高考数学一轮复习第8章平面解析几何第7讲抛物线创新教学案(含解析)新人教版新人教版高三全册.pdf

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1、word-1-/27 第 7 讲 抛物线 考纲解读 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单的几何性质(X 围、对称性、顶点、准线)(重点)2能根据几何性质求最值，能利用抛物线的定义进行灵活转化，并能理解数形结合思想，掌握抛物线的简单应用(难点)考向预测 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容预测2021年高考将会考查：抛物线的定义及其应用；抛物线的几何性质；直线与抛物线的位置关系及抛物线与椭圆或双曲线的综合试题以选择题、填空题、解答题形式呈现，灵活多变、技巧性强，具有一定的区分度试题中等偏难.1.抛物线的定义 平面内到一个定点 F 和一条定直线 l(Fl)距离相等的点的轨迹叫

2、做抛物线 点F 叫做抛物线的01焦点，直线 l 叫做抛物线的02准线 2抛物线的标准方程与几何性质 图形 标准方程 y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p 的几何意义：01焦点 F 到准线 l 的距离 性质 顶点 O(0,0)对称轴 02y0 03x0 焦点 Fp2，0 Fp2，0 04F0，p2 05F0，p2 word-2-/27 离心率 e1 准线方程 xp2 xp2 06yp2 07yp2 X 围 x0，yR x0，yR y0，xR y0，xR 开口方向 向右 向左 向上 向下 3必记结论(1)抛物线 y22px(p0)上一点 P(x0，y0)到焦点

3、 Fp2，0 的距离|PF|x0p2，也称为抛物线的焦半径(2)y2ax(a0)的焦点坐标为a4，0，准线方程为 xa4.(3)直线 AB 过抛物线 y22px(p0)的焦点，交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如图 y1y2p2，x1x2p24.|AB|x1x2p，x1x22 x1x2p，即当 x1x2时，弦长最短为 2p.1|AF|1|BF|为定值2p.弦长 AB2psin2(为 AB 的倾斜角)以 AB 为直径的圆与准线相切 焦点 F 对 A，B 在准线上射影的 X 角为 90.1概念辨析 word-3-/27(1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的

4、轨迹一定是抛物线()(2)方程 yax2(a0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是a4，0，准线方程是 xa4.()(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形()(4)假设直线与抛物线只有一个交点，那么直线与抛物线一定相切()(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x22ay(a0)的通径长为 2a.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2小题热身(1)假设抛物线 y4x2上的一点 M 到焦点的距离为 1，那么点 M 的纵坐标是()A.1716 B.1516 C.78 D0 答案 B 解析 M 到准线的距离等于 M 到焦点的

5、距离，又准线方程为 y116，设 M(x，y)，那么 y1161，y1516.(2)抛物线 y2x2的准线方程是()Ax12 Bx12 Cy18 Dy18 答案 D 解析 抛物线 y2x2的方程可化为 x2y2，其准线方程为 y18.(3)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点 P(4，2)的抛物线的标准方程是word-4-/27()Ay2x Bx28y Cy28x 或 x2y Dy2x 或 x28y 答案 D 解析 设抛物线为 y2mx，代入点 P(4，2)，解得 m1，那么抛物线方程为 y2x；设抛物线为 x2ny，代入点 P(4，2)，解得 n8，那么抛物线方程为 x28y.应选 D.(4)

6、假设过抛物线 y28x 的焦点作倾斜角为 45的直线，那么被抛物线截得的弦长为()A8 B16 C32 D64 答案 B 解析 由抛物线 y28x 的焦点为(2,0)，得直线的方程为 yx2，代入 y28x，得(x2)28x，即 x212x40，所以 x1x212，弦长为 x1x2p12416.应选 B.题型一 抛物线的定义及应用 1过点 F(0,3)且和直线 y30 相切的动圆圆心的轨迹方程为()Ay212x By212x Cx212y Dx212y 答案 D 解析 由题意，得动圆的圆心到直线 y3 的距离和到点 F(3,0)的距离相等，所以动圆的圆心是以点 F(0,3)为焦点，直线 y3

7、为准线的抛物线，其方程为 x2word-5-/27 12y.2(2019某某模拟)抛物线 y26x 上一点 M(x1，y1)到其焦点的距离为92，那么点 M 到坐标原点的距离为_ 答案 3 3 解析 由题意，知焦点坐标为32，0，准线方程为 x32，点 M(x1，y1)到焦点的距离等于它到准线的距离，所以 x13292，解得 x13，所以 y2118，所以|OM|x21y213 3.条件探究 将本例中的条件变为“在抛物线上找一点 M，使|MA|MF|最小，其中 A(3,2)那么点 M 的坐标为_，此时的最小值为_ 答案 23，292 解析 如图，点 A 在抛物线 y26x 的内部，由抛物线的定

8、义可知，|MA|MF|MA|MH|，其中|MH|为点 M 到抛物线的准线的距离 过 A 作抛物线准线的垂线交抛物线于 M1，垂足为 B，那么|MA|MF|MA|MH|AB|33292，当且仅当点 M 在 M1的位置时等号成立即|MA|MF|的最小值为92，此时点 M 的坐标为23，2.word-6-/27 利用抛物线的定义可解决的常见问题 (1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线见举例说明1.(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的关系进行相互转化见举例说明2.(3)看到准线想焦点，看到焦点想准线，这

9、是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径 1假设抛物线 y24x 上一点 P 到其焦点 F 的距离为 2，O 为坐标原点，那么OFP 的面积为()A.12 B1 C.32 D2 答案 B 解析 设 P(xP，yP)，由题意，得抛物线的焦点为 F(1,0)，准线方程为 x1，又点 P 到焦点 F 的距离为 2，由抛物线的定义知点 P 到准线的距离为 2，xP12，得 xP1，代入抛物线方程得|yP|2，OFP 的面积为 S12|OF|yP|12121.2(2020某某大学附中模拟)点 Q(2 2，0)及抛物线 yx24上一动点 P(x，y)，那么 y|PQ|的最小值是_ 答案 2 word-7-/2

10、7 解析 抛物线 yx24即 x24y，其焦点坐标为点 F(0,1)，准线方程为 y1.因为点 Q 的坐标为(2 2，0)，所以|FQ|2 22123.过点 P 作准线的垂线 PH，交 x 轴于点 D，如下图结合抛物线的定义，有 y|PQ|PD|PQ|PH|PQ|1|PF|PQ|1|FQ|1312，即 y|PQ|的最小值是 2.题型二 抛物线的标准方程和几何性质 1(2019全国卷)假设抛物线 y22px(p0)的焦点是椭圆x23py2p1 的一个焦点，那么 p()A2 B3 C4 D8 答案 D 解析 抛物线 y22px(p0)的焦点坐标为p2，0，椭圆x23py2p1 的焦点坐标为()2p

11、，0.由题意得p2 2p，解得 p0(舍去)或 p8.应选 D.2(2019高考)设抛物线 y24x 的焦点为 F，准线为 l，那么以 F 为圆心，且与 l 相切的圆的方程为_ 答案(x1)2y24 解析 抛物线 y24x 的焦点 F 坐标为(1,0)，准线 l 的方程为 x1，以 F 为圆心，且与 l 相切的圆的方程为(x1)2y24.word-8-/27 3如下图，抛物线形拱桥的跨度是 20 米，拱高是 4 米，在建桥时，每隔 4米需要用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长度 解建立如下图的直角坐标系，设抛物线方程为 x22py(p0)，因为抛物线过点 B(10，4)，所以 1022p(4)，

12、解得 p252，所以 x225y，当 x2 时，y425，所以最长支柱长为4|y|44253.84(m)1求抛物线标准方程的方法(1)抛物线的标准方程有四种不同的形式，要掌握焦点到准线的距离，顶点到准线、焦点的距离，通径长与标准方程中系数2p 的关系见举例说明2.(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2mx 或 x2my(m0)见举例说明 3.2抛物线性质的应用技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算 word-9-/27 1 A 是抛物线 y22px(p0)上一点，F

13、 是抛物线的焦点，O 为坐标原点，当|AF|4 时，OFA120，那么抛物线的准线方程是()Ax1 By1 Cx2 Dy2 答案 A 解析 过 A 向准线作垂线，设垂足为 B，准线与 x 轴的交点为 D(图略)因为OFA120，所以ABF 为等边三角形，DBF30，从而 p|DF|2，因此抛物线的准线方程为 x1.2(2019某某模拟)抛物线 C：y22px(p0)焦点 F，过 C 上一点 D 作直线 DE垂直准线于点 E，DEF 恰好为等腰直角三角形，其面积为 4，那么抛物线方程为()Ay22x By22 2x Cy24x Dy24 2x 答案 D 解析 根据抛物线的定义，得|DF|DE|，

14、又DEF 恰好为等腰直角三角形，所以EDF90，12|DE|DF|4，|DE|DF|2 2，D2 2p2，2 2，将其代入 y22px，得 82p2 2p2，解得 p2 2.抛物线方程为 y24 2x.3抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线发射后必经过抛物线的焦点抛物线 y24x 的焦点为 F，一平行于 x 轴的光线从点 M(3,1)射出，经过抛物线上的点 A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，那么直线 AB 的斜率为()word-10-/27 A.43 B43 C43 D169 答案 B 解析 令 y1，代入

15、 y24x 可得 x14，即 A14，1.由抛物线的光学性质可知，直线 AB 经过焦点 F(1,0)，所以 k1014143.应选 B.题型三 直线与抛物线综合问题 角度 1 直线与抛物线相切问题 1(2019全国卷)曲线 C：yx22，D 为直线 y12上的动点，过 D 作 C 的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线 AB 过定点；(2)假设以 E0，52为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求四边形 ADBE 的面积 解(1)证明：设 Dt，12，A(x1，y1)，那么 x212y1.因为 yx，所以切线 DA 的斜率为 x1，故y112x1tx1.整理得 2t

16、x12y110.设 B(x2，y2)，同理可得 2tx22y210.故直线 AB 的方程为 2tx2y10.word-11-/27 所以直线 AB 过定点0，12.(2)由(1)得直线 AB 的方程为 ytx12.由 ytx12，yx22可得 x22tx10.于是 x1x22t，x1x21，y1y2t(x1x2)12t21，|AB|1t2|x1x2|1t2x1x224x1x22(t21)设 d1，d2分别为点 D，E 到直线 AB 的距离，那么 d1t21，d22t21.因此，四边形 ADBE 的面积 S12|AB|(d1d2)(t23)t21.设 M 为线段 AB 的中点，那么 Mt，t21

17、2.因为EMAB，而EM(t，t22)，AB与向量(1，t)平行，所以 t(t22)t0，解得 t0 或 t1.当 t0 时，S3；当 t1 时，S4 2.因此，四边形 ADBE 的面积为 3 或 4 2.角度 2 过焦点的直线与抛物线相交问题 word-12-/27 2(2019某某长郡中学模拟)F 为抛物线 C：y24x 的焦点，E 为其准线与 x轴的交点，过 F 的直线交抛物线 C 于 A，B 两点，M 为线段 AB 的中点，且|ME|11，那么|AB|()A6 B3 3 C8 D9 答案 A 解析 根据题意，知直线 AB 的斜率存在且不为零，抛物线的焦点坐标是F(1,0)设直线 AB：

18、yk(x1)，将直线方程与抛物线方程联立得方程组 y24x，ykx1，消去y 并整理，得 k2x2(2k24)xk20，那么 x1x22k24k2，从而 Mk22k2，2k.又 E(1,0)，根据|ME|11，得k22k2124k211，解得 k22.所以|AB|x1x2p24k226.应选 A.3过抛物线 y22px(p0)的焦点作直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，直线 l 与y 轴的负半轴交于点 C.假设AB3BC，那么直线 l 的斜率为_ 答案 2 2 解析 解法一：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 l 的方程为 ykxp2(k0)由AB3BC，得 x14x2.由 y22

19、px，ykxp2得 k2x2(k22)pxp2k240，那么 x1x2pk22k2，x1x2p24，故x1x2x1x22k22k2，即5224k2，解得 k2 2.解法二：设直线 l：ykxp2(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)由AB3BC，得word-13-/27 x14x2.由 y22px，ykxp2，得 k2x2(k22)pxp2k240，那么 x1x2p24.所以 x1p，y1 2p，那么直线 l 的斜率 ky1x1p22ppp22 2.角度 3 不过焦点的直线与抛物线相交问题 4(2019全国卷)抛物线 C：y23x 的焦点为 F，斜率为32的直线 l 与 C 的交点为 A

20、，B，与 x 轴的交点为 P.(1)假设|AF|BF|4，求 l 的方程；(2)假设AP3PB，求|AB|.解设直线 l：y32xt，A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)由题设得 F34，0，故|AF|BF|x1x232.又|AF|BF|4，所以 x1x252.由 y32xt，y23x可得 9x212(t1)x4t20，那么 x1x24t13.从而4t1352，得 t78.所以 l 的方程为 y32x78.(2)由AP3PB可得 y13y2.word-14-/27 由 y32xt，y23x可得 y22y2t0，所以 y1y22，从而3y2y22，故 y21，y13.代入 C 的方程得 x1

21、3，x213，即 A(3,3)，B13，1.故|AB|4 133.1直线与抛物线交点问题的解题思路(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组(2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决见举例说明2,3,4.2解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，假设过抛物线的焦点，可直接使用焦点弦公式(见举例说明 2)，假设不过焦点，那么必须用一般弦长公式(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求“整体代入等解法 提醒：为了回避讨论直线斜率存在和不存在，可以灵活设直线方程 1(2

22、019某某二模)抛物线 x22py(p0)的准线方程为 y1，ABC 的顶点word-15-/27 A 在抛物线上，B，C 两点在直线 y2x5 上，如果|ABAC|2 5，那么ABC面积的最小值为()A5 B4 C.12 D1 答案 D 解析 依题意得抛物线方程为 x24y.因为|ABAC|2 5，所以|CB|2 5.设抛物线 x24y 的一条切线方程为 y2xb.将 y2xb 代入 x24y，得 x28x4b0.由 6416b0，得 b4.此时抛物线 x24y 的切线方程为 y2x4.该切线与直线 BC 的距离为 d15，即点 A 到直线 y2x5 的最小距离为15，故SABC的最小值为1

23、2|BC|d1.2直线 l 与抛物线 y24x 交于 A，B 两点，且 l 经过抛物线的焦点 F，A 点的坐标为(4,4)，那么线段 AB 的中点到准线的距离是_ 答案 258 解析 抛物线 y24x 的焦点 F 的坐标为(1,0)，准线方程为 x1，所以 kAF404143.所以直线 l 的方程为 y043(x1)，即 y43(x1)由 y24x，y43x1消去 y，整理得 4x217x40，word-16-/27 所以线段 AB 的中点的横坐标为178.所以线段 AB 的中点到准线的距离是178(1)258.3抛物线 C：y2ax(a0)上一点 Pt，12到焦点 F 的距离为 2t.(1)

24、求抛物线 C 的方程；(2)抛物线上一点 A 的纵坐标为 1，过点 Q(3，1)的直线与抛物线 C 交于 M，N 两个不同的点(均与点 A 不重合)，设直线 AM，AN 的斜率分别为 k1，k2，求证：k1k2为定值 解(1)由抛物线的定义可知|PF|ta42t，那么 a4t，由点 Pt，12在抛物线上，那么 at14.所以 aa414，那么 a21，由 a0，得 a1，故抛物线 C 的方程为 y2x.(2)证明：因为 A 点在抛物线上，且 yA1.所以 xA1，所以 A(1,1)，设过点 Q(3，1)的直线 l 的方程为 x3m(y1)即 xmym3，代入 y2x 得 y2mym30.设 M

25、(x1，y1)，N(x2，y2)，那么 y1y2m，y1y2m3，所以 k1k2y11x11y21x21 word-17-/27 y1y2y1y21m2y1y2mm2y1y2m22 m3m1m2m3mm2mm2212，为定值 组 基础关 1(2019某某一模)假设抛物线x2ay的焦点到准线的距离为1，那么a()A2 B4 C2 D4 答案 C 解析 抛物线 x2ay 的焦点坐标为0，a4，准线方程为 ya4.而抛物线 x2ay 的焦点到准线的距离为 1，所以a4a41，解得 a2.2(2019汀赣十四校第一次联考)抛物线 y24x 与 x22py(p0)的焦点间的距离为 2，那么 p 的值为(

26、)A4 B12 C2 3 D6 答案 C 解析 两抛物线的焦点坐标分别为(1,0)和0，p2.由题意可知 1p242，且p0，解得 p2 3.3(2020某某摸底)一动圆的圆心在抛物线 y28x 上，且动圆恒与直线 x2word-18-/27 0 相切，那么此动圆必过定点()A(4,0)B(2,0)C(0,2)D(0,0)答案 B 解析 由抛物线 y28x，得准线方程为 xp22，焦点坐标为(2,0)因为动圆的圆心在抛物线 y28x 上，且动圆恒与直线 x20 相切，由抛物线的定义可知动圆必经过定点(2,0)4(2019某某三模)过抛物线 y24x 的焦点作一条倾斜角为6的直线，与抛物线交于

27、A，B 两点，那么|AB|()A4 B6 C8 D16 答案 D 解析 抛物线的焦点坐标为 F(1,0)，p2，过焦点的直线的斜率 ktan633，那么直线方程为 y33(x1)，代入 y24x 得13(x1)24x，整理得 x214x10，设 A，B 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，那么 x1x214，那么|AB|x1x2p14216.5设抛物线 C：y24x 的焦点为 F，准线 l 与 x 轴的交点为 A，过抛物线 C上一点 P 作准线 l 的垂线，垂足为 Q.假设QAF 的面积为 2，那么点 P 的坐标为()A(1,2)或(1，2)B(1,4)或(1，4)C(1,2)D(1,

28、4)答案 A word-19-/27 解析 设点 P 的坐标为(x0，y0)因为QAF 的面积为 2，所以122|y0|2，即|y0|2，所以 x01，所以点 P 的坐标为(1,2)或(1，2)6(2018全国卷)设抛物线 C：y24x 的焦点为 F，过点(2,0)且斜率为23的直线与 C 交于 M，N 两点，那么FMFN()A5 B6 C7 D8 答案 D 解析 根据题意，过点(2,0)且斜率为23的直线方程为 y23(x2)，与抛物线方程联立 y23x2，y24x，消去 x 并整理，得 y26y80，解得 M(1,2)，N(4,4)，又因为 F(1,0)，所以FM(0,2)，FN(3,4)

29、，从而可以求得FMFN03248.应选 D.7(2019某某三模)过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 作斜率为 k 的直线，与抛物线相交于 A，B 两点，设直线 OA，OB(O 为坐标系原点)的斜率分别为 k1，k2，那么以下等式正确的选项是()Ak1k2k B.1kk1k2 C.1k1k11k2 Dk2k1k2 答案 C 解析 由题意，得 OA 的方程为 yk1x，与抛物线 C：y22px(p0)联立，解word-20-/27 得 A2pk21，2pk1，同理可得 B2pk22，2pk2，k2pk12pk22pk212pk2211k11k2，1k1k11k2.应选 C.8(2019某某四

30、地七校联考)抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，准线 l 与 x轴的交点为 A，P 是抛物线 C 上的点，且 PFx 轴假设以 AF 为直径的圆截直线AP 所得的弦长为 1，那么实数 p 的值为_ 答案 2 解析 由题意，Fp2，0，Ap2，0，设 P 在第一象限，那么 Pp2，p，kAPpp1，那么直线 AP 的方程为 xyp20，以 AF 为直径的圆的圆心为 O(0,0)，半径为 Rp2，那么 O 到直线 AP 的距离为 dp222p4，那么圆 O 截直线 AP 所得的弦长为 12R2d22 p242p42，解得 p 2.9(2019某某 4 月调研)过点 M(1,0)的直线 AB

31、 与抛物线 y22x 交于 A，B 两点，O 为坐标原点，假设 OA，OB 的斜率之和为 1，那么直线 AB 的方程为_ 答案 2xy20 解析 当直线 AB 的斜率不存在时，不符合题意，故设直线 AB 的斜率为k(k0)，那么直线AB 的方程为 yk(x1)，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)由 ykx1，y22x消去 y 并整理，得 k2x22(k21)xk20，那么 x1x22k21k2，x1x21.直线OA，OB 的斜率之和为y1x1y2x22kx1x2kx1x2x1x22k2k21k1，解得 k2，直线 AB 的方程为 2xy20.word-21-/27 10(2019某某六市第

32、二次联考)抛物线 y24x 的焦点为 F，其准线为 l，过点M(5,25)作直线 l 的垂线，垂足为 H，那么FMH 的平分线的斜率为_ 答案 55 解析 连接 HF.因为点 M 在抛物线 y24x 上，所以由抛物线的定义可知|MH|MF|.所以MHF 为等腰三角形所以FMH 的平分线所在的直线经过 HF 的中点因为点 F(1,0)，H(1,2 5)，所以 HF 的中点坐标为(0，5)，所以FMH 的平分线的斜率为2 5 55055.组 能力关 1(2019潍坊高三上学期期末)抛物线 y24x 的焦点为 F，P 为抛物线上一点，A(1,1)，当PAF 周长最小时，PF 所在直线的斜率为()A4

33、3 B34 C.34 D.43 答案 A 解析 求PAF 周长的最小值，即求|PA|PF|的最小值设点 P 在准线上的投影为 D，那么根据抛物线的定义，可知|PF|PD|.因此问题转化为求|PA|PD|的最小值根据平面几何知识，可得当D，P，A 三点共线时|PA|PD|最小A(1,1)，点 P 在抛物线上，P14，1，PF 所在直线的斜率为1014143.2(2020某某名校联盟调研抽测)过抛物线 y22x 上一点 A(2,2)作倾斜角互补的两条直线 AB，AC，分别交抛物线于 B，C 两点，那么直线 BC 的斜率为()word-22-/27 A23 B14 C34 D12 答案 D 解析 依

34、题意，可设直线 AB 的方程为 y2k(x2)，那么直线 AC 的方程为y2k(x2)设 B(x1，y1)，C(x2，y2)(y12，y22)由 y22x，y2kx2，得y122kk.同理，得 y222kk.所以直线 BC 的斜率为y2y1x2x1y2y112y2212y212y2y112.应选 D.3(2019华中师大第一附中模拟)如下图，点 F 是抛物线 y28x 的焦点，点 A，B 分别在抛物线 y28x 及圆(x2)2y216 的实线部分上运动，且 AB 总平行于 x轴，那么FAB 的周长的取值 X 围是()A(2,6)B(6,8)C(8,12)D(10,14)答案 C 解析 设 A(

35、xA，yA)，B(xB，yB)抛物线的准线 l：x2，焦点 F(2，0)由word-23-/27 抛物线定义，得|AF|xA2.因为圆(x2)2y216 的圆心为(2,0)，半径为 4，所以 FAB 的 周 长 为|AF|AB|BF|(xA 2)(xB xA)4 6 xB.由 y28x，x22y216，得 x2，y4，那么 xB(2,6)，所以 6xB(8,12)4(2018全国卷)点 M(1,1)和抛物线 C：y24x，过 C 的焦点 F 且斜率为k 的直线与 C 交于 A，B 两点假设AMB90，那么 k_.答案 2 解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么 y214x1，y22

36、4x2，所以 y21y224x14x2，所以 ky1y2x1x24y1y2.取 AB 的中点 M(x0，y0)，分别过点 A，B 作准线 x1 的垂线，垂足分别为 A，B.因为AMB90，所以|MM|12|AB|12(|AF|BF|)12(|AA|BB|)因为 M为 AB 的中点，所以 MM平行于 x 轴 因为 M(1,1)，所以 y01，那么 y1y22，所以 k2.5(2020某某摸底)抛物线 C：y24x 的焦点为 F，动点 P 在抛物线 C 上，点A(1,0)，那么|PF|PA|的最小值为_；当|PF|PA|取得最小值时，直线 AP 的方程为_ word-24-/27 答案 22xy1

37、0 或 xy10 解析 设 P 点的坐标为(4t2,4t)，F(1,0)，A(1,0)，|PF|2(4t21)216t216t48t21，|PA|2(4t21)216t216t424t21，|PF|PA|216t48t2116t424t21116t216t424t21 11616t21t224116216t21t224 1163212，当且仅当 16t21t2，即 t12时取等号 故|PF|PA|的最小值为22；当|PF|PA|取得最小值时，点 P 的坐标为(1,2)或(1，2)，直线 AP 的方程为 y(x1)，即 xy10 或 xy10.6(2019某某模拟)抛物线 E：x22py(p0)

38、的焦点为 F，A(2，y0)是 E 上一点，且|AF|2.(1)求 E 的方程；(2)设点 B 是 E 上异于点 A 的一点，直线 AB 与直线 yx3 交于点 P，过点 P作 x 轴的垂线交 E 于点 M，证明：直线 BM 过定点 解(1)根据题意，知 42pya，因为|AF|2，所以 yap22.联立解得 ya1，p2.所以 E 的方程为 x24y.word-25-/27(2)证明：设 B(x1，y1)，M(x2，y2)由题意，可设直线 BM 的方程为 ykxb，代入 x24y，得 x24kx4b0.所以 x1x24k，x1x24b.由 MPx 轴及点 P 在直线 yx3 上，得 P(x2

39、，x23)，那么由 A，P，B 三点共线，得x24x22kx1b1x12，整理，得(k1)x1x2(2k4)x1(b1)x22b60.将代入上式并整理，得(2x1)(2kb3)0.由点 B 的任意性，得 2kb30，所以 ykx32kk(x2)3.即直线 BM 恒过定点(2,3)组 素养关 1(2019某某二模)设定点 F(0,1)，动点 E 满足：以 EF 为直径的圆与 x 轴相切(1)求动点 E 的轨迹 C 的方程；(2)设 A，B 是曲线 C 上的两点，假设曲线 C 在 A，B 处的切线互相垂直，求证：A，F，B 三点共线 解(1)设 E 点坐标为(x，y)，那么 EF 中点为圆心，设为

40、 P，那么 P 点坐标为x2，y12.P 到 x 轴的距离等于|EF|2，word-26-/27 即y12x2y122，化简得 x24y.点 E 的轨迹 C 的方程为 x24y.(2)证明：由(1)知，曲线 C 是以 F 为焦点的抛物线，其方程可化为 y14x2，设 A，B 两点的坐标分别为x1，14x21，x2，14x22，曲线方程为 y14x2，y12x，曲线在 A，B 处切线的斜率分别为 k112x1，k212x2，k1k21，12x112x21，x24x1，A，B 两点连线的斜率为 kAB14x2214x21x2x11x114x1，A，F 两点连线的斜率为 kAF14x211x101x

41、114x1kAB，A，B，F 三点共线 2(2019某某一模)抛物线 y24x 的焦点为 F，ABC 的三个顶点都在抛物线上，且FBFCFA.(1)证明：B，C 两点的纵坐标之积为定值；(2)设 ABAC，求 的取值 X 围 解(1)证明：设 Ay204，y0，By214，y1，Cy224，y2，F(1,0)，FAy2041，y0，FBword-27-/27 y2141，y1，FCy2241，y2，FBFCFA，y2141y2241y2041，y1y2y0，即 y21y22y204，(y1y2)2y20，y2042y1y2y20，y1y22.(2)由FBFCFA，得四边形 ABFC 为平行四边形，故 ABACCFBF1y214 1y224(y1)(y2)1y214y224y21y2216y1y21y2044416214y207474，故 的取值 X 围是，74.