2020年中考数学复习解答题专题练 二次函数（含答案）.docx

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1、2020年中考数学复习解答题专题练二次函数1. 某果园有100棵橙子树,平均每棵树结600个橙子,现准备多种一些橙子树以提高果园产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子,假设果园多种了x棵橙子树.(1)直接写出平均每棵树结的橙子个数y(个)与x之间的关系.(2)果园多种多少棵橙子树时,可使橙子的总产量最大?最大为多少个?2.如图,已知抛物线y=x2+bx+c经过A(1,0),B(0,2)两点,顶点为D.(1)求抛物线的解析式.(2)将OAB绕点A顺时针旋转90后,点B落在点C的位置,将抛物线沿y轴平移后经过点C

2、,求平移后所得图象的函数关系式.(3)设(2)中平移后,所得抛物线与y轴的交点为B1,顶点为D1,若点N在平移后的抛物线上,且满足NBB1的面积是NDD1面积的2倍,求点N的坐标.3.如图,已知抛物线y=12x2-32x-n(n0)与x轴交于点A,B两点(A点在B点的左边),与y轴交于点C.(1)如图1,若ABC为直角三角形,求n的值.(2)如图1,在(1)的条件下,点P在抛物线上,点Q在抛物线的对称轴上,若以BC为边,以点B,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求P点的坐标.(3)如图2,过点A作直线BC的平行线交抛物线于另一点D,交y轴于点E,若AEED=14,求n值.4.如图,已知抛物

3、线y=ax2+bx+c的图象经过点A(0,3),B(1,0),其对称轴为直线l:x=2,过点A作ACx轴交抛物线于点C,AOB的平分线交线段AC于点E,点P是抛物线上的一个动点,设其横坐标为m.(1)求抛物线的解析式.(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上,连接PE,PO,当m为何值时,四边形AOPE面积最大,并求出其最大值.(3)如图,F是抛物线的对称轴l上的一点,在抛物线上是否存在点P使POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.5.如图,已知直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于A,B两点,抛物线y=-x2+bx+c经过A,B

4、两点,点P在线段OA上,从点O出发,向点A以1个单位/秒的速度匀速运动;同时,点Q在线段AB上,从点A出发,向点B以2个单位/秒的速度匀速运动,连接PQ,设运动时间为t秒.(1)求抛物线的解析式.(2)当t为何值时,APQ为直角三角形.(3)过点P作PEy轴,交AB于点E,过点Q作QFy轴,交抛物线于点F,连接EF,当EFPQ时,求点F的坐标.(4)设抛物线顶点为M,连接BP,BM,MQ,问:是否存在t的值,使以B,Q,M为顶点的三角形与以O,B,P为顶点的三角形相似?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.6.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0)经过点A(-1,0)

5、,B(5,-6), C(6,0).(1)求抛物线的解析式.(2)如图,在直线AB下方的抛物线上是否存在点P使四边形PACB的面积最大?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.(3)若点Q为抛物线的对称轴上的一个动点,试指出QAB为等腰三角形的点Q一共有几个?并请求出其中某一个点Q的坐标.7.如图,已知直线y=-2x+4分别交x轴,y轴于点A,B,抛物线经过A,B两点,点P是线段AB上一动点,过点P作PCx轴于点C,交抛物线于点D.(1)若抛物线的解析式为y=-2x2+2x+4,设其顶点为M,其对称轴交AB于点N.求点M,N的坐标;是否存在点P,使四边形MNPD为菱形?并说明理由.(2)

6、当点P的横坐标为1时,是否存在这样的抛物线,使得以B,P,D为顶点的三角形与AOB相似?若存在,求出满足条件的抛物线的解析式;若不存在,请说明理由.8.已知抛物线y=x2+mx-2m-4(m4).(1)证明:该抛物线与x轴总有两个不同的交点.(2)设该抛物线与x轴的两个交点分别是A,B(点A在点B的右侧),与y轴交于点C,A,B,C三点都在P上.试判断:不论m取任何正数,P是否经过y轴上某个定点?若是,求出该定点的坐标;若不是,说明理由;若点C关于直线x=-m2的对称点为点E,点D(0,1),连接BE,BD,DE,BDE的周长记为l,P的半径记为r,求lr的值.9.抛物线y=-23x2+73x

7、-1与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,其顶点为D.将抛物线位于直线l:y=tt1,y0时,求BDF的面积的最大值;当AEF=DBE时,求点F的坐标.11.如图,已知抛物线y=12x2-32x-n(n0)与x轴交于点A,B两点(A点在B点的左边),与y轴交于点C.(1)如图1,若ABC为直角三角形,求n的值.(2)如图1,在(1)的条件下,点P在抛物线上,点Q在抛物线的对称轴上,若以BC为边,以点B,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求P点的坐标.(3)如图2,过点A作直线BC的平行线交抛物线于另一点D,交y轴于点E,若AEED=14,求n值.12.如图,已知抛物线y=

8、ax2+bx+c的图象经过点A(0,3),B(1,0),其对称轴为直线l:x=2,过点A作ACx轴交抛物线于点C,AOB的平分线交线段AC于点E,点P是抛物线上的一个动点,设其横坐标为m.(1)求抛物线的解析式.(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上,连接PE,PO,当m为何值时,四边形AOPE面积最大,并求出其最大值.(3)如图,F是抛物线的对称轴l上的一点,在抛物线上是否存在点P使POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.2020年中考数学复习解答题专题练二次函数（解析版）1. 某果园有100棵橙子树,平均每棵树结600个橙

9、子,现准备多种一些橙子树以提高果园产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子,假设果园多种了x棵橙子树.(1)直接写出平均每棵树结的橙子个数y(个)与x之间的关系.(2)果园多种多少棵橙子树时,可使橙子的总产量最大?最大为多少个?【解析】(1)平均每棵树结的橙子个数y(个)与x之间的关系为:y=600-5x(0x120);(2)设果园多种x棵橙子树时,可使橙子的总产量为,则=(600-5x)(100+x)=-5x2+100x+60 000=-5(x-10)2+60 500,当果园多种10棵橙子树时,可使橙子的总产

10、量最大,最大为60 500个.2.如图,已知抛物线y=x2+bx+c经过A(1,0),B(0,2)两点,顶点为D.(1)求抛物线的解析式.(2)将OAB绕点A顺时针旋转90后,点B落在点C的位置,将抛物线沿y轴平移后经过点C,求平移后所得图象的函数关系式.(3)设(2)中平移后,所得抛物线与y轴的交点为B1,顶点为D1,若点N在平移后的抛物线上,且满足NBB1的面积是NDD1面积的2倍,求点N的坐标.【解析】(1)已知抛物线y=x2+bx+c经过A(1,0),B(0,2),0=1+b+c2=0+0+c,解得b=-3c=2,所求抛物线的解析式为y=x2-3x+2.(2)A(1,0),B(0,2)

11、,OA=1,OB=2,可得旋转后C点的坐标为(3,1).当x=3时,由y=x2-3x+2得y=2,可知抛物线y=x2-3x+2过点(3,2).将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C.平移后的抛物线解析式为y=x2-3x+1.(3)点N在y=x2-3x+1上,可设N点坐标为(x0,x02-3x0+1),将y=x2-3x+1配方得y=x-322-54,其对称轴为x=32.当0x032时,如图,同理可得121x0=2121x0-32,x0=3,此时x02-3x0+1=1,N点的坐标为(3,1).综上,点N的坐标为(1,-1)或(3,1).3.如图,已知抛物线y=12x2-32x-n(n0)与x轴交

12、于点A,B两点(A点在B点的左边),与y轴交于点C.(1)如图1,若ABC为直角三角形,求n的值.(2)如图1,在(1)的条件下,点P在抛物线上,点Q在抛物线的对称轴上,若以BC为边,以点B,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求P点的坐标.(3)如图2,过点A作直线BC的平行线交抛物线于另一点D,交y轴于点E,若AEED=14,求n值.【解析】(1)设点A坐标为(x1,0),设点B坐标为(x2,0),则x1,x2是一元二次方程12x2-32x-n=0的两根,x1x2=-2n.当x=0时,y=-n,点C坐标为(0,-n),ABC为直角三角形,COAB,AOCCOB,OC2=OAOB,n2=-

13、x1x2=-(-2n),解得n=0(舍去)或n=2.(2)由(1)得y=12x2-32x-2,该抛物线的对称轴为直线x=32,x=0时,y=-2,点C坐标为(0,-2).y=0时,12x2-32x-2=0,解得x1=-1,x2=4,点B坐标为(4,0).分两种情况:如答案图1,设点P坐标为(a,12a2-32a-2),过点P作PM对称轴于点M,四边形BCPQ是平行四边形,PM=OB,-a+32=4,a=-52,12a2-32a-2=398,点P坐标为(-52,398);如答案图2,设点P坐标为(b,12b2-32b-2),过点P作PN对称轴于点N,四边形BCQP是平行四边形,PN=OB,b-3

14、2=4,b=112,12b2-32b-2=398,点P坐标为112,398;综上所述:点P坐标为-52,398或112,398.(3)过点D作DHx轴于点H.设点A坐标为(m,0),AEED=14,点D横坐标xD为-4m,xAxB=-2n,点B坐标为-2nm,0,BC:y=-m2x-n,ADBC,AD:y=-m2x+m22,联立方程组y=12x2-32x-n,y=-m2x+m22,消去y得x2+(m-3)x-2n-m2=0,xA+xD=-(m-3)=m-4m,xAxD=-2n-m2=-4m2,解得m=-32,n=278.n=278.4.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A(0,3

15、),B(1,0),其对称轴为直线l:x=2,过点A作ACx轴交抛物线于点C,AOB的平分线交线段AC于点E,点P是抛物线上的一个动点,设其横坐标为m.(1)求抛物线的解析式.(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上,连接PE,PO,当m为何值时,四边形AOPE面积最大,并求出其最大值.(3)如图,F是抛物线的对称轴l上的一点,在抛物线上是否存在点P使POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】(1)将A(0,3),B(1,0)和对称轴直线x=2代入y=ax2+bx+c得:c=3,a+b+c=0,b=-4a,解得:a=1,b=

16、-4,c=3,所以函数解析式为y=x2-4x+3.(2)过P作PMy轴,交直线OE于点M.OE平分AOB,直线OE的函数表达式为y=x,设P(m,m2-4m+3),则M(m,m),则PM=m-(m2-4m+3)=-m2+5m-3,S四边形AOPE=SAOE+SOPE=1233+123(-m2+5m-3)=32(-m2+5m)=-32m-522+758.当m=52时,四边形AOPE的面积有最大值为758.(3)假设存在点P使得POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形.过点P作GHx轴,交y轴于点G,交对称轴于点H,容易证明OPGPFH,OG=PH,又OG=|m2-4m+3|,PH=|m-2|,

17、|m2-4m+3|=|m-2|,当m2-4m+3=m-2时,解得m1=5+52,m2=5-52,P15+52,1+52,P25-52,1-52,当m2-4m+3=-(m-2)时,解得:m3=3+52,m4=3-52,P33+52,1-52,P43-52,1+52.综上所述,P点的坐标为P15+52,1+52,P25-52,1-52,P33+52,1-52,P43-52,1+52.5.如图,已知直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于A,B两点,抛物线y=-x2+bx+c经过A,B两点,点P在线段OA上,从点O出发,向点A以1个单位/秒的速度匀速运动;同时,点Q在线段AB上,从点A出发,向点B以2个

18、单位/秒的速度匀速运动,连接PQ,设运动时间为t秒.(1)求抛物线的解析式.(2)当t为何值时,APQ为直角三角形.(3)过点P作PEy轴,交AB于点E,过点Q作QFy轴,交抛物线于点F,连接EF,当EFPQ时,求点F的坐标.(4)设抛物线顶点为M,连接BP,BM,MQ,问:是否存在t的值,使以B,Q,M为顶点的三角形与以O,B,P为顶点的三角形相似?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)y=-x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,当y=0时,x=3,即A点坐标为(3,0),当x=0时,y=3,即B点坐标为(0,3),将A(3,0),B(0,3)代入y=-x2+bx+c,得

19、-9+3b+c=0,c=3,解得b=2,c=3.抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.(2)OA=OB=3,BOA=90,QAP=45.如图所示:PQA=90时,运动时间为t秒,则QA=2t,PA=3-t.在RtPQA中,QAPA=22,即2t3-t=22,解得t=1;如图所示:QPA=90时,运动时间为t秒,则QA=2t,PA=3-t.在RtPQA中,PAQA=22,即3-t2t=22,解得t=32.综上所述,当t=1或t=32时,PQA是直角三角形.(3)如图所示:设点P的坐标为(t,0),则点E的坐标为(t,-t+3),则EP=3-t,点Q的坐标为(3-t,t),点F的坐标为(3-t,-

20、(3-t)2+2(3-t)+3),则FQ=3t-t2.EPFQ,EFPQ,四边形PQFE是平行四边形,EP=FQ.即3-t=3t-t2.解得:t1=1,t2=3(舍去).将t=1代入F(3-t,-(3-t)2+2(3-t)+3),得点F的坐标为(2,3).(4)如图所示:运动时间为t秒,则OP=t,BQ=(3-t)2.y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,点M的坐标为(1,4).MB=12+12=2.当BOPQBM时,MBOP=BQOB,即2t=(3-t)23,整理得:t2-3t+3=0,=32-4134).(1)证明:该抛物线与x轴总有两个不同的交点.(2)设该抛物线与x轴的两个交点分别

21、是A,B(点A在点B的右侧),与y轴交于点C,A,B,C三点都在P上.试判断:不论m取任何正数,P是否经过y轴上某个定点?若是,求出该定点的坐标;若不是,说明理由;若点C关于直线x=-m2的对称点为点E,点D(0,1),连接BE,BD,DE,BDE的周长记为l,P的半径记为r,求lr的值.【解析】(1)令y=0,则x2+mx-2m-4=0.=m2-4(-2m-4)=m2+8m+16=(m+4)2,又m4,(m+4)20.此方程总有两个不相等的实数根,抛物线与x轴总有两个不同的交点.(2)设P经过y轴上的另一个交点F.令y=0,则x2+mx-2m-4=0.(x-2)(x+m+2)=0.x1=2,

22、x2=-m-2.又m4,点A在点B的右侧.A(2,0),B(-m-2,0).当x=0时,y=-2m-4,C(0,-2m-4).则AO=2,BO=m+2, CO=2m+4.BCO=BAF,CBO=AFO,BCOFAO.FOBO=AOCO,FOm+2=22m+4.FO=1,点F(1,0).点C(0,-2m-4)关于直线x=-m2的对称点为点E,E(-m,-2m-4),又B(-m-2,0),D(0,1).BD2=(m+2)2+12=m2+4m+5,DE2=(2m+5)2+m2=5m2+20m+25,BE2=22+(2m+4)2=4m2+16m+20.BD2+BE2=DE2.DBE=90.DE是P直径

23、.BD2BE2=14.BDBE=12.设BD=a,BE=2a,则DE=5a.lr=3a+5a5a2=10+655.9.抛物线y=-23x2+73x-1与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,其顶点为D.将抛物线位于直线l:y=ttMN.t=12DN-MN=3548-512=516,t的取值范围是:516t2548.(3)存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P,如图,设以CQ为直径的G与x轴相切于点P,连接PC,PG,PQ,并作QHx轴,则GC=GP=GQ,且GPx轴,OCPGQH,OP=PH,CQ为直径,CPQ=90,OPCHQP,OCOP=HPHQ,即OCHQ=OPHP.当点Q

24、在抛物线y=-23x2+73x-1上时,依题意有x12或x3,设点Qx,-23x2+73x-1,则OH=x,HQ=-23x2+73x-1,OP=PH=12x,OC=1,-23x2+73x-1=12x12x,即-23x2+73x-1=14x2,解得:x=142345,当点Q在抛物线y=23x2-73x+1上时,依题意有121,y0时,求BDF的面积的最大值;当AEF=DBE时,求点F的坐标.【解析】(1)将A(-1,0),B(3,0),C(0,3)代入y=ax2+bx+c,a-b+c=0,9a+3b+c=0,c=3,解得:a=-1,b=2,c=3.抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.y=-x2

25、+2x+3=-(x-1)2+4,顶点D的坐标为(1,4).(2)过点F作FF1y轴,交BD于点F1,如图1所示.设直线BD的解析式为y=mx+n(m0),将(3,0),(1,4)代入y=mx+n,3m+n=0,m+n=4,解得:m=-2,n=6,直线BD的解析式为y=-2x+6.点F的坐标为(x,-x2+2x+3),点F1的坐标为(x,-2x+6),FF1=-x2+2x+3-(-2x+6)=-x2+4x-3,SBDF=12FF1(xB-xD)=-x2+4x-3=-(x-2)2+1.当x=2时,SBDF取最大值,最大值为1.过点E作EGBD交y轴于点G,交抛物线于点F,在y轴负半轴取OG=OG,

26、连接EG,射线EG交抛物线于点F,如图2所示.EGBD,AEF=DBE.OG=OG,EOGG,AEG=AEF=DBE.E是线段AB的中点,A(-1,0),B(3,0),点E的坐标为(1,0).设直线EF的解析式为y=-2x+b,将E(1,0)代入y=-2x+b,-2+b=0,解得:b=2,直线EF的解析式为y=-2x+2.联立直线EF、抛物线解析式组成方程组,y=-2x+2,y=-x2+2x+3,解得:x1=2-5y1=25-2,x2=2+5y2=-25-2(舍去),点F的坐标为(2-5,25-2).当x=0时,y=-2x+2=2,点G的坐标为(0,2),点G的坐标为(0,-2).同理,利用待

27、定系数法可求出直线EG的解析式为y=2x-2.联立直线EF、抛物线解析式组成方程组,y=2x-2y=-x2+2x+3,解得:x3=-5y3=-25-2,x4=5y4=25-2(舍去),点F的坐标为(-5,-25-2).综上所述:当AEF=DBE时,点F的坐标为(2-5,25-2)或(-5,-25-2).11.如图,已知抛物线y=12x2-32x-n(n0)与x轴交于点A,B两点(A点在B点的左边),与y轴交于点C.(1)如图1,若ABC为直角三角形,求n的值.(2)如图1,在(1)的条件下,点P在抛物线上,点Q在抛物线的对称轴上,若以BC为边,以点B,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求P

28、点的坐标.(3)如图2,过点A作直线BC的平行线交抛物线于另一点D,交y轴于点E,若AEED=14,求n值.【解析】(1)设点A坐标为(x1,0),设点B坐标为(x2,0),则x1,x2是一元二次方程12x2-32x-n=0的两根,x1x2=-2n.当x=0时,y=-n,点C坐标为(0,-n),ABC为直角三角形,COAB,AOCCOB,OC2=OAOB,n2=-x1x2=-(-2n),解得n=0(舍去)或n=2.(2)由(1)得y=12x2-32x-2,该抛物线的对称轴为直线x=32,x=0时,y=-2,点C坐标为(0,-2).y=0时,12x2-32x-2=0,解得x1=-1,x2=4,点

29、B坐标为(4,0).分两种情况:如答案图1,设点P坐标为(a,12a2-32a-2),过点P作PM对称轴于点M,四边形BCPQ是平行四边形,PM=OB,-a+32=4,a=-52,12a2-32a-2=398,点P坐标为(-52,398);如答案图2,设点P坐标为(b,12b2-32b-2),过点P作PN对称轴于点N,四边形BCQP是平行四边形,PN=OB,b-32=4,b=112,12b2-32b-2=398,点P坐标为112,398;综上所述:点P坐标为-52,398或112,398.(3)过点D作DHx轴于点H.设点A坐标为(m,0),AEED=14,点D横坐标xD为-4m,xAxB=-

30、2n,点B坐标为-2nm,0,BC:y=-m2x-n,ADBC,AD:y=-m2x+m22,联立方程组y=12x2-32x-n,y=-m2x+m22,消去y得x2+(m-3)x-2n-m2=0,xA+xD=-(m-3)=m-4m,xAxD=-2n-m2=-4m2,解得m=-32,n=278.n=278.12.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A(0,3),B(1,0),其对称轴为直线l:x=2,过点A作ACx轴交抛物线于点C,AOB的平分线交线段AC于点E,点P是抛物线上的一个动点,设其横坐标为m.(1)求抛物线的解析式.(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上,连接PE,PO,当

31、m为何值时,四边形AOPE面积最大,并求出其最大值.(3)如图,F是抛物线的对称轴l上的一点,在抛物线上是否存在点P使POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】(1)将A(0,3),B(1,0)和对称轴直线x=2代入y=ax2+bx+c得:c=3,a+b+c=0,b=-4a,解得:a=1,b=-4,c=3,所以函数解析式为y=x2-4x+3.(2)过P作PMy轴,交直线OE于点M.OE平分AOB,直线OE的函数表达式为y=x,设P(m,m2-4m+3),则M(m,m),则PM=m-(m2-4m+3)=-m2+5m-3,S

32、四边形AOPE=SAOE+SOPE=1233+123(-m2+5m-3)=32(-m2+5m)=-32m-522+758.当m=52时,四边形AOPE的面积有最大值为758.(3)假设存在点P使得POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形.过点P作GHx轴,交y轴于点G,交对称轴于点H,容易证明OPGPFH,OG=PH,又OG=|m2-4m+3|,PH=|m-2|,|m2-4m+3|=|m-2|,当m2-4m+3=m-2时,解得m1=5+52,m2=5-52,P15+52,1+52,P25-52,1-52,当m2-4m+3=-(m-2)时,解得:m3=3+52,m4=3-52,P33+52,1-52,P43-52,1+52.综上所述,P点的坐标为P15+52,1+52,P25-52,1-52,P33+52,1-52,P43-52,1+52.