2019大一轮高考总复习文数（北师大版）讲义：第9章 第9节 第01课时 圆锥曲线中的最值与范围问题 .doc

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1、第九节第九节 圆锥曲线的综合应用圆锥曲线的综合应用 考点高考试题考查内容核心素养 2017全国卷T2012 分定点、定值问题圆锥曲线的 综合应用2015全国卷T2012 分定值问题 数学运算 逻辑推理 命题分析 高考对本节内容的考查以解答题为主，难度较大，考题大多围绕直线与 圆锥曲线的位置关系展开对定值，最值，参数取值范围等问题的考查. 第一课时第一课时 圆锥曲线中的最值与范围问题圆锥曲线中的最值与范围问题 圆锥曲线中的最值问题 明技法 圆锥曲线中求解最值问题的常用方法 (1)建立函数模型：利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值 (2)建立不等式模型：利用基本不等式求最值 (3

2、)数形结合：利用相切、相交的几何性质求最值 提能力 【典例】 (2018安阳月考)设椭圆 M：1(ab0)的离心率与双曲线 y2 a2 x2 b2 x2y21 的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为 4 (1)求椭圆 M 的方程； (2)若直线 yxm 交椭圆 M 于 A，B 两点，P(1，)为椭圆 M 上一点，求PAB 22 面积的最大值 解：(1)由题可知，双曲线的离心率为，则椭圆的离心率 e ， 2 c a 2 2 由 2 a4， ，b2a2c2，得 a2，c，b， c a 2 222 故椭圆 M 的方程为1 y2 4 x2 2 (2)联立方程Error!Error! 得 4x22mxm24

3、0， 2 由 (2m)216(m24)0，得2m2 222 且Error!Error! 所以|AB|x1x2| 123x1x224x1x2 3 1 2m2m243 4m2 2 又 P 到直线 AB 的距离为 d， |m| 3 所以 SPAB |AB|d 1 2 3 2 4m2 2 |m| 3 1 2 (4 m2 2)m2 1 2 2 m28m2 1 2 2 m28m2 22 当且仅当 m2(2，2)时取等号， 22 所以(SPABmax) 2 刷好题 1已知椭圆1(0b2)与 y 轴交于 A，B 两点，点 F 为该椭圆的一个焦点，则 x2 4 y2 b2 ABF 的面积的最大值为_. 解析：不

4、妨设点 F 的坐标为(，0)，而|AB|2b， 4b2 SABF 2bb2(当且仅当 1 24b24b2 b24b2 b24b2 2 b24b2，即 b22 时取等号)，故ABF 面积的最大值为 2 答案：2 2(2018长春模拟)已知抛物线 y24x 的焦点为 F，过点 F 的直线交抛物线于 A，B 两 点 (1)若2，求直线 AB 的斜率； AF FB (2)设点 M 在线段 AB 上运动，原点 O 关于点 M 的对称点为 C，求四边形 OACB 面积 的最小值 解：(1)依题意知 F(1,0)， 设直线 AB 的方程为 xmy1 将直线 AB 的方程与抛物线的方程联立，消去 x 得 y2

5、4my40 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 所以 y1y24m，y1y24. 因为2， AF FB 所以 y12y2. 联立和，消去 y1，y2，得 m 2 4 所以直线 AB 的斜率是2 2 (2)由点 C 与原点 O 关于点 M 对称，得 M 是线段 OC 的中点，从而点 O 与点 C 到直线 AB 的距离相等，所以四边形 OACB 的面积等于 2SAOB 因为 2SAOB2 |OF|y1y2|4， 1 2y1y224y1y21m2 所以当 m0 时，四边形 OACB 的面积最小，最小值是 4 圆锥曲线中的范围问题 明技法 圆锥曲线中求解范围问题的常用方法 (1)利用圆锥曲线的几

6、何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围 (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间 的等量关系 (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围 (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围 (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参 数的取值范围 提能力 【典例】 (2018贵阳监测)已知椭圆 C：1(ab0)的离心率为，且椭圆 y2 a2 x2 b2 6 3 C 上的点到一个焦点的距离的最小值为 32 (1)求椭圆 C 的方程； (2)已知过点 T(0,2)的直线 l 与椭圆 C 交

7、于 A，B 两点，若在 x 轴上存在一点 E，使 AEB90，求直线 l 的斜率 k 的取值范围 解：(1)设椭圆的半焦距长为 c， 则由题设有Error!Error! 解得 a，c，b21， 32 故椭圆 C 的方程为x21 y2 3 (2)由已知可得，以 AB 为直径的圆与 x 轴有公共点 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 中点为 M(x0，y0)， 将直线 l：ykx2 代入x21， y2 3 得(3k2)x24kx10， 12k212，x1x2，x1x2 4k 3k2 1 3k2 x0，y0kx02， x1x2 2 2k 3k2 6 3k2 |AB|x1x2| 1k21k2

8、x1x224x1x2 ， 1k2 12k212 3k2 2 3 k41 3k2 由题意可得Error!Error! 解得 k413，即 k或 k 4 13 4 13 故直线 l 的斜率 k 的取值范围是 (，) 4 13 4 13 刷好题 (2018贵阳月考)设椭圆 E：1(a0)的焦点在 x 轴上，且椭圆 E 的焦距为 x2 a2 y2 8a2 4 (1)求椭圆 E 的标准方程； (2)过椭圆外一点 M(m,0)(ma)作倾斜角为的直线 l 与椭圆交于 C，D 两点，若椭圆 5 6 E 的右焦点 F 在以弦 CD 为直径的圆的内部，求实数 m 的取值范围 解析：(1)椭圆1(a0)的焦点在

9、x 轴上，a2b2c2， x2 a2 y2 8a2 a28a2，即 a24， 又a2(8a2)4，a26， 所以椭圆方程为1 x2 6 y2 2 (2)因为直线 l 的倾斜角为，则直线 l 的斜率 ktan ， 5 6 5 6 3 3 直线 l 的方程为 y(xm)(m)， 3 36 设 C(x1，y1)，D(x2，y2)， 由Error!Error!消去 y 得 2x22mxm260， x1x2m，x1x2， m26 2 且 (2m)28(m26)0，即 m212， 椭圆的右焦点 F 在以弦 CD 为直径的圆的内部， 0，即(x12)(x22)y1y20， FC FD 4x1x2(m6)(x1x2)m2120， 4(m6)mm2120， m26 2 即 m23m0，则 0m3， 又 m，m212，m(，3) 66 实数 m 的取值范围(，3) 6