初中数学题库试题考试试卷 圆的概念及性质.doc

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1、圆的概念及性质中考要求板块考试要求A级要求B级要求C级要求圆的有关概念理解圆及其有关概念会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题圆的性质知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题能运用圆的性质解决有关问题圆周角了解圆周角与圆心角的关系；了解直径所对的圆周角是直角会求圆周角的度数，能用圆周角的知识解决与角有关的简单问题能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题垂径定理会在相应的图中确定垂径定理的条件和结论能用垂径定理解决有关问题知识点睛一、圆的相关概念1. 圆的定义（1） 描述性定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之

2、旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点叫做圆心，叫做半径（2） 集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径（3） 圆的表示方法：通常用符号表示圆，定义中以为圆心，为半径的圆记作”“，读作”圆“（4） 同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆注意：注意：同圆或等圆的半径相等2. 弦和弧（1） 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦（2） 直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的倍（3） 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距（4） 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧以为端点的圆弧记作

3、，读作弧（5） 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧（6） 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆（7） 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧（8） 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形3. 圆心角和圆周角（1） 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角将整个圆分为等份，每一份的弧对应的圆心角，我们也称这样的弧为的弧圆心角的度数和它所对的弧的度数相等（2） 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角二、圆的对称性1. 旋转对称性（1） 圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度角，总能与自身重合（2） 圆

4、的旋转对称性圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系2. 轴对称性（1） 圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线是它的对称轴（2） 圆的轴对称性垂径定理三、圆的性质定理1. 圆周角定理（1） 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（2） 推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形2. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（1） 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等（2） 推论：在同

5、圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等所对的两圆心角相等所对的两条弦相等所对的两条弧相等所对的两条弦的弦心距相等注意：前提条件是在同圆或等圆中；在由等弦推出等弧时应注意：优弧与优弧相等；劣弧与劣弧相等3. 垂径定理（1） 定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧（2） 推论1：平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧（3） 推论2：圆的两条平行线所夹的弧相等注意：若“过圆心的直线”、“垂直

6、于弦”、“平分弦（非直径）”、“平分弦所对的优弧”、“平分弦所对的劣弧”中的任意两个成立，则另外三个都成立注意：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：，根据此公式，在，三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量例题精讲一、圆的相关概念及性质【例1】 判断题：（1）直径是弦 ( )（2）弦是直径 ( )（3）半圆是弧 ( )（4）弧是半圆 ( )（5）长度相等的两条弧是等弧 ( )（6）等弧的长度相等 ( )（7）两个劣弧之和等于半圆 ( )（8）半径相等的两个圆是等圆 ( )（9）两个半圆是等弧 ( )（10）圆的半径是，则弦长的取值范围是大于

7、且不大于( )【巩固】如图，在两半径不同的同心圆中，则（ ）ABC的度数的度数D的长度的长度【例2】 如图，点在半圆上，四边形均为矩形，设，则下列格式中正确的是( )A B C D【巩固】如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为，则该半圆的半径为_【例3】 如图，为四个等圆的圆心，A，B，C，D为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ；如图，为五个等圆的圆心，A，B，C，D，E为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 二、圆的性质定理1. 圆周角定理【例4】 如图，则弧所对圆

8、周角的度数是（ ）A B C D 【巩固】如图，是的外接圆，已知，则的大小为_【例5】 如下左图，四个边长为的小正方形拼成一个大正方形，是小正方形顶点，的半径为，是上的点，且位于右上方的小正方形内，则等于_【例6】 如图，量角器外沿上有两点，它们的度数分别是，则的度数为_【巩固】如图，量角器外缘边上有三点，它们所表示的读数分别是，则的大小为（ ）ABCD【例7】 如图，是的外接圆，已知，则的度数是（ ）ABCD【巩固】如图，是的直径，是O的弦，连接，若，则的度数为 CBDOA【例8】 如图所示的半圆中，是直径，且，则的值是_【巩固】如图，是的直径，设，则_【例9】 如图，为的直径，是的弦，的延

9、长线交于点，若，求的度数【巩固】如图所示是的直径，交于，且，求的度数【例10】 如图，在中，的度数为，是上一点，是上不同的两点(不与两点重合)，则的度数为_【巩固】如图，是的直径，弦交于点，弦交于点，且若，则_【例11】 如图所示，在中，则的半径为（ ） 【巩固】如图，的三个顶点都在上，则的半径为_【巩固】如图是半圆的直径，点在弧上，且平分，已知，求的长【例12】 如图，是的内接三角形，点是优弧上一点(点不与重合)，设，（1）当时，求的度数；（2）猜想与之间的关系，并给予证明【巩固】如图，与相交于、两点，是的直径，且把分成度数比为的两条弧，是上的动点(不是、重合)，连结、分别交于、两点（1）当

10、是钝角三角形时，判断的形状（2）当是直角三角形时，判断的形状（3）当是锐角三角形时，判断的形状这种情况加以证明【例13】 圆及相交于点及圆的圆心落在的圆周上，圆的弦交于点（如图），证明：线段与是互相垂直的【巩固】两圆相交于、，是大圆上一点，过、和、分别作直线交小圆于、，过、作直径求证：【例14】 如图，已知是的直径，点是上一点，连结，过点作直线于点，点是上一点，直线交于点，连结，与直线交于点求证：【巩固】如图，已知：在中，直径，点是上任意一点，过作弦，点是上一点，连接交于，连接 求证：； 猜想：与的数量关系，并说明你的猜想； 探究：当点位于何处时，？并加以说明【例15】 如图，是圆中的三条弦，

11、点在上，且请你说明以下各式成立的理由：（1）；（2）【巩固】在中，点、分别是的外心、垂心点、分别在边、上，使得，已知求的面积2. 圆内接四边形【例16】 如图，为的直径，交于点，交于点， 现给出以下四个结论：； ； ； 其中正确结论的序号是A BC D【巩固】已知：如图，面积为的四边形内接于，对角线经过圆心，若，则的长等于 【例17】 已知是的直经，是弦，若，求由四点构成的四边形的周长【巩固】如图，已知四边形内接于直径为3的圆，对角线是直径，对角线和的交点，且，求四边形的周长【例18】 如图，四边形为正方形，过正方形的顶点和对角线的交点，分别交于点（1）求证：（2）若的半径为，求的值【例19】

12、 圆内接四边形，交于，于，交于求证：【巩固】圆内接矩形，过作圆的切线，分别与、的延长线相交于、，求证：3. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系【例20】 在同圆中，的度数小于，且，那么弦和弦的大小关系为（ ）A B C D无法确定【巩固】如图所示在中，那么（ ） 与的大小关系不能确定【例21】 已知是的弦，平分交于，弦交于，求证：平分【巩固】如图，过的直径上两点，分别作弦，若求证： ；【例22】 已知点、顺次在上，于点，求证：【巩固】在中，是它的外接圆上包含点的弧的中点，上的点使得，求证：【例23】 如图，是的内接三角形，为中上一点，延长至点，使是关于的方程的两根 求证：；若，求证：【巩固】如图

13、，四边形内接于圆，且其对角线交于点，点在线段上，使得若，求的值【例24】 已知：如图，是中直角边上的一点，以为直径的圆交斜边于点，连结交此圆于点，交于点求证：【巩固】是半圆的直径，点在圆上，过点、分别作过点的切线的垂线、，、为垂足，求证：三、垂径定理【例25】 如果两条弦相等，那么（ ）A这两条弦所对的弧相等B这两条弦所对的圆心角相等C这两条弦的弦心距相等D以上答案都不对【巩固】下列判断中正确的是（ ）A平分弦的直线垂直于弦B平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧C弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧D平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦【例26】 如图，的直径过弦的中点，则等于（ ）ABCD【巩固

14、】如图，内接于，点是延长线上一点，若，则等于（ ）ABCD【例27】 如图，的直径，弦于，的半径为，则弦的长为（ ）ABCD【巩固】如图，是的外接圆，于点，交于点，如果的半径为，则结论错误的是（ ）A B C D【例28】 如图，两个同心圆的半径分别为3cm和5cm，弦AB与小圆相切于点C，则AB的长为（ ）A4cm B5cmC6cm D8cm【巩固】如图，P内含于，的弦切P于点，且若阴影部分的面积为，则弦的长为（ ）A3B4C6 D9【例29】 如图所示，同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，试证明：【巩固】如图，同心圆中，大圆的弦交小圆于两点，的弦心距等于，那么，大圆半径与小圆半径之比是_ 【

15、例30】 在半径为的圆中，垂直平分半径的弦长是_【巩固】中，弦的长为cm，圆心到的距离为，则的半径长为（ ） 【巩固】若中等于的劣弧所对的弦长为，则的半径是_【例31】 如图，已知的半径是，点到圆心的距离为，求过点的所有弦中最短弦的长度【巩固】如图，O的弦AB=6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则O的半径为（ ）A5B4C3D2【例32】 如图，是等边三角形的外接圆，的半径为2，则等边三角形的边长为（ ）ABCD【巩固】如图所示，中，求其外接圆的半径【例33】 如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为米，拱的半径为米，则拱高为（ ）A米 B米 C米 D米【巩固】某居民小区一处

16、圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；（2）若这个输水管道有水部分的水面宽，水面最深地方的高度为，求这个圆形截面的半径【例34】 如图所示，在中，若以为圆心、的长为半径的圆交于，则 【巩固】如图所示，在与三角形所组成的图形中，求证【例35】 在半径为的中，弦的长分别为和，则的度数为_【巩固】如图所示，已知的直径和弦相交于点，求的长【例36】 已知的直径是，的两条平行弦，求弦与间的距离【巩固】已知在中，半径，是两条平行弦，且，求的长【例37】 如图，是的弦，垂足为，交于点，点在上（1）若，求

17、的度数；（2）若，求的长【巩固】如图所示，已知为的直径，是弦，且于点连接（1）求证：（2）若，求的直径【例38】 如图，分别是中长度相等但不平行的两条弦的中点求证：【巩固】如图，中，是直径，弦，交于求证： 【例39】 如图，是的两条直径，弦，交于点，求证：【巩固】当是的直径，弦，相交于点，求证：【例40】 如图，是的直径，且，弦的长为，若弦的两端在圆上滑动时，始终与相交，记点到的距离分别为，则等于（ ）A B C D【巩固】如图，的直径，有一条定长为的动弦在上滑动（点与，点与点不重合），且交于，交于（1）求证：（2）在动弦滑动的过程中，四边形的面积是否为定值？若为定值，请求出这个定值；若不是，

18、请说明理由【例41】 如图，半径为的内有互相垂直的两条弦相交于点（1）求证：；（2）设的中点为，连结并延长交于，求证：；（3）若，求的长【巩固】如图，已知：在中，直径，点是上的任意一点，过作弦，点是上一点，连接交于连接（1）求证：；（2）猜想：与的数量关系，并说明你的猜想；（3）探究：当点位于何处时，？并加以说明【例42】 （1）如图1，圆心接中，、为的半径，于点，于点，求证：阴影部分四边形的面积是的面积的（2）如图2，若保持角度不变，求证：当绕着点旋转时，由两条半径和的两条边围成的图形(图中阴影部分)面积始终是的面积的【例43】 如图，是的直径，过上一点作，垂足为，其延长线交于点，弦交于点

19、如果，求证：； 如果弦交于点，且，求证： 【例44】 如图，内接于，的平分线与交于点，与交于点，延长与的延长线交于点，连结，是的中点，连结判断与的位置关系，写出你的结论并证明；求证：；若，求的面积课后作业1. 如图，是的直径，点在上，则_2. 如图，已知是的圆周角，则圆心角是（ ）ABCD3. 如图，四边形是的内接正方形，点是劣弧上不同于点的任意一点，则的度数是( ) 4. 如图，为的直径，过点的弦平行于半径，若的度数是，则的度数是（ ）ABCD5. 如图，已知为O的直径，则_6. 如图，是的直径，点，都在上，若，求7. 如图，是的直径，点，都在上，若，求8. 如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘

20、上的点处安装了一台监视器，它的监控角度是为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器 台9. 如图，内接于，为的直径，那么_10. 已知的弦长等于圆的半径，求该弦所对的圆周角11. 已知，如图：为的直径，交于点，交于点，给出以下五个结论：，；劣弧是劣弧的倍；其中正确结论的序号是 12. 如图，半圆的直径，点在半圆上，（1）求弦的长；（2）若为的中点，交于点，求的长13. 如图，外接于正方形，为弧上一点，且，求的长14. 如图，是的两条弦，它们相交于点，连结，已知，求的长15. 已知是一段圆弧上的两点，且在直线的同侧，分别过这两点作的垂线，垂足为，是上一动点，连结，且如图，如果，且，求

21、的长；如图，若点恰为这段圆弧的圆心，则线段之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明再探究：当分别在直线两侧且，而其余条件不变时，线段之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论，不必证明16. 如图，将圆沿折叠后，圆弧恰好经过圆心，则等于 A 60 B 90 C 120 D 15017. 如图所示，是的直径，与交于点，则图中与相等的角有（ ）A2个 B3个 C4个 D5个18. 的半径为，是的一条弦，且，则弦所对圆周角的度数为_19. 若中等于的劣弧所对的弦长为，则的半径是_20. 如图，是的弦，于交于，则下列说法错误的是（ ）ABCD21. 的半径为，为圆内一点，点到圆心的距离为，则过点的弦

22、长的最小值是_22. 如图，矩形与圆心在上的交于点，则_23. 如图，已知是半圆的直径，为半圆周上一点，是的中点，于，则与的关系是_24. 已知：如图，是的直径，点是半圆上一个三等分点，点是的中点，是上一动点，的半径为，则的最小值是_25. 把正的外接圆对折，使点落在的中点上，若，则折痕在内的部分长为（ ）A B C D26. 如图，的半径为5，求的值27. 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为，直径是河底线，弦是水位线，且，于点已测得（1）求半径；（2）根据需要，水面要以每小时的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？ 28. 如图，为外一点，过点引两条割线和，点分别是的中点，连结交，与求证

23、：为等腰三角形29. 如图，是的直径 如图1，垂直于的两条弦，把圆周等分，则的度数是_，的度数是_； 如图2，垂直于的三条弦把圆周等分，分别求的度数； 如图3，垂直于的条弦把圆周等分，请你用含的代数式表示的度数(只需直接写出答案)30. 已知：如图，M是的中点，过点M的弦MN交AB于点C，设O的半径为4cm，MN4cm（1）求圆心O到弦MN的距离；（2）求ACM的度数31. 如图，在中，（1）求的度数；（2）求的周长32. 如图，是的直径，是弦，于，交于（1）请写出五个不同类型的正确结论；（2）若，求的半径33. 圆内接四边形两条对角线互相垂直，则一边的弦心距等于它的对边的一半34. 如图，在的内接中，于，且，设的半径为，的长为（1）求与的函数关系式（2）当的长为多少时，的面积最大？并求出最大面积15.1.1圆的概念及性质讲义学生版Page 45 of 45