2022年高考文科数学试题分类汇编四立体几何 .pdf

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1、20XX 年高考文科数学试题分类汇编（共十七部分）四、立体几何（一）选择题（辽宁文） （8）一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为32，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是B （A）4 （B）32（C）2 （D）3（辽宁文） （10） 已知球的直径SC=4， A.,B 是该球球面上的两点， AB=2 ， ASC= BSC=45 ，则棱锥 S-ABC 的体积为C （A）33（B）2 33（C）4 33（ D）5 33（重庆文） 10高为2的四棱锥SABCD的底面是边长为1 的正方形，点S、A、B、C、D均在半径为1 的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之

2、间的距离为A A102B232C32D2（全国新课标文） （8）在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为D （全国大纲文）12已知平面截一球面得圆M，过圆心 M 且与成060，二面角的平面截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆 M 的面积为4，则圆 N 的面积为D A7B9C11D13（全国大纲文）8已知二面角l，点,AAClC 为垂足，点,BBDl，D 为垂足，若AB=2 ，AC=BD=1 ，则 CD=C A2 B3C2D1 （湖北文） 7设球的体积为V，它的内接正方体的体积为V，下列说法中最合适的是D AV比V大约多一半BV比V大约多两倍半精选学习资料 - -

3、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 26 页20XX 年高考文科数学试题分类汇编（共十七部分）CV比V大约多一倍DV比V大约多一倍半（浙江文）（4）若直线l不平行于平面a，且la，则Aa内的所有直线与异面Ba内不存在与l平行的直线Ca内存在唯一的直线与l平行Da内的直线与l都相交【答案 】B 【解析 】在内存在直线与l相交，所以A 不正确；若存在直线与l平行，又l，则有/l，与题设相矛盾，B 正确 C 不正确；在内不过l与交点的直线与l异面，D 不正确 . （浙江文）（7）几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是【答案 】B 【解析 】

4、由正视图可排除A，C；由侧视图可判断该该几何体的直观图是B. （四川文） 61l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（A）12ll ，23ll13/ll（B）12ll ，23/ll13ll（C）233/lll1l ，2l ，3l 共面（D）1l ，2l ，3l 共点1l ，2l ，3l 共面答案： B 解析：由12ll ，23/ll ， 根据异面直线所成角知1l 与3l 所成角为90 ，选 B（陕西文） 5.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）A.283B.83C.8-2D.23【分析】 根据已知的三视图想象出空间几何体，然后由几何体的组成和有关几何体体积公式进行计

5、算【解】选 A 由几何体的三视图可知几何体为一个组合体，即一个正方体中间去掉一个圆锥体，所以它的体积是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 26 页20XX 年高考文科数学试题分类汇编（共十七部分）3218222833V. （山东文） 11.下图是长和宽分别相等的两个矩形给定下列三个命题：存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；存在圆柱，其正 (主)视图、俯视图如下图其中真命题的个数是(A)3 (B)2 (C)1 (D)0 【答案】 A 【解析】对于,可以是放倒的三棱柱；容易判断可以

6、. （江西文） 9.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（）答案： D 左视图即是从正左方看，找特殊位置的可视点，连起来就可以得到答案。（北京文）（5）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是(A)32 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 26 页20XX 年高考文科数学试题分类汇编（共十七部分）2 3正视图图 1 侧视图图 2 2 俯视图2图 3 (B)16+16 2(C)48 (D)1632 2【解析】： 由三视图可知几何体为底面边长为4， 高为 2 的正四棱锥，则四棱锥的斜高为2 2

7、，表面积2142 244161622故选 B。（广东文） 9如图 1 3，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形， 等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为A4 3B4C2 3D29 （ C） 该几何体是一个底面为菱形的四棱锥，菱形的面积122 32 32S，四棱锥的高为3，则该几何体的体积112 332 333VSh（湖南文） 设图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A942361891229182答案： D 3 3 2 正视图侧视图俯视图图 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 26 页20

8、XX 年高考文科数学试题分类汇编（共十七部分）解 析 ： 有 三 视 图 可 知 该 几 何 体 是 一 个 长 方 体 和 球 构 成 的 组 合 体 ， 其 体 积3439+33 2=18322V（）。（安徽文）（8）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为C （A） 48 （B）32+8（C） 48+8（D）80 (8)C【命题意图】本题考查三视图的识别以及空间多面体表面积的求法. 【解析】 由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱.底面等腰梯形的上底为2，下底为4 ， 高 为4 ， 两 底 面 积 和 为12244242， 四 个 侧 面 的 面 积 为4 422 172

9、48 17，所以几何体的表面积为488 17.故选 C. （广东文） 7正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有A20 B15 C12 D10 7 （D） 正五棱柱中，上底面中的每一个顶点均可与下底面中的两个顶点构成对角线，所以一个正五棱柱对角线的条数共有5210条（二）填空题（全国新课标文） （16）已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为_31_（上海文） 7若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3,3, 2的

10、三角形，则该圆锥的侧面积是3。233精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 26 页20XX 年高考文科数学试题分类汇编（共十七部分）（天津文）10一个几何体的三视图如图所示（单位：m） ，则该几何体的体积为_3m【答案】4 析】2 1 11 124v. 【解（福建文） 15如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中， AB=2 。 ，点 E 为 AD 的中点，点F 在CD 上，若 EF平面 AB1C，则线段EF 的长度等于 _2_（全国大纲文）15已知正方体ABCD A1B1C1D1中， E 为 C1D1的中点，则异面直线AE与

11、 BC 所成角的余弦值为23。（四川文） 15如图，半径为4 的球 O 中有一内接圆柱当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是_答案： 32精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 26 页20XX 年高考文科数学试题分类汇编（共十七部分）解 析 ： 如 图 ， 设 球 一 条 半 径 与 圆 柱 相 应 的 母 线 夹 角 为， 圆 柱 侧 面 积24sin24cosS 32sin2，当4时， S取最大值 32，此时球的表面积与该圆柱的侧面积之差为32（三）解答题（安徽文）（19） （本小题满分13 分）如图，AB

12、EDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，1OA，2OD，OAB ，OAC ，ODE，ODF 都是正三角形。（）证明直线BCEF；（）求棱锥FOBED的体积 . （19） （本小题满分13 分）本题考查空间直线与直线，直线与平面， 平面与平面的位置关系，空间直线平行的证明，多面体体积的计算，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力. （I）证明：设 G 是线段 DA 与 EB 延长线的交点 . 由于 OAB 与 ODE 都是正三角形，所以OBDE21，OG=OD=2 ，同理，设G是线段 DA 与 FC 延长线的交点，有.2ODGO又由于 G 和G都在线段DA 的延

13、长线上，所以G 与G重合 . 在GED 和GFD 中，由OBDE21和 OCDF21，可知 B 和 C 分别是 GE 和 GF的中点，所以BC 是 GEF 的中位线，故BCEF. （II）解：由OB=1，OE=2，23,60EOBSEOB知，而 OED 是边长为2 的正= = = = 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 26 页20XX 年高考文科数学试题分类汇编（共十七部分）三角形，故.3OEDS所以.233OEDEOBOEFDSSS过点 F 作 FQDG，交 DG 于点 Q，由平面ABED 平面 ACFD 知， FQ 就

14、是四棱锥FOBED 的高，且FQ=3，所以.2331OBEDOBEDFSFQV（北京文）（17） （本小题共14 分）如 图 ， 在 四 面 体PABC中 ，,PCAB PABC点,D E F G分 别 是 棱,AP AC BC PB的中点。（）求证：DE平面BCP；（）求证：四边形DEFG为矩形；（）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由。【解析】：证明：（）因为D，E 分别为 AP，AC 的中点，所以DE/PC。又因为DE平面 BCP，所以 DE/平面 BCP。（）因为D，E，F，G 分别为 AP，AC ，BC，PB 的中点，所以 DE/PC/FG ，DG/AB/E

15、F 。所以四边形DEFG 为平行四边形，又因为 PC AB，所以 DE DG，所以四边形DEFG 为矩形。（）存在点Q 满足条件，理由如下：连接DF，EG，设 Q 为 EG 的中点由（）知， DF EG=Q ，且 QD=QE=QF=QG=21EG. 分别取 PC， AB 的中点 M，N，连接 ME ，EN，NG，MG，MN 。与（）同理，可证四边形MENG 为矩形，其对角线点为EG 的中点 Q，且 QM=QN=21EG，所以 Q 为满足条件的点. （广东文） 18 （本小题满分13 分）图 5 所示的几何体是将高为2，底面半径为1 的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到

16、的,A A B B分别为CD,C D,DE,D E的中点，1122,O OOO分别为CD,C D, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 26 页20XX 年高考文科数学试题分类汇编（共十七部分）BABACCDDEEGH1O2O1O2O图 5 BABACCDDEEGH1O2O1O2OHDE,D E的中点（1）证明：12,OA OB四点共面；（2）设G为AA中点，延长1A O到H，使得11O HA O证明：2BO平面H B G18证明：（ 1）连接2,BO22,O O依题意得1122,O OOO是圆柱底面圆的圆心,CD C DD

17、E D E是圆柱底面圆的直径,A B B分别为C D,DE,D E的中点1290A O DB O D1A O2BOBB /22O O，四边形22O O B B是平行四边形2BO2BO1A O2BO12,OA OB四点共面（2）延长1A O到H，使得11O HAO，连接1,HHHOHB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 26 页20XX 年高考文科数学试题分类汇编（共十七部分）11O HA O1O H/2O B，四边形12O O B H是平行四边形12O OH B1222O OO O，122O OB O，2222O OB OO

18、12O O面22O O B BH B面22O O B B，2BO面22O O B B2BOH B易知四边形AA H H是正方形，且边长2AA11tan2HHHO HO H，1tan2A GA H GA H1tantan1HO HA H G190HO HA H G1HOH G易知12O O/ HB，四边形12O O BH是平行四边形2BO1HO2BOH G，H GH BH2BO平面H B G（湖南文） 19 （本题满分12 分）如 图3 ， 在 圆 锥PO中 ， 已 知2,POO的 直 径2,ABCABDAC点 在上, 且CAB=30为的中点（I）证明：;ACPOD平面（II ）求直线和平面PA

19、C所成角的正弦值解析：（I）因为,OAOC DAC是的中点 , 所以ACOD.又精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 26 页20XX 年高考文科数学试题分类汇编（共十七部分）,.POO ACOACOD底面底面所以PO是平面 POD内的两条相交直线，所以;ACPOD平面（II ）由（ I）知，,ACPOD平面又,ACPAC平面所以平面,PODPAC平面在平面POD中，过O作OHPD于H,则,OHPAC平面连结CH，则CH是OCPAC在平面上的射影，所以OCH是直线OC和平面PAC所成的角在221222,3124PO ODRt

20、 PODOHPOOD中在2,sin3OHRt OHCOCHOC中（天津文） 17 （本小题满分13 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，045ADC，1ADAC，O为AC中点，PO平面ABCD，2PO，M为PD中点（）证明：PB/平面ACM；（）证明：AD平面PAC；（）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值（17） 本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、 直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。满分13 分。（）证明：连接BD，MO，在平行四边形ABCD 中，因为O 为 AC 的中点，所以O为 BD 的中点，又M 为 PD 的中点

21、，所以PB/MO 。因为PB平面 ACM ，MO平面 ACM ，所以 PB/平面 ACM 。（）证明：因为45ADC，且 AD=AC=1 ，所以90DAC，即ADAC，又 PO平面ABCD ，AD平面ABCD ，所以,POADACPOO而，所以AD平面 PAC。（）解：取DO 中点 N，连接MN ，AN ，因为M 为 PD 的中点，所以MN/PO ，且DCABPMO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 26 页20XX 年高考文科数学试题分类汇编（共十七部分）11,2MNPOPO由平面 ABCD ， 得MN平面 ABCD ，

22、 所以MAN是直线 AM与平面 ABCD所成的角，在Rt DAO中，11,2ADAO，所以52DO，从而1524ANDO，在14 5,tan554MNRt ANMMANAN中，即直线AM与平面ABCD 所成角的正切值为4 5.5（江西文） 18.(本小题满分12 分）如图，在=2,2ABCBABBCPAB中，为边上一动点，PD/BC交 AC 于点 D,现将,PDA.PDAPDPDAPBCD沿翻折至使平面平面（1）当棱锥APBCD的体积最大时，求PA 的长；（2）若点 P 为 AB 的中点， E 为.ACBDE的中点，求证：A解： （1）设xPA，则)2(31312xxxSPAVPDCBPBCD

23、A底面-令)0(,632)22(31)(32xxxxxxf则232)(2xxf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 26 页20XX 年高考文科数学试题分类汇编（共十七部分）x)332,0(332),332()(xf0)(xf单调递增极大值单调递减由上表易知：当332xPA时，有PBCDAV-取最大值。证明：（2）作BA得中点 F，连接 EF、 FP 由已知得：FPEDPDBCEF/21/PBA为等腰直角三角形，PFBA所以DEBA. （山东文） 19.（本小题满分12 分）如图，在四棱台1111ABCDABC D中，1D

24、D平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB=2AD，11AD=A B，BAD=60（）证明：1AABD；（）证明：11CCA BD平面.【解析】（）证明：因为AB=2AD，所以设AD=a, 则AB=2a, 又 因 为B A D =60 , 所 以 在ABD中 , 由 余 弦 定 理 得 ：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 26 页20XX 年高考文科数学试题分类汇编（共十七部分）2222(2 )22cos603BDaaaaa,所 以 BD=3a,所 以222ADBDAB,故BDAD, 又因为1D D平面ABCD，所以

25、1D DBD,又因为1ADD DD, 所以BD平面11ADD A,故1AABD. (2) 连 结AC, 设ACBD=0, 连 结1AO,由 底 面A B CD是平行四边形得:O 是 AC 的中点 ,由四棱台1111ABCDABC D知:平面 ABCD 平面1111ABC D,因 为 这 两 个 平 面 同 时 都 和 平 面11ACAC相 交 ,交 线 分 别 为AC 、11AC， 故11ACAC，又因为AB=2a, BC=a, ABC=120，所以可由余弦定理计算得AC=7a，又因为A1B1=2a, B1C1=32a, 111A B C =120，所以可由余弦定理计算得A1C1=72a，所以

26、 A1C1OC 且 A1C1=OC，故四边形OCC1A1是平行四边形，所以CC1A1O，又 CC1平面 A1BD ，A1O平面 A1BD ，所以11CCA BD平面. （陕西文） 16.（本小题满分12 分）如图，在 ABC 中， ABC=45 ， BAC=90 ，AD 是 BC 上的高，沿AD 把ABD折起，使 BDC=90 。（1）证明：平面平面；（2 ）设 BD=1 ，求三棱锥D的表面积。【分析】 （1）确定图形在折起前后的不变性质，如角的大小不变，线段长度不变，线线关系不变， 再由面面垂直的判定定理进行推理证明；（2）充分利用垂直所得的直角三角形，根据直角三角形的面积公式计算【解】 （

27、1）折起前是边上的高， 当 折起后，AD ， AD ，又 DB，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 26 页20XX 年高考文科数学试题分类汇编（共十七部分）平面，又AD 平面 BDC. 平面 ABD 平面 BDC （2）由（ 1）知， DADB,DBDC,DCDA, DB=DA=DC=1 ，AB=BC=CA=2, 111 1,22DAMDBCDCASSS1322sin6022ABCS三棱锥 D的表面积是13333.222S（四川文） 19 （本小题共l2 分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中， BAC=90 ，AB=

28、AC=AA1=1，延长 A1C1至点 P，使 C1PA1C1，连接 AP 交棱 CC1于 D（）求证：PB1平面 BDA1；（）求二面角AA1DB 的平面角的余弦值；本小题主要考查直三棱柱的性质、线面关系、 二面角等基本知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决问题的能力解法一：（）连结AB1与 BA1交于点 O，连结 OD，C1D平面 AA1，A1C1AP， AD=PD，又 AO=B1O，ODPB1，又 OD面 BDA1， PB1面 BDA1，PB1平面 BDA1（）过 A 作 AEDA1于点 E， 连结 BE BACA，BAAA1， 且 AA1 AC=A，BA平面 AA1

29、C1C由三垂线定理可知BEDA1 BEA 为二面角AA1DB 的平面角在 RtA1C1D 中，22115( )122A D，又11151 1222AA DSAE ，2 55AE在 RtBAE 中，222 53 5()155BE，2cos3AHAHBBH精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 26 页20XX 年高考文科数学试题分类汇编（共十七部分）故二面角 AA1DB 的平面角的余弦值为23解法二：如图，以A1为原点， A1B1，A1C1，A1A 所在直线分别为x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系 A1B1C1A，则1

30、(0,0,0)A，1(1,0,0)B，1(0,1,0)C，(1,0,1)B，(0,2,0)P（）在 PAA1中有1112C DAA ，即1(0,1, )2D1(1,0,1)A B，1(0,1, )A Dx ，1( 1,2,0)B P设平面 BA1D 的一个法向量为1( , , )a b cn，则11110,10.2A BacA Dbcnn令1c，则11(1, , 1)2n1111( 1)2( 1)002B Pn，PB1平面 BA1D，（）由（）知，平面BA1D 的一个法向量11(1, 1)2n又2(1,0,0)n为平面 AA1D 的一个法向量12121212cos,3| |312nnnnnn故

31、二面角 AA1DB 的平面角的余弦值为23（浙江文）（ 20） （本题满分14 分）如图，在三棱锥PABC中，ABAC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上（）证明：APBC；（）已知8BC，4PO，3AO，2OD求二面角BAPC的大小（20）本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力。满分14 分。（）证明：由AB=AC ，D 是 BC 中点，得ADBC，又PO平面 ABC ， ，得POBC因为POADO，所以BC平面 PAD，故.BCPA（）解：如图，在平面PAB 内作BMPA于 M，连 CM 。因为,BCPAPA得平面

32、BMC ，所以 APCM。故BMC为二面角BAPC 的平面角。在222,41,41Rt ADBABADBDAB中得在222Rt PODPOOD中,PD，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 26 页20XX 年高考文科数学试题分类汇编（共十七部分）在RtPDB中，222PBPDBD，所以222236,6.PBPOODBDPB得在222,25,5.Rt POAPAAOOPPA中得又22212 2cos,sin233PAPBABBPABPAPA PB从而故sin4 2BMPBBPA同理4 2.GM因为222BMMCBC所以90B

33、MC即二面角 BAPC 的大小为90 .（福建文） 20 （本小题满分12 分）如图，四棱锥 P-ABCD 中， PA底面 ABCD ， AB AD ， 点 E 在线段 AD 上， 且 CEAB 。（I）求证： CE平面 PAD ；（11）若 PA=AB=1 ，AD=3 ，CD=2， CDA=45 ，求四棱锥P-ABCD 的体积20本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，几何体的体积等基础知识；考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力；考查数形结合思想，化归与转化思想，满分 12 分（I）证明：因为PA平面 ABCD ，CE平面 ABCD ，所以.PACE因为,/ /,.ABAD

34、CEABCEAD所以又,PAADA所以CE平面 PAD。（II）由（ I）可知CEAD，在Rt ECD中， DE=CDcos451,sin 451,CECD又因为1,/ /ABCEABCE，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 26 页20XX 年高考文科数学试题分类汇编（共十七部分）所以四边形ABCE 为矩形，所以1151 21 1.222ECDADCEABCDSSSAB AECE DE矩形四边形又PA平面 ABCD ，PA=1，所以11551.3326PABCDABCDVSPA四边形四边形（湖北文） 18 （本小题满分1

35、2 分）如图， 已知正三棱柱ABC-111A B C的底面边长为2， 侧棱长为3 2， 点 E 在侧棱1AA上，点 F 在侧棱1BB上，且2 2AE,2BF（I） 求证：1CFC E；（II） 求二面角1ECFC的大小。18本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角的求法，同时考查空间想象能力和推理论证能力。 （满分 12 分）解法 1： （）由已知可得22113 2,2(22)2 3CCCEC F222221() ,2(2)6EFABAEBFEFC E于是有2222221111,EFC EC FCEC ECC所以11,C EEF C ECE又1,.EFCEEC ECEF所以平面由1,.C

36、FCEFCFC E平面故（）在CEF中，由（）可得6,2 3EFCFCE于是有 EF2+CF2=CE2，所以.CFEF又由（）知CF C1E，且1EFC EE，所以 CF 平面 C1EF，又1C F平面 C1EF，故 CF C1F。于是1EFC即为二面角ECFC1的平面角。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 26 页20XX 年高考文科数学试题分类汇编（共十七部分）由（）知1CEF是等腰直角三角形，所以145BFC，即所求二面角ECF C1的大小为45。解法 2：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得1(0,0,0),

37、( 3,1,0),(0,2,0),(0,2,32),(0,0,22),( 3,1,2)ABCCEF（）1(0, 2,2),( 3, 1,2)C ECF10220C E CF1.CFC E（）(0, 2,2 2)CE，设平面CEF 的一个法向量为( , , )mx y z由0,0,m CEmCE mCFm CF得即22 20,(0,2,1)320yzmxyz可取设侧面 BC1的一个法向量为1,( 3, 1,0)nnBC nCCCB由及)0, 3, 1 (),23, 0, 0(1nCC可取设二面角 ECFC1的大小为 ，于是由 为锐角可得|62cos| |232m nmn，所以45即所求二面角EC

38、FC1的大小为45。（全国大纲文）20 （本小题满分l2 分） （注意：在试题卷上作答无效）如图，四棱锥SABCD中，ABCD,BCCD，侧面SAB为等边三角形，2,1ABBCCDSD（I）证明：SD平面 SAB；（II）求 AB 与平面 SBC 所成的角的大小。20解法一：（I）取 AB 中点 E，连结 DE，则四边形BCDE 为矩形， DE=CB=2 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 26 页20XX 年高考文科数学试题分类汇编（共十七部分）连结 SE，则,3.SEAB SE又 SD=1，故222EDSESD，所以

39、DSE为直角。3 分由,ABDE ABSE DESEE，得AB平面 SDE，所以ABSD。SD 与两条相交直线AB、SE 都垂直。所以SD平面 SAB。6 分（II）由AB平面 SDE 知，平面ABCD平面 SED。作,SFDE垂足为 F，则 SF平面 ABCD ，3.2SDSESFDE作FGBC，垂足为G，则 FG=DC=1。连结 SG，则SGBC，又,BCFG SGFGG，故BC平面 SFG，平面 SBC平面 SFG。9 分作FHSG，H 为垂足，则FH平面 SBC。37SFF GFHSG，即 F 到平面 SBC 的距离为21.7由于 ED/BC ，所以 ED/平面 SBC，E 到平面 S

40、BC 的距离 d 也有21.7设 AB 与平面 SBC 所成的角为 ，则2121sin,arcsin.77dEB12分解法二：以 C 为坐标原点，射线CD 为 x 轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz。设 D（1，0，0） ，则 A（2， 2，0） 、 B（0，2，0） 。又设( , , ),0,0,0.S x y zxyz则（I）(2,2, ),( ,2, )ASxyz BSx yz，(1, , )DSxy z，由| |ASBS得222222(2)(2)(2),xyzxyz精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 2

41、6 页20XX 年高考文科数学试题分类汇编（共十七部分）故 x=1。由22| 11,DSyz得又由222|2(2)4,BSxyz得即2213410,.22yzyyz故3 分于是133333(1,),( 1,),(1,)222222SASBS，13(0,),0,0.22DSDS ASDS BS故,DSAD DSBSASBSS又所以SD平面 SAB。（II）设平面SBC 的法向量(, ,)am n p，则,0,0.aBS aCB a BSa CB又33(1,),(0,2,0),22BSCB故330,2220.mnpn9 分取 p=2 得(3,0,2),( 2,0,0)aAB又。21cos,.7|

42、|AB aAB aABa故 AB 与平面 SBC 所成的角为21arcsin.7（全国新课标文） （18） （本小题满分12 分）如图，四棱锥PABCD中，底面 ABCD 为平行四边形，60DAB，2ABAD，PD底面 ABCD （I）证明：PABD；（II）设 PD=AD=1 ，求棱锥D-PBC 的高精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 26 页20XX 年高考文科数学试题分类汇编（共十七部分）(18)解：（）因为60 ,2DABABAD， 由余弦定理得3BDAD从而 BD2+AD2= AB2，故 BDAD又 PD底面 A

43、BCD，可得 BDPD所以 BD平面 PAD. 故 PABD（）如图，作DEPB，垂足为E已知 PD底面 ABCD ，则 PDBC由（）知 BDAD ，又 BC/AD ，所以 BCBD故 BC平面 PBD ，BCDE则 DE平面 PBC由题设知， PD=1，则 BD=3，PB=2，根据 BE PB=PD BD，得 DE=23，即棱锥 DPBC 的高为.23（上海文） 20 （14 分）已知1111ABCDABC D是底面边长为1 的正四棱柱，高12AA。求：（1）异面直线BD与1AB所成的角的大小（结果用反三角函数表示）；（2）四面体11AB D C的体积。20解：连1111,BD AB B

44、DAD，1111/ /,B DB DA BAD，DCBAD1C1B1A1DCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 26 页20XX 年高考文科数学试题分类汇编（共十七部分） 异面直线BD与1AB所成角为11AB D，记11AB D，222111111110cos210ABB DADABB D异面直线BD与1AB所成角为10arccos10。 连11,AC CB CD，则所求四面体的体积1 1111111242433ABCDA B C DCBC DVVV。（辽宁文）（18） （本小题满分12 分）如图，四边形ABCD 为正

45、方形， QA平面 ABCD，PD QA， QA=AB=12PD（I）证明： PQ平面 DCQ；（II）求棱锥QABCD 的的体积与棱锥PDCQ 的体积的比值18解：（I）由条件知PDAQ 为直角梯形因为 QA平面 ABCD ，所以平面PDAQ 平面 ABCD ，交线为AD. 又四边形ABCD 为正方形， DCAD ，所以 DC平面 PDAQ ，可得 PQ DC. 在直角梯形PDAQ 中可得 DQ=PQ=22PD，则 PQQD 所以 PQ平面 DCQ. 6分（II）设 AB= a. 由题设知AQ 为棱锥 QABCD 的高，所以棱锥QABCD 的体积311.3Va由（ I）知 PQ 为棱锥 PDC

46、Q 的高，而PQ=2a， DCQ 的面积为222a，所以棱锥PDCQ 的体积为321.3Va故棱锥 QABCD 的体积与棱锥PDCQ 的体积的比值为1. 12 分（重庆文） 20 （本小题满分12 分， （）小问6 分， （）小问6 分）如 题 （ 20 ） 图 ， 在 四 面 体ABCD中 ， 平 面ABC 平 面A C D，,2,1ABBC ACADBCCD（）求四面体ABCD 的体积；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 26 页20XX 年高考文科数学试题分类汇编（共十七部分）（）求二面角C-AB-D的平面角的正切值

47、。20 （本题 12 分）解法一：（I）如答（ 20）图 1，过 D 作 DFAC 垂足为 F，故由平面ABC 平面 ACD ，知 DF平面 ABC ，即 DF 是四面体ABCD 的面 ABC 上的高，设G 为边 CD 的中点，则由 AC=AD ，知 AG CD，从而22221152( ).221115.224AGACCGAG CDAC DFCD AGDFAC由得由2213,3,.22ABCRt ABCABACBCSAB BC中故四面体ABCD 的体积15.38ABCVSDF（II）如答（20）图 1，过 F 作 FE AB，垂足为 E，连接 DE。由（I）知 DF平面 ABC 。由三垂线定理

48、知DE AB，故 DEF 为二面角CAB D 的平面角。在2222157,2(),44Rt AFDAFADDF中在RtABC中， EF/BC ，从而 EF：BC=AF ：AC，所以7.8AFBCEFAC在 RtDEF 中，2 15tan.7DFDEFEF解法二：（I）如答（ 20）图 2，设 O 是 AC 的中点，过O 作 OHAC ，交 AB 于 H，过O 作 OM AC ，交 AD 于 M，由平面ABC 平面 ACD ，知 OHOM 。因此以O 为原点，以射线 OH， OC，OM 分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正半轴， 可建立空间坐标系Oxyz.已知 AC=2 ，故点 A，C 的坐标分别

49、为A（0， 1， 0） ，C（0，1，0） 。设点 B 的坐标为11(,0),| 1B xyABBCBC由，有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 26 页20XX 年高考文科数学试题分类汇编（共十七部分）2211221111111,(1)1,33,22().11,22xyxyxxyy解得舍去即点 B 的坐标为3 1(,0).22B又设点 D 的坐标为22(0,),| 1,|2,DyzCDAD由有222222222222(1)1,(1)4,33,44().1515,44yzyzyyzz解得舍去即点 D 的坐标为315(0,)

50、.44D从而 ACD 边 AC 上的高为215|.4hz又2231|( )(1)3,| 1.22ABBC故四面体 ABCD 的体积115| |.328VABBCh（II）由（ I）知3 3715(,0),(0,).2244ABAD设非零向量( , )nl m n是平面 ABD 的法向量，则由nAB有330.22lm（1）由nAD，有71 50.44mn（2）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 26 页20XX 年高考文科数学试题分类汇编（共十七部分）取1m，由（ 1） ， （2） ，可得7 157 153,( 3,1,).