届高考数学一轮复习第章平面解析几何第讲抛物线作业试题含解析新人教版.docx

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1、第五讲抛物线1.2021合肥调研已知P为抛物线y2=4x上一点,Q为圆(x-6)2+y2=1上一点,则|PQ|的最小值为()A.21-1B.2-55C.25-1D.21-452.2021湖南模拟已知抛物线C:y2=2px(p0),倾斜角为6的直线交C于A,B两点.若线段AB中点的纵坐标为23,则p的值为()A.12B.1C.2D.43.2020合肥市调研检测设抛物线的顶点为坐标原点,焦点F的坐标为(1,0).若该抛物线上两点A,B的横坐标之和为5,则弦AB的长的最大值为()A.8B.7C.6D.54.2020长春市第一次质量监测已知椭圆x24+y23=1的右焦点F是抛物线y2=2px(p0)的

2、焦点,过F作倾斜角为60的直线交抛物线于A,B(A在x轴上方)两点,则|AF|BF|的值为()A.3B.2C.3D.45.2020安徽皖中名校二联九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,第九章“勾股”讲述了“勾股定理”及一些应用,书中把直角三角形的两条直角边分别称为“勾”“股”,把斜边称为“弦”.设点F是抛物线y2=2px(p0)的焦点,直线l是该抛物线的准线,过抛物线上一点A作准线的垂线AB,垂足为B,射线AF交准线l于点C,若RtABC的“勾”|AB|=3,“股”|CB|=33,则抛物线的方程为()A.y2=2xB.y2=3xC.y2=4xD.y2=6x6.2021山东菏泽联考多选题已知

3、直线l过抛物线C:y2=-2px(p0)的焦点,且与该抛物线交于M,N两点,若线段MN的长是16,MN的中点到y轴的距离是6,O是坐标原点,则下列说法正确的是()A.抛物线C的方程是y2=-8xB.抛物线C的准线方程是y=2C.直线l的方程是x-y+2=0D.MON的面积是827.2021江西红色七校第一次联考已知抛物线y2=4x的焦点为F,P为抛物线上一动点,点A(1,1),当PAF的周长最小时,PF 所在直线的斜率为.8.2020湖北部分重点中学高三测试已知点A(0,1),抛物线C:y2=ax(a0)的焦点为F,连接FA,与抛物线C相交于点M,延长FA,与抛物线C的准线相交于点N,若|FM

4、|MN|=12,则实数a的值为.9.2021陕西省部分学校摸底检测已知椭圆E:x2a2+y2=1(a1)的离心率为32,右顶点为P(a,0),P是抛物线C:y2=2px(p0)的焦点.(1)求抛物线C的标准方程;(2)若C上存在两动点A,B(A,B在x轴两侧),满足OAOB=20(O为坐标原点),且PAB的周长为2|AB|+4,求|AB|.10.2020广东模拟已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,抛物线C上存在一点E(2,t)到焦点F的距离等于3.(1)求抛物线C的方程;(2)已知点P在抛物线C上且异于原点,点Q为直线x=-1上的点,且FPFQ,求直线PQ与抛物线C的交点个数,并说明

5、理由.11.2021八省市新高考适应性考试已知抛物线y2=2px上三点A(2,2),B,C,直线AB,AC是圆(x-2)2+y2=1的两条切线,则直线BC的方程为()A.x+2y+1=0B.3x+6y+4=0C.2x+6y+3=0D.x+3y+2=012.2021山东青岛模拟如图9-5-1,抛物线E:x2=4y与圆M:x2+(y-1)2=16交于A,B两点,点P为劣弧AB上不同于A,B的一个动点,平行于y轴的直线PN交抛物线E于点N,则PMN的周长的取值范围是()A.(6,12)B.(8,10)C.(6,10)D.(8,12)图9-5-113.2021长春市第一次质量监测已知抛物线y2=2px

6、(p0),过其焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点(点A在第一象限),且AB=4FB,则直线l的倾斜角为()A.6B.4C.3D.2314.2021洛阳市统考已知抛物线C:x2=8y的焦点为F,过F且倾斜角为4的直线l与抛物线C交于A,B两点,点D为抛物线C上的动点,且点D在l的右下方,则DAB面积的最大值为()A.162B.122C.82D.6215.2020唐山市摸底考试已知F为抛物线T:x2=4y的焦点,直线l:y=kx+2与T相交于A,B两点.(1)若k=1,求|FA|+|FB|的值;(2)点C(-3,-2),若CFA=CFB,求直线l的方程.16.2020合肥市调研检测已知抛物线E:

7、y2=2px(p2)的焦点为F,准线l与x轴交于点M,P(x0,4)为抛物线上一点,过P作PNl,垂足为N,若四边形MFPN的周长为16.(1)求p的值;(2)过点M作直线交抛物线于点A,B,设直线FA,FB的斜率分别为k1,k2,求k1+k2的值.17.新角度题已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,点P满足OP=OF(O为坐标原点),若过点O作互相垂直的两弦OA,OB,则当弦AB恒过点P时,的所有可能取值的集合为()A.4B.3C.14,4,3D.13,3,418.多选题已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px上一点A到焦点F的距离为4,若点M为抛物线C准线上的动点,以下说法正确的是()

8、A.当MAF为正三角形时,p的值为2B.存在点M,使得MA-MF=0C.若MF=3FA,则p=3D.若|OM|+|MA|的最小值为213,则p=4或1219.2020烟台市诊断性测试递进型已知F为抛物线x2=2py(p0)的焦点,点A(1,p),M为抛物线上任意一点,|MA|+|MF|的最小值为3,则抛物线方程为,若线段AF的垂直平分线交抛物线于P,Q两点,则四边形APFQ的面积为.答 案第五讲抛物线1.C设点P的坐标为(14m2,m),易知圆(x-6)2+y2=1的圆心为A(6,0),所以|PA|2=(14m2-6)2+m2=116(m2-16)2+2020,所以|PA|25.因为点Q是圆(

9、x-6)2+y2=1上任意一点,所以|PQ|的最小值为25-1.故选C.2.C解法一依题意,设直线AB的方程为y=33x+m,联立直线AB与抛物线的方程得y=33x+m,y2=2px,消去y并整理得x2+(23m-6p)x+3m2=0,0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6p-23m,y1+y2=33(x1+x2)+2m=23p,所以y1+y22=3p=23,解得p=2.故选C.解法二 设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意得y1+y2=43,且y1-y2x1-x2=tan 6=33.由y12=2px1,y22=2px2,得(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x

10、2),由题意知x1x2,所以(y1+y2)y1-y2x1-x2=2p,所以4333=2p,解得p=2.故选C.3.B因为抛物线的顶点为坐标原点,焦点为F(1,0),所以p2=1,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.设A(x1,y1),B(x2,y2),则由题意知x1+x2=5.连接AF,BF,则由抛物线的定义知|AF|=x1+p2=x1+1,|BF|=x2+p2=x2+1,则|AB|AF|+|BF|=x1+x2+2=7,所以弦AB的长的最大值为7,故选B. 4.C设A(xA,yA),B(xB,yB),由题意知F(1,0),所以p2=1,p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.过F且倾斜角为

11、60的直线的方程为y=3(x-1),代入抛物线方程,得3x2-10x+3=0,解得xA=3,xB=13.解法一易得yA2=12,yB2=43,所以|AF|BF|=(3-1)2+12(13-1)2+43=3,故选C.解法二由抛物线的定义,得|AF|=xA+p2=4,|BF|=xB+p2=43,所以|AF|BF|=3,故选C. 5.B依题意知,|AB|=3=|AF|,|AC|=|AB|2+|BC|2=6,所以点F是线段AC的中点,则p=12|AB|=32,于是抛物线的方程为y2=3x.故选B.6.AD设M(x1,y1),N(x2,y2),根据抛物线的定义可知|MN|=-(x1+x2)+p=16.又

12、MN的中点到y轴的距离是6,所以-x1+x22=6,即x1+x2=-12,则p=4,所以抛物线C的方程是y2=-8x,故A正确.由p=4知抛物线C的准线方程为x=2,故B错误.抛物线C的焦点为F(-2,0),设直线l的方程是x=my-2,与抛物线方程联立,消元得y2+8my-16=0,则=64m2+640,y1+y2=-8m,y1y2=-16,所以x1+x2=-8m2-4=-12,解得m=1,所以直线l的方程是x-y+2=0或x+y+2=0,故C错误.SMON=12|OF|y1-y2|=122(y1+y2)2-4y1y2=82,故D正确.故选AD.7.-43由题意可知抛物线的焦点为F(1,0)

13、,准线为x=-1,因为A(1,1),所以|AF|=1,PAF的周长l=|PA|+|PF|+|AF|.过点P作准线x=-1的垂线,垂足为M,根据抛物线的定义可知|PM|=|PF|,则当A,P,M三点共线时,|PA|+|PM|最小,此时P点的纵坐标为1,代入抛物线的方程可得P点的横坐标为14,所以直线PF的斜率为1-014-1=-43.8.433解法一依题意得抛物线的焦点F的坐标为(a4,0),过M作抛物线的准线的垂线,垂足为K,由抛物线的定义知|MF|=|MK|.因为|FM|MN|=12,所以|KN|KM|=31,又kFN=0-1a4-0=-4a,kFN=-|KN|KM|=-3,所以-4a=-3

14、,解得a=433.解法二设M(xM,yM),因为A(0,1),抛物线C:y2=ax(a0)的焦点为F(a4,0),准线方程为x=-a4,所以直线AF的方程为4x+ay-a=0,所以N(-a4,2).因为|FM|MN|=12,所以|FM|=13|FN|,所以xM=a12,yM=23.因为点M(xM,yM)在抛物线上,所以49=a212,解得a=433.9.(1)因为椭圆E:x2a2+y2=1的离心率为32,所以a2-1a2=34,解得a2=4,所以a=2,所以p2=2,所以p=4,从而抛物线C的标准方程为y2=8x.(2)由题意知直线AB的斜率不为零,设直线AB:x=my+n(n2),代入y2=

15、8x得y2-8my-8n=0,=64m2+32n0.设A(x1,y1),B(x2,y2),其中y1y20且n2.因为OAOB=20,所以OAOB=x1x2+y1y2=y12y2264+y1y2=20,即n2-8n=20,所以(n-10)(n+2)=0,故n=10或n=-2(舍去),则直线AB:x=my+10.因为PAB的周长为2|AB|+4,所以|PA|+|PB|+|AB|=2|AB|+4,即|PA|+|PB|=|AB|+4,因为|PA|+|PB|=x1+x2+4=m(y1+y2)+24=8m2+24,|AB|=1+m2|y1-y2|=1+m2(8m)2+320,所以8m2+20=(1+m2)

16、(64m2+320),解得m=52,所以|AB|=(1+m2)(64m2+320)=30.10.(1)由题意知,抛物线C的准线方程为x=-p2,所以点E(2,t)到焦点F的距离为2+p2=3,解得p=2.所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)直线PQ与抛物线C只有一个交点.理由如下:设P(y024,y0),y00,Q(-1,m).由(1)得焦点F(1,0),则FP=(y024-1,y0),FQ=(-2,m),由题意可得FPFQ=0,故-2(y024-1)+my0=0,从而m=y02-42y0.故直线PQ的斜率kPQ=y0-my024+1=2y0.故直线PQ的方程为y-y0=2y0(x-y024

17、),得x=y0y2-y024.又抛物线C的方程为y2=4x,所以由得(y-y0)2=0,故y=y0,x=y024.故直线PQ与抛物线C只有一个交点.11.B设B(b22,b),C(c22,c),则直线BC的方程为2x-(b+c)y+bc=0,直线AC的方程为2x-(2+c)y+2c=0,直线AB的方程为2x-(2+b)y+2b=0.因为直线AC与圆相切,所以|4+2c|4+(2+c)2=1,化简得3c2+12c+8=0.同理,3b2+12b+8=0,则b,c是方程3t2+12t+8=0的两根,b+c=-4,bc=83.所以直线BC的方程为2x+4y+83=0,即3x+6y+4=0.12.B由题

18、意可得抛物线E的焦点为(0,1),圆M的圆心为(0,1),半径为4,所以圆心M(0,1)为抛物线的焦点,故|NM|等于点N到准线y=-1的距离,又PNy轴,设NP与抛物线的准线y=-1交于点H,由抛物线定义可得,|MN|=|NH|,故PMN的周长l=|PM|+|PN|+|NH|=|PH|+4,由x2=4y,x2+(y-1)2=16,得y=3,又点P为劣弧AB上不同于A,B的一个动点,所以|PH|的取值范围是(4,6),所以PMN的周长的取值范围是(8,10),故选B.13.C解法一由题意知,抛物线的焦点为F(p2,0).设A(x1,y1),B(x2,y2)(y10,y20),则AB=(x2-x

19、1,y2-y1),FB=(x2-p2,y2).因为AB=4FB,所以x2-x1=4(x2-p2),y2-y1=4y2,即x1=2p-3x2,y1=-3y2 .又y12=2px1,y22=2px2 ,由解得y1=3p,y2=-33p,所以直线l的斜率k=y1-y2x1-x2=2py1+y2=3,所以直线l的倾斜角为3,故选C.图D 9-5-2解法二设抛物线的准线为直线l,如图D 9-5-2,过点A,B分别作AMl,BNl,垂足分别为M,N,过点B作BCAM于C,则由抛物线的定义,知|AM|=|AF|,|BN|=|BF|.因为AB=4FB,所以|AF|=34|AB|,|FB|=14|AB|,所以|

20、AC|=|AM|-|BN|=|AF|-|FB|=12|AB|,所以在RtABC中,ABC=6,BAC=3.因为AMx轴,所以AFx=BAC=3,所以直线l的倾斜角为3,故选C.14.A因为直线l的倾斜角为4,所以直线l的斜率k=tan4=1.由题意知抛物线的焦点为F(0,2),所以直线l的方程为y=x+2.设A(x1,y1),B(x2,y2),由y=x+2x2=8y ,消去x,得y2-12y+4=0,所以y1+y2=12.由抛物线的定义,得|AB|=y1+y2+p=12+4=16.设与直线l平行的直线方程为y=x+m,代入抛物线的方程可得y2-(2m+8)y+m2=0,当直线y=x+m与抛物线

21、相切且D为切点时,D到直线l的距离最大,即DAB的面积最大.所以=(2m+8)2-4m2=0,解得m=-2,此时直线l与直线y=x+m的距离d=|-2-2|2=22,所以DAB面积的最大值为121622=162,故选A.15. 由已知可得F(0,1),设A(x1,x124),B(x2,x224),由y=kx+2,x2=4y,得x2-4kx-8=0,所以x1+x2=4k,x1x2=-8.(1)|FA|+|FB|=x124+1+x224+1=(x1+x2)2-2x1x24+2=4k2+6.当k=1时,|FA|+|FB|=10.(2)由题意可知,FA=(x1,x124-1),FB=(x2,x224-

22、1),FC=(-3,-3).由CFA=CFB得cos=cos,即FAFC|FA|FC|=FBFC|FB|FC|,又|FA|=x124+1,|FB|=x224+1,所以-3x1-3(x124-1)32(x124+1)=-3x2-3(x224-1)32(x224+1),化简并整理得4+2(x1+x2)-x1x2=0,即4+8k+8=0,解得k=-32,所以直线l的方程为3x+2y-4=0.16. (1)点P(x0,4)在抛物线上,16=2px0.由四边形MFPN的周长为16得,p+4+2(x0+p2)=16,即x0+p=6.由可解得p=4或p=2.p2,p=4.(2)设A(x1,y1),B(x2,

23、y2),直线AB的方程为x=my-2,代入抛物线方程得y2=8(my-2),得y2-8my+16=0.由=64m2-640得,m21,且y1+y2=8m,y1y2=16,k1+k2=y1x1-2+y2x2-2=y1(my2-4)+y2(my1-4)(x1-2)(x2-2)=2my1y2-4(y1+y2)(x1-2)(x2-2)=0.17.A解法一由OP=OF,得O,P,F三点共线,所以点P在x轴上.设直线AB的方程为x=my+a(a0),联立直线AB和抛物线的方程得x=my+a,y2=2px,消去x并整理,得y2-2pmy-2pa=0,=4p2m2+8pa0.设A(x1,y1),B(x2,y2

24、),则y1y2=-2pa,x1x2=y122py222p=a2.因为OAOB,所以OAOB=0,则x1x2+y1y2=0,即a2-2pa=0,解得a=2p或a=0(舍去),则直线AB的方程为x=my+2p,可知直线AB恒过定点(2p,0),即P(2p,0).则OP=(2p,0),OF=(p2,0),由OP=OF,得=4.故选A.解法二由OP=OF,得O,P,F三点共线,所以点P在x轴上.由题意知,两弦OA,OB互相垂直,根据抛物线的两垂直弦的性质(抛物线y2=2px(p0)中,若过坐标原点O作互相垂直的两弦OA,OB,则直线AB恒过定点(2p,0).)可知直线AB恒过定点(2p,0),即P(2

25、p,0).则OP=(2p,0),OF=(p2,0),由OP=OF,得=4.故选A.18.AC对于A,当MAF为正三角形时,|AF|=|AM|=|MF|=4,如图D 9-5-3所示,设抛物线C的准线交x轴于点N,则由抛物线的定义知AM与准线垂直,在正三角形MAF中,AMF=60,所以FMN=30,所以|NF|=12|MF|,而|NF|=p,所以p=12|MF|=2,故A正确;对于B,假设存在点M,使得MA-MF=0,即MA=MF,则点A,F重合,与已知条件矛盾,所以B不正确;对于C,若MF=3FA,则|MF|MA|=34,如图D 9-5-4,过点A作抛物线C的准线的垂线并交准线于点E,设准线交x

26、轴于点B,由抛物线的定义可知|AE|=|AF|=4,易知MFBMAE,则|MF|MA|=|FB|AE|,即34=p4,解得p=3,所以C正确;图D 9-5-3图D 9-5-4对于D,如图D 9-5-5,作O关于抛物线C的准线的对称点O(-p,0),连接AO交准线于点M,过点A作抛物线C的准线的垂线并交准线于点D,由对称性知,(|OM|+|MA|)min=|AO|,由抛物线的定义可知|AD|=|AF|=xA+p2=4,则xA=4-p2,代入抛物线C的方程,得yA2=2p(4-p2),所以|AO|2=(xA-xO)2+yA2=(4+p2)2+2p(4-p2)=-34p2+12p+16=(213)2

27、,化简可得p2-16p+48=0,解得p=4或p=12.当p=12时,|OF|=p2=6|AF|=4,所以p=12不符合题意,所以p=4,所以D不正确.故选AC.图D 9-5-519.x2=4y43设抛物线的准线为l,其方程为y=-p2,当A(1,p)在抛物线内部时,过点M作MNl于点N,则|MN|=|MF|,连接AN,所以|MA|+|MF|=|MA|+|MN|AN|p+p2=3,所以p=2,当且仅当A,M,N三点共线时等号成立,经验证满足条件.当A(1,p)在抛物线外部时,|MA|+|MF|AF|=1+p24,所以1+p24=3,解得p=42,此时抛物线方程为x2=82y,A(1,42)不在抛物线外部,不满足条件.故抛物线方程为x2=4y,易得A(1,2),F(0,1),|AF|=2,AF的中点坐标为(12,32),直线AF的斜率为1,则直线AF的垂直平分线方程为y-32=-(x-12),即y=-x+2,联立得y=-x+2,x2=4y,消去y,得x2+4x-8=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1,2=-223,所以|PQ|=1+(-1)2(x1-x2)2=46,所以四边形APFQ的面积为12|PQ|AF|=12462=43.