17版全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）.pdf

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1、 2017 年全国统一高考数学试卷（理科） （新课标年全国统一高考数学试卷（理科） （新课标 ） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个分在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的选项中，只有一项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 A=x|x1，B=x|3x1，则（ ） AAB=x|x0 BAB=R CAB=x|x1 DAB= 2 （5 分）如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆 中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一 点，则此点取自黑色部分的

2、概率是（ ） A B C D 3 （5 分）设有下面四个命题 p1：若复数 z 满足R，则 zR； p2：若复数 z 满足 z2R，则 zR； p3：若复数 z1，z2满足 z1z2R，则 z1=； p4：若复数 zR，则 R 其中的真命题为（ ） Ap1，p3 Bp1，p4 Cp2，p3 Dp2，p4 4 （5 分）记 Sn为等差数列an的前 n 项和若 a4+a5=24，S6=48，则an的公差 为（ ） A1 B2 C4 D8 5 （5 分）函数 f（x）在（，+）单调递减，且为奇函数若 f（1）=1， 则满足1f（x2）1 的 x 的取值范围是（ ） A2，2 B1，1 C0，4 D1

3、，3 6 （5 分） （1+） （1+x）6展开式中 x2的系数为（ ） A15 B20 C30 D35 7 （5 分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰 直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各 个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ） A10 B12 C14 D16 8 （5 分）如图程序框图是为了求出满足 3n2n1000 的最小偶数 n，那么在 和两个空白框中，可以分别填入（ ） AA1000 和 n=n+1 BA1000 和 n=n+2 CA1000 和 n=n+1 DA1000 和 n=n+2 9 （5 分） 已知曲

4、线 C1： y=cosx， C2： y=sin （2x+） ， 则下面结论正确的是 （ ） A把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右 平移个单位长度，得到曲线 C2 B把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左 平移个单位长度，得到曲线 C2 C把 C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右 平移个单位长度，得到曲线 C2 D把 C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左 平移个单位长度，得到曲线 C2 10 （5 分）已知 F 为抛物线 C：y2=4x 的焦点，过 F 作两条互相垂

5、直的直线 l1，l2， 直线 l1与 C 交于 A、B 两点，直线 l2与 C 交于 D、E 两点，则|AB|+|DE|的最小值 为（ ） A16 B14 C12 D10 11 （5 分）设 x、y、z 为正数，且 2x=3y=5z，则（ ） A2x3y5z B5z2x3y C3y5z2x D3y2x5z 12 （5 分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件为激发大 家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动这款软件的 激活码为下面数学问题的答案：已知数列 1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1， 2，4，8，16，其中第一项是 20，接下来的两项是 20，2

6、1，再接下来的三项 是 20，21，22，依此类推求满足如下条件的最小整数 N：N100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂那么该款软件的激活码是（ ） A440 B330 C220 D110 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）已知向量 ， 的夹角为 60，| |=2，| |=1，则| +2 |= 14 （5 分）设 x，y 满足约束条件，则 z=3x2y 的最小值为 15 （5 分）已知双曲线 C：=1（a0，b0）的右顶点为 A，以 A 为圆 心， b为半径作圆 A， 圆A与双曲线C 的一条渐近线交于 M、

7、 N两点 若MAN=60， 则 C 的离心率为 16 （5 分）如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 OD、E、F 为圆 O 上的点，DBC，ECA，FAB 分别是以 BC， CA，AB 为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分别以 BC，CA，AB 为折痕折起 DBC，ECA，FAB，使得 D、E、F 重合，得到三棱锥当ABC 的边长变化 时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第题

8、为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求题为选考题，考生根据要求 作答作答 17 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知ABC 的面积 为 （1）求 sinBsinC； （2）若 6cosBcosC=1，a=3，求ABC 的周长 18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，ABCD，且BAP=CDP=90 （1）证明：平面 PAB平面 PAD； （2）若 PA=PD=AB=DC，APD=90，求二面角 APBC 的余弦值 19 （12 分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产 线上随机抽取 16 个零件

9、，并测量其尺寸（单位：cm） 根据长期生产经验，可 以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 N（，2） （1）假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在（3， +3）之外的零件数，求 P（X1）及 X 的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（3，+3）之外的零件，就 认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况， 需对当天的生产过程 进行检查 （ ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ ）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.

10、26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得 =9.97，s=0.212， 其中 xi为抽取的第 i 个零件的尺寸，i=1，2，16 用样本平均数 作为 的估计值，用样本标准差 s 作为 的估计值，利用估 计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（3+3）之外 的数据，用剩下的数据估计 和 （精确到 0.01） 附：若随机变量 Z 服从正态分布 N（，2） ，则 P（3Z+3）=0.9974， 0.9974160.9592，0.09 20 （12 分）已知椭圆 C：+=1（ab0） ，四点 P1（1，1） ，P2（0，1） ， P3（1，）

11、，P4（1，）中恰有三点在椭圆 C 上 （1）求 C 的方程； （2）设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A，B 两点若直线 P2A 与直线 P2B 的斜 率的和为1，证明：l 过定点 21 （12 分）已知函数 f（x）=ae2x+（a2）exx （1）讨论 f（x）的单调性； （3）若 f（x）有两个零点，求 a 的取值范围 选修选修 4-4，坐标系与参数方程，坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ， 直线 l 的参数方程为 （t 为参数） （1）若 a=1，求 C 与 l 的交点坐标； （2）若 C 上的点到 l 距离的

12、最大值为，求 a 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）=x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x1| （1）当 a=1 时，求不等式 f（x）g（x）的解集； （2）若不等式 f（x）g（x）的解集包含1，1，求 a 的取值范围 2017 年全国统一高考数学试卷（理科） （新课标年全国统一高考数学试卷（理科） （新课标 ） 参考答案与试题解参考答案与试题解析析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个分在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的选项中，只有一项是符合题目要求的

13、1 （5 分） （2017新课标 ）已知集合 A=x|x1，B=x|3x1，则（ ） AAB=x|x0 BAB=R CAB=x|x1 DAB= 【分析】先分别求出集合 A 和 B，再求出 AB 和 AB，由此能求出结果 【解答】解：集合 A=x|x1， B=x|3x1=x|x0， AB=x|x0，故 A 正确，D 错误； AB=x|x1，故 B 和 C 都错误 故选：A 2 （5 分） （2017新课标 ） 如图， 正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图， 正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称 在正方形 内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ） A B C

14、 D 【分析】 根据图象的对称性求出黑色图形的面积， 结合几何概型的概率公式进行 求解即可 【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为 1， 则正方形的边长为 2， 则黑色部分的面积 S=， 则对应概率 P=， 故选：B 3 （5 分） （2017新课标 ）设有下面四个命题 p1：若复数 z 满足R，则 zR； p2：若复数 z 满足 z2R，则 zR； p3：若复数 z1，z2满足 z1z2R，则 z1=； p4：若复数 zR，则 R 其中的真命题为（ ） Ap1，p3 Bp1，p4 Cp2，p3 Dp2，p4 【分析】根据复数的分类，有复数性质，逐一分析给定四个命

15、题的真假，可得答 案 【解答】解：若复数 z 满足R，则 zR，故命题 p1为真命题； p2：复数 z=i 满足 z2=1R，则 zR，故命题 p2为假命题； p3：若复数 z1=i，z2=2i 满足 z1z2R，但 z1，故命题 p3为假命题； p4：若复数 zR，则 =zR，故命题 p4为真命题 故选：B 4（5 分） （2017新课标 ） 记 Sn为等差数列an的前 n 项和 若 a4+a5=24， S6=48， 则an的公差为（ ） A1 B2 C4 D8 【分析】利用等差数列通项公式及前 n 项和公式列出方程组，求出首项和公差， 由此能求出an的公差 【解答】解：Sn为等差数列an的

16、前 n 项和，a4+a5=24，S6=48， ， 解得 a1=2，d=4， an的公差为 4 故选：C 5 （5 分） （2017新课标 ） 函数 f （x） 在 （， +） 单调递减，且为奇函数 若 f（1）=1，则满足1f（x2）1 的 x 的取值范围是（ ） A2，2 B1，1 C0，4 D1，3 【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式1f（x2）1 化为 1x21，解得答案 【解答】解：函数 f（x）为奇函数 若 f（1）=1，则 f（1）=1， 又函数 f（x）在（，+）单调递减，1f（x2）1， f（1）f（x2）f（1） ， 1x21， 解得：x1，3， 故选：D 6

17、（5 分） （2017新课标 ） （1+） （1+x）6展开式中 x2的系数为（ ） A15 B20 C30 D35 【分析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可 【解答】解： （1+） （1+x）6展开式中： 若（1+）=（1+x 2）提供常数项 1，则（1+x）6 提供含有 x2的项，可得展开式 中 x2的系数： 若（1+）提供 x 2 项，则（1+x）6提供含有 x4的项，可得展开式中 x2的系数： 由（1+x）6通项公式可得 可知 r=2 时，可得展开式中 x2的系数为 可知 r=4 时，可得展开式中 x2的系数为 （1+） （1+x）6展开式中 x2的系数为：15+15=30 故选

18、C 7 （5 分） （2017新课标 ）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图 都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角 形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ） A10 B12 C14 D16 【分析】 由三视图可得直观图， 由图形可知该立体图中只有两个相同的梯形的面， 根据梯形的面积公式计算即可 【解答】解：由三视图可画出直观图， 该立体图中只有两个相同的梯形的面， S梯形=2（2+4）=6， 这些梯形的面积之和为 62=12， 故选：B 8 （5 分） （2017新课标 ）如图程序框图是为了求出满足 3n2n1000 的最小

19、偶数 n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ） AA1000 和 n=n+1 BA1000 和 n=n+2 CA1000 和 n=n+1 DA1000 和 n=n+2 【分析】通过要求 A1000 时输出且框图中在“否”时输出确定“”内不能 输入“A1000”，进而通过偶数的特征确定 n=n+2 【解答】解：因为要求 A1000 时输出，且框图中在“否”时输出， 所以“”内不能输入“A1000”， 又要求 n 为偶数，且 n 的初始值为 0， 所以“”中 n 依次加 2 可保证其为偶数， 所以 D 选项满足要求， 故选：D 9 （5 分） （2017新课标 ）已知曲线 C1：y=cosx，

20、C2：y=sin（2x+） ，则下面 结论正确的是（ ） A把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右 平移个单位长度，得到曲线 C2 B把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左 平移个单位长度，得到曲线 C2 C把 C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右 平移个单位长度，得到曲线 C2 D把 C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左 平移个单位长度，得到曲线 C2 【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可 【解答】解：把 C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不

21、变，得到函数 y=cos2x 图象， 再把得到的曲线向右平移个单位长度， 得到函数 y=cos2 （x） =cos（2x）=sin（2x+）的图象，即曲线 C2， 故选：D 10 （5 分） （2017新课标 ）已知 F 为抛物线 C：y2=4x 的焦点，过 F 作两条互相 垂直的直线 l1，l2，直线 l1与 C 交于 A、B 两点，直线 l2与 C 交于 D、E 两点，则 |AB|+|DE|的最小值为（ ） A16 B14 C12 D10 【分析】方法一：根据题意可判断当 A 与 D，B，E 关于 x 轴对称，即直线 DE 的 斜率为 1，|AB|+|DE|最小，根据弦长公式计算即可 方法

22、二：设出两直线的倾斜角，利用焦点弦的弦长公式分别表示出|AB|，|DE|， 整理求得答案 【解答】解：如图，l1l2，直线 l1与 C 交于 A、B 两点， 直线 l2与 C 交于 D、E 两点， 要使|AB|+|DE|最小， 则 A 与 D，B，E 关于 x 轴对称，即直线 DE 的斜率为 1， 又直线 l2过点（1，0） ， 则直线 l2的方程为 y=x1， 联立方程组，则 y24y4=0， y1+y2=4，y1y2=4， |DE|=|y1y2|=8， |AB|+|DE|的最小值为 2|DE|=16， 方法二：设直线 l1的倾斜角为 ，则 l2的倾斜角为 2 ， 根据焦点弦长公式可得|AB

23、|= |DE|= |AB|+|CD|=+=， 0sin221， 当 =45时，|AB|+|DE|的最小，最小为 16， 故选：A 11 （5 分） （2017新课标 ）设 x、y、z 为正数，且 2x=3y=5z，则（ ） A2x3y5z B5z2x3y C3y5z2x D3y2x5z 【分析】 x、 y、 z 为正数， 令 2x=3y=5z=k1 lgk0 可得 x=， y=， z= 可 得 3y=，2x=，5z=根据=， =即可得出大小关系 【解答】解：x、y、z 为正数， 令 2x=3y=5z=k1lgk0 则 x=，y=，z= 3y=，2x=，5z= =，= lg0 3y2x5z 故选

24、：D 12 （5 分） （2017新课标 ）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用 软件为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活 动这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 1，1，2，1，2，4，1， 2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是 20，接下来的两项是 20，21，再 接下来的三项是 20，21，22，依此类推求满足如下条件的最小整数 N：N100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂那么该款软件的激活码是（ ） A440 B330 C220 D110 【分析】方法一：由数列的性质，求得数列bn的通项公式及前 n 项和，可知当 N 为

25、时（nN+） ，数列an的前 N 项和为数列bn的前 n 项和，即为 2n n2，容易得到 N100 时，n14，分别判断，即可求得该款软件的激活码； 方法二：由题意求得数列的每一项，及前 n 项和 Sn=2n +12n，及项数，由题意 可知：2n +1 为 2 的整数幂只需将2n 消去即可，分别分别即可求得 N 的值 【解答】解：设该数列为an，设 bn=+=2n1， （nN+） ， 则=ai， 由题意可设数列an的前 N 项和为 SN， 数列bn的前 n 项和为 Tn， 则 Tn=211+22 1+2n1=2nn2， 可知当 N 为时（nN+） ，数列an的前 N 项和为数列bn的前 n

26、项和， 即为 2nn2， 容易得到 N100 时，n14， A 项，由=435，440=435+5，可知 S440=T29+b5=230292+251=230，故 A 项符合题意 B 项，仿上可知=325，可知 S330=T25+b5=226252+251=226+4，显然不 为 2 的整数幂，故 B 项不符合题意 C 项，仿上可知=210，可知 S220=T20+b10=221202+2101=221+21023， 显然不为 2 的整数幂，故 C 项不符合题意 D 项，仿上可知=105，可知 S110=T14+b5=215142+251=215+15，显然 不为 2 的整数幂，故 D 项不符

27、合题意 故选 A 方法二：由题意可知：， ， 根据等比数列前 n 项和公式，求得每项和分别为：211，221，231，2n 1， 每项含有的项数为：1，2，3，n， 总共的项数为 N=1+2+3+n=， 所有项数的和为 Sn： 211+221+231+2n1= （21+22+23+2n） n= n=2n +12n， 由题意可知：2n +1 为 2 的整数幂只需将2n 消去即可， 则1+2+（2n）=0，解得：n=1，总共有+2=3，不满足 N100， 1+2+4+（2n）=0，解得：n=5，总共有+3=18，不满足 N100， 1+2+4+8+（2n）=0，解得：n=13，总共有+4=95，不

28、满足 N 100， 1+2+4+8+16+（2n）=0，解得：n=29，总共有+5=440，满足 N 100， 该款软件的激活码 440 故选 A 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13（5 分）（2017新课标 ） 已知向量 ， 的夹角为 60， | |=2， | |=1， 则| +2 |= 2 【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可 【解答】解：向量 ， 的夹角为 60，且| |=2，| |=1， =+4 +4 =22+421cos60+412 =12， | +2 |=2 故答案为：2 14 （5 分） （2017新课标 ）

29、设 x，y 满足约束条件，则 z=3x2y 的 最小值为 5 【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结 合得答案 【解答】解：由 x，y 满足约束条件作出可行域如图， 由图可知，目标函数的最优解为 A， 联立，解得 A（1，1） z=3x2y 的最小值为3121=5 故答案为：5 15 （5 分） （2017新课标 ）已知双曲线 C：=1（a0，b0）的右顶 点为 A，以 A 为圆心，b 为半径作圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M、 N 两点若MAN=60，则 C 的离心率为 【分析】利用已知条件，转化求解 A 到渐近线的距离，推出 a，c 的关系

30、，然后 求解双曲线的离心率即可 【解答】解：双曲线 C：=1（a0，b0）的右顶点为 A（a，0） ， 以 A 为圆心，b 为半径做圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M、N 两点 若MAN=60，可得 A 到渐近线 bx+ay=0 的距离为：bcos30=， 可得：=，即，可得离心率为：e= 故答案为： 16 （5 分） （2017新课标 ）如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5cm，该纸片 上的等边三角形 ABC 的中心为 OD、 E、 F 为圆 O 上的点， DBC，ECA， FAB 分别是以 BC，CA，AB 为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分别以 BC，CA， AB 为折

31、痕折起DBC，ECA，FAB，使得 D、E、F 重合，得到三棱锥当ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为 4cm3 【分析】由题， 连接 OD， 交 BC 于点 G， 由题意得 ODBC，OG=BC， 设 OG=x， 则 BC=2x，DG=5x，三棱锥的高 h=，求出 SABC=3， V=，令 f（x）=25x410 x5，x（0，） ，f（x） =100 x350 x4，f（x）f（2）=80，由此能求出体积最大值 【解答】解：由题意，连接 OD，交 BC 于点 G，由题意得 ODBC，OG=BC， 即 OG 的长度与 BC 的长度成正比， 设 OG=x，则 BC=2

32、x，DG=5x， 三棱锥的高 h=， =3， 则 V=， 令 f（x）=25x410 x5，x（0，） ，f（x）=100 x350 x4， 令 f（x）0，即 x42x30，解得 x2， 则 f（x）f（2）=80， V=4cm3，体积最大值为 4cm3 故答案为：4cm3 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求题为选考题，考生根据要求 作答作答 17 （12 分） （2017新课标 ）AB

33、C 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已 知ABC 的面积为 （1）求 sinBsinC； （2）若 6cosBcosC=1，a=3，求ABC 的周长 【分析】 （1）根据三角形面积公式和正弦定理可得答案， （2） 根据两角余弦公式可得cosA=， 即可求出 A=， 再根据正弦定理可得bc=8， 根据余弦定理即可求出 b+c，问题得以解决 【解答】解： （1）由三角形的面积公式可得 SABC=acsinB=， 3csinBsinA=2a， 由正弦定理可得 3sinCsinBsinA=2sinA， sinA0， sinBsinC=； （2）6cosBcosC=1， cosBcosC=

34、， cosBcosCsinBsinC=， cos（B+C）=， cosA=， 0A， A=， =2R=2， sinBsinC=， bc=8， a2=b2+c22bccosA， b2+c2bc=9， （b+c）2=9+3cb=9+24=33， b+c= 周长 a+b+c=3+ 18 （12 分） （2017新课标 ）如图，在四棱锥 PABCD 中，ABCD，且BAP= CDP=90 （1）证明：平面 PAB平面 PAD； （2）若 PA=PD=AB=DC，APD=90，求二面角 APBC 的余弦值 【分析】 （1）由已知可得 PAAB，PDCD，再由 ABCD，得 ABPD，利用线 面垂直的判定

35、可得 AB平面 PAD，进一步得到平面 PAB平面 PAD； （2）由已知可得四边形 ABCD 为平行四边形，由（1）知 AB平面 PAD，得到 ABAD，则四边形 ABCD 为矩形，设 PA=AB=2a，则 AD=取 AD 中点 O， BC 中点 E，连接 PO、OE，以 O 为坐标原点，分别以 OA、OE、OP 所在直线为 x、 y、 z 轴建立空间直角坐标系， 求出平面 PBC 的一个法向量， 再证明 PD平面 PAB， 得为平面 PAB 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角 APB C 的余弦值 【解答】 （1）证明：BAP=CDP=90，PAAB，PDCD， ABCD，A

36、BPD， 又PAPD=P，且 PA平面 PAD，PD平面 PAD， AB平面 PAD，又 AB平面 PAB， 平面 PAB平面 PAD； （2）解：ABCD，AB=CD，四边形 ABCD 为平行四边形， 由（1）知 AB平面 PAD，ABAD，则四边形 ABCD 为矩形， 在APD 中，由 PA=PD，APD=90，可得PAD 为等腰直角三角形， 设 PA=AB=2a，则 AD= 取 AD 中点 O，BC 中点 E，连接 PO、OE， 以 O 为坐标原点，分别以 OA、OE、OP 所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标 系， 则：D（） ，B（） ，P（0，0，） ，C（） ， 设平面 P

37、BC 的一个法向量为， 由，得，取 y=1，得 AB平面 PAD，AD平面 PAD，ABAD， 又 PDPA，PAAB=A， PD平面 PAB，则为平面 PAB 的一个法向量， cos= 由图可知，二面角 APBC 为钝角， 二面角 APBC 的余弦值为 19 （12 分） （2017新课标 ）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检 验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸（单位：cm） 根据 长期生产经验， 可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 N（，2） （1）假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在（3， +3）之外的零件

38、数，求 P（X1）及 X 的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（3，+3）之外的零件，就 认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况， 需对当天的生产过程 进行检查 （ ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ ）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得 =9.97，s=0.212， 其中 xi为抽取的第 i 个零件的尺寸，i=1，2，16 用样本平均数 作为 的估计值，用样

39、本标准差 s 作为 的估计值，利用估 计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（3+3）之外 的数据，用剩下的数据估计 和 （精确到 0.01） 附：若随机变量 Z 服从正态分布 N（，2） ，则 P（3Z+3）=0.9974， 0.9974160.9592，0.09 【分析】 （1）通过 P（X=0）可求出 P（X1）=1P（X=0）=0.0408，利用二项 分布的期望公式计算可得结论； （2） （ ）由（1）及知落在（3，+3）之外为小概率事件可知该监控生产 过程方法合理； （ ）通过样本平均数 、样本标准差 s 估计、可知（3+3）= （9.334，10.606） ，进而需剔除（3+

40、3）之外的数据 9.22，利用公 式计算即得结论 【解答】解： （1）由题可知尺寸落在（3，+3）之内的概率为 0.9974， 则落在（3，+3）之外的概率为 10.9974=0.0026， 因为 P（X=0）=（10.9974）00.9974160.9592， 所以 P（X1）=1P（X=0）=0.0408， 又因为 XB（16，0.0026） ， 所以 E（X）=160.0026=0.0416； （2） （ ）由（1）知尺寸落在（3，+3）之外的概率为 0.0026， 由正态分布知尺寸落在（3，+3）之外为小概率事件， 因此上述监控生产过程方法合理； （ ） 因为用样本平均数 作为 的估计

41、值， 用样本标准差 s 作为 的估计值， 且 =9.97，s=0.212， 所以3=9.9730.212=9.334，+3=9.97+30.212=10.606， 所以 9.22（3+3）=（9.334，10.606） ， 因此需要对当天的生产过程进行检查，剔除（3+3）之外的数据 9.22， 则剩下的数据估计 =10.02， 将剔除掉9.22后剩下的15个数据， 利用方差的计算公式代入计算可知20.008， 所以 0.09 20 （12 分） （2017新课标 ）已知椭圆 C：+=1（ab0） ，四点 P1（1， 1） ，P2（0，1） ，P3（1，） ，P4（1，）中恰有三点在椭圆 C 上

42、 （1）求 C 的方程； （2）设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A，B 两点若直线 P2A 与直线 P2B 的斜 率的和为1，证明：l 过定点 【分析】 （1）根据椭圆的对称性，得到 P2（0，1） ，P3（1，） ，P4（1，） 三点在椭圆 C 上把 P2（0，1） ，P3（1，）代入椭圆 C，求出 a2=4，b2=1， 由此能求出椭圆 C 的方程 （2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设 l：y=kx+b， （b1） ，联立 ，得（1+4k2）x2+8kbx+4b24=0，由此利用根的判别式、韦达定理、 直线方程，结合已知条件能证明直线 l 过定点（2，1） 【解答】解：

43、 （1）根据椭圆的对称性，P3（1，） ，P4（1，）两点必在椭 圆 C 上， 又 P4的横坐标为 1，椭圆必不过 P1（1，1） ， P2（0，1） ，P3（1，） ，P4（1，）三点在椭圆 C 上 把 P2（0，1） ，P3（1，）代入椭圆 C，得： ，解得 a2=4，b2=1， 椭圆 C 的方程为=1 证明： （2）当斜率不存在时，设 l：x=m，A（m，yA） ，B（m，yA） ， 直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为1， =1， 解得 m=2，此时 l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足 当斜率存在时，设 l：y=kx+b， （b1） ，A（x1，y1） ，B（x2，y2）

44、 ， 联立，整理，得（1+4k2）x2+8kbx+4b24=0， ，x1x2=， 则= =1，又 b1， b=2k1，此时=64k，存在 k，使得0 成立， 直线 l 的方程为 y=kx2k1， 当 x=2 时，y=1， l 过定点（2，1） 21 （12 分） （2017新课标 ）已知函数 f（x）=ae2x+（a2）exx （1）讨论 f（x）的单调性； （3）若 f（x）有两个零点，求 a 的取值范围 【分析】 （1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得 f（x） 单调性； （2）由（1）可知：当 a0 时才有个零点，根据函数的单调性求得 f（x）最小 值，由 f（x）min0，g（a）=alna+a1，a0，求导，由 g（a）min=g（e 2）=e 2lne2+e21= 1，g（1）=0，即可求得 a 的取值范围 【解答】解： （1）由 f（x）=ae2x+（a2）exx，求导 f