13二次函数的性质.ppt

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1、1.3 1.3 二次函数的性质二次函数的性质函数 y=ax2+bx+c基本性质回顾二次函数二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象是一条的图象是一条抛物线抛物线，回顾旧知回顾旧知xy02-2-22-4yx0246-22-44y=2x24x6y=0.75x2+3xy=0.5x22x1.5观察下列二次函数图像：观察下列二次函数图像：顶点在图像的位置有什么特点？顶点是抛物线上的最高点（或最低点）顶点是抛物线上的最高点（或最低点）探索探索1：增减性：增减性yx0246-22-44y=2x24x6y=0.5x22x1.5问：当自变量增大时，函数的值将怎样变化？问：当自变量增大时，函数的值将怎样变化？你

2、还能发现：你还能发现： 这些函数是否存在最大值这些函数是否存在最大值或最小值，它是由解析式或最小值，它是由解析式y=ax2+bx+c（a0）中的那一中的那一个系数决定的吗？个系数决定的吗？由由a决定决定探索探索1：增减性：增减性例已知抛物线已知抛物线y ya(xa(x1)1)2 2k(ak(a，k k是常数是常数，且且a a0)0)上三点上三点P P1 1( (2 2，y y1 1) )，P P2 2( (1 1，y y2 2) )，P P3 3(1(1，y y3 3) )，则则( () )A Ay y1 1y y2 2y y3 3 B By y3 3y y2 2y y1 1C Cy y3 3

3、y y1 1y y2 2 D Dy y2 2y y1 1y y3 3解析：抛物线开口向上解析：抛物线开口向上，对称轴为直线对称轴为直线x x1.1.当当x x1 1时，时，y y随随x x的增大而减小，的增大而减小，2 21 11 1，yy1 1y y2 2y y3 3. .答案：答案：A A反思：二次函数的增减性反思：二次函数的增减性，首先考虑开口方向首先考虑开口方向，然后对称轴为分界线然后对称轴为分界线探索探索1：增减性：增减性二次函数二次函数y y2(x2(x2)2)2 23 3，当当x xm m时总有时总有y y随随x x的的增大而增大，增大而增大，则则m m的取值范围是的取值范围是(

4、 () )A Am m2 2 B Bmm2 2C Cm m2 2 D D不能确定不能确定错解：错解：D D或或B B正解：正解：A A错因：抛物线开口向下错因：抛物线开口向下，当当xx2 2时，时，y y随随x x增大而增增大而增大，大，现在要保证现在要保证x xm m时都有时都有y y随随x x的增大而增大，的增大而增大，说明说明x xm m在对称轴的左边或与对称轴重合，在对称轴的左边或与对称轴重合，所以答案所以答案A A正正确确，而答案而答案D D则是理解错则是理解错x xm m的意义的意义. .探索探索1：增减性：增减性(1)每每个图象与个图象与x轴有几个交点？轴有几个交点？w二次函数二

5、次函数y=x2+2x, ,y=x2-2x+1, ,y=x2-2x+2的图象如图所示的图象如图所示. .y=x2+2xy=x2-2x+1y=x2-2x+2(3) 你你能求出图象与能求出图象与x轴交点的坐标轴交点的坐标? ?(2)一元二次方程一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根有几个根? ? 验证一下一元二次方程验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗？有根吗？探索探索2：二次函数与：二次函数与x轴交点轴交点2、已知函数、已知函数y=x23x4.求函数图像的顶点坐标、与坐标轴交点的坐标和求函数图像的顶点坐标、与坐标轴交点的坐标和对称轴，并画出函数的对称轴，并画出函数的大致大致

6、图像；图像；解：解： y=x23x4 (x1.5)26.25,图象顶点坐标为图象顶点坐标为(1.5, 6.25);又当又当y=0时，时，得得x23x40的解为：的解为： x11，x24。则与则与x轴的交点为轴的交点为(1,0)和和(4,0) 与与y轴的交点为轴的交点为(0, 4)(1,0)(1.5, 6.25)(0, 4)(4,0)x=1.5Oyx记当记当x1=3.5,x2= ,x3= 时对应的函数值分别时对应的函数值分别为为y1,y2,y3,试比较试比较y1,y2,y3的大小的大小?如右图可知如右图可知: y2 y1 y3( ,y2)( ,y3)(3.5,y1)巩固练习巩固练习二次函数二次函

7、数y=ax2+bx+c的的图象和图象和x x轴交点轴交点一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0的根的根一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式根的判别式=b=b2 2-4ac-4ac有有两个两个交点交点有两个有两个不等不等的的实数根实数根b2-4ac 0有有一个一个交点交点有两个有两个相等相等的实数根的实数根b2-4ac = 0没有没有交点交点没有没有实数根实数根b2-4ac 0ax2+bx+c=0方程解的个数方程解的个数y=ax2+bx+c图象与图象与x轴交点的个数轴交点的个数探索探索2：二次函数与：二次函数与x轴交点轴交点二二次函数次函数y=ax2+bx+c的图象和的图

8、象和x轴交点的横坐标就是对轴交点的横坐标就是对应的一元应的一元二次方程二次方程ax2+bx+c=0的根的根. .ax2+bx+c=0方程的解方程的解y=ax2+bx+c图象与图象与x轴交点的横坐标轴交点的横坐标探索探索2：二次函数与：二次函数与x轴交点轴交点 y=2X-X-1 y=4X2+4X+1 y=3X2+2X+51、抛物线与、抛物线与x轴轴的交点的个数：的交点的个数：2个个1个个0个个b2- 4ac0b2- 4ac=0b2- 4ac02、抛物线、抛物线y=x2-5x+4与坐标轴的交点个数为（与坐标轴的交点个数为（ ）（A）0个个 （B）1个个 （C）2个个 （D）3个个D探索探索2：二次

9、函数与：二次函数与x轴交点轴交点例：已知函数已知函数(1)求函数的顶点坐标、对称轴，以及图象与坐求函数的顶点坐标、对称轴，以及图象与坐标轴的交点标轴的交点 坐标，并画出函数的大致图象；坐标，并画出函数的大致图象；解解：（：（1）a=0.5,b=7,c=7.5;例题讲解例题讲解2157212xyxx=720 xy10O10103051020 155(7，32)(0，7.5)(15，0)(1，0)自变量自变量x在什么范围内时，在什么范围内时，y随随x 的的增大而增大？何时增大而增大？何时y 随随x的增大而减的增大而减小？并求出函数的最大值或最小值。小？并求出函数的最大值或最小值。解：解： 由右图可

10、知，由右图可知，当当x7时，时， y随随x 的增大而增大；的增大而增大；当当x7 时，时，y 随随x的增大而减小；的增大而减小；当当x7时，函数有最大值时，函数有最大值32。（3）根据图象，说）根据图象，说 出出 x 取哪些值时，取哪些值时， y=0; y0.当当-15x1时时当当x=-15或或x=1时时当当x-15或或x 1时时例题讲解例题讲解1、求下列函数的最大值（或最小值）和对应的、求下列函数的最大值（或最小值）和对应的自变量的值：自变量的值： y=2x28x1； y=3x25x1巩固练习巩固练习7)2(22 xy1237)65(32 xy2、已知函数、已知函数y=x23x4.求函数图像

11、的顶点坐标、与坐标轴交点的坐标和求函数图像的顶点坐标、与坐标轴交点的坐标和对称轴，并画出函数的对称轴，并画出函数的大致大致图像；图像；解：解： y=x23x4 (x1.5)26.25,图象顶点坐标为图象顶点坐标为(1.5, 6.25);又当又当y=0时，时，得得x23x40的解为：的解为： x11，x24。则与则与x轴的交点为轴的交点为(1,0)和和(4,0) 与与y轴的交点为轴的交点为(0, 4)(1,0)(1.5, 6.25)(0, 4)(4,0)x=1.5Oyx记当记当x1=3.5,x2= ,x3= 时对应的函数值分别时对应的函数值分别为为y1,y2,y3,试比较试比较y1,y2,y3的

12、大小的大小?如右图可知如右图可知: y2 y1 y3( ,y2)( ,y3)(3.5,y1)巩固练习巩固练习3.05米米4米米?2.25米米oxy球运动路线的函数解析式和自变量的取值范围；球运动路线的函数解析式和自变量的取值范围；球在运动中离地面的最大高度球在运动中离地面的最大高度。解解: 设函数解析式为设函数解析式为:y=a(x2.5)2+k,根据题意，得：根据题意，得：2.52a+k=2.25(42.5)2a+k=3.05则：则：a=0.2,k=3.5解析式为解析式为:y=0.2x2+x+2.25,自变量自变量x的取值范围为：的取值范围为：0 x4.球在运动中离地面的最大高度球在运动中离地

13、面的最大高度 为为3.5米米。3、篮球运动员投篮时，球运动的路线为抛物线的、篮球运动员投篮时，球运动的路线为抛物线的一部分（如图），抛物线的对称轴为一部分（如图），抛物线的对称轴为x=2.5。求：。求：巩固练习巩固练习4、抛物线yx2m1与y轴交于点(0，3)(1)求出m的值并画出这条抛物线；(2)求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标；(3)当x取什么值时，抛物线在x轴上方？(4)当x取什么值时，y随x的增大而减小？巩固练习巩固练习解析：解析：(1)(1)根据二次函数求解析式的方法可知根据二次函数求解析式的方法可知m m1 13 3，所以求得所以求得m m4.4.抛物线的解析式为抛物线的解析式为

14、y yx x2 23 3；(2)(2)求抛物线与求抛物线与x x轴的交点实际就是求当轴的交点实际就是求当y y0 0时时x x的值，的值，当当y y0 0时，时，x x2 23 30 0，此时此时x x ，与与x x轴的交点为轴的交点为( ( ，0)0)，( ( ，0)0)；(3)(3)此时抛物线的顶点为此时抛物线的顶点为(0(0，3)3)，且开口向下且开口向下，当当 x x 时时，抛物线在抛物线在x x轴上方；轴上方； (4)(4)因为因为a a1 10 0，所以在对称轴所以在对称轴y y轴的右侧，轴的右侧，y y随随x x的增大而减小的增大而减小33333答案：答案：(1)m(1)m4 4

15、，图象如图所示；图象如图所示；(2)(2)与与x x轴的轴的交点为交点为( ( ，0)0)，( ( ，0)0)，顶点坐标为顶点坐标为(0(0，3)3)；(3)(3)当当 x x 时时，抛物线在抛物线在x x轴上方；轴上方；(4)(4)当当x x0 0时，时，y y随随x x的增大而减小的增大而减小反思：二次函数的图象决定因素是反思：二次函数的图象决定因素是“四点一线一四点一线一开口开口”，四点指与坐标轴交点和顶点四点指与坐标轴交点和顶点，一线指对一线指对称轴称轴，性质主要包括增减性和函数值对应的自变性质主要包括增减性和函数值对应的自变量取值范围量取值范围33335 5、已知抛物线已知抛物线y

16、yx x2 22x2xm m1.1.(1)(1)若抛物线与若抛物线与x x轴只有一个交点，轴只有一个交点，求求m m的值；的值；(2)(2)若抛物线与直线若抛物线与直线y yx x2m2m只有一个交点，只有一个交点，求求m m的值的值解析：解析：(1)(1)抛物线与抛物线与x x轴只有一个交点，轴只有一个交点，b b2 24ac4ac4 44(m4(m1)1)0 0，mm2 2；(2)(2)抛物线与直线只有一个交点抛物线与直线只有一个交点， xx2 22x2xm m1 1x x2m2m，xx2 2x xm m1 10.0.1 14(4(m m1)1)4m4m5 50 0m m 221,2 ,y

17、xxmyzm5.4答案：答案：(1)m(1)m2 2；(2)m(2)m反思：求抛物线与反思：求抛物线与x x轴的交点及直线的交点问题轴的交点及直线的交点问题常转化为判断常转化为判断b b2 24ac4ac的正负性问题的正负性问题变式：已知抛物线变式：已知抛物线y yaxax2 2bxbxc c，无论无论x x取何取何实数，实数，都有函数的值大于都有函数的值大于0 0，则则a a，b b应满足的条应满足的条件是件是( () )A Aa a0 0，b b2 24ac4ac0 0 B Ba a0 0，b b2 24ac4ac0 0C Ca a0 0，b b2 24ac4ac0 0 D Da a0 0，b b2 24ac4ac0 0答案：答案：B B5.4