概率论与数理统计模拟试题及解答.docx

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1、模拟试题一参考答案一.单项选择题每题2分,共16分1、设为两个随机事件,假设,那么以下命题中正确的选项是 (A) A及B互不相容(B) A及B独立(C) (D) 未必是不可能事件解 假设为零概率事件,其未必为不可能事件.此题应选D.2、设每次试验失败的概率为p,那么在3次独立重复试验中至少成功一次的概率为 (A) (B) (C) (D) 解 所求事件的对立事件为“3次都不成功,其概率为,故所求概率为.假设直接从正面去求较为麻烦.此题应选C.3、假设函数是一随机变量的概率密度,那么下面说法中一定成立的是 (A) 非负 (B) 的值域为 (C) 单调非降 (D) 在内连续解 由连续型随机变量概率密

2、度的定义可知,是定义在上的非负函数,且满足上的均匀分布的随机变量的概率密度在及处不连续,且在这两点的函数值大于1.因而此题应选A.4、假设随机变量X的概率密度为,那么 (A) (B) (C) (D) 解 的数学期望,方差,令,那么其服从标准正态分布.故此题应选A.5、假设随机变量不相关,那么以下等式中不成立的是 (A) (B) (C) (D) 解 因为,故, ,但无论如何,都不成立.故此题应选C.6、设样本取自标准正态分布总体,又分别为样本均值及样本标准差,那么 (A) (B) (C) (D) 解 ,只有C选项成立.此题应选C.7、样本 取自总体,那么以下估计量中, 不是总体期望的无偏估计量(

3、A) (B) (C) (D) 解 由无偏估计量的定义计算可知,不是无偏估计量,此题应选A.8、在假设检验中,记为待检假设,那么犯第一类错误指的是 (A) 成立,经检验承受(B) 成立,经检验拒绝(C) 不成立,经检验承受(D) 不成立,经检验拒绝解 弃真错误为第一类错误,此题应选B.二.填空题每空2分,共14分1、同时掷三个均匀的硬币,出现三个正面的概率是,恰好出现一个正面的概率是.解 ;.2、设随机变量X服从一区间上的均匀分布,且,那么X的概率密度为.解 设,那么解得, ,所以X的概率密度为3、设随机变量X服从参数为2的指数分布, Y服从参数为4的指数分布,那么.解 .4、设随机变量X和Y的

4、数学期望分别为2和2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5,那么根据切比雪夫不等式,有.解 根据切比雪夫不等式,.5、假设随机变量X服从分布,那么服从分布并写出其参数.解 设,其中,且,从而.6、设为来自总体X的一个样本,对总体方差进展估计时,常用的无偏估计量是.解 .三.(此题分)设,求.解 由全概率公式可得.四.(此题8分)两台车.加工出来的零件放在一起.又知第一台加工的零件数是第二台加工的零件数的2倍.求:(1) 任取一个零件是合格品的概率,(2) 假设任取一个零件是废品,它为第二台车床加工的概率.解 设分别表示第一台,第二台车床加工的零件的事件.表示产品是合格品的事件.(1) 由全概率

5、公式可得.(2) .五.(此题14分)袋中有4个球分别标有数字1,2,2,3,从袋中任取一球后,不放回再取一球,分别以记第一次,第二次取得球上标有的数字,求:(1) 的联合分布； (2) 的边缘分布；(3) 是否独立； (4) .解 1 1 2 3 1 0 2 3 02,.,.3因为,故不独立.4.六.(此题12分)设随机变量X的密度函数为,试求:(1) 的值； (2) ； (3) 的密度函数.解 (1) 因,从而;(2) ;(3) 当时,;当时,所以,两边关于y求导可得,故Y的密度函数为七.(此题6分)某商店负责供给某地区1000人商品,某种产品在一段时间内每人需用一件的概率为0.6.假定在

6、这段时间,各人购置及否彼此无关,问商店应预备多少件这种商品,才能以的概率保证不会脱销？假定该商品在某一段时间内每人最多买一件.解 设()表示购置该种商品的人数,那么.又设商品预备n件该种商品,依题意,由中心极限定理可得.查正态分布表得,解得件.八.(此题10分)一个罐内装有黑球和白球,黑球数及白球数之比为.(1) 从罐内任取一球,取得黑球的个数为总体,即 求总体的分布；(2) 从罐内有放回的抽取一个容量为的样本,其中有个白球,求比数的最大似然估计值.解 1 1 0 即 ;2,两边取对数,两边再关于求导,并令其为0,得,从而,又由样本值知,故估计值为.九.(此题14分)对两批同类电子元件的电阻进

7、展测试,各抽6件,测得结果如下单位:批:0.140,0.138,0.143,0.141,0.144,0.137；批:0.135,0.140,0.142,0.136,0.138,0.141.元件电阻服从正态分布,设,问:(1) 两批电子元件的电阻的方差是否相等(2) 两批电子元件的平均电阻是否有显著差异,解 (1) .检验统计量为 在成立时,由,查得临界值,.由样本值算得,由于,故不能拒绝,即认为两批电子元件的电阻的方差相等.(2) .统计量 在成立时,查表得临界值.再由样本值算得,因为,故接收.即认为两批电子元件的平均电阻无显著差异.模拟试题二参考答案一.单项选择题每题2分,共16分表示3个事

8、件,那么表示 .(A) 中有一个发生(B) 中不多于一个发生(C) 都不发生 (D) 中恰有两个发生解 此题应选C.= .(A) (B) (C) (D) 解 ,.故此题应选A.及分别服从正态分布和,那么 (A) (B) (C) (D) 解 ,故此题应选B.及为两随机变量,且,那么 (A) 40 (B) 34(C) 25.6 解 ,.故此题应选C.服从参数为的泊松分布,那么的数学期望是 (A) (B) (C) (D) 解 ,此题应选D.是来自于正态总体的简单随机样本,为样本方差,记 那么服从自由度为的分布的随机变量是 (A) (B) (C) (D) 解 ,再由分布的定义知,此题应选B.均值及方差

9、都存在,且均为未知参数,而 是该总体的一个样本,为样本方差,那么总体方差的矩估计量是 (A) (B) (C) (D) 解 此题应选D.8.在假设检验时,假设增大样本容量,那么犯两类错误的概率 (A) 都增大 (B) 都减小(C) 都不变 (D) 一个增大一个减小解 此题应选B.二.填空题每空2分,共14分1.设10件产品中有4件不合格品,从中任取2件,所取2件中有1件是不合格品,那么另外1件也是不合格品的概率为.解 设表示两件中有一件不合格品,2.设随机变量服从分布,那么的分布函数为.解 服从0-1分布,其分布函数为3.假设随机变量服从均值为2,方差为的正态分布,且,那么.解 ,即其密度函数关

10、于.服从参数为的01分布,其中未知.现得一样本容量为8的样本值:0,1,0,1,1,0,1,1,那么样本均值是,样本方差是.解 由定义计算知;.服从参数为的指数分布,现从中随机抽取10个样本,根据测得的结果计算知,那么的矩估计值为.解 .,且未知,用样本检验假设时,采用的统计量是.解 (为真时).三.此题8分设有三只外形完全一样的盒子,号盒中装有14个黑球,6个白球；号盒中装有5个黑球,25个白球；号盒中装有8个黑球,42个白球.现在从三个盒子中任取一盒,再从中任取一球,求:1取到的球是黑球的概率；2假设取到的是黑球,它是取自号盒中的概率.解 设分别表示从第,号盒中取球,表示取到黑球.(1)

11、由全概公式可得0.342;(2) 由贝叶斯公式得0.682.四.此题6分设随机变量的概率密度为,对独立地重复观察4次,用表示观察值大于地次数,求的数学期望.解 ,从而.五.此题12分设的联合分布律为 0 1 2 问:(1) 是否独立；(2) 计算的值；(3) 在的条件下的条件分布律.解 (1) 因为,所以不独立;(2) ;(3) ,.六.此题12分设二维随机变量的概率密度为求:(1) 的边缘密度函数；(2) ；(3) .解 (1)(2) ;(3) .七.此题6分一部件包括10局部,每局部的长度是一个随机变量,它们相互独立,且服从同一均匀分布,其数学期望为2,均方差为0.05,规定总长度为时产品

12、合格,试求产品合格的概率.解 设表示第局部的长度,且,.由独立同分布的中心极限定理知,产品为合格品的概率为.八.此题7分设总体具有概率密度为其中为正整数,求的极大似然估计.解 设是来自总体的样本,当时,似然函数,两边取对数,关于求导,并令其为0,得,从而解得的极大似然估计为.九.此题14分从某锌矿的东、西两支矿脉中,各抽取样本容量分别为9及8的样本进展测试,得样本含锌平均数及样本方差如下:东支:, 西支:, 假设东、西两支矿脉的含锌量都服从正态分布,问东、西两支矿脉含锌量的平均值是否可以看作一样？,解 此题是在未知方差,又没有说明方差是否相等的情况下,要求检验两总体均值是否相等的问题,故首先必

13、须检验方差是否相等,在相等的条件下,检验总体均值是否相等.第一步假设,统计量,经检验,承受；第二步假设:,统计量经检验,承受,即可认为东、西两支矿脉含锌量的平均值相等.(请参见模拟试题(一)第九大题)十.此题5分设总体的密度函数为其中为未知参数,为来自总体的样本,证明:是的无偏估计量.证明 ,故是的无偏估计量.模拟试题三参考答案一.填空题每题2分,共14分1.一射手对同一目标独立地进展四次射击,假设至少命中一次的概率为,那么该射手的命中率为 .解 设表示一次射击中击中目标,依题意,四次都没击中的概率为,解得,从而射手的命中率为.2.假设事件,独立,且,那么 .解 .3.设离散型随机变量服从参数

14、为的泊松分布,那么= .解 ,从而解得.4.设相互独立的两个随机变量,具有同一分布律,且的分布律为: 那么随机变量的分布律为 .解 的可能取值为0,1.5.设随机变量,的方差分别为,相关系数,那么= .解 .6.设总体的期望值和方差都存在,总体方差的无偏估计量是,那么 .解 .7.设总体,未知,检验,应选用的统计量是 .解 (为真时)二 .单项选择题每题2分,共16分1.本中文书和本外文书任意往书架上摆放,那么本外文书放在一起的概率为 (A) (B) (C) (D) 解 此题应选C.2.假设事件相互独立,那么以下正确的选项是 (A) (B) (C) (D) 解 由独立性的定义知,故此题应选D.

15、3.设随机变量服从参数为,的二项分布,且,那么,的值为 (A) (B) (C) (D) 解 由,解得,此题应选A.4.设随机变量服从正态分布,其概率密度函数为,分布函数为,那么有 (A) (B) (C) =,(D) , 解 ,故其密度函数关于对称,故此题应选B.5.如果随机变量及满足:,那么以下式子正确的选项是 (A) 及相互独立(B) 及不相关(C) (D) 解 由,可得,从而可知及不相关,故此题应选B.6.设是来自总体的样本,为样本均值,令,那么 (A) (B) (C) (D)解 此题应选A.7.设是取自总体的样本,可以作为的无偏估计量的统计量是 (A) (B) (C) (D)解 由无偏估

16、计的定义及期望的性质知,故A选择正确,同理验算其他选项均不正确.故此题应选A.8.样本来自正态总体,假设进展假设检验,当 时,一般采用统计量(A) 未知,检验=(B) ,检验=(C) 未知,检验 =(D) ,检验=解 此题应选C.三.此题8分有两台车床生产同一型号螺杆,甲车床的产量是乙车床的倍,甲车床的废品率为,乙车床的废品率为,现随机抽取一根螺杆检查,发现是废品,问该废品是由甲车床生产的概率是多少？解 设分别表示螺杆由甲,乙车床生产的事件.四.此题8分假设一部机器在一天内发生故障的概率为五个工作日里无故障,可获利润万元,发生一次故障获利润万元,发生两次故障获利润万元,发生三次或三次以上故障就

17、要亏损万元,问一周内期望利润是多少？解 设表示一周中所获的利润,其分布律为: 0 5 10 从而由期望的定义计算可得.五.此题12分1.设随机向量,的联合分布为: (1) 求,的边际分布；(2) 判断,是否独立.解 (1) 的边际分布为： 的边际分布为： (2) 及不相互独立.2.设随机变量的联合密度函数为:=求概率.解 .六.此题8分设连续型随机变量的分布函数为:求: (1) 系数及；(2) 随机变量的概率密度；(3) .解 (1) 由分布函数的性质知,从而;(2) 分布函数的导数即为其概率密度,即=(3) .七.此题8分设为总体的一个样本,的概率密度为:=其中,求未知参数的矩估计量及极大似

18、然估计量.解 令,从而解得的矩估计量为.极大似然估计为:.(具体做法类似及模拟试卷二第八题)八.此题分设某次考试的考生成绩服从正态分布,从中随机地抽取位考生的成绩,算得平均成绩为分,标准差为分,问在显著水平下,是否可认为全体考生的平均成绩为分？解 假设:,选取统计量, (为真时)在下,查分布的双侧临界值表知.另一方面,计算统计量的值,从而承受原假设,即可认为全体考生的平均成绩为分.九.此题分两家银行分别对个储户和个储户的年存款余额进展抽样调查,测得其平均年存款余额分别为=元和=元,样本标准差相应地为元和元,假设年存款余额服从正态分布,试比拟两家银行的储户的平均年存款余额有无显著差异？解 此题要

19、求检验,由于检验必须在方差相等的条件下进展,因此必须先检验及是否相等.第一步假设,统计量,经检验,承受；第二步假设:,统计量经检验,拒绝,即两家银行的储户的平均年存款余额有显著差异.(请参见模拟试题(一)第九大题)十.此题分设总体服从参数为的泊松分布,为未知参数,证明:是的一个无偏估计量.证明 ,所以是的一个无偏估计量.模拟试题四参考答案一.填空题(每题2分,共20分)1.设=那么 .解 2.假设随机变量服从二项分布,即,那么 .解 .3.三次独立重复射击中,假设至少有一次击中的概率为,那么每次击中的概率为 .解 .4.设随机变量的概率密度是:且那么 .解 由知,.故从而.5.利用正态分布的结

20、论,有: .解 令,那么原式,这里.6.设总体的密度函数为:,是来自总体的样本观测值,那么样本的似然函数 .解 .7.设,是二维随机向量,都不为零,假设有常数及使,这时及是 关系.解 完全相关.8.假设,是来自总体的样本,分别为样本均值和方差,那么服从 分布.解 .,及,中分别抽取容量为的样本,样本均值分别为,那么服从分布 .解 .和的相关系数为0.9,假设,那么及的相关系数为.解 .二.单项选择题(每题2分,共12分)1. 设随机变量的数学期望及均存在,由切比雪夫不等式估计概率为( )(A) (B) (C) (D) 解 此题应选C.2.为随机随机事件,且,那么以下式子正确的选项是( ).(A

21、) (B) (C) (D) 解 此题应选A.3. 设随机变量的密度函数为且,那么( ).(A) (B) (C) (D) 解 令,解得,故此题应选D.4.假设随机变量及不相关,那么有( ).(A) (B) (C) (D) 解 此题应选C.5.随机变量,且,那么( ).(A) (B) (C)(D) 解 6.将一枚硬币独立地掷两次,记事件:掷第一次出现正面,掷第二次出现正面,正、反面各出现一次,正面出现两次,那么事件( ).(A) 相互独立(B) 相互独立(C) 两两独立(D) 两两独立解 ,再由事件独立的充分必要条件可知两两独立,此题应选C.三.计算题(每题分,共48分)1.某厂由甲,乙,丙三个车

22、间生产同一种产品,它们的产量之比为3:2:1,各车间产品的不合格率依次为8%,9%,12%.现从该厂产品中任意抽取一件,求:(1) 取到不合格产品的概率；(2) 假设取到的是不合格品,求它是由甲厂生产的概率.解 (1) 运用全概率公式, 0.09;(2) 运用贝叶斯公式, 0.44.(具体做法参见模拟试卷(一)第四题)2.一实习生用一台机器接连独立地制造三个同样的零件,第个零件是不合格品的概率为,以表示三个零件中合格品的个数,求:(1) 的概率分布； (2) 的方差.解 (1)0123(2) ,故.3.设总体,为未知参数,是来自总体的一组样本值,求的最大似然估计.解 似然函数,两边取对数,关于

23、求导,并令其为零,得,从而解得极大似然估计量为.4.二维随机变量(,)的联合概率密度:求: (1) 及之间是否相互独立,判断及是否线性相关；(2) .解 (1) 同理从而,故及相互独立,因而及一定不相关.(2) .5.某人乘车或步行上班,他等车的时间(单位:分钟)服从参数为的指数分布,如果等车时间超过10分钟他就步行上班.假设此人一周上班5次,以的概率分布；并求他一周内至少有一次步行上班的概率.解 此人每天等车时间超过10分钟也即步行上班的概率为.故.6.设随机变量的概率密度为是的概率分布.解 (3) 当时,;当时,;当时,.故对求导可得的概率密度,即四.应用题(第1题7分、第2题8分,共15分)1.假设对目标独立地发射400发炮弹,每一发炮弹的命中率等于0.2,用中心极限定理计算命中60发到100发之间的概率.解 设 (),那么表示400发炮弹命中的发数,且,故由中心极限定理知,.2.某厂生产铜丝,生产一向稳定.现从该厂产品中随机抽出10段检查其折断力,测后经计算: .假定铜丝折断力服从正态分布,问是否可以相信该厂生产的铜丝的折断力方差为16()解 .采用统计量,在成立时,.由,查得临界值, ,由样本值算得,由于,所以不拒绝,即该厂生产的铜丝的折断力方差为16.五.证明题(5分)假设随机变量的密度函数,对任意的,满足:,是其分布函数.证明:对任意实数,有.证明 (令).