2022年高考数学一轮汇总训练《两角和与差的正弦余弦正切公式》理新人教A版 .pdf

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1、学习必备欢迎下载第五节两角和与差的正弦、余弦、正切公式 备考方向要明了 考 什 么怎 么 考1. 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式2. 能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式3. 能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 1. 主要考查利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式进行化简、求值，如20XX年江苏 T11，广东 T16 等2. 考查形式既有选择题、填空题，也有解答题，且常与三角函数的性质、向量、解三角形的知识相结合命题，如20XX年安徽 T16，山东 T17 等. 归纳知 识整合 1两

2、角和与差的正弦、余弦、正切公式sin( ) sin_ cos_cos_ sin_ cos( ) cos_ cos_?sin_ sin_ tan( ) tan tan 1?tan tan 探究 1. 两角和与差的正切公式对任意角都适用吗？若出现不适用的情况如何化简？提示：在 T( ) 与 T() 中， ， 都不等于k 2(kZ)，即保证 tan ，tan ，tan( ) 都有意义；若， 中有一角是k2(kZ) ，可利用诱导公式化简2二倍角余弦公式的常用变形是什么？它有何重要应用？提示：二倍角余弦公式的常用变形是：cos21cos 2 2，sin2 1cos 2 2，这精选学习资料 - - - -

3、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 19 页学习必备欢迎下载就是使用极其广泛的降幂扩角公式在三角恒等变换中，这两个公式可以实现三角式的“次数”降低，利于问题的研究2二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2 2sin_ cos_cos 2 cos2sin2 2cos2112sin2tan 2 2tan 1 tan2 自测牛刀小试 1计算 cos 28 cos 17 sin 28 sin 17 的结果等于( ) A.12B.22C.32D.33解析：选 B 原式 cos(2817) cos 45 22. 2已知 tan637，tan6 25，则 tan( )

4、 的值为 ( ) A.2941B.129C.141D 1 解析：选 D tan( ) tan66tan 6tan61tan6tan63725137251. 3( 教材习题改编 ) 下列各式中，值为12的是 ( ) A2sin 15 cos15 B cos215 sin215C2sin215 1 D sin215 cos215解析：选 A 2sin15 cos 15 sin 30 12；cos215 sin215cos 30 32；2sin215 1cos 30 32；sin215 cos215 1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

5、2 页，共 19 页学习必备欢迎下载4( 教材习题改编 ) 已知 cos 35，0，则 cos 6_. 解析： cos 35， 0 ，sin 45，cos 6cos cos6 sin sin632cos 12sin 3235124543310. 答案：433105( 教材习题改编 ) 在ABC中， cos A45，tan B2，则 tan(2A2B)_. 解析：在ABC中， cos A45，0A，得 sin A35. tan Asin Acos A34. tan 2A2tan A1tan2A247，tan 2B2tan B1tan2B43，tan(2A2B)tan 2A tan 2B1tan

6、2Atan 2B44117. 答案：44117三角函数式的化简 例 1 (1) 化简：sin cos sin2 cos222cos (0 )；(2) 求值：1cos 20 2sin 20 sin 10 1tan 5 tan 5 . 自主解答 (1) 原式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 19 页学习必备欢迎下载2sin2cos22cos22sin2cos24cos22cos2sin22cos22cos2cos2cos cos2. 因为 0，所以 022，所以 cos20，所以原式cos . (2) 原式2cos21022s

7、in 10 cos 10 sin 10 cos 5 sin 5 sin 5 cos 5 cos 10 2sin 10 sin 10 cos25 sin25sin 5 cos 5 cos 10 2sin 10 sin10cos 10 12sin 10 cos 10 2sin 10 2cos 10 cos 10 2sin 20 2sin 10 cos 10 2sin 10 cos 10 212cos 10 32sin 10 2sin 10 3sin 10 2sin 10 32. 1. 三角函数式化简的原则三角函数式的化简要遵循“三看”原则，即一看角，二看名，三看式子结构与特征. 2. 解决给角求值

8、问题的基本思路对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：化为特殊角的三角函数值；化为正、负相消的项，消去求值；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 19 页学习必备欢迎下载化分子、分母出现公约数进行约分求值. 1化简下列各式：(1)cos cos sin 2 ；(2)3cos 20 cos 80 1cos 20 . 解： (1) 原式2sin2cos22sin222sin2cos22sin224sin2cos2cos cos2sin2cos2sin2sin2cos2cos cos22 sin22sin

9、2cos2cos cos sin2cos2cos tan2. (2) sin 50 (13tan 10 )sin 50 cos 10 3sin 10 cos 10 sin 50 2sin 40 cos 10 1，cos 80 1cos 20 sin 10 2sin2102sin210.3cos 20 cos 80 1cos 20 1cos 20 2sin2102. 三角函数的求值问题 例 2 (2012广东高考 ) 已知函数f(x) 2cos x6( 其中 0，xR) 的最小正周期为 10. (1) 求 的值；(2) 设 ， 0，2，f553 65，f556 1617，求 cos( ) 的值精

10、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 19 页学习必备欢迎下载 自主解答 (1) f(x) 2cos x6， 0的最小正周期T10 2， 15. (2) 由(1) 知f(x) 2cos15x6，而 ， 0，2，f55365，f5561617，即 2cos155 53665，2cos1555661617，即 cos 235，cos 817，于是 sin 35，cos 45，sin 1517，故 cos( )cos cos sin sin 458173515171385. 解决给值求值问题的方法三角函数的给值求值，关键是把待求角用已

11、知角表示：(1) 已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差(2) 已知角为一个时， 待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”的关系2已知 0 2，且 cos 219，sin2 23，求 cos( )的值解： 02 ，42 2，42，cos2 1sin22 53，sin21cos2 2459，cos 2cos22精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 19 页学习必备欢迎下载c os 2cos2 sin2sin2 1953459237527，cos( )2cos22124957291239729. 三角函数的求角问题

12、例 3 若 sin A55，sin B1010，且A，B均为钝角，求AB的值 自主解答 A、B均为钝角且sin A55，sin B1010， cos A1sin2A25255，cos B1sin2B31031010，cos(AB) cos Acos Bsin Asi n B255 3101055101022，又2A，2B，AB 2，由知，AB74. 若将“A，B均为钝角”改为“A，B均为锐角”，如何求解？解：A，B均为锐角，且sin A55，sin B1010，cos A1sin2A255，cos B1sin2B31010，ABcos Ac os Bsin Asin B 25531010551

13、01022. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 19 页学习必备欢迎下载又A，B(0, 2) ，AB，AB4. 1解决给值求角问题的一般步骤(1) 求角的某一个三角函数值；(2) 确定角的范围；(3) 根据角的范围写出要求的角2在求角的某个三角函数值时，应注意根据条件选择恰当的函数(1) 已知正切函数值，选正切函数；(2) 已知正、 余弦函数值， 选正弦或余弦函数；若角的范围是0，2，选正、 余弦皆可；若角的范围是 (0 ， ) ，选余弦较好；若角的范围为2，2，选正弦较好3已知 cos 17，cos( ) 1314，且 02. (1) 求 tan 2 的值； (2) 求 . 解： (1) 由 cos 17，0 2，得sin 1cos21172437. 故 tan sin cos 4377143. 于是 tan 2 2tan 1tan22431328347. (2) 由 02，得 0 0，0 0，02 2. 此时 tan(2 ) tan 2 tan 1tan 2 tan 3417134171. tan 170，2. 则 2 0. 2 34. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 19 页