn; (2) A =n(n-1)(n-2)(n-m+1)的右边第一个因数为n,后面的每个因数都比它前面的那个因数少1,最后一个因数是n-m+1,共m个因数相乘.,考

5、点3 组合与组合数(重点),1.组合与组合数:一般地,从n个不同元素中取出m(mn)个元素合成一组,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.所有不同组合的个数,叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号 C 表示.,辨析比较 排列与组合的异同点 共同点:都是“从n个不同元素中取出m(mn)个元素”. 不同点:排列与取出的元素的顺序有关,为“将取出的元素按照一定顺序排成一列”,组合与取出的元素的顺序无关,为“将取出的元素合成一组”.,理科数学 第十二章：计数原理,2.组合数公式: C = A A = (1)(2)(+1) ! = ! !()! (n,mN*,且mn). 规定: C 0

6、=1. 3.组合数的性质:(1) C = C (m,nN*,且mn); (2) C +1 = C + C 1 (m,nN*,且mn). 注意 由 C = C 可得x=y或x+y=n.,B考法帮题型全突破,考法1 两个基本计数原理的综合应用 考法2 排列问题 考法3 组合问题 考法4 分组与分配问题 考法5 排列与组合的综合应用,理科数学 第十二章：计数原理,考法1 两个基本计数原理的综合应用,考法指导 完成一件事的方法种数的计算步骤: 第一步,审清题意,弄清要完成的事件是怎样的; 第二步,分析完成这件事应采用分类、分步、先分类后分步、先分步后分类这四种方法中的哪一种; 第三步,弄清在每一类或每

7、一步中的方法种数; 第四步,根据分类加法计数原理或分步乘法计数原理计算出完成这件事的方法种数.,理科数学 第十二章：计数原理,示例1用0,1,2,3,4,5,6这7个数字可以组成_个无重复数字的四位偶数.(用数字作答) 思路分析,按首位数字的 奇偶性分类,在每一类中利用分步 乘法计数原理计数,利用分类加法 计数原理计数,理科数学 第十二章：计数原理,解析要完成的“一件事”为“组成无重复数字的四位偶数”,所以千位数字不能为0,个位数字必须是偶数,且组成的四位数中四个数字不重复,因此应先分类,再分步. 第1类,当千位数字为奇数,即取1,3,5中的任意一个时,个位数字可取0,2,4,6中的任意一个,

8、百位数字不能取与这两个数字重复的数字,十位数字不能取与这三个数字重复的数字. 根据分步乘法计数原理,有3454=240(种)取法. 第2类,当千位数字为偶数,即取2,4,6中的任意一个时,个位数字可以取除首位数字的任意一个偶数数字,百位数字不能取与这两个数字重复的数字,十位,理科数学 第十二章：计数原理,数字不能取与这三个数字重复的数字. 根据分步乘法计数原理,有3354=180(种)取法. 因此根据分类加法计数原理,共可以组成240+180=420(个)无重复数字的四位偶数. 点评本题需注意两点:一是因为0的特殊性,所以最高位数字不能为0;二是组成的数中不允许数字重复出现,这会影响数字的选择

9、.处理有关数字的问题时,我们还会遇到一些倍数问题,这时可以利用组成的数中的个位数字或各位数字之和来处理.,理科数学 第十二章：计数原理,突破攻略 (1)应用两个计数原理的难点在于明确是分类还是分步.(2)分类要做到“不重不漏”,正确把握分类标准是关键.(3)分步要做到“步骤完整”,步步相连才能将事件完成.(4)较复杂的问题可借助图表来完成.,理科数学 第十二章：计数原理,拓展变式1 一个旅游景区的游览线路如图所示, 某人从P点处进,Q点处出,沿图中线路游览A,B,C三个景 点及沿途风景,则不重复(除交汇点O外)的游览线路 有() A.6种 B.8种 C.12种D.48种,理科数学 第十二章：计

10、数原理,答案 D 解析 从点P处进入后,参观第一个景点时,有6个路口可以选择,从中任选一个,有 C 6 1 种选法,参观完第一个景点,参观第二个景点时,有4个路口可以选择,从中任选一个,有 C 4 1 种选法,参观完第二个景点,参观第三个景点时,有2个路口可以选择,从中任选一个,有 C 2 1 种选法,则共有 C 6 1 C 4 1 C 2 1 =48(种)线路.故选D.,考法2 排列问题,考法指导 求解排列问题的常用方法:,理科数学 第十二章：计数原理,（续表）,理科数学 第十二章：计数原理,示例26名同学站成1排照相,要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边,共有多少种不同站法? 思路分析由

11、于最左边和最右边是特殊位置,可采用位置分析法;由于甲是特殊元素,也可采用元素分析法;还可以直接从反面考虑.,理科数学 第十二章：计数原理,解析解法一(位置优先法)先从其他5人中安排2人站在最左边和最右边,再安排余下4人的位置,分为两步: 第1步,从除甲外的5人中选2人站在最左边和最右边,有 A 5 2 种站法; 第2步,余下4人(含甲)站在剩下的4个位置上,有 A 4 4 种站法. 由分步乘法计数原理可知,共有 A 5 2 A 4 4 =480(种)不同的站法. 解法二(元素优先法)先安排甲的位置(既不站在最左边又不站在最右边),再安排其他5人的位置,分为两步: 第1步,将甲排在除最左边、最右

12、边外的任意位置上,有 A 4 1 种站法; 第2步,余下5人站在剩下的5个位置上,有 A 5 5 种站法.,理科数学 第十二章：计数原理,由分步乘法计数原理可知,共有 A 4 1 A 5 5 =480(种)不同的站法. 解法三(间接法)6人无限制条件站成一排有 A 6 6 种站法,甲站在最左边或最右边时6人站成一排有2 A 5 5 种站法,因此符合条件的不同站法共有 A 6 6 -2 A 5 5 =480(种). 点评解法一和解法二进行排列时总体都进行了分步,体现了特殊元素优先处理的原则;解法三中用总的站法种数减去不符合要求的站法种数,体现了正难则反的数学思想,这是我们解决此类问题时常用的一种

13、思想.,理科数学 第十二章：计数原理,示例33名男生、3名女生排成一排,男生必须相邻,女生也必须相邻的排法种数为 A.2B.9C.72D.36 思路分析将男生、女生分别看作一个整体,结合排列数、组合数公式,即可得结果.,理科数学 第十二章：计数原理,解析可分两步完成:第一步,把3名女生作为一个整体,看成一个元素,3名男生作为一个整体,看成一个元素,两个元素排成一排有 A 2 2 种排法; (相邻元素,记得“捆绑”) 第二步,3名女生排在一起有 A 3 3 种排法,3名男生排在一起有 A 3 3 种排法,故排法种数为 A 2 2 A 3 3 A 3 3 =72. 答案C,理科数学 第十二章：计数

14、原理,拓展变式2 用1,2,3,4,5这五个数字,可以组成比20 000大,并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数,共有（ ） A.96个B.78个C.72个D.64个 答案 B 解析根据题意知,要求这个五位数比20 000大,则首位必须是2,3,4,5这4个数字中的一个,当首位是3时,百位数不是数字3,符合要求的五位数有 A 4 4 =24(个);当首位是2,4,5时,由于百位数不能是数字3,则符合要求的五位数有3( A 4 4 - A 3 3 )=54(个),因此共有54+24=78(个)这样的五位数符合要求.故选B.,考法3 组合问题,考法指导 组合问题的常见题型: (1)“含”与“

15、不含”的问题:“含”,则先将这些元素取出,再由剩下的元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中选取. (2)“至少”与“最多”的问题:解这类题时必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法或间接法都可以求解这类题,通常用直接法处理较复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理.,理科数学 第十二章：计数原理,示例4某学校为了迎接市春季运动会,从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛,要求男、女生都有,则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为 A.85B.86 C.91D.90 思路分析可采用直接法求解,也可用间接法求解,注意题目中“至少”的含义

16、.,理科数学 第十二章：计数原理,解析解法一(直接法)由题意,可分3类情况: 第1类,若男生甲入选,女生乙不入选,则方法种数为 C 3 1 C 4 2 + C 3 2 C 4 1 + C 3 3 =31; 第2类,若男生甲不入选,女生乙入选,则方法种数为 C 4 1 C 3 2 + C 4 2 C 3 1 + C 4 3 =34; 第3类,若男生甲入选,女生乙入选,则方法种数为 C 3 2 + C 4 1 C 3 1 + C 4 2 =21. 所以男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为31+34+21=86. 解法二(间接法)从5名男生和4名女生中任意选出4人,男、女生都有的选法有 C 9

17、4 - C 5 4 - C 4 4 =120(种);男、女生都有,且男生甲与女生乙都没有入选的方法有 C 7 4 - C 4 4 =34(种).所以男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为120-34=86. 答案B,理科数学 第十二章：计数原理,示例5马路上有七盏路灯,晚上用时只亮三盏灯,且任意两盏亮灯不相邻,则不同的开灯方案共有 A.60种B.20种C.10种D.8种 思路分析先安排四盏不亮的路灯,再利用“插空法”,在空位中插入三盏亮的路灯,即可得结果.,理科数学 第十二章：计数原理,解析根据题意,可分两步完成: 第一步,先安排四盏不亮的路灯,只有1种情况; (注意是“无序”) 第二步,四

18、盏不亮的路灯排好后,有5个空位, 在5个空位中任意选3个,插入三盏亮的路灯,有 C 5 3 =10(种)情况. (不相邻元素,选空位插入) 故不同的开灯方案共有110=10(种),故选C. 答案C,理科数学 第十二章：计数原理,拓展变式3 男运动员6名,女运动员4名,其中男、女队长各1名.现选派5人外出参加比赛,在下列情形中各有多少种选派方法? (1)男运动员3名,女运动员2名; (2)至少有1名女运动员; (3)队长中至少有1人参加; (4)既要有队长,又要有女运动员.,理科数学 第十二章：计数原理,解析 (1)分两步完成: 第一步,选3名男运动员,有 C 6 3 种选法; 第二步,选2名女

19、运动员,有 C 4 2 种选法.由分步乘法计数原理可得,共有 C 6 3 C 4 2 =120(种)选法. (2)解法一“至少有1名女运动员”包括以下四种情况: 1女4男,2女3男,3女2男,4女1男. 由分类加法计数原理可得总选法共有 C 4 1 C 6 4 + C 4 2 C 6 3 + C 4 3 C 6 2 + C 4 4 C 6 1 =246(种). 解法二“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”,可用间接法求解. 从10人中任选5人有 C 10 5 种选法,其中全是男运动员的选法有 C 6 5 种.所以“至少,理科数学 第十二章：计数原理,有1名女运动员”的选法有 C 10

20、5 - C 6 5 =246(种). (3)解法一(直接法)可分类求解: “只有男队长”的选法种数为 C 8 4 ; “只有女队长”的选法种数为 C 8 4 ; “男、女队长都入选”的选法种数为 C 8 3 , 所以共有2 C 8 4 + C 8 3 =196(种)选法. 解法二(间接法)从10人中任选5人有 C 10 5 种选法, 其中不选队长的方法有 C 8 5 种.所以“至少有1名队长”的选法有 C 10 5 - C 8 5 =196(种). (4)当有女队长时,其他人任意选,共有 C 9 4 种选法;当不选女队长时,必选男队长,理科数学 第十二章：计数原理,共有 C 8 4 种选法,其

21、中不含女运动员的选法有 C 5 4 种,所以不选女队长时的选法共有( C 8 4 - C 5 4 )种.所以既要有队长又要有女运动员的选法共有 C 9 4 + C 8 4 - C 5 4 =191(种).,考法4 分组与分配问题,考法指导 分组、分配问题的求解策略(1)分组问题属于“组合”问题,按组合问题求解,常见的分组问题有三种:完全均匀分组,每组的元素个数均相等;部分均匀分组,应注意不要重复,若有n组均匀,最后必须除以n!;完全非均匀分组,这种分组不考虑重复现象.(2)分配问题属于“排列”问题,可以按要求逐个分配,也可以分组后再分配.(3)解决分组分配问题的基本指导思想是先分组,再分配.,

22、理科数学 第十二章：计数原理,示例6第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行,为了保护各国国家元首的安全,某部门将5个安保小组全部安排到指定的三个区域内工作,且每个区域至少有一个安保小组,则这样的安排方法共有 A.96种B.100种C.124种D.150种 思路分析,把5个安保小组分成三组,把分成的三组安 排到三个区域中,得结果,理科数学 第十二章：计数原理,解析因为每个区域至少有一个安保小组,所以可以把5个安保小组分成三组,共有两种方法,一种是按照1,1,3来分,另一种是按照2,2,1来分. (可分两类) 当按照1,1,3来分时,不同的安排方法共有N1= C

23、 5 1 C 4 1 C 3 3 A 2 2 A 3 3 =60(种); (均分两组,必须除以 A 2 2 ) 当按照2,2,1来分时,不同的安排方法共有N2= C 5 2 C 3 2 C 1 1 A 2 2 3 3 =90(种). (均分两组,记得用除法) 根据分类加法计数原理,可得这样的安排方法共有N=N1+N2=150(种). 答案D,理科数学 第十二章：计数原理,突破攻略 解决此类问题的关键是正确判断是不是平均分组、有序分组,无序平均分组要除以组数的阶乘,有序平均分组是在无序平均分组的基础上再乘以组数的阶乘.,理科数学 第十二章：计数原理,拓展变式4 国家教育部为了发展贫困地区的教育,

24、在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生,毕业后要将他们分配到相应的地区去任教.现要将6名免费培养的教育专业师范毕业生平均分配到3所学校去任教,有种不同的分配方法. 答案 90 解析 先把这6名毕业生平均分成3组,有 C 6 2 C 4 2 C 2 2 A 3 3 种方法,再将这3组毕业生分配到3所学校,有 A 3 3 种方法,故将这6名毕业生平均分配到3所学校去任教,共有 C 6 2 C 4 2 C 2 2 A 3 3 A 3 3 =90(种)分配方法.,考法5 排列与组合的综合应用,考法指导 先选后排法是解答排列、组合应用问题的根本方法,利用先选后排法解答问题只需三步即可完成. 第一步:选

25、元素,即选出符合条件的元素; 第二步:进行排列,即把选出的元素按要求进行排列; 第三步:计算总数,即根据分步乘法计数原理、分类加法计数原理计算总数.,理科数学 第十二章：计数原理,示例7(1)从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数的个数为 A.300 B.216C.180 D.162 (2)用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有_个.(用数字作答),理科数学 第十二章：计数原理,思路分析 (1) (2),根据特殊数字0进行分类,在每一类中利用分步乘法计数原理,求得四位 数的个数,

26、根据题意分三个偶数和两个奇数、一个偶数两类,再在每一类中根据是否含有0进行分类和分步,综合利用两 个基本计数 原理求解,理科数学 第十二章：计数原理,解析(1)分两类: 第一类,不取0,即从1,2,3,4,5中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数,根据分步乘法计数原理可知,共有 C 3 2 C 2 2 A 4 4 =72(个)符合要求的四位数; 第二类,取0,此时2和4只能取一个,再取两个奇数,组成没有重复数字的四位数,根据分步乘法计数原理可知,共有 C 2 1 C 3 2 ( A 4 4 - A 3 3 )=108(个)符合要求的四位数. 根据分类加法计数原理可知,满足题意的四位

27、数共有72+108=180(个).故选C. (2)当个位、十位和百位上的数字为三个偶数时,若选出的三个偶数含有0,则,理科数学 第十二章：计数原理,千位上把剩余数字中任意一个放上即可,方法数是 C 3 2 A 3 3 C 4 1 =72;若选出的三个偶数不含0,则千位上只能从剩余的非0数字中选一个放上,方法数是 A 3 3 C 3 1 =18,故这种情况下符合要求的四位数共有72+18=90(个). 当个位、十位和百位上的数字为一个偶数、两个奇数时,若选出的偶数是0,则再选出两个奇数,千位上只要在剩余数字中选一个放上即可,方法数为 C 3 2 A 3 3 C 4 1 =72;若选出的偶数不是0

28、,则再选出两个奇数后,千位上只能从剩余的非0数字中选一个放上,方法数是 C 3 1 C 3 2 A 3 3 C 3 1 =162,故这种情况下符合要求的四位数共有72+162=234(个). 根据分类加法计数原理,可得符合要求的四位数共有90+234=324(个).,理科数学 第十二章：计数原理,技巧点拨 (1)仔细审题,判断是组合问题还是排列问题,要按元素的性质分类,按事件发生的过程进行分步.(2)以元素为主时,先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素;以位置为主时,先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置.(3)对于有附加条件的比较复杂的排列、组合问题,要周密分析,设计出合理的方案,一般先把复杂问题分解成若干个简单的基本问题,然后应用分类加法计数原理或分步乘法计数原理来解决,一般遵循先选后排的原则.,理科数学 第十二章：计数原理,拓展变式5 将标号为1,2,3,4的四个篮球分给三位小朋友,每位小朋友至少分到一个篮球,且标号1,2的两个篮球不能分给同一个小朋友,则不同的分法种数为（ ） A.15B.20C.30D.42 答案 C 解析 四个篮球中两个分到一组有 C 4 2 种分法,三组篮球进行全排列有 A 3 3 种分法,其中标号1,2的两个篮球分给同一个小朋友有 A 3 3 种分法,所以有 C 4 2 A 3 3 - A 3 3 =30(种)分法,故选C.,