届高考数学一轮复习第章平面解析几何第讲椭圆作业试题含解析新人教版.docx

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1、第三讲椭圆1.2021八省市新高考适应性考试椭圆x2m2+1+y2m2=1(m0)的焦点为F1,F2,上顶点为A,若F1AF2=3,则m=()A.1B.2C.3D.22.2021广东深圳模拟已知动点M在以F1,F2为焦点的椭圆x2+y24=1上,动点N在以M为圆心,|MF1|为半径的圆上,则|NF2|的最大值为()A.2 B.4C.8 D.163.2020安徽省示范高中名校联考已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0),F1,F2分别为其左、右焦点,|F1F2|=22,B为短轴的一个端点,BF1O(O为坐标原点)的面积为7,则椭圆的长轴长为()A.4B.8C.1+332D.1+334.202

2、0福建省三明市模拟已知P是椭圆x225+y29=1上一点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,且F1PF2=60,则F1PF2面积为()A.33B.23C.3D.335.多选题已知P是椭圆E:x24+y2m=1(m0)上任意一点,M,N是椭圆上关于坐标原点对称的两点,且直线PM,PN的斜率分别为k1,k2(k1k20),若|k1|+|k2|的最小值为1,则下列结论正确的是()A.椭圆E的方程为x24+y2=1B.椭圆E的离心率为12C.曲线y=log3x-12经过E的一个焦点D.直线2x-y-2=0与E有两个公共点6.2019全国卷,5分设F1,F2为椭圆C:x236+y220=1的两个焦点,M

3、为C上一点且在第一象限.若MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为.7.2020洛阳市第一次联考已知椭圆C1:x2a12+y2b12=1(a1b10)与双曲线C2:x2a22-y2b22=1(a20,b20)有相同的焦点F1,F2,点P是曲线C1与C2的一个公共点,e1,e2分别是C1和C2的离心率,若PF1PF2,则4e12+e22的最小值为.8.2020惠州市二调已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的短轴长为2,上顶点为A,左顶点为B,左、右焦点分别是F1,F2,且F1AB的面积为2-32,点P为椭圆上的任意一点,则1|PF1|+1|PF2|的取值范围是.9.2021贵阳市四校第二次联考在

4、平面直角坐标系中,椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的焦距为2,且过点(1,22).(1)求椭圆C的方程;(2)过椭圆C左焦点F1的直线l(不与坐标轴垂直)与椭圆C交于A,B两点,若点H(-13,0)满足|HA|=|HB|,求|AB|.10.2020陕西省百校第一次联考已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F,椭圆上一动点M到点F的最远距离和最近距离分别为3+1和3-1.(1)求椭圆的方程;(2)设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点,若ACDB+ADCB=10,求k的值.11.2021黑龙江大庆调研已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab

5、0),过原点的直线交椭圆于A,B两点,以AB为直径的圆过右焦点F,若FAB=,12,3,则此椭圆离心率的取值范围是()A.22,3-1B.22,63C.(0,22D.63,1)12.2021四川遂宁模拟已知椭圆T:x2a2+y2b2=1(ab0)的长半轴长为2,且过点M(0,1).若过点M引两条互相垂直的直线l1,l2,P为椭圆上任意一点,记点P到l1,l2的距离分别为d1,d2,则d12+d22的最大值为()A.2B.433C.5D.16313.2020四川五校联考设椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为53,以F1F2为直径的圆与椭圆C在第一象限的交

6、点为P,则直线PF1的斜率为()A.13B.12C.33D.3214.2020江西南昌模拟已知F1,F2为椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,过原点O且倾斜角为30的直线l与椭圆C的一个交点为A,若AF1AF2,SF1AF2=2,则椭圆C的方程为()A.x26+y22=1B.x28+y24=1C.x28+y22=1D.x220+y216=115.2020广东七校联考已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),焦距为2c,直线l:y=24x与椭圆C相交于A,B两点,若|AB|=2c,则椭圆C的离心率为.16.2020四省八校联考设点P是椭圆C:x28+y24=1上的动点

7、,F为椭圆C的右焦点,定点A(2,1),则|PA|+|PF|的取值范围是.17.2020山东枣庄模拟递进型已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线3x-y+43=0过点F1且与C在第二象限的交点为P,若POF1=60(O为坐标原点),则F2的坐标为,C的离心率为.18.2021河北六校第一次联考已知P(2,3)是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)上一点,以点P及椭圆的左、右焦点F1,F2为顶点的三角形的面积为23.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过F2作斜率存在且互相垂直的直线l1,l2,M是l1与C两交点的中点,N是l2与C两交点的中点,求MNF2

8、面积的最大19.2021广西北海市高三一模数学与物理综合2020年3月 9日,我国在西昌卫星发射中心用长征三号运载火箭,成功发射北斗系统第54颗导航卫星,第54颗导航卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为R,若其近地点、远地点离地面的距离大约分别是115R,13R,则第54颗导航卫星运行轨道(椭圆)的离心率是()A.25B.15C.23D.1920. 多选题历史上,许多人研究过圆锥的截口曲线.如图9-3-1,在此圆锥中,圆锥的母线与轴的夹角为30,现有一截面与圆锥的一条母线垂直,与轴的交点O到圆锥顶点M的距离为1,下列关于所得截口曲线的命题中说法正确的是 ()A.该曲线为椭圆B.

9、点O为该曲线上任意两点之间的线段中最长的线段的三等分点C.该曲线上任意两点间的距离中最长的距离为1D.该曲线上任意两点间的距离中最短的距离为233图9-3-1答 案第三讲椭圆图D 9-3-31.C如图D 9-3-3所示,由题意可得AF1F2为等边三角形,所以AF2O=3,|AF1|=|AF2|=m2+1,所以sinAF2O=sin3=|AO|AF2|=m2m2+1,解得m=3,故选C.2.B由椭圆的方程可得焦点在y轴上,长半轴长a=2.由题意可得|NF2|F2M|+|MN|=|F2M|+|MF1|,当N,M,F2三点共线且M在线段NF2上时,|NF2|取得最大值,而此时|NF2|=|F2M|+

10、|MN|=|F2M|+|MF1|=2a=4,所以|NF2|的最大值为4,故选B.3.B由题意可知c=2,SBF1O=12bc=22b=7,解得b=14,所以a=b2+c2=4,所以椭圆的长轴长为2a=8,故选B.4.A 解法一由椭圆标准方程,得a=5,b=3,所以c=a2-b2=4.设|PF1|=t1,|PF2|=t2,由椭圆的定义可得t1+t2=10.在F1PF2中,F1PF2=60,根据余弦定理可得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos 60=|F1F2|2=(2c)2=64,整理可得t12+t22-t1t2=64.把两边平方得t12+t22+2t1t2=100.由-可得t

11、1t2=12,所以SF1PF2=12t1t2sinF1PF2=33.故选A.解法二由椭圆焦点三角形的面积公式,得SF1PF2=b2tan2=9tan602=33.故选A.5.ACD设P(x0,y0),M(x1,y1),x0x1,y0y1,则N(-x1,-y1),x024+y02m=1,x124+y12m=1,所以y02=m-m4x02,y12=m-mx124,k1k2=y0-y1x0-x1y0+y1x0+x1=y02-y12x02-x12=-m4.于是|k1|+|k2|2|k1|k2|=2|k1k2|=2|-m4|=m,依题意得m=1,解得m=1,故E的方程为x24+y2=1,A正确.椭圆E的

12、离心率为32,B错误.椭圆E的焦点为(3,0),曲线y=log3x-12经过焦点(3,0),C正确.直线2x-y-2=0过点(1,0),且点(1,0)在E内,故直线2x-y-2=0与E有两个公共点,D正确.故选ACD.6.(3,15)不妨令F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,根据题意可知a=6,c=36-20=4.因为MF1F2为等腰三角形,所以易知|F1M|=2c=8,所以|F2M|=2a-8=4.设M(x,y),则x236+y220=1,|F1M|2=(x+4)2+y2=64,x0,y0,得x=3,y=15,所以M的坐标为(3,15).7.92设点P在双曲线的右支上,F2为两曲线的右焦点,

13、由椭圆及双曲线的定义可得|PF1|+|PF2|=2a1,|PF1|-|PF2|=2a2,解得|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-a2.设|F1F2|=2c,因为PF1PF2,所以(a1+a2)2+(a1-a2)2=4c2,整理得a12+a22=2c2,两边同时除以c2,得1e12+1e22=2.所以4e12+e22=12(4e12+e22)(1e12+1e22)=12(5+4e12e22+e22e12)12(5+22)=92,当且仅当4e12e22=e22e12,且1e12+1e22=2时取“=”,即当e1=32,e2=62时取“=”,故4e12+e22的最小值为92.8.1,4 由已知

14、得2b=2,故b=1,a2-c2=b2=1.F1AB的面积为2-32,12(a-c)b=2-32,a-c=2-3.由联立解得,a=2,c=3.由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a=4,1|PF1|+1|PF2|=|PF1|+|PF2|PF1|PF2|=4|PF1|(4-|PF1|)=4-|PF1|2+4|PF1|,又2-3|PF1|2+3,1-|PF1|2+4|PF1|4,11|PF1|+1|PF2|4,即1|PF1|+1|PF2|的取值范围是1,4.9.(1)由题意得2c=2,即c=1,所以a2=b2+c2=b2+1,将(1,22)代入x2b2+1+y2b2=1,可得1b2+1+12b

15、2=1,即2b2+b2+1=2b2(b2+1),整理得(2b2+1)(b2-1)=0,解得b2=-12(舍去)或b2=1,则a2=2,所以椭圆C的方程为x22+y2=1.(2)由题意得F1(-1,0),设直线l的方程为y=k(x+1)(k0),A(x1,y1),B(x2,y2),联立椭圆C与直线l的方程,可得x2+2k2(x+1)2=2,整理得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0,则=16k4-4(2k2+1)(2k2-2)=8(k2+1)0,且x1+x2=-4k22k2+1,x1x2=2k2-22k2+1.设AB的中点为M(x0,y0),则x0=x1+x22=-2k22k2+1,y0

16、=k(x0+1)=k2k2+1.因为点H(-13,0)满足|HA|=|HB|,所以kMH=-1k,即k2k2+1-2k22k2+1+13=-1k,解得k=1,则x1+x2=-4k22k2+1=-43,x1x2=2k2-22k2+1=0,所以|AB|=k2+1(x1+x2)2-4x1x2=243=423.10. (1)由题意知,a+c=3+1,a-c=3-1.又a2=b2+c2,所以可得b=2,c=1,a=3,所以椭圆的方程为x23+y22=1.(2)由(1)可知F(-1,0),则直线CD的方程为y=k(x+1),由y=k(x+1),x23+y22=1,消去y得(2+3k2)x2+6k2x+3k

17、2-6=0.=36k4-4(2+3k2)(3k2-6)=48k2+480.设C(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=-6k22+3k2,x1x2=3k2-62+3k2.又A(-3,0),B(3,0),所以ACDB+ADCB=(x1+3,y1)(3-x2,-y2)+(x2+3,y2)(3-x1,-y1)=6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1)=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2=6+2k2+122+3k2=10,解得k=105.图D 9-3-411.B设椭圆的另一个焦点为F,连接AF,BF,BF,如图D 9-3-4所示,则四边形

18、AFBF是矩形,所以|AB|=|FF|=2c,|FA|=2ccos ,|FB|=2csin ,由椭圆的定义可知,|FA|+|AF|=|FA|+|FB|=2a,即2ccos +2csin =2a.所以离心率e=ca=1sin+cos=12sin(+4).因为12,3,所以4+3,712,2sin(+4)62,2,所以e22,63.故选B.12.B由题意可得a=2,b=1,所以椭圆的方程为x24+y2=1.设P(x,y),若直线l1,l2中的一条直线的斜率不存在,则另一条直线的斜率为0,不妨设直线l1的方程为x=0,则l2的方程为y=1.则d12+d22=x2+(1-y)2,因为P在椭圆上,所以x

19、2=4-4y2,所以d12+d22=5-3y2-2y=5-3(y+13)2+13,y-1,1,所以当y=-13时,d12+d22有最大值163,所以d12+d22的最大值为433.当直线l1,l2的斜率都存在,且不为0时,设直线l1的方程为y=kx+1,即kx-y+1=0,则l2的方程为y=-1kx+1,即x+ky-k=0.则d1=|kx-y+1|1+k2,d2=|x+ky-k|1+k2,所以d12+d22=(kx-y+1)2+(x+ky-k)21+k2=x2+y2-2y+1=4-4y2+y2-2y+1=5-3y2-2y,由可得d12+d22的最大值为433.故选B.13.B解法一由题意可知,

20、|F1F2|=2c,又由e=ca=53得c=53a,所以|F1F2|=253a.因为点P是以F1F2为直径的圆与椭圆C在第一象限的交点,故PF1PF2且|PF1|PF2|,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2.又|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF1|PF2|=89a2,所以|PF1|=43a,|PF2|=23a,所以直线PF1的斜率kPF1=tanPF1F2=|PF2|PF1|=12.故选B.解法二因为e=ca=53,故可设a=3,c=5,则b=2,SPF1F2=b2tanF1PF22=b2tan 45=12|PF1|PF2|=4.因为点P在第一象限,所以|PF1|PF2|,又

21、|PF1|+|PF2|=2a=6,故|PF1|=4,|PF2|=2,所以直线PF1的斜率kPF1=tanPF1F2=|PF2|PF1|=12.故选B.14.A因为点A在椭圆上,所以|AF1|+|AF2|=2a,把该等式两边同时平方,得|AF1|2+|AF2|2+2|AF1|AF2|=4a2.又AF1AF2,所以|AF1|2+|AF2|2=4c2,则2|AF1|AF2|=4a2-4c2=4b2,即|AF1|AF2|=2b2,所以SAF1F2=12|AF1|AF2|=b2=2.因为AF1F2是直角三角形,F1AF2=90,且O为F1F2的中点,所以|OA|=12|F1F2|=c.不妨设点A在第一象

22、限,则AOF2=30,所以A(32c,12c),所以SAF1F2=12|F1F2|12c=12c2=2,即 c2=4,故a2=b2+c2=6,所以椭圆C的方程为x26+y22=1,故选A.15.32设直线l与椭圆C在第一象限内的交点为A(x1,y1),则y1=24x1,由|AB|=2c,可知|OA|=x12+y12=c(O为坐标原点),即x12+(24x1)2=c,解得x1=223c,所以A的坐标为(223c,13c),把点A的坐标代入椭圆方程得(223c)2a2+(13c)2b2=1,又a2=b2+c2,e=ca,整理得8e4-18e2+9=0,即(4e2-3)(2e2-3)=0,又0e0,

23、m2+1m=t,则t2,SMNF2=22t+1t,令f(t)=2t+1t,则f (t)=2t2-1t2,因为t2,所以f (t)0,所以f(t)在2,+)上单调递增,所以当t=2时,MNF2的面积取得最大值,且(SMNF2)max=24+12=49.19.D以运行轨道的中心为坐标原点,长轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系,令地心F2为椭圆的右焦点,则轨道方程是焦点在x轴上的椭圆,设标准方程为x2a2+y2b2=1(ab0),则地心F2的坐标为(c,0),其中a2=b2+c2,由题意,得a-c=R+115R,a+c=R+13R,解得2a=125R,2c=415R,所以e=ca=19,故选D.20.AB由题意易知该曲线为椭圆,故A正确.图D 9-3-6画出轴截面的示意图如图D 9-3-6所示,A,B为截面与圆锥的两条母线的交点.因为AMO=BMO=30,MAAB,MO=1,所以AO=12MO=12,OMB=OBM=30,所以BO=MO=1,所以AOBO=12.因为曲线上任意两点之间的线段中最长的线段为AB,所以点O为该曲线上任意两点之间的线段中最长的线段的三等分点,所以B正确.因为|AB|=|AO|+|OB|=12+1=32.所以该曲线上任意两点间的距离中最长的距离为32,故C错误.因为曲线是一个封闭的曲线,所以该曲线上任意两点间的距离中没有最短的距离,故D错误.故选AB.