高考理科数学一轮复习：第2章（4）指数与指数函数ppt课件（含答案）.pptx

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1、第四讲指数与指数函数,【高考帮理科数学】第二章函数概念与基本初等函数,考情精解读,A考点帮知识全通关,目录 CONTENTS,考纲要求,命题规律,命题分析预测,考点1指数与指数运算 考点2指数函数的图象与性质,考法1 指数幂的运算 考法2 指数函数的图象及应用 考法3 指数函数的性质及应用 考法4 与指数函数有关的复合函数问题,B考法帮题型全突破,C方法帮素养大提升,易错忽略对底数a的分类讨论而出错,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,考情精解读,考纲要求 命题规律 命题分析预测,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,1.了解指数函数模型的实际背景. 2.理解有理指数幂的含义,了解实

2、数指数幂的意义,掌握幂的运算. 3.理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点. 4.知道指数函数是一类重要的函数模型.,考纲要求,命题规律,1.分析预测本讲在高考中的考查热点有:(1)比较指数式的大小;(2)指数函数的图象与性质的应用;(3)以指数函数为载体,与其他函数、方程、不等式等知识的综合应用.以选择题和填空题为主,难度中等. 2.学科素养本讲主要考查数形结合思想、分类讨论思想的运用和考生的逻辑推理能力、数学运算能力.,命题分析预测,A.考点帮知识全通关,考点1 指数与指数运算 考点2 指数函数的图象与性质,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,1.根式

3、的性质 (1)( )n=a(a使 有意义). (2)当n是奇数时, =a; 当n是偶数时, =|a|= ,0, ,0,m,nN*,且n1).(2) = 1 = 1 (a0,m,nN*,且n1). (3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.,考点1 指数与指数运算,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,3.有理数指数幂的运算性质 (1)aras=ar+s(a0,r,sQ); (2) =ar-s(a0,r,sQ); (3)(ar)s=ars(a0,r,sQ); (4)(ab)r=arbr(a0,b0,rQ). 说明 有理数指数幂的运算性质也适用于无理数指数幂.,考点2 指数函数的

4、图象与性质(重点),1.指数函数的概念 函数y=ax(a0且a1)叫作指数函数,其中指数x是自变量,函数的定义域是R,a是底数. 辨析比较,幂函数与指数函数的区别,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,2.指数函数的图象与性质,注意 (1)当指数函数的底数a的大小不确定时,需分a1和0a1两种情况进行讨论.(2)指数函数的图象恒过点(0,1),(1,a),(-1, 1 ),依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,3.指数函数图象的特点 (1)任意两个指数函数的图象都是相交的,过定点(0,1),底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称. (2

5、)当a1时,指数函数的图象呈上升趋势; 当0a1时,指数函数的图象呈下降趋势. (3)指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与 底数大小关系如图所示,其中0cd1ab, 在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小, 在y轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变小, 即无论在y轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大.,B考法帮题型全突破,考法1 指数幂的运算 考法2 指数函数的图象及应用 考法3 指数函数的性质及应用 考法4 与指数函数有关的复合函数问题,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,考法1 指数幂的运算,考法指导 进行指数幂运算时,一般化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数

6、,同时兼顾运算的顺序.还需注意下列问题: (1)如果化简求值的结果含有字母,一般采用分数指数幂的形式表示; (2)应用平方差、立方和(差)、完全平方公式及apa-p=1(a0)简化运算; (3)结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又有负指数.,示例1 化简下列各式: (1)(0.06 4 1 5 )-2.5 2 3 - 3 3 3 8 -0; (2) 4 3 8 1 3 4 2 3 +2 3 + 2 3 ( 2 3 - 2 3 ) 3 2 5 3 . 思路分析 (1) 小数化分数 根式化幂 同底数幂指数运算 化简求值 (2) 等价变形 化简,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,

7、解析(1)原式=( 64 1 000 ) 1 5 5 2 2 3 -( 27 8 ) 1 3 -1=( 4 10 )3 1 5 ( 5 2 ) 2 3 -( 3 2 )3 1 3 -1= 5 2 - 3 2 -1=0. (2)原式= 1 3 ( 1 3 ) 3 (2 1 3 ) 3 ( 1 3 ) 2 + 1 3 (2 1 3 )+(2 1 3 ) 2 1 3 2 1 3 ( 2 3 ) 1 2 ( 1 2 1 3 ) 1 5 = 1 3 ( 1 3 -2 1 3 ) 1 3 2 1 3 5 6 1 6 = 1 3 a 2 3 =a2.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,理科数学 第二

8、章：函数概念与基本初等函数,突破攻略 化简指数幂常用的技巧汇总 (1)( )-p=( )p(ab0); (2)a=( 1 )m, =( 1 )n(式子有意义); (3)1的代换,如1=a-1a,1= 1 2 1 2 等; (4)乘法公式的常见变形,如( 1 2 + 1 2 )( 1 2 - 1 2 )=a-b,( 1 2 1 2 )2=a2 1 2 1 2 +b,( 1 3 1 3 )( 2 3 1 3 1 3 + 2 3 )=ab. .,拓展变式1 (1)若x0,则(2 1 4 + 3 3 2 )(2 1 4 - 3 3 2 )-4 1 2 (x- 1 2 )=. (2)若 1 2 + 1

9、2 =3,则 3 2 + 3 2 +2 2 + 2 +3 的值为. 答案 (1)-23(2) 2 5 解析 (1)因为x0,所以原式=(2 1 4 )2-( 3 3 2 )2-4 1 2 x+4 1 2 1 2 =4 1 4 2 - 3 3 2 2 -4 1 2 +1 +4 1 2 + 1 2 =4 1 2 -33-4 1 2 +4x0=-27+4=-23. (2) 由 1 2 + 1 2 =3,得x+x-1+2=9,所以x+x-1=7,所以x2+x-2+2=49,所以x2+x-2=47.因为 3 2 + 3 2 =( 1 2 + 1 2 )3-3( 1 2 + 1 2 )=27-9=18,所

10、以原式= 18+2 47+3 = 2 5 .,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,考法2 指数函数的图象及应用,考法指导 1.对于已知函数解析式识别函数图象的选择题,可以考虑应用特值法. 2.对于与指数函数的图象有关的问题,一般从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到. 注意当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.,:,示例2 已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中ab)的图象 如图1所示,则函数g(x)=ax+b的图象是 思路分析首先根据二次函数的解析式及其图象确定a,b的取值范围,然后根据a确定指数函数y=ax的单调性,根据b确定函数图象的平移方向便可确

11、定函数g(x)的图象.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,图1,A B C D,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,解析解法一(平移变换)二次函数f(x)=(x-a)(x-b)的两个零点是a,b,且ab,故由已知函数图象可知,0b, 故由已知函数图象可知,0a1,b-1.而函数y=ax是一个单调递减函数, 所以函数g(x)=ax+b也是一个单调递减函数,且g(0)=a0+b=1+b0, 即函数g(x)的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上,可知选项A满足条件. 答案A,拓展变式2 函数y=ax-b(a0且a1)的图象经过第二、三、四象限,则ab的取值范围为 A.(1,+) B.(0,

12、+)C.(0,1) D.无法确定 答案 C 解析 因为函数y=ax-b的图象经过第二、三、四象限,所以函数y=ax-b单调递减且其图象与y轴的交点在y轴的负半轴上.令x=0,则y=a0-b=1-b,由题意得 01, 故ab(0,1),故选C.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,考法3 指数函数的性质及应用,考法指导 1.比较指数幂大小的常用方法 一是单调性法,不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小,所以能够化同底的尽可能化同底; 二是取中间值法,不同底、不同指数的指数函数比较大小时,先与中间值(特别是0,1)比较大小,进而得出大小关系; 三是图解法,根据指数函数的特

13、征,在同一平面直角坐标系中作出它们相应的函数图象,借助图象比较大小.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,2.指数方程与指数不等式的解法 (1)指数方程的类型可分为: 形如af(x)=ag(x)(a0,a1)的方程转化为f(x)=g(x)求解; 形如a2x+bax+c=0(a0,a1)的方程,用换元法求解. (2)指数不等式的类型可分为: 形如axab的不等式,借助函数y=ax(a0,a1)的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a1与0b的不等式,注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式,再借助函数y=ax(a0,a1)的单调性求解. 3.求解指数型函数中的参数取值范围 一般利用指数函数的

14、单调性或最值进行转化,应注意对底数a的分类讨论.,示例3已知f(x)是定义在R上的单调函数且f(x)为奇函数,满足f(3)=log23,若f(k3x)+f(3x-9x-2)0,即f(3)f(0),因为f(x)是R上的单调函数,所以f(x)在R上是增函数. f(k3x)+f(3x-9x-2)0 对任意xR成立.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,解法一(换元法)令t=3x0,问题等价于t2-(1+k)t+20对任意t0恒成立. 令g(t)=t2-(1+k)t+2,其对称轴为t= 1+ 2 , 当t= 1+ 2 0,即k-1时,g(0)=20,符合题意; 当t= 1+ 2 0,即k-1时,

15、则需满足g( 1+ 2 )0,解得-1k-1+2 2 . 综上所述,当k-1+2 2 时,f(k3x)+f(3x-9x-2)0对任意xR恒成立. 解法二(分离参数法)分离参数k得k3x+ 2 3 -1,令u=3x+ 2 3 -1,则u2 2 -1(当且仅当3x= 2 3 时等号成立),即u的最小值为2 2 -1, 则要使不等式k3x+ 2 3 -1对任意xR恒成立,只要k2 2 -1即可.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,示例4比较下列各题中两个值的大小: (1)1.72.5,1.73;(2)0.8-0.1,0.8-0.2;(3)1.70.3,0.93.1. 思路分析 (1)(2)直

16、接根据底数即可确定指数函数,然后根据指数函数的单调性比较大小;(3)由于底数、指数均不同,所以需要寻找一个中间量来比较大小. 解析(1)考查函数y=1.7x,因为1.71, 所以指数函数y=1.7x在R上是增函数. 又2.53,所以1.72.51.73. (2)考查函数y=0.8x,因为00.81, 所以指数函数y=0.8x在R上是减函数.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,又-0.1-0.2,所以0.8-0.11.70=1,0.93.10.93.1. 点评你能比较89与98的大小吗?可视为比较ab与ba的大小,对两个数取对数得bln a与aln b,同时除以ab得 ln 与 ln .

17、于是构造函数y= ln (x1),求导得y=( ln )= 1ln 2 ,故当x(1,e)时,y0,函数y= ln 为增函数;当x(e,+)时,y ln9 9 ,即8998.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,拓展变式3 若函数y=ax(a0,a1)在1,2上的最大值比最小值大 2 ,则a的值是 . 答案 1 2 或 3 2 解析 当01时,函数在1,2上单调递增,则最大值为a2,最小值为a,从而a2-a= 2 ,解得a= 3 2 .综上可知,a的值是 1 2 或 3 2 .,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,考法4 与指数函数有关的复合函数,考法指导 1.与指数函数有关的复合

18、函数的定义域、值域 (1)y=af(x)的定义域就是f(x)的定义域. (2)求y=af(x)和y=f(ax)的值域的解法 形如y=af(x)的值域,要先令u=f(x),求出u=f(x)的值域,再结合y=au的单调性求出y=af(x)的值域.若a的取值范围不确定,则需要对a进行分类讨论:当01时,y=au为增函数. 形如y=f(ax)的值域,要先求出u=ax的值域,再结合y=f(u)的单调性确定y=f(ax)的值域.,2.与指数函数有关的复合函数的单调性 形如y=af(x)的函数的单调性,它的单调区间与 f(x)的单调区间有关: 若a1,函数 f(x)的单调增(减)区间即函数y=af(x)的单

19、调增(减)区间; 若0a1,函数 f(x)的单调增(减)区间即函数y=af(x)的单调减(增)区间.即“同增异减”. 注意 当底数a与1的大小不确定时应分类讨论. 3.对于含有ax,a2x的函数表达式,通常可以令t=ax进行换元,但换元过程中要注意新元的取值范围.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,示例5函数y=( 1 2 ) 2 +21 的值域是 A.(-,4)B.(0,+)C.(0,4D.4,+) 思路分析 y=( 1 2 ) 2 +21 y=( 1 2 )t , t=x2+2x-1 t的值域 y=( 1 2 )t 的值域 解析设t=x2+2x-1,则y=( 1 2 )t.因为0

20、1 2 1,所以y=( 1 2 )t为关于t的减函数. 因为t=(x+1)2-2-2,所以0y=( 1 2 )t( 1 2 )-2=4,故所求函数的值域为(0,4. 答案C,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,示例6如果函数y=a2x+2ax-1(a0,且a1)在区间-1,1上的最大值是14,那么a的值为 A. 1 3 B.1 C.3 D. 1 3 或3 思路分析 令t=ax 转化为二次函数的最值 分类讨论,利用最值列出关于a的方程 检验a的值,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,解析令ax=t,则y=t2+2t-1=(t+1)2-2.当a1时,因为x-1,1,所以t 1 ,a,又

21、函数y=(t+1)2-2在 1 ,a上单调递增,所以ymax=(a+1)2-2=14,解得a=3. 当0a1时,因为x-1,1,所以ta, 1 , 又函数y=(t+1)2-2在a, 1 上单调递增, 则ymax=( 1 +1)2-2=14,解得a= 1 3 . 综上知a=3或a= 1 3 . 答案D,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,拓展变式4改编题已知函数f(x)=2|2x-m|(m为常数).若f(x)在2,+)上是增函数,则m的取值范围是 . 答案 (-,4 解析 令t=|2x-m|,则t=|2x-m|在 2 ,+)上单调递增,在(-, 2 上单调递减.因为y=2t在R上为增函数,

22、所以若函数f(x)=2|2x-m|在2,+)上单调递增,则 2 2,即m4,所以m的取值范围是(-,4.,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,C方法帮素养大提升,易混易错,理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数,易错忽略对底数a的分类讨论而出错 示例7已知函数y=a2x+2ax-1(a0,且a1),当x 0时,求函数的值域. 错因分析忽略对底数a的分类讨论而出错.(1)当a1时,如果x0,那么ax 1; (2)当01时,x 0,t 1,当a1时,y 2. 当01时,函数的值域是2,+);当0a1时,函数的值域是(-1,2.,易混易错,易错提醒注意指数函数y=ax(a0,且a1)的函数值的变化情况.当00,则01时,若x 0,则00,则y1.在综合应用时,如求复合函数y=af(x)的值域,一定要先确定f(x)的值域,再由a的取值范围确定y的取值范围.,数学 第二章：函数概念与基本初等函数,