届高考数学一轮复习第章平面解析几何第讲抛物线作业试题含解析新人教版.doc

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1、第九章 平面解析几何第五讲抛物线练好题考点自测1.2022全国卷,5分假设抛物线y2=2px(p0)的焦点是椭圆+=1的一个焦点,那么p=()A.2 B.3 C.4 D.82.2022北京,4分设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l,P是抛物线上异于O的一点,过P作PQl于Q.那么线段FQ的垂直平分线()A.经过点O B.经过点PC.平行于直线OP D.垂直于直线OP3.2021安徽省四校联考抛物线C:x=4y2的焦点为F,假设斜率为的直线l过点F,且与抛物线C交于A,B两点,那么线段AB的中点到准线的距离为()A. B. C.D.4.多项选择题以下说法正确的选项是()A.平面内与一个定点F和

2、一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹一定是抛物线B.假设直线与抛物线只有一个交点,那么直线与抛物线一定相切C.假设一抛物线过点P(-2,3),那么其标准方程可写为y2=2px(p0)D.方程y=ax2(a0)表示的曲线是焦点在y轴上的抛物线,且其焦点坐标是(0,)5.2022山东,5分斜率为的直线过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于A,B两点,那么|AB|=.6.2022全国卷,5分点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.假设AMB=90,那么 k=.7.2022四川成都摸底抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,准线为l.假设位

3、于x轴上方的动点A在准线l上,线段AF与抛物线C相交于点B,且-|AF|=1,那么抛物线C的标准方程为.拓展变式1.(1)2021四省八校联考抛物线C:x2=4y上一点P到C的焦点F的距离为4,假设直线PF与C的另一个交点为Q,那么|QF|等于()A. B. C. D.2(2)2022湖北省局部重点中学联考动圆P恒过定点(,0),且与直线x=-相切,那么动圆P的圆心轨迹M的方程为.2.(1)2022全国卷,5分设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p0)交于D,E两点,假设ODOE,那么C的焦点坐标为()A.(,0) B.(,0) C.(1,0) D.(2,0)(2)2022全国

4、卷,5分F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.假设M为FN的中点,那么|FN|=.3.(1)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,那么OAB的面积为()A.B.C. D.(2)2022全国卷,5分F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,那么|AB|+|DE|的最小值为()A.16B.14C.12D.104.2022浙江,15分如图9-5-7,点F(1,0)为抛物线y2=2px(p0)的焦点.过点F的直线交抛物线于A,B两点,点

5、C在抛物线上,使得ABC的重心G在x轴上,直线AC交x轴于点Q,且Q在点F的右侧.记AFG,CQG的面积分别为S1,S2.求p的值及抛物线的准线方程;求的最小值及此时点G的坐标.图9-5-75.2022湖北省襄阳市调研动点P到定点F(0,1)的距离比它到直线y=-2的距离小1,设动点P的轨迹为曲线C,过点F的直线交曲线C于A,B两个不同的点,过点A,B分别作曲线C的切线,且两切线相交于点M.(1)求曲线C的方程.(2)求证:=0.(3)求ABM面积的最小值.答 案第五讲抛物线1.D由题意知抛物线的焦点坐标为(,0),椭圆的焦点坐标为(,0),所以=,解得p=8,应选D.2.B连接PF,由题意及

6、抛物线的定义可知|PQ|=|FP|,那么QPF为等腰三角形,故线段FQ的垂直平分线经过点P.应选B.3.A解法一由题意可得F(,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0),那么整理得x1-x2=4(-),那么kAB=,解得y0=1,M(x0,y0)在直线l上,y0=(x0-),x0=,从而线段AB的中点到准线的距离为x0+=+=,应选A.解法二(结论解法)由题意知,p=,以AB为直径的圆与准线相切,设直线l的倾斜角为,那么tan =,线段AB的中点到准线的距离d=,应选A.4.AD由抛物线的概念知A正确;当直线与抛物线的准线垂直时,只有一个交点,但直线与抛物线不相切

7、,故B错误;抛物线y2=2px(p0)开口向右,过一、四象限,而点P(-2,3)在第二象限,故C错误;y=ax2化为标准形式为x2=y,焦点为(0,),D正确,应选AD.5.由题意得直线方程为y=(x-1),联立方程,得得3x2-10x+3=0,xA+xB=,故|AB|=1+xA+1+xB=2+=.6.2解法一由题意知抛物线的焦点坐标为(1,0),那么过C的焦点且斜率为k的直线方程为y=k(x-1)(k0),由消去y得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),那么x1+x2=,x1x2=1.由消去x得y2-y-4=0,那么y1+y2=,y1y2=-4.由AMB

8、=90,=(x1+1,y1-1),=(x2+1,y2-1),得=x1x2+x1+x2+1+y1y2-(y1+y2)+1=0,将x1+x2=,x1x2=1与y1+y2=,y1y2=-4代入,得k=2.解法二设抛物线的焦点为F,A(x1,y1),B(x2,y2),那么所以-=4(x1-x2),那么k=.取AB的中点M(x0,y0),分别过点A,B作准线x=-1的垂线,垂足分别为A,B,因为AMB=90,点M在准线x=-1上,所以|MM|=|AB|=(|AF|+|BF|)=(|AA|+|BB|).又M为AB的中点,所以MM平行于x轴,且y0=1,所以y1+y2=2,所以k=2.解法三抛物线C:y2=

9、4x的焦点坐标为(1,0),准线方程为x=-1.由题意可知,以AB为直径的圆与准线相切于点M(-1,1), (利用焦点弦的常用结论(详见主书P211规律总结2.(8)故线段AB中点的纵坐标y0=1.设A(x1,y1),B(x2,y2),那么k=2.解法四抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),M(-1,1),根据阿基米德三角形的性质(详见主书P212)有MFAB,那么kAB=-=-=2.7.y2=2x如图D 9-5-1,设直线l与x轴交于点D,过点B作BEl于点E,那么|DF|=p.由抛物线的定义知|BE|=|BF|.因为-|AF|=1,即-|AF|=1,=|AF|,=|AF|.因为AEBA

10、DF,所以=,得=|AF|,即|DF|=1,即p=1,所以抛物线C的标准方程为y2=2x.图D 9-5-11.(1)C由题意知F(0,1),直线PF的斜率存在且不为零,设直线PF的方程为y-1=kx,与抛物线的方程联立并消去x,得y2-(4k2+2)y+1=0,所以 yPyQ=1.由抛物线的定义,知|PF|=yP+1=4(题眼),所以yP=3,所以yQ=,所以|QF|=yQ+1=,应选C.(2)y2=x由题意知,动圆P的圆心到点(,0)的距离与到直线 x=-的距离相等,那么圆心P的轨迹是以(,0)为焦点,直线x=-为准线的抛物线,故p=,所以动圆P的圆心轨迹M的方程为y2=x.2.(1)B解法

11、一将直线方程与抛物线方程联立,可得y=2,不妨设D(2,2),E(2,-2),由ODOE,可得=4-4p=0,解得p=1,所以抛物线C的方程为y2=2x,其焦点坐标为(,0).解法二由题可知点D,E关于x轴对称,设DE与x轴交于P,且D在第一象限,因为ODOE,所以DOP=45,故xD=yD=2,代入y2=2px可得p=1,焦点坐标为(,0).解法三过抛物线的顶点O垂直的两条弦ODOE,那么DE直线过定点(2p,0),那么可知2p=2p=1,所以焦点坐标为(,0).(2)6由题意可知,抛物线C:y2=8x的焦点F的坐标为(2,0),准线方程为x=-2,因为M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N

12、,M为FN的中点,设M(a,b)(b0),所以a=1,b=2,所以N(0,4),|FN|=6.3.(1)D解法一由得焦点坐标为F(,0),因此直线AB的方程为y=(x-),与抛物线方程联立,消去x,化简得4y2-12y-9=0,故|yA-yB|=6.因此SOAB=|OF|yA-yB|=6=.解法二(结论解法)由抛物线焦点弦的结论可得SAOB=.(2)A解法一(斜率式)焦点F(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4),易知直线l1,l2的斜率均存在且不为0,分别设为k1,k2,那么直线l1的方程为y=k1(x-1),由消去y并整理得x2-(2+4)x+=

13、0,0,所以x1+x2=.因为l1l2,所以k2=-.同理有x3+x4=2+4,那么|AB|+|DE|=x1+x2+2+x3+x4+2=+2+4+4=+4+82+8=16,当且仅当=4,即k1=1时,|AB|+|DE|取最小值16.应选A.解法二(倾斜角式)设l1的倾斜角为,那么l2的倾斜角为,易知0且,由抛物线焦点弦长公式得|AB|=,那么|DE|=,那么|AB|+|DE|=+=4()=,当sin 2=1时,|AB|+|DE|取最小值16.应选A.4.由题意得=1,即p=2.所以抛物线的准线方程为x=-1.设A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),重心G(xG,yG).令yA=

14、2t,t0,那么xA=t2.由于直线AB过点F,故直线AB的方程为x=y+1,代入y2=4x,得y2-y-4=0,故2tyB=-4,即yB=-,所以B(,-).又xG=(xA+xB+xC),yG=(yA+yB+yC)及重心G在x轴上,故2t-+yC=0,得C(-t)2,2(-t),G(,0).所以直线AC的方程为y-2t=2t(x-t2),得Q(t2-1,0).因为Q在焦点F的右侧,所以t22.从而=2-.令m=t2-2,那么m0,=2-=2-2-=1+.当m=时,取得最小值1+,此时G(2,0).5.(1)由题意知,动点P在直线y=-2上方,即条件可转化为动点P到定点F(0,1)的距离等于它

15、到直线y=-1的距离,所以动点P的轨迹是以F(0,1)为焦点,直线y=-1为准线的抛物线,于是曲线C的方程为x2=4y.(2)由题意得,直线AB斜率一定存在,故设直线AB的方程为y=kx+1,由消去y并整理,得x2-4kx-4=0.设A(xA,yA),B(xB,yB),那么xA+xB=4k,xAxB=-4.由x2=4y得y=x2,求导得y=x,所以直线AM的方程为y-=xA(x-xA),直线BM的方程为y-=xB(x-xB),由-得(-)=(xA-xB)x+(-),即x=2k.将x=代入得y-=xA=xAxB-,所以y=xAxB=-1.那么M(2k,-1),所以=(-2k,2),=(xB-xA,k(xB-xA),于是=-2k(xB-xA)+2k(xB-xA)=0.(3)易知点M到AB的距离d=|MF|=2.因为|AB|=|AF|+|BF|=yA+yB+2=k(xA+xB)+4=4k2+4,所以ABM的面积S=|AB|d=4(k2+1)2=4(1+k24,当k=0时,ABM面积取得最小值4.