全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）（解析版）.pdf

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1、绝密启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.I,若z=l+i,则忆2-2胃=()A.0B.1C.V I D.2【答案】D【解析】【分析】由题意首先求得T-2 z 的值，然后计算其模即可.【

2、详解】由题意可得：Z2=(1+/)2=2Z,则z2-2z=2i 2(l+i)=2.故卜2-2 z 卜卜2|=2.故选：D.【点睛】本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题.2.设集合/=X|X2T=0，8=x|2x+坯0 ,且姿1,则0=()A.Y B.-2 C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】由题意首先求得集合4 8,然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值.-1-【详解】求解二次不等式r 4 4 0可得：A=x -2 x 0)上一点，点/到C的焦点的距离为1 2,至小轴的距离为9,则 片()A.2 B.3 C.6 D.9【答案】C【解析】【分析

3、】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.【详解】设抛物线的焦点为尸，由抛物线的定义知|力尸|=/+=1 2,即12=9 +,解得p=6.故选：C.【点晴】本题主要考杳利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率p和温度x(单位：。(3)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(x,yj(i=l,2,20)得到下面的散点图：由此散点图，在1 (TC至40空之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是()A.y=a+bx B.y =a+hx2一 3 一C.y=a+beD.y-a+b

4、nx【答案】D【解析】【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适合作为发芽率V和温度x的回归方程类型的是)，=a +人I n x.故选：D.【点附i】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.6.函数/(x)=x -2x 3的图像在点(1，/()处的切线方程为()A.y=-2x-l B.,y =-2x+lC.y=2x-3 D.y=2x+l【答案】B【解析】【分析】求得函数y =/(x)的导数/(x),计算出/(I)和/(1)的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.【详解】V/(X)=X4-2X3,：

5、.f(x)=4x3-6 x2,.1./(1)=-!,/*(1)=-2,因此，所求切线的方程为y+l =-2(x 1),即y =-2x+l.故选：B.【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题7.设函数/(x)=c o s(x +3)在 一 兀，兀 的图像大致如下图，则心)的最小正周期为()-4-10兀A.一94兀C.3【答案】CB.D.7兀63兀T【解析】【分析】/4zr 4%7t由图可得：函数图象过点一二-,0,即可得至U c o s -w +-9 7 19 6=0,结合 一 工,0是函数/(x)7 9 74TT 冗 TC 3图象与X轴负半轴的第一个交点即可得到-

6、0+=一一，即可求得3 =一9 6 2 2.再利用三角函数周期公式即可得解.【详解】由图可得：函数图象过点(一 等,0)，(47r 7T、将它代入函数，(x)可得：c o s -+=01 9 6)又(一飞-,01是函数/(x)图象与x轴负半轴的第一个交点，所以-.0 1=,解得：co=一9 6 2 27 _ 2_ 2乃_ 4%所以函数/(x)的最小正周期为/=V=T2故选：C【点睹】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.8.(+乙y2)(工+用5.的展开式中炉,的系数为()XA.5B.10C.15D.20【答案】C【解析】【分析】一 5 一求得(x +4

7、展开式的通项公式为心=3=(r e N且/4 5),即 可 求 得x +gj与(x +4展开式的乘积为C 6-j r或C 4-?r+2形式，对分别赋值为3,1即可求得工?/的系数，问题得解.【详解】(x +y)5展开式的通项公式为却|=G x y(r e N且,W 5)所 以x +与(x+v)s展开式的乘积可表示为：I x JxTr+l=xC；x5-ryr=C；产V 或/心=片C；x5 ryr=C；x4 r/+2X X在x 7；T=C；xjy中，令l=3,可得：x 7；=C y,该项中x 炉的系数为i o,2 2在-&=C j y+2中，令 =,可得：117；=c*3y 3,该项中工3炉的系数

8、为5XX所以丁产的系数为i o +5=15故选：C【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考杳了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题.9.已知 a e(0,7 i),且 3c o s 2a -8c o s a =5,则 s i n a=()A75R2A.-33C.-D.3 9【答案】A【解析】【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于c o s a的一元二次方程，求解得出c o s a,再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.【详解】3c o s 2a-8c o s a =5,得6c o s 2 a-8c o s a-8=0，2即3c o s 2 a-4c o s a-

9、4=0，解得c o s a =-或c o s a =2(舍 去)，一 6 一又 (0,1)二 s i n a =J l-c o s2a =*故选：A.【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.10.已知4队。为球。的球面上的三个点，。0 1为L U8 C的外接圆，若 的 面 积 为4兀，A B=B C=A C =O O,则球O的表面积为()A.647 t B.48TI C.36兀 D.32n【答案】A【解析】【分析】由已知可得等边 力8 c的外接圆半径，进而求出其边长，得出OQ的值，根据球截面性质，求出球的半径，即可得出结论.【

10、详解】设圆。1半径为，球的半径为A，依题意，得;r =4乃二厂=2，由正弦定理可得A B=2r s i n 60 =2百，OOi=A B =2 y ,根据圆截而性质OQ 1平面A BC,：.OOt L OA,R=O A =+户=4,*b 球。的表面积S =4兀R2=647 r .故选：A【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.一 7 一11.已知。M：r +y2-2x-2y-2=0 ,直线/：2x+y+2=0 ,p为/上的动点，过点尸作。M的切线P 4 P B,切点为A,B,当|Z 6|最小时，直 线 的 方 程 为（）A.2x-V-1 =0 B

11、.2x +y -1 =0 C.2x-y+=0 D.2x+y+=0【答案】D【解析】【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据网的知识可知，四点4P,民M共圆，且根据归加卜|/8=2S“稣,=2归/|可知，当直线MP J./时，|尸陷|/最小，求出以心为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线A B的方程.【详解】圆的方程可化为（x l）-+（y l）-=4,点洋到直线/的距离为d =!J?=:52,所以直线/与圆相离.依圆的知识可知，四点4 P,8,“四点共圆，且所以P M-AB=2s.=2x ；x 处 小|/M|=2|P J|,而|尸川=4，当直线M P _ L/时M?L=后，R L=i，此时

12、1P M 1明 最 小.=(x-1)即,=g x +；,|,y =x +f x =-1由 一 2 2解得，nl 2x+v +2=0 了=所以以M P为直径的圆的方程为(x-1)(x+l)+y(y-l)=0,即x 2+y 2-y-i =o.两圆的方程相减可得：2x+y+l =0,即 为 直 线 的 方 程.故选：D.【点睛】本题主要考查宜线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题.12.若 2 +l o g,a =4 +2 l o g4 b,则()A.a 2b【答案】B【解析】B.a b2D.a b2-8-【分析】设/(x)=2+l

13、o g2x ,利用作差法结合/(x)的单调性即可得到答案.【详解】设/(x)=2r i o g?x,则/(x)为增函数，因为2+设g 2a =4“+21o g 4b =2乃+l o g 2b所以 f(a)-/(26)=2f l+l o g2 a(22b+l o g226)=22b+l o g2 b(22b+l o g,2b)=l o g2-=-l 0,所以a)/(26),所以a 2)=2M-2*J-l o g2 b，当6 =1 时，/(4)一/(/)=2 0,此时/(a)/()，有a 当8=2 时，/(“)一/(从)=一1 0,此时/(a)/()，有 a b2,所以 C、D 错误.故选：B.【

14、点睛】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。2x +2 0,13.若x,y满足约束条件1 一y一1 2 0,则z=x+7 y的最大值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.L+1 N 0,【答案】I【解析】【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，-9 -目标函数 z =x +7 y 即：y=-x +-z ,7 7其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在j，轴上的截距最大，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数

15、在点力处取得最大值，2x+y-2=0 .联立直线方程：一，八，可得点彳的坐标为：力（1，0），（x-y-i=0据此可知目标函数的最大值为：z,皿=1 +7 x 0 =1.故答案为：1.【点睛】求线性目标函数z=o x+刎而网）的最值，当Q0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当6 各=-1 ,对一变形可得：|”小用诃，问题得解.【详解】因为Z3为单位向量，所以。=啊=1所以 B+B卜 jR+B）2=j0+2 i+w2=vrn=i解得：2a-b=所以卜一可=J（盯=一2 3 1 +=石故答案为：也【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题

16、.1 5.已知尸为双曲线。:q-4=1（。0,6 0）b的右焦点，/为C的右顶点，8为C上的点，同8尸垂直Fx轴.若 的 斜 率 为3,则C的离心率为【答案】2【解析】-1 0 -【分 析】2根据双曲线的几何性质可知，忸”|=幺，|/目=。-。，即可根据斜率列出等式求解即可.BE.2，【详 解】依题可得，品=3,而 怛3=幺，|/尸 卜c-a,即二=3,变 形 得。2-/=3讹-3/c-a,化简可得，e2-3 e+2 =0,解 得e=2或e=l （舍 去）.故答案为：2.【点 睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基础题.1 6.如图，在三棱锥P-4 8 C的平

17、面展开图中，AC=,A B =A D =4 i,A B A C.A B L A D,N C/E=3 0,则c o s/FC8=.答 案-4【解 析】【分析】在中，利用余弦定理可求得C E,可 得 出C F,利用勾股定理计算出8C、B D，可 得 出8斤,然后在口 武 尸 中 利用余弦定理可求得c o s/RT B的值.【详解】v A B A C ,A B =B A C =,由勾股定理得B C =y/AB2+A C2=2 同理得,B F=B D =a，在中，A C=,A E=A D =B N C/E =3 0，-1 1 -由余弦定理得+/炉 2 4。力c o s3 0 =1 +3-2 x 1*J

18、j x 二=1,2C F =CE=1,在口8b 中，B C =2,BF =R，C F =1,由余弦定理得c o sN，C8 =C F2+B C2-B F22CF-B Cl +4-6 _ I2 x 1 x 2 4故答案为：.4【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17 21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.1 7.设%是公比不为1的等比数列，%为 生,出的等差中项,（1）求%的公比:（2）若=1,求数列 4的前项和.【答案】（1）-2；（2

19、）S=1-。上3 （二2）”9【解析】【分析】（I）由已知结合等差中项关系，建立公比q的方程，求解即可得出结论；（2）由（1）结合条件得出 4的通项，根据 。“的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论.【详解】（1）设 的 公 比 为9,为4，%的等差中项，*/2%=%+。3，。*0二4 2 +夕 一 2 =0 ,q 0 1/.（7=-2：（2）设 勺 的前项和为S，1=1,4=（-2尸,5z,=l x l +2 x（-2）+3 x（-2+（一2）z,2 S =1 x （2）+2 x （2）-+3 x （2）3 +1）（2）1 4-/7（2）n,（2）-12-一得,3sli=1 +(2)+(

20、2)2+(-2)-/(-2)上包-十2）一（3）（一2）1-（-2）3Si=1-(1+3)(-2)”9【点睛】本题考查等比数列通项公式基本最的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求解能力，属于基础题.18.如图，。为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心，4E为底面直径，A E=A D.JABC是底面的内接正三角形，P为 D O上一 点，P O =-D O.6（1）证明：4_ L平面尸8 C；（2）求二面角8-0 C-E的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）正.5【解析】【分析】（1）要证明尸/JL平面P8C,只需证明P/_ L P 5，即可：（2）以O为坐标原点，。/为x轴，CW为

21、y轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别算出平面PC8的 法 向 量 为 平面0C E的法向量为蓝，利用公式cos=计算即可得到答案.nm【详解】（1）由题设，知 加 为等边三角形，设4 E =1，则正，C 0 =B 0 =g 4 E 二,所以尸。=逅。=也，2 2 2 6 4P C =y/P O2+OC2=,P B=JPO2+OB2=,4 4又口/3。为等边三角形，则 一 咤 =2。4,所以8 4 =迫，s i n 6 0 23P A2+PB2=-=A B2,则 N/P 8 =9 0，所以/M_ L P 8，4同理P/1 1 P C,又PC C PB=P,所以P4 JL平面P BC；(2)过。

22、作O N 灰交4 8于点M 因为尸O J_平面X 8 C,以。为坐标原点，O/为x轴，O N为)，轴建立如图所示的空间直角坐标系,一；、则吟0,0）心0净，吟务）,0定=（,-0-也），方=（,立,-4 4 4 4 4设平面PC B的一个法向量为G =（莅,弘,z）,C /?-P C =0 -|-V3 j|-V2 z|=0ln-P B=0 得|匕 +岛-抵=0,所以=（V2,0,1）设平面PC E的一个法向量为m=（吃,必,z?）i m-P C =0 -x2-V3 y,-41z2=0叫 和 屋=0%-2X2-V 2Z2=0所以 m =（T,，6）4 4务而=（_飙 一 争,令=J I,得Z I

23、=T，必=0,令=1，得 Z2 =A/2,2=，cos=2V2 2y5设二面角8 P C-E的大小为。，则cos。=会已.5【点晴】本题主要考查线面垂直的证明以及利用向量求二面角的大小，考查学生空间想象能力，数学运算能力，是一道容易题.19.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空：每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，闪轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为J ,（1）求中连胜四场的概率；（2

24、）求需要进行第五场比赛的概率：1）的左、右顶点，G为E的上顶点，而.而=8,尸 为直线x=6上的动点，P.4与 的另一交点为C,尸8与 的另一交点为O.（1）求 的方程；（2）证明：直线8过定点.【答案】（D 二+/=；（2）证明详见解析.9 -【解析】【分析】（1）由已知可得：A（-a,0）,B（a,0）,6（0,1）,即可求 得 而.G 5 =a 2 _l,结合已知即可求得：=9,问题得解.（2）设。（6,乂,），可得直线/P的方程为：j，=（x +3）,联立直线力P的方程与椭圆方程即可求得点。的坐标为-3 4 +2 7 6为I W+9 02+9 j,同理可得点。的坐标为 3稣2 3 -2

25、），。、y 2+l v02+l即可表示出直线。的方程，整理直线8的方程可得:命题得证.【详解】（1）依据题意作出如下图象:-16-AG=(a,),GB=(a,-)AG GB=a2-=3 a2=9椭圆方程为：+v2=l9.(2)证明：设P(6,.%),yn 0/.、则直线4 p的方程为：尸 黑x+3),即:6-(3)T 4(x+3)X 2 ,+V*=1,a联立直线力尸的方程与椭圆方程可得：-x3+l.求a的取值范围.【答案】当x w(-a),0)时,/(x)0,/(x)7-e2 单 调 递 增(2),+0.故/(x)单调递增，注意到/(0)=0,故:当X 6(-0 0,0)时,/(x)0 J(x

26、)单调递增.由/(x)N+1 得，e*+-X.QK+1,其中 x N 0 ,.当尸0时，不等式为；1 2 1,显然成立，符合题意：-18-.当x时,分 离 参 数 出 一5-1令(x)=e _；x2 -x-l(x 0),则/i (x)=e*-x-1,/i (x)=e i -1 0 ,故力(x)单调递增,(x)2 (0)=0,故函数(x)单 调 递 增,/7(x)/(0)=0,由(x)2 0可得：e -12-x-L,O恒成立，故当XG(0,2)时,g (x)0,g(x)单调递增；当xe (2,+o o)时，g (x)(、)1(2)=工，l-e2)综上可得，实数。的取值范围是,-H c .L 4)

27、【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系.(2)利用导数求函数的单调区间，判断单.调性；已知单调性，求参数.(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题.(4)考查数形结合思想的应用.(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。|选 修 I：坐标系与参数方程|f X =c o s t2 2.在直角坐标系x Q v中，曲线G的参数方程为 0,v 0,曲线G的参数方程化为,为参数），两式相加消

28、去参数flV7=sin-/,得G普通方程，由pcos6=x,psin6=y,将曲线G化为直角坐标方程，联立G，G方程，即可求解.I x-cos t【详解】（1）当=1时，曲线G的参数方程为（一.“为参数），y=sin/两式平方相加得/+/=,所以曲线G表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（x=cos4 t4（2）当=4时，曲线G的参数方程为 一.。为参数），y=sin tyjx=cos2 t所以x N 0,y N 0,曲线G的参数方程化为：，（f为参数），=sin-/两式相加得曲线C方程为J7+J 7=l,得6=1-4 .平方得y=X-2 4+1,0 1,0 1【详解】(1)因为/(x)=5 xl,-;x l,作出图象，如图所示:,-x-3,x 4 I3如图所示:（2）将函数/（X）的图象向左平移I个单位，可得函数/（X +1）的图象,-2 1 -【点睛】本题主要考杳画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考森学生的数形结合能力，属于基础题.-22-