13《二次函数的性质》.ppt

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1、根据要求填空根据要求填空：(2)(2)抛物线抛物线 的顶点坐标是的顶点坐标是 , , 对称轴是对称轴是 . .12212xxy(-2,-1)直线直线x=-2x=-2(3)(3)抛物线抛物线 的顶点坐标是的顶点坐标是 , , 对称轴是对称轴是 . .2412xxy直线直线x=2x=2(2, )(1)(1)抛物线抛物线 的顶点坐标是的顶点坐标是 , , 对称轴是对称轴是 . .cbxaxy2 a4bac4,a2b2a2bx 直直线线课前热身课前热身XYO1122334455-1-2-3-4-5-1-2-3-4-5根据右边已画好的函数图象回答问题根据右边已画好的函数图象回答问题：12212xxy24

2、12xxy(1)(1)抛物线抛物线 ，当自变，当自变量量X X增大时，函数值增大时，函数值y y将怎样变化？将怎样变化？12212xxy(2)(2)抛物线抛物线 ，当自变，当自变量量X X增大时，函数值增大时，函数值y y将怎样变化？将怎样变化？2412xxy先减小，后先减小，后增大增大. .先增大，后减小先增大，后减小. .当当x x 时时,y,y随着随着x x的增大而的增大而减小减小当当x x 时时,y,y随着随着x x的增大而的增大而增大增大. .当当x x 时时,y,y随着随着x x的增大而的增大而增大增大当当x x 时时,y,y随着随着x x的增大而的增大而减小减小. .-2-2-2

3、-22222思考：二次函数的增减性由什么确定的？新知探索新知探索直线直线x=-2直线直线x=2XYO1122334455-1-2-3-4-5-1-2-3-4-5根据右边已画好的函数图象填空根据右边已画好的函数图象填空：12212xxy2412xxy(1)(1)抛物线抛物线 的的 顶点顶点是图象的最是图象的最 点。点。12212xxy(2)(2)抛物线抛物线 的的 顶点顶点是图象的最是图象的最 点。点。2412xxy该函数有没有最大值和最小值？该函数有没有最大值和最小值？该函数有没有最大值和最小值？该函数有没有最大值和最小值？当当x=_时时,y有最有最_值值=_当当x=_时时,y有最有最_值值=

4、_低低高高-2小小-12大大-1思考：函数最大值或最小值由什么确定的？新知探索新知探索二次二次函数函数y=ay=ax x2 2+b+bx+cx+c(a0)(a0)的图象和性质的图象和性质.顶点坐标与对称轴顶点坐标与对称轴.位置与开口方向位置与开口方向.增减性与最值增减性与最值抛物线抛物线顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴位置位置开口方向开口方向增减性增减性最值最值y=ay=ax x2 2+b+bx+cx+c(a0)y=ay=ax x2 2+b+bx+cx+c(ax20,试比较试比较y1与与y2的大小的大小.练习二：一运动员推铅球，铅球经过的练习二：一运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线。路

5、线为如图所示的抛物线。（1）求铅球所经过的路线的函数解析式）求铅球所经过的路线的函数解析式和自变量取值范围。和自变量取值范围。（2）铅球的落地点离运动员有多远？）铅球的落地点离运动员有多远？y(m)x(m)o(0,1.5)(4,3)w(1).每个图象与每个图象与x轴有几个交点？轴有几个交点？w(2).一元二次方程一元二次方程x x2 2+2x=0,x+2x=0,x2 2-2x+1=0-2x+1=0有几个根有几个根? ?验证一下一元二次方程验证一下一元二次方程x x2 2-2x+2=0-2x+2=0有根吗有根吗? ?w(3).(3).二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图

6、象和的图象和x x轴交点的坐轴交点的坐标标与一元二次方程与一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的根有什么关系的根有什么关系? ?二次函数与一元二次方程 w二次函数二次函数y=xy=x2 2+2x,y=x+2x,y=x2 2-2x+1,y=x-2x+1,y=x2 2-2x+2-2x+2的图象如图所示的图象如图所示. .y=xy=x2 2+2x+2xy=xy=x2 2-2x+1-2x+1y=xy=x2 2-2x+2-2x+2w(3).(3).二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象和的图象和x x轴交点有三种情况轴交点有三种情况: :w 有两个交点有两个交

7、点, ,w 有一个交点有一个交点, ,w 没有交点没有交点. .w 当二次函数当二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象和的图象和x x轴有交点时轴有交点时, , 交点的横坐标就是当交点的横坐标就是当y=0y=0时自变量时自变量x x的值的值, ,即一即一 元二次方程元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的根的根. .w(3).(3).二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象和的图象和x x轴交点的坐标与一元二次轴交点的坐标与一元二次方程方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的根有什么关系的根有什么关系? ?抛物线与抛物线与X 轴的

8、交点个数能不能用一元二次方轴的交点个数能不能用一元二次方程的知识来说明呢？程的知识来说明呢？0=00OXYw(3).(3).二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象和的图象和x x轴交点的坐标与一元二次轴交点的坐标与一元二次方程方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的根有什么关系的根有什么关系? ?二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的的图象和图象和x x轴交点轴交点一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的根的根一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0根的判别式根的判别式=b=b2 2-

9、4ac-4ac有两个交点有两个交点有两个相异的实数根有两个相异的实数根b2-4ac 0b2-4ac 0有一个交点有一个交点有两个相等的实数根有两个相等的实数根b2-4ac = 0b2-4ac = 0没有交点没有交点没有实数根没有实数根b2-4ac 0b2-4ac 0求二次函数图象求二次函数图象y=x2-3x+2与与x轴的交点轴的交点A、B的坐标。的坐标。解：解：A、B在在x轴上，轴上， 它们的纵坐标为它们的纵坐标为0， 令令y=0，则，则x2-3x+2=0 解得：解得：x1=1，x2=2； A（1，0） ， B（2，0）你发现方程你发现方程 的解的解x1、x2与与A、B的的坐标有什么联系？坐标

10、有什么联系？x2-3x+2=0举例举例:结论结论1：方程：方程x2-3x+2=0的解就是抛物线的解就是抛物线y=x2-3x+2与与x轴的两个交点的横坐标。轴的两个交点的横坐标。因此，抛物线与一元二次方程是有密切因此，抛物线与一元二次方程是有密切联系的。联系的。即：若一元二次方程即：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是的两个根是x1、x2， 则抛物线则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交与轴的两个交点坐标分别是点坐标分别是A（ ），）， B（ ）x1，0 x2，0 xOABx1x2y二次函数图象二次函数图象y=ax2+bx+c如果图象的顶点在如果图象的顶点在x轴上，则轴上，则如果图像的

11、顶点在如果图像的顶点在y轴上，则轴上，则二次函数图象二次函数图象y=-x2+2（m-1）x+2m-m2（1）图像关于）图像关于y轴对称，则轴对称，则m =（2）图像经过原点，则）图像经过原点，则m=（3）图像与坐标轴只有）图像与坐标轴只有2个交点，则个交点，则m=( 1 )图象过图象过A(0，1) 、B（1，2）、）、C（2，-1）三点）三点 (1) 已知抛物线已知抛物线y=ax2+bx+c满足下列条件满足下列条件,求函数的解析式求函数的解析式.（1）解：设抛物线的解析式为）解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c图象过图象过A(0，1) 、B（1，2）、）、C（2，-1）三点）三点1222

12、11100222cbacbacba132cbay= -2x2+3x+1求求函数的解析式的几种方法函数的解析式的几种方法（2）图象顶点是（）图象顶点是（-2，3），且经过点（），且经过点（-1，5）解：解：图象顶点是（图象顶点是（-2，3）设其解析式为设其解析式为y=a（x+2）2+3图象图象经过点（经过点（-1，5）5=a（-1+2）2+3a=2y=2（x+2）2+3xyo解：解：A(1，0)，对称轴为，对称轴为x=2抛物线与抛物线与x轴另一个交点轴另一个交点C应应为（为（3，0）设其解析式为设其解析式为y=a(x-1)(x-3)B（0，-3）-3=a（0-1）（）（0-3）a= -1y= -

13、(x-1)(x-3)（3）图象经过图象经过A（1，0）、）、B（0，-3），且对称轴是直线），且对称轴是直线x=21AB -3C324、求满足下列条件的抛物线的解析式：求满足下列条件的抛物线的解析式：经过点经过点A（2，4），），B（-1，0）且在）且在x轴上轴上截得的线段长为截得的线段长为2解：解： B（-1，0）且在）且在x轴上截得的线段长为轴上截得的线段长为2抛物线与抛物线与x轴的另一个交点坐标为轴的另一个交点坐标为C（-3，0）或）或C（1，0）设抛物线的解析式为设抛物线的解析式为y=a（x- x1）（）（x- x2）当抛物线经过当抛物线经过B、C两点时，两点时，解析式为解析式为y=a

14、（x+1）（）（x+3）又又抛物线经过抛物线经过A（2，4）4=a（2+1）（）（2+3）当抛物线经过当抛物线经过B、C 两点时，解析式为两点时，解析式为y=a（x+1）（）（x-1）解法同）解法同(1)xyoB-1- 31CCa=154y= （x+1）（）（x+3）154例2：已知抛物线y=（x+1）2-2，将此抛物线分别作轴对称变换，请分别求出变换后的抛物线。（1）关于x轴作轴对称变换（2）关于y轴作轴对称变换（-1，-2）（-1，2）(-1,-2)(1,-2)已知抛物线y=x2-2x-3，将其图像作以下对称，请写出对称后的抛物线。（1）关于x轴作轴对称变换（2）关于y轴作轴对称变换已知抛

15、物线y=x2-2x-3，将其图像作以下对称，请写出对称后的抛物线。 （1）关于顶点中心对称（2）关于原点中心对称函数y=a(x+m)2+k若关于顶点对称，则变为y=-a(x+m)2+k若关于原点对称，则变为y=-a(x-m)2-k例3：(1,-4)(1,-4)(-1,4)(1,-4)xyo1-3-2练习练习1、 二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示的图象如图所示对称轴对称轴x=_顶点坐标顶点坐标:_当当x=_时时,y有最有最_值是值是_函数值函数值y0时时,对应对应x的取值范围是的取值范围是_函数值函数值y=0时时,对应对应x的取值范围是的取值范围是_当当x_时时,y随随x的增大

16、而增大的增大而增大.-1(-1,-2)-1 小小-2-3x1x1-3或或1-1练一练：练一练：抛物线抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定如图所示，试确定a、b、c、 b2-4ac的符号：的符号：xyo练一练：练一练：已知：二次函数已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图的图象如图所示，则点所示，则点M（ ，a）在（）在（ ）A、第一象限、第一象限 B、第二象限、第二象限 C、第三象限、第三象限 D、第四象限、第四象限 cbxoyD练习2、已知二次函数已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所的图象如图所示示,下列结论下列结论a+ b + c0 abc0 b=2a。其中正确的结论的。

17、其中正确的结论的个数是（个数是（ ）A 1个个 B 2个个 C 3个个 D 4个个xyO-11mnD已知：一次函数已知：一次函数y=ax+c与二次函数与二次函数y=ax2+bx+c，它们在同一坐标系中的大，它们在同一坐标系中的大致图象是图中的（致图象是图中的（ ）练一练：练一练：xyoxyoxyoxyo（A）（B）（C）（D）Cxyo 已知二次函数已知二次函数 图象，尽可能多的图象，尽可能多的说出一些结论说出一些结论.(-1,0)(3,0)(0,-3)数形结合数形结合（1）a 0，b 2x+323yx 2yx你知道你知道 的解的个数吗？的解的个数吗？222xxx4,将抛物线将抛物线y=x2向下

18、平移后向下平移后,使使它的顶点它的顶点C与它在与它在x轴上的两个轴上的两个交点交点A,B组成等边三角形组成等边三角形ABC,求此抛物线的解析式求此抛物线的解析式.5,已知二次函数已知二次函数y=2x2+8mx+2m+3,如果如果它的图像的顶点在它的图像的顶点在x轴上轴上,求求m的值和顶的值和顶点坐标点坐标.6,已知抛物线已知抛物线y=0.25x2,把它的顶点移到把它的顶点移到x轴上的点轴上的点A, 所得的抛物线与所得的抛物线与y轴交于轴交于点点B,且线段且线段OA,OB满足关系满足关系OA-1 =OB,试说明平移方法试说明平移方法.练习一：一座拱桥的示意图如图，当水面宽练习一：一座拱桥的示意图

19、如图，当水面宽12m时，桥洞顶部离水面时，桥洞顶部离水面4m。已知桥洞的拱形是抛物。已知桥洞的拱形是抛物线，要求该抛物线的函数解析式，你认为首先要线，要求该抛物线的函数解析式，你认为首先要做的工作是什么？如果以水平方向为做的工作是什么？如果以水平方向为x轴，取以下轴，取以下三个不同的点为坐标原点：三个不同的点为坐标原点：（1）点）点A，（，（2）点）点B，（，（3）抛物线的顶点）抛物线的顶点C得的函数解析式相同吗？请试一试。哪种取法求得的函数解析式相同吗？请试一试。哪种取法求得的函数解析式最简单？得的函数解析式最简单？ABC4m12mEDBCOAxy练习练习2、已知、已知m,n是方程是方程x2

20、-6x+5=0的两个实数根，且的两个实数根，且mn,抛物抛物线线y=-x2+bx+c的图像经过点的图像经过点A(m,0),B(0,n)(1)求这个抛物线的解析式求这个抛物线的解析式(2)设（设（1）中抛物线与）中抛物线与x轴的另一交点为轴的另一交点为C，抛物线的顶点为，抛物线的顶点为D,试求出点试求出点C,D的坐标和三角形的坐标和三角形BCD的面积的面积已知抛物线已知抛物线yax2bxc与与Y轴交于点轴交于点A(0,3),与与X轴分别交于轴分别交于B(1,0),C(5,0)两点两点（1）求此抛物线的解析式）求此抛物线的解析式（2）若点）若点D为线段为线段OA的一个三等份点，求直线的一个三等份点

21、，求直线DC的解析式的解析式（3）若一个动点）若一个动点P自自OA的中点的中点M出发，先到达出发，先到达X轴上的某点（设为点轴上的某点（设为点E）,再到达抛物线的对称再到达抛物线的对称轴上某点（设为点轴上某点（设为点F）,最后运动到点最后运动到点A,求使点求使点P运动的总路径最短的点运动的总路径最短的点E,F的坐标，并求出这个的坐标，并求出这个最短路径长最短路径长3、（07.烟台）如图,已知抛物线L1y=x2-4的图像与x轴交于A C两点, (2)若点B是抛物线L1上的一动点(B不与A C重合)，以AC为对角线，A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D，求证：点D在L2上； (1)若抛物线L1与L2关于x轴对称，求L2 的解析式；(3)探索：当点B分别位于L1在x轴上 下两部分的图像上时，平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值？若存在,判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不存在，请说明理由