全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）（解析版）.pdf

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1、2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.本试卷满分150分.2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合U=-2,-1,0,1,2,3.A=-,0,1,B=1,2 ,则。(4D8)=()A.-2,3 B.-2,2,3 C.-2,-1,0,3 D.-2,-1,0,2,3【答案】A【解析】【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可.【详解】由题意可得：4。3=

2、-1,0,1,2,则 (/118)=-2,3.故选：A.【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题.2.若a 为第四象限角，则()A.cos2a0 B.cos2a0 D.sin2a0【答案】D【解析】【分析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可.【详解】当。=一生时,6cos 2a=cos选项B错误:当a 二 一不时，cos la-cos选项A错误:由a在第四象限可得：sin a 0,则sin 2a=2sinacosa 0,可得圆的半径为。,写出圆的标准方程，利用点(2,1)在圆上，求得实数。的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线2 x-y-3 =0的距离.【详解】

3、由于圆上的点(2,1)在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为(a,a),则圆的半径为。，圆的标准方程为(x .)2+(y a)?=a2.-3-由题意可得（2 a）2=2,可得“2-6 4 +5 =0，解得。=I或4 =5,所以圆心的坐标为（1,1）或（5,5）,圆心到直线2x-y -3 =0的距离均为d =g=:V 5 5所以，圆心到直线2x-y-3 =0的 距 离 为 壁.故选：B.【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.6.数列 4中，a,=2,am+n=aman,若+4

4、E+4-i o=2”一2$，贝必=（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】取7 =1,可得出数列。,是等比数列，求得数列/的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于女的等式，由A w N”可求得左的值.【详解】在等式am+n=aman中，令?=1,可得a+1=a.%=2勺，嗅=2,所以，数列 4是以2为首项，以2为公比的等比数列，则%=2X2T=2,2*+|=25 则 +1 =5,解得 =4.故选：C.【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，属于中等题.7.如图是个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的

5、点为A/,在俯视图中对应的点为N,则该端点在侧视图中对应的点为（）-4-NA.E B.F C.G D.H【答案】A【解析】【分析】根据三视图，画出多面体立体图形，即可求得M 点在侧视图中对应的点.【详解】根据三视图，画出多面体立体图形，D R 上的点在正视图中都对应点M 直线83c4上的点在俯视图中对应的点为N,.在正视图中对应M ,在俯视图中对应N 的点是A,线段2 2,上的所有点在侧试图中都对应E,.点2在侧视图中对应的点为.故选：A【点睛】本题主要考查了根据三视图判断点的位置，解题关键是掌握三视图的基础知识和根据三视图能还原立体图形的方法，考查了分析能力和空间想象，属于基础题.8.设。为

6、坐标原点，直线x 与双曲线C:0-1 =l(aO/0)的两条渐近线分别交于D K 两点，若一 5 一 8E的面积为8,则C的焦距的最小值为（）A.4 B.8 C.16 D.3 2【答案】B【解析】【分析】r2 V2因为。：5-2=1（。0口 0）,可得双曲线的渐近线方程是y =b2 x,与直线x=。联立方程求得a b aE两点坐标，即可求得|EOI，根据口ODE的面积为8,可 得 值，根据2c =2际万,结合均值不等式，即可求得答案.【详解】V C：4-4=l（a 0,f t 0）a1 b双曲线的渐近线方程是v=-xa2 j 直线x=。与双曲线（7:-与=1（。0,6 0）的两条渐近线分别交于

7、。，E两点a2 b-不妨设。为在第一象限，E在第四象限f x=a （,x=a联立b，解得、y y=b故。（a,b）故 9,一 6)AED=2bL O D E 面积为：SL&ODF=a x 2 b =ab=S Ix lx O2 2双曲线 C:-；=l(f l 0,6 0)a b其焦距为 2c =2yja2+b2 22ab=2屈=8当且仅当4 =6=2 五 取等号。的焦距的最小值：8故选：B.一 6 一【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.9.设函数/

8、（X）=l n|2x+l-|l n 2x-l ,贝 叭 幻（）A.是偶函数，且在（,+8）单调递增2C.是偶函数，且在（口,-；）单调递增【答案】D【解析】【分析】B.是奇函数，且在（一!一）单调递减2 2D.是奇函数，且在（F,-：）单调递减2（1根据奇偶性的定义可判断出/（X）为奇函数，排除AC；当1 2 2时，利用函数单调性的性质可判断出/（X）单调递增，排除B：当x w（-8,-g）时，利用复合函数单调性可判断出/（X）单调递减，从而得到结果.【详解】由/（x）=l川2x+l|-l n|2x-l|得/（X）定义域为卜，关于坐标原点对称,又/（-x）=l n|l _ 2x|-l n 卜

9、2x-l|=tn|2x-l|-l n|2x+1|=-/（%）,，/（x）为定义域上的奇函数，可排除AC：当x e 时，/（）=l n（2x +l）-l n（l-2x）,Q y=l n（/2x+1、）；（II）上单调递增，y =l n（l-2xv）在（一 1，1彳1 上单调递减,上单调递增，排除B；/(x)=l n(-2x-l)-l n(l-2x)=I n2x+2x-=I n 1 +J =l +二 一 在（f,二 上单调递减，/（）=l n在定义域内单调递增,2x-l I 2 J根据复合函数单调性可知：/（X）在上单调递减，D正确.一 7 一故选：D.【点 睛】本题考皆函数奇偶性和单调性的判断：

10、判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据/(x)与/(x)的关系得到结论：判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数同增异减”性得到结论.10.已知45C是 面 积 为 唯4的等边三角形，且其顶点都在球。的球面上.若球。的表面积为16，则。到平面/8 C的 距 离 为()A.V3 B.-C.1 D.2 2【答 案】C【解 析】【分 析】根 据 球O的表面积和口N 3 c的面积可求得球O的 半 径R和口N 3 C外接圆半径I-.由球的性质可知所求距离d=J炉-/.【详解】设 球。的 半 径 为 火，则4乃 正=16乃，解得：R =2.设 口/A C外接

11、圆半径为，边 长 为。，.匚4 8 C是 面 积 为 也 的 等 边 三 角 形，4._ L/x立=,解得：=3,-=-x L2-=-x /9 =/3.2 2 4 3 V 4 3 V 4球 心O到 平 面A B C的距离d=JR2 T2 =6与=i.故选：C.【点 睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用：解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.11.2r-2v 0B.ln(y-x+l)0D.ln|x-y K 0【答 案】A【解 析】【分析】-8-将不等式变为2-3 2 3匕 根据/(/)=2-3 一 的单调性知xy,以此

12、去判断各个选项中真数与1 的大小关系，进而得到结果.【详解】由 2*-2，3-、一 3 r 得：2x-3-x 2y-3y 令/=2 内，y =2 为 R上的增函数，y =3-为 R上的减函数，./(/)为 R上的增函数，x 0,/.-x+l l,l n(y-x+l)0,则A 正确，B 错误；Q|x-y|与i 的大小不确定，故CD无法确定.故选：A.【点睹】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到x，.y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.1 2.0-1 周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列“臼 见满足”0,1 (，=1,2,),且存在正整

13、数？,使得。,+(=4 =1 2 i)成立，则称其为0-1 周期序列，并称满足q“,=q(i=1 2)的最小正整数机为这个序列的周期.对于周期为m 的0-1 序列C(k)=,%(%=1,2,”-1)是描述其性质的重要指标，下列周期为5 的0-1 序列中，满足C 伏)4(伏=1,2,3,4)的序列是()A.1 1 01 0-B.1 1 01 1-C.1 0001-D.1 1 001-【答案】c【解析】【详解】由=q知，序列q的周期为，”，由已知，=5,。()=:=1,2,3,45 1=)对于选项A,卬=岳妙=1(陷 2 +a2a3+a4a5+牝4)=(1 +0+0 +0+0)=P2 v py为真

14、命题，1凸v r?4为真命题.故答案为：.【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力,属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.1.ABC 中，s i n2/l s i n25 s i n2C=s i n 5 s i n C.（1）求小（2）若8 c=3,求口工8。周长的最大值.【答案】（1）y;（2）3+2石.【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出c o s/的形式，进而求得力:（2）利用余弦

15、定理可得到（NC+力8一/C,4 8 =9,利用基本不等式可求得的最大值，进而得到结果.【详解】（1）由正弦定理可得：B C2-A C2-A B2=A C A B，2 A C A B 2v A e（0,r）,/.A =.（2）由余弦定理得：B C2=AC+A B2-2AC-A B cos A=A C2+A B2+A C A B =9即（4 C+/8）2-4C/8=9.（当且仅当/C=/8时取等号），9=（A C+A B y -A C-A B （A C+A B）2-A C+A B2=2+,解得：A C+A B=i（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物

16、数曷的平均数乘以地块数）：（2）求样本（即，”）（i=l,2,.20）的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大,为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.（x,（-亍）y.-y）附：相关系数一下旦-”，72=1.414.由（必-亍）2 s y-y）1V仁1【答案】（1）12000：（2）0.94；（3）详见解析【解析】【分析】（1）利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可；20 _ _Z（x,-x）（%-y）（2）利用公式，.=-1；广L ,0 i计算即可:、

17、忙（一 茂 也-方V /=1 i=（3）各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样.1 20【详解】（1）样区野生动物平均数为万Xx=M；x l 200=6 0,2。占 20地块数为200,该地区这种野生动物的估计值为200 x 6 0=12000（2）样本（天,乂）的相关系数为20Zd）（乂一刃*=e _20 20-柩 -亍 迂 3-歹)2y=1 z(3)一产.此0.9 47 8 0 x 9 000 3由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样先将植物覆盖面积按优中差分成三层，在各层内按比例抽取样本，在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可

18、.【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考杳学生数学运算能力,是一道容易题.2 21 9.已知椭圆G：=+4 =1a b-（心力 0）的右焦点厂与抛物线C2的焦点重合，G的中心与。2的顶点重合.过下且与X轴垂直的直线交C|于4B4两点，交C2于C,。两点，且|CO|=48|.（1）求G的离心率；（2）设M是G与C2的公共点，若附/=5,求Ci与C?的标准方程.1 2 2【答案】（1）-!（2）C,：+-=1.C,：/=1 2x.2 1 36 27 【解析】【分析】（1）求出|相|、|CD|,利用|。|=三4阴可得出关于*c的齐次等式，可解得椭圆G的离心率的值;2

19、 2（2）由（I）可得出G的方程为3+六=1,联立曲线G与。2的方程，求出点M的坐标，利用抛物线的定义结合lA/r k 5可求得c的值，进而可得出G与C?的标准方程.-15-则 直 线 的 方 程 为x=c，【详解】（1）轴且与椭圆G相交于Z、8两点,X=C.解得 c，二COy=2c.皿=8|,即4c =*2b2=3ac即2c2+3QC 2Q2=O,即2/+3e 2=0，Q 0 e l,解得e=J,因此，椭圆G的离心率为g：2 2（2）由（1）知a =2c,b=&，椭圆 的方程为 J +J=1,4c 3cf y2=4cx联立I V 2 ,消去了并整理得3r +1 6 c x l2c 2 =0，

20、1港+会】2解得x=-c或x=-6 c （舍去），3由抛物线的定义可得|A/F|=1 c +c =y=5.解得C=3.-16-因此，曲线a 的标准方程为二十匕=1,36 27曲线G的标准方程为V =1 2x.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，同时也考查了利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标准方程，考查计算能力，属于中等题.20.如图，已 知 三 棱 柱8 1 G的底面是正三角形，侧面8 8 C C是矩形，M,N分别为8 C,8 1 G的中点，P为A M上一点,过8 c l和尸的平面(1)证明：A A J/M N,且平面44W N_ L E8|G尸：(2)设。为/Ci的中心，若力。平面E 8C/,

21、且/。=4 8,求直线8/与平面小/M N所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)典.1 0【解析】【分析】(1)由M,N分别为8 C,4 G的中点，MNHC C、,根 据 条 件 可 得8用，可证A/N44,要证平面 片。/1平面4 4 MN,只需证明E尸J.平面Z/MN即可；(2)连接N P,先求证四边形O N P/是平行四边形，根据几何关系求得E P,在4 G截取4 Q =EP,由(1)8 C_ L平面可得N 0P N为&E与平面同/A/N所成角，即可求得答案.【详解】(1)”,N分别为8 C,4 G的中点，-1 7 -又 AAJ/BB、：.M N I/AA、在口/8 C中，A7

22、为8 C中点，则8 c l.4W又.侧面SB C。为矩形，B C1 B B、MNHB B、MN IB C由=的,/例 匚 平 面4441可.8CJ,平面乂.4 G 8 C,且4 G Z平面 A B C,8 C u平面 A B C,：.8 c 平面 4 8。又4 G u平面E 8 E ,且平面E 8 C/C平面48C=E F：.B G U E FEFUBC又.8 C，平面 1/_!_ 平面 4 4WN,/EE u 平面 EBiCF平面E qG E J.平面/M N0）可得：ON=AP,NP=AO=AB=6mo 为八4四G的中心，且4 R G边长为6mON=x 6x sin 60=j3ni3故：O

23、N=AP=y/3m/EF/BC.AP EP.6 _EP.访T解得：EP=m在 4 G 截取 4 0=P =，故 QV=2/n BQ=EP 且 BQ/EP-19-四 边 形4 0P E是平行四边形,B.E/PQ由(1)4 G J _ 平面”“MN故N Q Q N为B.E与平面A.A MN所成角在 对 0 P N,根据勾股定理可得：P Q =4Q N?+P N，=&2?y+(=2师 s i nNQPN=Q N 2 mP Q 2y/0mx/ioTT直 线 及 与 平 面4 4 V W所成角的正弦值：叵1 0【点 睛】本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其线面角，解题关键是掌握面面垂直转为求证线面

24、垂直的证法和线面角的定义，考查了分析能力和空间想象能力，属于难题.2 1 .已知函数/(主尸s i r P x s i n 2 r.(1)讨论/(x)在区间(0,乃)的单调性：Fi2)证 明：|/(x)|4竽；Oy(3)设W N*,证明：s i n2x s i n22 x s i n24 x.s i n22nx 0 J(x)单调递 增，当x e件等)时，/(x)0,/(x)单 调 递 墙(2)证明见解析：(3)证明见解析.【解 析】【分 析】(1)苜先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数的单调性即可:(2)首先确定函数的周期性，然后结合(1)中的结论确

25、定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的不等式:(3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得/(x)=s i n x(s i n2 x s i n2 x)(s i n?2 x s i n 4 x)(s i n?2w _ 1x s i n 2wx)s i n2-20-,然后结合(2)的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式.【详解】(1)由函数的解析式可得：/(x)=2sin3xcosxt则：/*(x)=2(3sin2 xcos2 x-sin4 x)=2sin2 x(3cos2 x-sin2 x)=2sin2 x(4cos2 x-1)=2sin2 x(2cosx+1)(2cosx

26、-1),/(X)=O 在 X(U)上的根为：X,=y,X2=y ,当卜，/(x)0 J(x)单调递增，当弓)时，尸(x)0,x)单调递减，当xe?，力1寸，/0,/(x)单调递增.3 J(2)注意到/(x +zr)=sin2(x+,)sin2(x+zr)=sin2.vsin 2x=f(x),故函数/(x)是周期为1的函数，结合(I)的结论，计算可得：/(0)=/(/r)=0,据此可得：卜(叫2=贽，/(x)L=一 詈，叩(小限(3)结合(2)的结论有:sin2 xsin2 2xsin2 4x sii/T x2=sin3 xsin3 2xsin3 4x-sin3=|sinx(sin2 xsin2

27、x)(sin2 2xsin4x)-(sin2 2w l.vsin2Mx)sin2 2x2.373 3V3 3G .2 F sinxx-x-x x-x sin 2 x8 8 8 J-21-【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系.（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性：已知单调性，求参数.（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题.（4）考杳数形结合思想的应用.（-）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.并用28铅笔

28、将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程|,_ 1f x=4 co s2 0 x=t+,2 2.已知曲线G，。2的参数方程分别为G：（。为参数），。2：；（r为参数）.84s m 卜=1（1）将G，。2的参数方程化为普通方程：（2）以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1,G的交点为p，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.【答案】（1）C：x+y =4；C2:x2-y2=4-（2）p =co s.【解析】【分析】（1）分别消去参数。和/即可得到所求普通方程：（2）两方程联立求得点产,求得所求圆的直角坐标方程

29、后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.【详解】（1）由co s2 e+sin 2 e=l得G的普通方程为：x+y =4；1 ，2 1 cx=，+-x=/-+2由 ；得：0,则=/，解得：。=?，.所求圆的半径=口，I 2)(2)10 10所求圆的直角坐标方程为：(x一 获J +./=(余)，即/+./=*工，17所求圆的极坐标方程为0=C O S。.【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、宜角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型.选修4 一5：不等式选讲23.已知函数/()=k-/|+|%-24 +1|.(1)当a =2时，求不等式/(x)

30、.“4的解集：(2)若/(x).4,求a的取值范围.(3 11【答案】(1)仔|4 或x N 彳，；(2)(-0o,-l U 3,+).【解析】【分析】(1)分别在x W 3、3 4和工2 4三种情况下解不等式求得结果；(2)利用绝对值三角不等式可得到/(x)z(l)2,由此构造不等式求得结果.【详解】当a =2时，/(x)=|x-4|+|x-3|.当x 4 3时，/(x)=4-x+3-x=7-2 x 2 4,解得：当3 V x 4,解得：x综上所述：/(x)N 4的解集为卜|x 4|或x i?1.(2)/(x)=|x-a2|-l-|x-2t?+l|(x-a2)-(x-26 7+l)|=|-a2+2a-l|=(t z-l)(当且仅当2一1工4。2时取等号)，-23-/.(df-1)2 4,解得：或 之3,.a的取值范围为(8,-1U3,+OO).【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.-24-