2019大一轮高考总复习文数（北师大版）讲义：第9章 第04节 直线与圆、圆与圆的位置关系 .doc

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1、第四节第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系 考点高考试题考查内容核心素养 2016全国卷 T65 分 直线与圆的位置关系数学运算 直线与圆的 位置关系 2016全国卷 T155 分 直线与圆的位置关系数学运算 命题分析 直线与圆的位置关系是高中数学的基础也是最重要的知识之一，是高 考的热点，一般以选择填空形式出现，主要考查直线与圆位置关系的 判断或根据位置关系求参数的值. 1直线与圆的位置关系 (1)三种位置关系：_相交_、_相切_、_相离_ (2)两种研究方法： Error!Error! 代数法 联立方程组消去xy 得一元二次方程，b24ac 几何法Error!Err

2、or! 圆心到直线的距离为d 半径为r (3)圆的切线方程常用结论 过圆 x2y2r2上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为 x0 xy0yr2 过圆(xa)2(yb)2r2上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0a)(xa)(y0b) (yb)r2 过圆 x2y2r2外一点 M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 x0 xy0yr2 2圆与圆的位置关系 设圆 O1：(xa1)2(yb1)2r (r10)，圆 O2：(xa2)2(yb2)2r (r20). 2 12 2 位置 关系 几何法：圆心距 d 与 r1，r2的关系 代数法：两圆方程联立 组成方程组的解的情况 外

3、离_dr1r2_无解_ 外切_dr1r2_一组实数解_ 相交_|r1r2|dr1r2_两组不同的实数解_ 内切_d|r1r2|(r1r2)_一组实数解_ 内含 _0d|r1r2|(r1r2)_ _无解_ 提醒： 1辨明两个易误点 (1)对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率 k 不存在的情 形 (2)两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形 2求圆的弦长的常用方法 (1)几何法：设圆的半径为 r，弦心距为 d，弦长为 l，则 2r2d2 ( l 2) (2)代数法：运用根与系数的关系及弦长公式： 设直线与圆的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB| |x1

4、x2| 1k2 1k2x1x224x1x2 注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题 1判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”) (1)“k1”是“直线 xyk0 与圆 x2y21 相交”的必要不充分条件( ) (2)过圆 O：x2y2r2上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程是 x0 xy0yr2.( ) (3)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切( ) (4)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交( ) (5)圆 C1：x2y22x2y20 与圆 C2：x2y24x2y10 的公切线有且仅有 2 条( ) 答案：(1) (2) (3) (4) (5) 2将圆

5、 x2y22x4y10 平分的直线是( ) A xy10 Bxy30 Cxy10 Dxy30 解析：选 C 因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选 C 3(教材习题改编)直线 xy10 与圆(x1)2y21 的位置关系是( ) A相切 B直线过圆心 C直线不过圆心，但与圆相交 D相离 解析：选 B d01r.直线过圆心 |101| 1212 4圆(x2)2y24 与圆(x2)2(y1)29 的位置关系为( ) A内切 B相交 C外切 D相离 解析：选 B 两圆的圆心距离为，两圆的半径之差为 1，之和为 5，而 10，所以直线 l 与圆相交 方法二 由题意知，圆心(0,1)到直线

6、 l 的距离 d3 ab2222 (ab)29，即 ab3 或 ab1， |ab1| 2 直线 xy10 与圆(xa)2(yb)21 相离 悟技法 1判断两圆位置关系的方法 方法 常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值 的关系，一般不用代数法 2两圆公共弦长的求法 求法 两圆公共弦长，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长的1 2， 半径r所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解 刷好题 1(2018太原一模)若圆 C1：x2y21 与圆 C2：x2y26x8ym0 外切，则 m( ) A21 B19 C9 D11 解析：选 C 圆 C1的圆心为 C1(0,0)，半径 r11， 因为圆

7、C2的方程可化为(x3)2(y4)225m， 所以圆 C2的圆心为 C2(3,4)，半径 r2(m25) 25m 从而|C1C2|5， 3242 由两圆外切得|C1C2|r1r2， 即 15，m9.故选 C 25m 2(2018湖南联考)已知圆 C1：x2y24x2y5a20 与圆 C2：x2y2(2b10) x2by10b160 相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且满足 x y x y ，则 b( ) 2 12 12 22 2 A B 5 3 3 5 C D 3 4 4 3 解析：选 A 两圆公共弦 AB 所在的直线方程为(2b14)x(22b) y5a210b160，圆 C1

8、的圆心 C1(2，1)，因为 x y x y ，所以 2 12 12 22 2 |OA|OB|(O 为坐标原点)，故 OC1AB，kOC1kAB1，得1，得 b . 1 2 142b 22b 5 3 选 A 直线与圆位置关系的综合 析考情 直线与圆的综合问题，特别是直线与圆相交的有关问题，是高考中的一个命题热点， 以选择、填空题的形式出现，有时也以解答题的形式考查，难度中低 提能力 命题点 1：直线与圆相切问题 【典例 1】 (2015山东卷)一条光线从点(2，3)射出，经 y 轴反射后与圆(x3) 2(y2)21 相切，则反射光线所在直线的斜率为( ) A 或 B 或 5 3 3 5 3 2

9、 2 3 C 或 D 或 5 4 4 5 4 3 3 4 解析：选 D 圆(x3)2(y2)21 的圆心为(3,2)，半径 r1.(2，3)关于 y 轴的对称点为 (2，3). 如图所示，反射光线一定过点(2，3)且斜率 k 存在，反射光线所在直线方程 为 y3k(x2)，即 kxy2k30 反射光线与已知圆相切，1， |3k22k3| k212 整理得 12k225k120，解得 k 或 k 3 4 4 3 命题点 2：直线与圆相交问题 【典例 2】 (2015全国卷)已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：(x2) 2(y3)21 交于 M，N 两点 (1)求 k 的取值

10、范围； (2)若12，其中 O 为坐标原点，求|MN| OM ON 解：(1)由题设，可知直线 l 的方程为 ykx1， 因为 l 与 C 交于两点，所以1 |2k31| 1k2 解得k 4 7 3 4 7 3 所以 k 的取值范围为 ( 4 7 3 ，4 7 3 ) (2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2) 将 ykx1 代入方程(x2)2(y3)21，整理得 (1k2)x24(1k)x70 所以 x1x2，x1x2 41k 1k2 7 1k2 x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)18 OM ON 4k1k 1k2 由题设可得812，解得 k1， 4k1k 1k2 所以 l

11、的方程为 yx1 故圆心 C 在 l 上，所以|MN|2 命题点 3：求弦长问题 【典例 3】 (2016全国卷)已知直线 l：mxy3m0 与圆 x2y212 交于 3 A，B 两点，过 A，B 分别做 l 的垂线与 x 轴交于 C，D 两点，若|AB|2，则 3 |CD|_ 解析：设 AB 的中点为 M，由题意知，圆的半径 R2，|AB|2，所以|OM|3， 33 解得 m， 3 3 由Error!Error!解得 A(3，)，B(0,2)， 33 则 AC 的直线方程为 y(x3)， 33 BD 的直线方程为 y2x， 33 令 y0，解得 C(2,0)，D(2,0)，所以|CD|4 答

12、案：4 悟技法 处理切线、弦长问题的策略 (1)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题 (2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长一半、弦心距、半径构成直角三角 形 刷好题 1(2015全国卷) 过三点 A(1,3)，B(4,2)，C(1，7)的圆交 y 轴于 M，N 两点，则 |MN|( ) A2 B8 6 C4 D10 6 解析：选 C 由已知得 kAB ，kBC3，kABkBC1，所以 ABBC，即 AC 为圆 1 3 的直径，圆心坐标为(1，2)，半径为 5，因此圆的标准方程为(x1)2(y2)225，所以 |MN|24，故选 C 52126 2过原点且倾斜角为 60的直线被圆 x2y24y0 所截得的弦长为_ 解析：直线方程 yx，xy0，圆心(0,2)，半径为 2， 33 圆心到直线距离 d1， |2| 3212 弦长：22 22123 答案：2 3