如何利用待定系数法求函数表达式.doc

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1、如何利用待定系数法求函数表达式如何利用待定系数法求函数表达式计成保计成保数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。20 世纪中叶以来，数学自身发生了巨大的变化，特别是与计算机的结合，使得数学在研究领域、研究方式和应用范围等方面得到了空前的拓展。义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐的发展。初中阶段的数学学习和数学思维的培养是至关重要的。中学数学老师都知道，初中的函数部分是整个初中阶段的重点和难点， 新课程标准中是这样要求的：要能根据已知条件确定一次函数、反比例函数、二次函数的表达式。而待定系数法是确定函数表达式的重要方法

2、之一，下面根据我在实际教学中的经验和大家一起谈谈如何利用待定系数法来求初中阶段常见函数的表达式。待定系数法其实就是一种求未知数的方法，其实质就是方程思想。待定系数法的作用很多，比如在因式分解中就常常用到待定系数法。用待定系数法求函数表达式大致可分为以下四个步骤：一、如何根据题目的叙述或图形的表达确定一个含有系数的函数表达式。一、如何根据题目的叙述或图形的表达确定一个含有系数的函数表达式。第一要想得到一个含有系数函数表达式，是要记住初中所学习的各种常见函数表达式。一次函数表达式为 y=kx+b(k0)，其中当 b=0 时为正比例函数，其表达式为 y=kx(k0)。反比例函数表达式为 y=(k0)

3、。xk而二次函数表达式种类相对要多一点：其中一般形式为 y=ax2+bx+c(a0)；当函数图像经过原点时表达式为 y=ax2+bx(a0)；当函数图像的顶点在原点时表达式为 y=ax2(a0)；当函数图像的顶点在 y 轴上时表达式为 y=ax2+k(a0)；当函数图像的顶点在 x 轴上时表达式为 y=a（xh）2(a0)；当给出顶点坐标（h，k）时，其函数表达式为 y=a（xh）2+k(a0)，例如：顶点为（2，3）则函数表达式为 y=a（x2）23(a0)、顶点为（3，5）则函数表达式为 y=a（x+3）2+5(a0)。 若二次函数图象与 x 轴的交点坐标为（m，0） 、 （n，0）则函数

4、表达式为 y=a(xm)(xn) (a0) ，例如：二次函数图象与 x 轴的交点坐标为（2，0） 、 （5，0）则函数表达式为 y=a(x2)(x+5) (a0) 。若二次函数图象上有两个点坐标为（m，e） 、 （n，e）则函数表达式为 y= a(xm)(xn)+e (a0)，例如：二次函数图象上有两个点坐标为（3，3） 、 （7，3）则函数表达式为 y= a(x3)(x7)+3(a0)。第二是利用平移对称的方法得到函数表达式。对于一次函数来说平移前后的 k 不变，或者说是两直线平行时 k 的值是相同的。例如：一条直线与直线 y=6x+1 平行则可设该直线为 y=6x+b。对于二次函数来说平移

5、前后的 a 不变，例如：函数 y=2x23x+5 平移后的函数表达式为 y=2x2+bx+c；函数 y=4（x2）23 平移后的函数表达式为 y=4（xh）2+k；关于平行与 y 轴的直线对称时的 a 也是不变的，例如：函数 y=2x23x+5 关于平行于 y 轴的直线对称的函数表达式为 y=2x2+bx+c；函数 y=4（x2）23 关于平行与 y 轴的直线对称的函数表达式为y=4（xh）2+k；关于平行于 x 轴的直线对称时 a 则变为a，例如：函数 y=2x23x+5 关于平行于 x 轴的直线对称的函数表达式为式为 y=2x2+bx+c；函数 y=4（x2）23 关于平行与 x 轴的直线

6、对称时的函数表达式为 y=4（xh）2+k。第三是根据题目的叙述得到的函数表达式。例如：y+3 与 x 成正比例关系则函数表达式为y+3=kx(k0)；y2 与 x +3 成反比例关系则表达式为 y2=(k0)；y=y1+y2且 y1与 x2成正比例，3xky2与 x+3 成反比例则函数表达式为 y=k 1x2+( k 10，k 20)32 xk第四是利用熟悉的函数图象得到函数表达式，对于利用图像得到表达式一定要记住常见的函数图像。例如：当图像如图（1）时，其函数表达式为 y=kx(k0)；图（1）当图像如图（2）时，其函数表达式为 y=kx+b(k0)； 图（2）当图像如图（3）时，其函数表

7、达式为 y=ax2+bx(a0)；图（3）当图像如图（4）时，其函数表达式为 y=ax2(a0)； 图（4）当图像如图（5）时，其函数表达式为 y=ax2+k (a0)；图（5）当图像如图（6）时，其函数表达式为 y=a（xh）2(a0)图（6）当图像如图（7）时，其函数表达式为 y=ax2+bx+c 或 y=a（xh）2+k(a0) 图（7）当图像如图（8）时，其函数表达式为 y=(k0)。xk图（8）二、观察刚刚得到的函数表达式中有几个系数，那么就必须有相应的几个点的坐标。二、观察刚刚得到的函数表达式中有几个系数，那么就必须有相应的几个点的坐标。需要一个点坐标的有：y=kx(k0)，y=(

8、k0)，y=ax2(a0)，y+3=kx(k0)，y2=(k0)等；xk 3xk需要两个点坐标的有：y=kx+b(k0)，y=ax2+bx(a0)， y=k1x2+(k10，k20)等；32 xk而 y=ax2+bx+c(a0)就需要三个点坐标了。还有些特殊的如：y=ax2+k(a0)，y=a（xh）2(a0)表面看是需要两个点的坐标。如（1，2）和（3，4）在 y=ax2+k，y=a（xh）2的函数图像上，把（1，2）和（3，4）分别带入 y=ax2+k 得 解得： kaka223412 4741ka所以函数表达式为：y=x2+，这个问题还是比较好解决的。41 47但是把（1，2）和（3，4

9、）分别带入 y=a（xh）2得22)3(4)1 (2haha这个方程组就不是太好解决了。所以我们一般不这样求，k 和 h 通过其它方式得到。 （后面会讲到这个问题）y=a（xh）2+k(a0)表面看是需要三个点的坐标，但一般只需要顶点（h，k）和另一个点的坐标；y=a(xm)(xn)(a0)表面看需要三个点的坐标，但一般是给与 x 轴的交点（m，0） 、 （n，0）和另外一个点的坐标来求；y=a(xm)(xn)+e (a0)表面上看是需要四个点的坐标，但一般是给（m，e） 、 （n，e）和另外一个点的坐标。三、将这几个点的坐标代入函数表达式中，就会得到方程组，解出方程组，确定待定系数的值。三、

10、将这几个点的坐标代入函数表达式中，就会得到方程组，解出方程组，确定待定系数的值。四、将函数表达式中的系数换成你所解得的相应的值。四、将函数表达式中的系数换成你所解得的相应的值。比如比如：（3，2）这个点在 y=kx(k0)，y=(k0)，y=ax2(a0)，y+3=kx(k0)，y2=(k0)的xk 3xk函数图像上，把（3，2）带入 y=kx 得 2=3k 解得 k= 所以函数表达式为：y=x32 32把（3，2）带入 y=得 2=解得 k=6 所以函数表达式为：y=xk 3k x6把（3，2）带入 y=ax2得 2=32a 解得 a= 所以函数表达式为：y=x292 92把（3，2）带入

11、y+3=kx 得 2+3=3k 解得 k= 35所以函数表达式为：y+3=x 但我们习惯写成：y=x335 35把（3，2）带入 y2=得 32=解得 k=63xk 33k所以函数表达式为：y2=但我们习惯写成：y=+236 x36 x又如又如：（1，2）和（3，4）在 y=kx+b(k0)，y=ax2+bx(a0)，y=k1x2+(k10，k20)的函数图32 xk像上，把（1，2）和（3，4）分别带入 y=kx+b 得解得 bkbk342 11 bk所以函数表达式为：y=x+1把（1，2）和（3，4）分别带入 y=ax2+bx 得解得baba3341222 3731ba所以函数表达式为：y

12、=x2+x3137把（1，2）和（3，4）分别带入 y=k1x2+得 解得32 xk 332431122 122 12kkkk 565421kk所以函数表达式为：y=x254 ）（356 x再比如再比如：（2，3） 、 （1，1） 、 （4，5）在 y=ax2+bx+c 的图像上，则把（2，3） 、 （1，1） 、 （4，5）分别带入y=ax2+bx+c 得到解得 cbacbacba4451122322223123354cba所以函数表达式为：y=x2+x54 1233 23最后对于几种特殊情况的分别举例加以说明：例题 1、如图（9）所示，该抛物线还经过点（1，5） ，求该函数表达式。解：由图

13、可设函数表达式为 y=a（x+1）2(a0)把（1，5）代入 y=a（x+1）2得：5=a（1+1）2解得 a=45所以函数表达式为：y=（x+1）245例题 2、如图（10）所示，求该函数表达式。解：可设函数表达式为 y=a（x2）2+4(a0)把（3，3）代入 y=a（x2）2+4 得：3=a（32）2+4解得：a=251所以函数表达式为：y=（x2）2+4251图（9） 图（10）例题 3、已知某二次函数的图像过（2，0） 、 （4，0）和（6，1） ，求该二次函数的表达式。解：可设函数表达式为 y=a(x2)(x4) (a0)把（6，1）代入 y=a(x2)(x4)得：1=a(62)(

14、64)解得：a=81所以函数表达式为：y= (x2)(x4)81例题 4、已知某二次函数的图像过（2，3） 、 （4，3）和（6，1） ，求该二次函数的表达式。解：可设函数表达式为 y=a(x2)(x4)+3(a0)把（6，1）代入 y=a(x2)(x4)+3 得：1=a(62)(64)+3解得：a=21所以函数表达式为：y= (x2)(x4)+321以上所提到的利用待定系数法求函数表达式的方法，主要是针对初中阶段函数求表达式的方法。对于文中所提到的各种方法要仔细的阅读和理解，里面的例题主要是起到解释和说明作用，在实际应用中要灵活运用，不能生搬硬套。希望读者能结合具体情况，尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，并能有效的解决问题，尝试评价不同方法之间的差异。