2022年高考数学一轮复习两角和与差的正弦余弦和正切公式理北师大版 .pdf

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1、学习好资料欢迎下载第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式【考纲下载 】1会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式2能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式3能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、 正切公式， 导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系4能运用上述公式进行简单的恒等变换( 包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆) 1两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin( ) sin_ cos_cos_sin_ ，cos( ) cos_cos_?sin_ sin_ ，tan( ) tan tan 1?tan tan . 2二倍角的正弦、余弦、正

2、切公式sin 2 2sin_ cos_，cos 2 cos2 sin22cos2112sin2，tan 2 2tan 1tan2. 3有关公式的逆用、变形(1)tan tan tan( )(1 ?tan_ tan_ ) ；(2)cos21cos 2 2，sin21cos 2 2；(3)1 sin 2 (sin cos )2,1sin 2 (sin cos )2，sin cos 2sin4. 4半角公式(1) 用 cos 表示 sin22，cos22，tan22. sin221cos 2；cos221cos 2；tan221cos 1cos . (2) 用 cos 表示 sin2，cos2，ta

3、n2. sin2 1cos 2；cos2 1cos 2；tan2 1cos 1cos . (3) 用 sin ，cos 表示 tan2. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载tan2sin 1cos 1cos sin . 5形如asin xbcos x的化简asin xbcos xa2b2sin(x) ，其中 sin ba2b2，cos aa2b2. 1两角和与差的正弦、余弦公式对任意角， 都成立

4、吗？提示：都成立2两角和与差的正切公式对任意角， 都成立吗？其适用条件是什么？提示：在公式T( )与 T( )中， 都不等于k2(kZ) ，即保证 tan ，tan ，tan( ) 都有意义； 若 ， 中有一角是k2(kZ) ，可利用诱导公式化简3函数f(x) asin xbcos x的最大值和最小值各是什么？提示：最大值为a2b2，最小值为a2b2. 1(2013江西高考 ) 若 sin233，则 cos ( ) A23 B13 C.13 D.23解析：选C 因为 sin233，所以 cos 12sin221233213. 2( 教材习题改编 )sin 34 sin 26 cos 34 co

5、s 26 的值是( ) A.12 B.32 C12 D32解析：选C sin 34sin 26cos 34cos 26 (cos 34cos 26sin 34sin 26)cos(3426) cos 60 12. 3已知 tan637，tan6 25，则 tan( )的值为 ( ) A.2941 B.129 C.141 D1 解析：选D tan( ) tan66tan6tan61tan6tan63725137251. 4(2013四川高考 ) 设 sin 2 sin ，2， ，则 tan 2 的值是 _解析： sin 22sin cos sin ， cos 12，又 2， ， sin 32，t

6、an 3， tan 2 2tan 1tan2231323. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载答案：3 5tan 20 tan 40 3tan 20 tan 40 _. 解析： tan (20 40) tan 20 tan 40 1tan 20 tan 40 ，33tan 20 tan 40 tan 20tan 40 ，即 tan 20 tan 40 3tan 20 tan 40 3. 答案：3

7、 考点一三角函数的化简求值 例 1 (1)(2013 重庆高考 )4cos 50 tan 40 ( ) A.2 B.232C.3 D221 (2) 化简：sin cos sin2cos222cos (0 ) 自主解答 (1)4cos 50 tan 40 4sin 40 sin 40 cos 40 4cos 40 sin 40 sin 40 cos 40 2sin 80 sin 40 cos 40 sin 40 cos 40 3cos 40 sin 40 sin 40 cos 40 3cos 40 cos 40 3. (2)原式2sin2cos22cos22sin2cos24cos22cos2s

8、in22cos22cos2cos2cos cos2. 因为 0，所以 022，所以 cos20，故原式 cos . 答案 (1)C 【方法规律】1三角函数式化简的原则三角函数式的化简要遵循“三看”原则，即一看角，二看名，三看式子结构与特征2解决给角求值问题的基本思路对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：(1) 化为特殊角的三角函数值；(2) 化为正、负相消的项，消去求值；(3) 化分子、分母出现公约数进行约分求值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - -

9、 第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载化简：(1)sin 50(13tan 10 ) ；(2)2cos4x2cos2x122tan4xsin2x4. 解：(1)sin 50(13tan 10 ) sin 50 (1tan 60 tan 10 )sin 50 cos 60 cos 10 sin 60 sin 10 cos 60 cos 10 sin 50 cos 60 cos 10 2sin 50 cos 50 cos 10 sin 100 cos 10 cos 10 cos 10 1. (2)原 式 2cos2x2x1122tan4xcos24x4c

10、os2xsin2x14cos4xsin4x1sin22x2sin22xcos22x2cos 2x12cos 2x. 考点二三角函数的条件求值 例 2 (1)(2013 浙江高考)已知 R，sin 2cos 102，则 tan 2( ) A.43 B.34 C34 D43(2)(2013 广东高考) 已知函数f(x) 2cosx12，xR. 求f6的值；若 cos 35，32，2 ，求f23. 自主解答 (1) 法一： ( 直接法 ) 两边平方，再同时除以cos2，得 3tan28tan 30，tan 3 或 tan 13，代入 tan 2 2tan 1tan2，得 tan 2 34. 法二：

11、( 猜想法 )由给出的数据及选项的唯一性，记sin 310，cos 110，这时sin 2cos 102符合要求，此时tan 3，代入二倍角公式得到答案C. (2) f62cos 6122cos 42cos 41. f232 cos23122cos 24cos 2 sin 2 . 因为 cos 35，32，2 ，所以 sin 45. 所以 sin 2 2sin cos 2425，cos 2 cos2sin2725. 所以f23cos 2 sin 2 725 24251725. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师

12、精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载 答案 (1)C 【互动探究】保持本例 (2) 条件不变，求f6的值解：因为32，2 ，cos 35，所以sin 1cos2135245. 所以f62cos 6122cos 4222cos 22sin cos sin 354515. 【方法规律】三角函数求值的两种类型(1) 给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数(2) 给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；变换待求式，

13、便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的1(2013新课标全国卷) 设 为第二象限角， 若 tan412，则 sin cos _. 解析：法一： 由 在第二象限， 且 tan412，因而 sin455，因而 sin cos 2 sin4105. 法二：如果将 tan412利用两角和的正切公式展开，则tan 11tan 12，求得 tan 13.又因为 在第二象限，则sin 110，cos 310，从而 sin cos 210105. 答案：1052已知02，且cos 219，sin2 23，求 cos( )的值解： 02，422，42，cos2 1sin22 53，sin21cos22

14、459， cos2 cos22 cos2cos2 sin2sin2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载1953459237527，cos( ) 2cos22124957291239729. 高频考点考点三三角变换的综合应用1三角恒等变换是三角函数化简、求值、证明的主要依据高考常与三角函数的其他知识相结合命题，题目难度适中，为中档题2高考对三角恒等变换综合问题的考查常有以下几个命题角度：(1) 与三

15、角函数的图像和性质相结合命题；(2) 与向量相结合命题；(3) 与解三角形相结合命题( 见本章第六节 ) 例 3 (1)(2013 天津高考) 已知函数f(x) 2sin2x46sin xcos x2cos2x1，xR. 求f(x) 的最小正周期；求f(x) 在区间0，2上的最大值和最小值(2)(2013 辽宁高考) 设向量a(3sin x，sin x) ，b(cos x，sin x) ，x 0，2. 若|a| |b| ，求x的值；设函数f(x) ab，求f(x) 的最大值 自主解答 (1) f(x) 2sin 2xcos42cos 2xsin43sin 2xcos 2x2sin 2x2cos

16、 2x22sin2x4. 所以f(x) 的最小正周期T22. 因为f(x) 在区间0，38上是增函数，在区间38，2上是减函数，又f(0) 2，f3822，f22，故函数f(x) 在 0，2上的最大值为22，最小值为2. (2) 由 |a|2(3sin x)2sin2x4sin2x， |b|2cos2xsin2x1， 及|a| |b| ， 得 4sin2x1. 又x 0，2，从而 sin x12，所以x6. f(x) ab3sin xcos xsin2x 32sin 2x12cos 2x12sin2x612，当x3 0，2时， sin2x6取最大值 1. 所以f(x) 的最大值为32. 三角恒

17、等变换综合应用问题的常见类型及解题策略(1) 与三角函数的图像与性质相结合的综合问题借助三角恒等变换将已知条件中的函数解析式整理为f(x) Asin( x) 的形式，然后借助三角函数图像解决(2) 与向量相结合的综合问题此类问题通常是先利用向量的运算转化为三角函数问题，然后再利用三角恒等变换转化为三角函数的图像与性质等问题解决名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载1已知平面向量a(sin2x，cos

18、2x) ，b(sin2x， cos2x) ，R是实数集，f(x) ab4cos2x23sin xcos x，如果存在mR，任意的xR，f(x) f(m) ，那么f(m)( ) A223 B3 C0 D223 解析：选C 依题意得f(x) sin4xcos4x4cos2x3sin 2xsin2x3cos2x3sin 2xcos 2x3sin 2x22sin2x62，因此函数f(x) 的最小值是220，即有f(m) 0. 2已知x0，x02是函数f(x) cos2x6sin2x( 0)的两个相邻的零点(1) 求f12的值；(2) 若对 ?x 712，0 ，都有 |f(x) m| 1，求实数m的取值

19、范围解：(1)f(x) 1cos 2x321cos 2 x212cos 2x3cos 2 x1212cos 2 x32sin 2 xcos 2 x1232sin 2 x32cos 2 x3212sin 2 x32cos 2 x32sin2x3. 由题意可知，f(x) 的最小正周期T，2|2 |，又0，1，f(x) 32sin2x3. f1232sin212332sin232. (2)|f(x) m| 1，即f(x)1mf(x) 1，对 ?x 712，0 ，都有 |f(x) m| 1，mf(x)max1 且mf(x)min1，712x0，562x33，1sin2x332，3232sin2x334

20、，即f(x)max34，f(x)min32，14m132. 故实数m的取值范围为14，132. 课堂归纳通法领悟 组关系两角和与差的正弦、余弦、正切公式与倍角公式的关系个技巧拼角、凑角的技巧(1) 用已知角表示未知角2( ) ( ) ；2( ) ( ) ；( ) ( )名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载；22，22；2 22 等(2) 互余与互补关系4 4 2；3 6 2；34 4 ；656 ；

21、 个变换应用公式解决问题的三个变换角度(1) 变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”(2) 变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等(3) 变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等易误警示 ( 五) 三角函数求角中的易误点 典例 (2013北京高考 ) 已知函数f(x) (2cos2x1)sin 2x12cos 4x. (1) 求f(x) 的最小正周期及最大值；(2) 若 2， ，且f( )22，求 的

22、值 解题指导 先利用倍角公式化简f(x) 的解析式，然后求解 解 (1) 因为f(x) (2cos2x1)sin 2x12cos 4xcos 2xsin 2x12cos 4x12(sin 4xcos 4x) 22sin4x4，所以f(x) 的最小正周期为2，最大值为22. (2) 因为f() 22，所以sin441. 因为 2， ，所以4 494，174，即 4452. 故 916. 名师点评 1. 解决本题易忽视2， ，由 sin441，得出 442，从而得到 16的错误结论2在解决三角函数求角中的问题时，要牢记：当求出某角的三角函数值，如果要求这角的取值时，一定要考虑角的范围，只有同时满足

23、三角函数值及角的范围的角才是正确的已知 ，(0 ，) ，且 tan( )12，tan 17，求 2 的值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载解： tan tan( ) tan 1121711217130，00， 022. tan(2 ) tan 2 tan 1tan 2 tan 3417134171. tan 170，2，20. 234. 全盘巩固 1(2013浙江高考) 函数f(x) sin x

24、cos x32cos 2x的最小正周期和振幅分别是( ) A，1 B ，2 C2，1 D2，2 解析：选A 由f(x) sin xcos x32cos 2x12sin 2x32cos 2xsin2x3，得最小正周期为，振幅为 1. 2(2014嘉兴模拟 )2cos 10 sin 20 sin 70 的值是 ( ) A.12 B.32 C.3 D.2 解析：选C 原式sin 20 sin 70 sin 20 sin 70 3cos 20 cos 20 3. 3若 02，20，cos4 13，cos4233，则 cos 2( ) A.33 B33 C.539 D69解析：选C cos 2cos4

25、42cos4 cos42sin4 sin42，02，则4434， sin4 223. 又20，则4422， sin2263. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载故 cos 2133322363539. 4已知锐角， 满足 sin 55，cos 31010，则 等于( ) A.34 B.4或34C.4 D2k4(kZ) 解析：选C 由 sin 55，cos 31010且 ， 为锐角，可知cos 2

26、55，sin 1010，故 cos( ) cos cos sin sin 2553101055101022，又 0，故 4. 5已知 4，则(1 tan )(1 tan ) 的值是 ( ) A 1 B1 C2 D4 解析：选C 4，tan( ) tan tan 1tan tan 1，tan tan 1tan tan . (1 tan )(1 tan ) 1tan tan tan tan 11tan tan tan tan 2. 6已知 sin3sin 435，则 cos 23等于 ( ) A45 B35 C.35 D.45解析：选D 由 sin3sin 435，得12sin 32cos sin

27、 435，所以32sin 32cos 435，故3sin6435，于是 sin645，所以 cos 23cos2 6 sin645. 7已知 tanx42，则tan xtan 2x的值为 _解析：由tanx42，得tan x11tan x2， tan x13，tan xtan 2xtan x2tan x1tan2x1tan2x21211949. 答案：498已知 sin6 13，则 cos232 _. 解析： cos232 2cos23 1，又 cos3 sin6 13，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整

28、理 - - - - - - - 第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载所以 cos232 79. 答案：799(2013新课标全国卷) 设当x 时，函数f(x) sin x2cos x取得最大值，则cos _. 解析：f(x) sin x2cos x5 55sin x255cos x5sin (x) ，其中 sin 255，cos 55，当x2k2(kZ)时函数f(x) 取到最大值， 即 2k2 时函数f(x) 取到最大值，所以cos sin 255. 答案：25510已知 0，2，2， ，cos 2 79，sin( )79. (1) 求 cos 的

29、值；(2) 求 sin 的值解：(1)cos21cos 2 21 79219，又 2， ， cos 13. (2) 由(1) 知 sin 1cos21132223. 由 0，2，2， ，得 ( ) 2，32. cos( ) 1sin21792429. sin sin( ) sin( )cos cos( )sin 79 13 42922313. 11将函数ysin x的图像向右平移3个单位长度，再将所得的图像上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的4 倍，这样就得到函数f(x) 的图像，若g(x) f(x)cos x3. (1) 将函数g(x) 化成Asin( x) B其中A、0， 2，2的形式；

30、(2) 若函数g(x) 在区间12，0上的最大值为2，试求 0的最小值解：(1) 由题意可得f(x) 4sinx3，g(x) 4sinx3cos x3412sin x32cos xcos x3 2()sin xcos x3cos2x32sin2x3. (2) x 12，0，2x3 2，203. 要使函数g(x) 在 12，0上的最大值为2，当且仅当2032，解得 0512，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习

31、好资料欢迎下载故 0的最小值为512. 12 已 知 向 量a (sin x， cos x) ，b (cos ， sin ) ， 函 数f(x) ab0，3 的最小正周期为2，其图像经过点M6，32. (1) 求函数f(x) 的解析式；(2) 已知 ， 0，2，且f( ) 35，f( ) 1213，求f(2 ) 的值解：(1) 依题意有f(x) absin xcos cos xsin sin( x) 函数f(x)的最小正周期为2， 2T2，解得 1. 将点M6，32代入函数f(x)的解析式，得sin632. 3，623， 2. 故f(x) sinx2cos x. (2) 依题意有 cos 35

32、，cos 1213，而 ， 0，2，sin 135245，sin 112132513，sin 2 2425，cos 2 cos2sin29251625725，f(2) cos(2 ) cos 2 cos sin 2 sin 7251213242551336325. 冲击名校 1已知 cos 13，cos( ) 13，且 、 0，2，则 cos( ) 的值等于( ) A12 B.12 C13 D.2327解析：选D 、 0，2， (0 ，) ， sin 1cos21132223， sin( ) 1cos21 132223. cos cos( ) cos( )cos sin( )sin 13132

33、2322379，sin 1cos21792429，cos( ) cos cos sin sin 13792234292327. 2设f(x) asin 2xbcos 2x，其中a，bR，ab0，若f(x) f6对一切xR恒成立，则f11120；f710f5；f(x) 既不是奇函数也不是偶函数；f(x) 的单名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载调递增区间是k6，k23(kZ) ；存在经过点(a，b

34、) 的直线与函数f(x) 的图像不相交以上结论正确的是_( 写出所有正确结论的编号) 解析：f(x) asin 2xbcos 2xa2b2sin(2x) 其中 tan ba，因为对一切xR，f(x) f6恒成立，所以sin3 1，可得k6(kZ) ，故f(x) a2b2sin2x6. 而f1112a2b2sin2111260， 所以正确；f710a2b2sin4730a2b2sin1730，f5a2b2sin1730，所以f710f5，故错误；明显正确；错误；由函数f(x) a2b2sin2x6和f(x) a2b2sin2x6的图像可知 ( 图略) ， 不存在经过点(a，b) 的直线与函数f(

35、x) 的图像不相交，故错误答案： 高频滚动 1函数f(x) Asin( x )(A0，0，| | ) 的图像如图所示，为了得到g(x)Acos x的图像，可以将f(x) 的图像 ( ) A向右平移12个单位长度 B向右平移512个单位长度C向左平移12个单位长度 D向左平移512个单位长度解析：选 B 由图像可知A1；14T71234，T，22；由f712sin76 1，| | 知 3，函数f(x) sin2x3sin 2x6的图像要平移得到函数g(x) cos 2xsin(2x2) sin 2x4的图像，需要将f(x) 的图像向右平移6 4512个单位长度2已知函数f(x) 3sinx6(

36、0) 和g(x) 2cos(2x) 1 的图像的对称轴完全相同若x 0，2，则f(x) 的取值范围是 _解析：f(x) 与g(x) 的图像的对称轴完全相同，f(x) 与g(x) 的最小正周期相等 0， 2， f(x) 3sin2x6. 0 x2， 62x656， 12sin2x61，323sin2x63，即f(x) 的取值范围为32，3 . 答案：32，3名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - -