2019大一轮高考总复习文数（北师大版）讲义：第9章 第01节 直线的倾斜角与斜率、直线方程 .doc

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1、第一节直线的倾斜角与斜率、直线方程考点高考试题考查内容核心素养直线的斜率和倾斜角2017全国卷T2012分以圆锥曲线为载体的直线斜率问题数学运算直线方程2017全国卷T145分直线的斜率和直线方程数学运算2016全国卷T165分导数的几何意义与直线方程数学运算命题分析直线方程与直线的斜率倾斜角在近几年的高考中多以中低档题出现，主要考查基础知识和基本方法，往往会结合导数的几何意义，或线性规划进行考查.1直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角

2、为0.(2)倾斜角的取值范围为0,180).2直线的斜率(1)定义：若直线的倾斜角不是90，则斜率ktan .(2)计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k.3直线方程的几种形式名称条件方程适用范围点斜式斜率k与点(x0，y0)yy0k(xx0)不含直线xx0斜截式斜率k与截距bykxb不含垂直于x轴的直线两点式两点(x1，y1)，(x2，y2)不含直线xx1(x1x2)和直线yy1(y1y2)截距式截距a与b1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0(A2B20)平面直角坐标系内的直线都适用提醒：(1)求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直

3、线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率(2)根据斜率求倾斜角，要注意倾斜角的范围(3)直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式(4)由一般式AxByC0确定斜率k时易忽视判断B是否为0，当B0时，k不存在；当B0时，k.1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大()(2)直线的斜率为tan ，则其倾斜角为.()(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等()(4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程yy0k(xx0)表示()(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1

4、)(xx1)(y2y1)表示()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2(教材习题改编)一条直线过点A(2，3)，并且它的斜率等于直线xy0的斜率的2倍，则这条直线的方程为()Axy320B2xy340Cxy0D2xy0解析：选B直线xy0的斜率为，则所求直线的斜率为k.由点斜式得：y3(x2)，即：2xy340.3若直线l与直线y1，x7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，1)，则直线l的斜率为()ABCD解析：选B依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，则有解得a5，b3，从而可知直线l的斜率为.4若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为_解析：kAC1，k

5、ABa3.由于A，B，C三点共线，所以a31，即a4.答案：45(教材习题改编)若直线axmy2a0(a0)过点(1，)，则该直线的斜率为_解析：把点(1，)代入方程axmy2a0得：am2a0，所以ma，所以直线的斜率为k.答案：直线的倾斜角与斜率明技法求倾斜角的取值范围的2个步骤及1个注意点(1)2个步骤：求出斜率ktan 的取值范围；利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角的取值范围(2)1个注意点：求倾斜角时要注意斜率是否存在提能力【典例】 (1)直线2xcos y30的倾斜角的变化范围是()ABCD(2)若经过两点A(4,2y1)，B(2，3)的直线的倾斜角为，则y

6、等于_解析：(1)k2cos ，cos ，1k，1tan (为倾斜角)由于0，.(2)由ktan 1.得42y2，y3.答案：(1) B(2)3刷好题1经过点P(0，1)作直线l，若直线l与连接A(1，2)，B(2，1)的线段总有公共点，则直线l的倾斜角的范围是_解析：方法一如图所示，kPA1，kPB1，由图可观察出：直线l倾斜角的范围是.方法二由题意知，直线l存在斜率设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y1kx，即kxy10.A，B两点在直线的两侧或其中一点在直线l上，(k21)(2k11)0，即2(k1)(k1)0，1k1.直线l的倾斜角的范围是.答案：2(2018常州模拟)若ab0，则过

7、点P与Q的直线PQ的倾斜角的取值范围是_解析：kPQ0，又倾斜角的取值范围为0，)，故直线PQ的倾斜角的取值范围为.答案：直线方程明技法1求直线方程的方法(1)直接法：根据已知条件选择恰当的直线方程形式，直接求出直线方程 (2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)，求出待定系数，从而求出直线方程2直线方程求法中2个注意点(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)提能力【典例】 根据下列条件，分别

8、写出直线的方程：(1)经过点A(3,2)， B(3,5)；(2)直线过点(4,0)，倾斜角的正弦值为；(3)直线过点(5,10)，到原点的距离为5.解：(1)显然A、B的横坐标相同，故直线AB与y轴平行，其方程为x3.(2)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式设倾斜角为，则sin (0)，从而cos ，则ktan .故所求直线方程为y(x4)即x3y40或x3y40.(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x50；当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y10k(x5)，即kxy(105k)0.由点到直线的距离公式，得5，解得k.故所求直线方程为3x4y250.综上知，所求直线方程为x50或

9、3x4y250.刷好题求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等；(2)过点A(1，3)，斜率是直线y3x的斜率的倍解：(1)设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a0，即l过点(0,0)和(3,2)，l的方程为yx，即2x3y0.若a0，则设l的方程为1，l过点(3,2)，1，a5，l的方程为xy50，综上可知，直线l的方程为2x3y0或xy50.(2)设所求直线的斜率为k，依题意k3.又直线经过点A(1，3)，因此所求直线方程为y3(x1)，即3x4y150.直线方程的综合应用析考情直线及其方程在高考中单独命题的较少，通常与其他知识结合起来进行考查，有两种常见

10、方式：一是与导数结合，求曲线的斜率、倾斜角和切线方程等；二是与圆、圆锥曲线结合，考查直线与圆、圆锥曲线的位置关系等提能力命题点1：与直线方程有关的最值问题【典例1】 (2018潍坊模拟)直线l过点P(1,4)，分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A，B两点，O为坐标原点，当|OA|OB|最小时，求直线l的方程解：依题意，直线l的斜率存在且斜率为负，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y4k(x1)(k0)令y0，可得A；令x0，可得B(0,4k)|OA|OB|(4k)55549.当且仅当k且k0，即k2时，|OA|OB|取最小值这时直线l的方程为2xy60.命题点2：由直线方程解决参数问题【典例

11、2】 已知直线l：kxy12k0(kR)(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围(1)证明：直线l的方程是k(x2)(1y)0，令解得无论k取何值，直线总经过定点(2,1)(2)解：由方程知，当k0时直线在x轴上的截距为，在y轴上的截距为12k，要使直线不经过第四象限，则解得k0；当k0时，直线为y1，符合题意，故k0.悟技法处理直线方程综合应用的2大策略(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值刷好题1已知直线l

12、1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当0a2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值解：由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1在y轴上的截距为2a，直线l2在x轴上的截距为a22，所以四边形的面积S2(2a)2(a22)a2a42，当a时，面积最小2如图所示，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45和30角，过点P(1,0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线yx上时，求直线AB的方程解：由题意可得kOAtan 451，kOBtan(18030)，lOA：yx，lOB：yx.设A(m，m)，B(n，n)，AB的中点C，由点C在直线yx上，且A、P、B三点共线，得解得m，A(，)又P(1,0)，kABkAP.lAB：y(x1)，即直线AB的方程为(3)x2y30.