概率论与-数理统计作业及解答.doc

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1、|概率论与数理统计作业及解答第一次作业 1. 甲 乙 丙三门炮各向同一目标发射一枚炮弹 设事件 A B C 分别表示甲 乙 丙击中目标 则三门炮最多有一门炮击中目标如何表示.事件 事件 最多有一个发生,则 的表示为E,ABCE或 或;ABC;或 或;().(和 即并 ,当 互斥即 时 常记为 )AB2. 设 M 件产品中含 m 件次品 计算从中任取两件至少有一件次品的概率.或21mC12(1)MC3. 从 8 双不同尺码鞋子中随机取 6 只 计算以下事件的概率.A8 只鞋子均不成双 , B恰有 2 只鞋子成双, C 恰有 4 只鞋子成双.6182()3()0.8,4P148726()0().5

2、9,3P1862.9C4. 设某批产品共 50 件 其中有 5 件次品 现从中任取 3 件 求 (1)其中无次品的概率 (2)其中恰有一件次品的概率 (1) (2)345019.7246C2145309.26C5. 从 19 九个数字中 任取 3 个排成一个三位数 求 (1)所得三位数为偶数的概率 (2) 所得三位数为奇数的概率 (1) 三位数为偶数 尾数为偶数PP4,9(2) 三位数为奇数 尾数为奇数5,或 三位数为奇数 三位数为偶数141.96. 某办公室 名员工编号从 到 任选 人记录其号码求(1)最小号码为 的概率 (2)0035最大号码为 的概率5记事件 A最小号码为 , B最大号码

3、为 .5(1) (2) 25310();CP24310().CP7. 袋中有红、黄、白色球各一个每次从袋中任取一球记下颜色后放回共取球三次求下列事件的概率: =全红 =颜色全同 =颜色全不同 =颜色不全同D =无黄色球 =无红色且无黄色球 =全红或全黄.EFG|31(),27PA1()3,9PBA3!2(),9PC8()1(),9PDB8,E3,27F.7GA.某班 n 个男生 m 个女生(mn1)随机排成一列 计算任意两女生均不相邻的概率. .在0 1线段上任取两点将线段截成三段 计算三段可组成三角形的概率.14第二次作业 1. 设 A B 为随机事件 P (A)0.92 P(B)0.93

4、求(1) (2) (|)0.85A(|)PAB()(1) 0.85(|),.6,10.92 ()()92.30.58,).58(|).3PAB(2) ()PAB092.860.2. 投两颗骰子已知两颗骰子点数之和为 7求其中有一颗为 1 点的概率.记事件 A , B .(1,6)25,(34),(5),1(,)|.PB.在 12000 中任取一整数 求取到的整数既不能被 5 除尽又不能被 7 除尽的概率 记事件 A能被 5 除尽, B能被 7 除尽.取整40(),22085,287(),04PB205,57(),20PAB()1()1()PBAA157.6403. 由长期统计资料得知 某一地区

5、在 4 月份下雨(记作事件 A)的概率为 4/15 刮风( 用B 表示)的概率为 7/15 既刮风又下雨的概率为 1/10 求 P(A|B)、P (B|A)、P (AB) ()1/03(|),75PAB)1/03|),(458PBA(479.154 设某光学仪器厂制造的透镜第一次落下时摔破的概率是 1/2若第一次落下未摔破第二次落下时摔破的概率是 7/10若前二次落下未摔破 第三次落下时摔破的概率是 9/10试求落下三次而未摔破的概率记事件 =第 次落下时摔破 iA1,23.i|123121312793()(|)(|)1.020PAPA5 设在 张彩票中有一张奖券有 3 个人参加抽奖分别求出第

6、一、二、三个人摸到奖券n概率记事件 =第 个人摸到奖券 i ,.i由古典概率直接得 1231()()PAPAn或 2121()| ,PA33123121)(|)(|).2nn或 第一个人中奖概率为 ,PAn前两人中奖概率为 解得1212()(),n21(),PAn前三人中奖概率为 解得3 3(,3().6 甲、乙两人射击 甲击中的概率为 08 乙击中的概率为 07 两人同时射击 假定中靶与否是独立的求(1)两人都中靶的概率 (2) 甲中乙不中的概率 (3)甲不中乙中的概率 记事件 =甲中靶 =乙中靶. AB(1) ()()0.7.56,P(2) 8024P(3) .17 袋中有 a 个红球 b

7、 个黑球 有放回从袋中摸球 计算以下事件的概率 (1)A在 n 次摸球中有 k 次摸到红球 (2)B第 k 次首次摸到红球 (3)C第 r 次摸到红球时恰好摸了 k 次球 (1) () ;()knnkknababPC(2) 11;()kB(3) 1 1() .()rkrrkrkababC8一射手对一目标独立地射击 4 次 已知他至少命中一次的概率为 求该射手射击一80.1次命中目标的概率设射击一次命中目标的概率为 ,1.pq4802,.133qpq9 设某种高射炮命中目标的概率为 0.6 问至少需要多少门此种高射炮进行射击才能以0.99 的概率命中目标 |由 得(10.6).9,n04.1,n

8、50.412,60.41,6.n.证明一般加法(容斥)公式 1 11()()()().ni iijijkiijijkPAPAAPA 证明 只需证分块 只计算 1 次概率( 是 的一11,knkiiiii ,n ,个排列 )分块概率重数为,2.k中任取 1 个 任取 2 个 任取 个即1ii 1()(kkCC2)(1)0.kk将 互换可得对偶加法(容斥)公式, 111()()()().nn ni iijijkiij ijkPAPAPAPA .证明 若 A B 独立 A C 独立 则 A BC 独立的充要条件是 A BC 独立.证明()()()()()充分性 :代入()()()(),PPP()()

9、BCP即 独立.ABCABA必要性 :()()()()C()A即 独立.,P.证明：若三个事件 A、B、C 独立，则 AB、AB 及 AB 都与 C 独立证明 因为()()()()()()(APPPB)()()()()CABCABCAP()APPBCP所以 AB 、AB 及 AB 都与 C 独立.第三次作业 1 在做一道有 4 个答案的选择题时 如果学生不知道问题的正确答案时就作随机猜测 设他知道问题的正确答案的概率为 p 分别就 p0.6 和 p0.3 两种情形求下列事件概率 (1)学生答对该选择题 (2)已知学生答对了选择题求学生确实知道正确答案的概率 记事件 =知道问题正确答案 =答对选

10、择题. (1) 由全概率公式得 ()(|)(|)PBAPBA13,4p|当 时0.6p130.67() .,441pPB当 时.3.39.45(2) 由贝叶斯公式得 ()(|) ,13PABp当 时0.6p40.6(|),137pPAB当 时.3.12| .392 某单位同时装有两种报警系统 A 与 B 当报警系统 A 单独使用时 其有效的概率为0.70 当报警系统 B 单独使用时 其有效的概率为 0.80.在报警系统 A 有效的条件下 报警系统 B 有效的概率为 0.84.计算以下概率 (1)两种报警系统都有效的概率 (2)在报警系统 B 有效的条件下 报警系统 A 有效的概率 (3)两种报

11、警系统都失灵的概率.()0.7,().8,(|)084PAP(1) |7.5,(2) .5(|)3,(3) )1()1()()BABPBA10.78.0.8.为防止意外 在矿内同时设有两种报警系统 A 与 B 每种系统单独使用时 其有效的概率系统 A 为 0 92 系统 B 为 0.93 在 A 失灵的条件下 B 有效的概率为 0.85 求: (1)发生意外时 两个报警系统至少有一个有效的概率 (2) B 失灵的条件下 A 有效的概率 3 设有甲、乙两袋 甲袋中有 只白球 只红球 乙袋中有 只白球 只红球nmNM从甲袋中任取一球放入乙袋 在从乙袋中任取一球 问取到白球的概率是多少记事件 =从甲

12、袋中取到白球 =从乙袋中取到白球. AB由全概率公式得 ()(|)(|)PBPA11nNNmMn().1nm.设有五个袋子 其中两个袋子 每袋有 2 个白球 3 个黑球 另外两个袋子 每袋有1 个白球 4 个黑球 还有一个袋子有 4 个白球 1 个黑球 (1)从五个袋子中任挑一袋 并从这袋中任取一球 求此球为白球的概率 (2)从不同的三个袋中任挑一袋 并由其中任取一球 结果是白球 问这球分别由三个不同的袋子中取出的概率各是多少？4 发报台分别以概率 06 和 04 发出信号 “” 及 “” 由于通信系统受到于扰 当发出信号 “” 时 收报台分别以概率 08 及 02 收到信息 “” 及 “”

13、又当发出信号 “” 时 收报台分别以概率 09 及 0l 收到信号 “” 及 “” 求: (1)收报台收到 “”的概率|(2)收报台收到“” 的概率 (3)当收报台收到 “” 时 发报台确系发出信号 “” 的概率(4)收到 “” 时 确系发出 “” 的概率 记事件 =收到信号 “” =发出信号 “” =发出信号“ ”. B1A2A(1) )|()|()( 221BPP ;52.014.)01(6. (2) 0.5.48;(3) 1111 |(|)()A0.8.93;5(4) 2222)|BAPP.0.7545 对以往数据分析结果表明 当机器调整良好时 产品合格率为 90% 而机器发生某一故障时

14、 产品合格率为 30% 每天早上机器开动时 机器调整良好的概率为 75% (1)求机器产品合格率(2)已知某日早上第一件产品是合格品 求机器调整良好的概率记事件 =产品合格 =机器调整良好. BA(1) 由全概率公式得 ()(|)(|)PPB0.759.203.75,(2) 由贝叶斯公式得 (|)| AP9.系统(A) (B) (C)图如下 系统(A) (B)由 4 个元件组成 系统(C)由 5 个元件组成 每个元件的可靠性为 p 即元件正常工作的概率为 p 试求整个系统的可靠性.(A) (B) (C) 记事件 =元件 5 正常 =系统正常. AB(A) 22(|)(1)(4),PBpp(B)

15、 2(C) 由全概率公式得 ()(|)(|)PA22241ppp345.第四次作业 1 在 15 个同型零件中有 2 个次品 从中任取 3 个 以 表示取出的次品的个数 求X的分布律.X2135(),0,.kCPX0 1 2P22/35 12/35 1/35.经销一批水果 第一天售出的概率是 0.5 每公斤获利 8 元 第二天售出的概率是0.4 每公斤获利 5 元 第三天售出的概率是 0.1 每公斤亏损 3 元 求经销这批水果每|公斤赢利 X 的概率分布律和分布函数 X35 8P0.1.40.0,3,().,)5(5).5,8,81,.xFxx2 抛掷一枚不均匀的硬币 每次出现正面的概率为 2

16、/3 连续抛掷 8 次 以 表示出现X正面的次数 求 的分布律.X(,2/3),Bnp: 8821(),0,.3kkPkC3 一射击运动员的击中靶心的命中率为 0.35 以 X 表示他首次击中靶心时累计已射击的次数 写出 X 的分布律 并计算 X 取偶数的概率 (0.5),G11()0.56,2.kkpq+=1(),Pq奇 偶 偶奇解得 0.6530.941X:偶4 一商业大厅里装有 4 个同类型的银行刷卡机 调查表明在任一时刻每个刷卡机使用的概率为 0.1求在同一时刻(1)恰有 2 个刷卡机被使用的概率(2) 至少有 3 个刷卡机被使用的概率(3)至多有 3 个刷卡机被使用的概率(4) 至少

17、有一个刷卡机被使用的概率在同一时刻刷卡机被使用的个数 (4,0.1)XBnp:(1) 224()0.19.086,PXC(2) 344()().9.37,PC(3) 3.,(4) () 1.50.5 某汽车从起点驶出时有 40 名乘客 设沿途共有 4 个停靠站 且该车只下不上 每个乘客在每个站下车的概率相等 并且相互独立 试求 (1)全在终点站下车的概率 (2)至少有 2 个乘客在终点站下车的概率 (3)该车驶过 2 个停靠站后乘客人数降为 20 的概率 记事件 =任一乘客在终点站下车 乘客在终点站下车人数A (40,1/).XBnp:(1) 40231()8.71,PX(2) 4039401

18、32()() 1PXC10.3480.9652.(3) 记事件 =任一乘客在后两站下车 乘客在后两站下车人数B (,1/2).YBnp:|(精确值)2020441(2) .168CPYC应用斯特林公式 !,nne:2020441(2)X240!()2042e:.165:其中 3.14596,.73809.参贝努利分布的正态近似6 已知瓷器在运输过程中受损的概率是 0.002 有 2000 件瓷器运到 求 (1)恰有 2 个受损的概率 (2)小于 2 个受损的概率 (3)多于 2 个受损的概率 (4)至少有 1 个受损的概率 受损瓷器件数 近似为泊松分布(0,.),XBnp: (4).Pnp(1

19、) 2418.165!Pe(2) 42 .9782,(3) 31230e(4) 440.86.Pe7 某产品表面上疵点的个数 X 服从参数为 1.2 的泊松分布 规定表面上疵点的个数不超过 2 个为合格品 求产品的合格品率 产品合格品率21.1.21.908794.!e8 设随机变量 X 的分布律是 35 8P0.2.3求X 的分布函数 以及概率 (6),(1),(),(|5).XPX随机变量 X 的分布函数为0,3,()0.2,35,)5().0.7,8,81,.xFxPx(36)()5,X8.3.8,X5|()(5)0.2.7,FPX第五次作业|1 学生完成一道作业的时间 X 是一个随机变

20、量(单位 小时) 其密度函数是2,0.5()kxf其 他试求 (1)系数 k (2)X 的分布函数 (3)在 15 分钟内完成一道作业的概率 (4)在 10 到 20分钟之间完成一道作业的概率 (1) 0.50.5232111(.) ,2,48kkFxdx(2) 2320,()7,0.5,.51,.xxPXxF(3) 3220119() .14062,44xd (4) 32316 97.63 8PXFxd2 设连续型随机变量 X 服从区间 a a(a0)上的均匀分布 且已知概率 求 1()3PX(1)常数 a (2)概率 1()3P(1) 1(),32aXdx(2) 35.693 设某元件的寿

21、命 X 服从参数为 的指数分布 且已知概率 P(X50)e4 试求 (1)参数 的值 (2) 概率 P(25X100) 补分布 ()|,0.xxxSxxede:(1) 50450 250 8,5(2) 由 取 依次令 得()(),rxeSrx ,1,r12 28225,(10)(0)()SPXeSPXSe 0.3546,其中 .7184.: 28(0)(5)e.36.36.3497.4 某种型号灯泡的使用寿命 X(小时)服从参数为 的指数分布 求 (1)任取 1 只灯泡10使用时间超过 1200 小时的概率 (2)任取 3 只灯泡各使用时间都超过 1200 小时的概率 |(1) 13208()

22、.2106,PXe此处 .647.e(2) 932()95.5 设 XN(0 1) 求 P( X061) P(262X125) P(X134) P(|X|213) (1) 0.1.7,(2) (265)1).6).25).6).8943.89,(3) (34.0.9,(4) (|.1)2.)283418.PX6 飞机从甲地飞到乙地的飞行时间 XN(4 ) 设飞机上午 10 10 从甲地起飞 求 (1)9飞机下午 2 30 以后到达乙地的概率 (2)飞机下午 2 10 以前到达乙地的概率 (3)飞机在下午 1 40 至 2 20 之间到达乙地的概率 (1) 3131/34(1)0.843.156

23、,PXP(2) (4)(0.5,(3) 72/647/2613131.90.90.645.7 设某校高三女学生的身高 XN(162 25) 求 (1)从中任取 1 个女学生 求其身高超过 165 的概率 (2)从中任取 1 个女学生 求其身高与 162 的差的绝对值小于 5 的概率 (3)从中任取 6 个女学生 求其中至少有 2 个身高超过 165 的概率 (1) 265(15) 0.1(.6)0.7258.4,PX(2) 1|2| ().8431.,XP(3) 记事件 =任一女生身高超过 165 A()pPAX随机变量 贝努利分布Y:(6,0.27),Bn615(2)1(0)1)(0.27.PYCp第六次作业 1.设随机变量 X 的分布律为(1)求 Y|X|的分布律 (2)求 YX2X 的分布律 X 2 1 0 1pk 462