11第11章弯曲内力.ppt

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1、 第一节第一节 平面弯曲的概念及梁的计算简图平面弯曲的概念及梁的计算简图 第二节第二节 梁的内力计算梁的内力计算 第三节第三节 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系第十一章第十一章 弯曲内力弯曲内力v梁的弯曲变形是工程实际中非常重要的一种构件变梁的弯曲变形是工程实际中非常重要的一种构件变形形式，本章主要介绍梁在弯曲变形时的内力计算，形形式，本章主要介绍梁在弯曲变形时的内力计算，包括剪力和弯矩的计算。学习时要重点掌握采用截包括剪力和弯矩的计算。学习时要重点掌握采用截面法确定剪力和弯矩的计算，能够做出正确的剪力面法确定剪力和弯矩的计算，能够做出正确的剪力图和弯矩图，熟悉作剪力图

2、和弯矩图的具体方法。图和弯矩图，熟悉作剪力图和弯矩图的具体方法。同时要掌握载荷集度、剪力和弯矩之间的微分关系。同时要掌握载荷集度、剪力和弯矩之间的微分关系。教学目的和要求教学目的和要求v截面法求剪力和弯矩；截面法求剪力和弯矩；v剪力方程和弯矩方程；剪力方程和弯矩方程；v剪力图和弯矩图；剪力图和弯矩图；v载荷集度、剪力和弯矩之间的关系。载荷集度、剪力和弯矩之间的关系。教学重点教学重点v剪力和弯矩的方向判定；剪力和弯矩的方向判定；v剪力方程和弯矩方程的列法；剪力方程和弯矩方程的列法；v三种作剪力图和弯矩图的方法；三种作剪力图和弯矩图的方法；v载荷集度、剪力和弯矩之间的关系。载荷集度、剪力和弯矩之间

3、的关系。教学难点教学难点第一节第一节 平面弯曲的概念及梁的计算简图平面弯曲的概念及梁的计算简图一、平面弯曲的概念一、平面弯曲的概念工程实例工程实例 弯曲变形弯曲变形杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩的作用时杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩的作用时, ,其轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲变形。其轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲变形。梁梁以以弯曲变形为主的杆件通常称为梁。弯曲变形为主的杆件通常称为梁。常见梁的截面形状常见梁的截面形状平面弯曲平面弯曲当所有的外力都作用在梁的纵向对称面内时，梁当所有的外力都作用在梁的纵向对称面内时，梁变形后轴线所在的平面与外力所在的平面相重合，这种弯曲称变形后轴线所在的平面

4、与外力所在的平面相重合，这种弯曲称为为平面弯曲平面弯曲。纵向对称面纵向对称面MF1F2q二、梁的计算简图二、梁的计算简图 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。1. 杆件的简化杆件的简化 通常取通常取梁的轴线梁的轴线来代替梁。来代替梁。轴线是杆件横截面形心的连线。轴线是杆件横截面形心的连线。折杆或曲杆可用中心线代替。折杆或曲杆可用中心线代替。 2. 载荷的分类载荷的分类 作用于梁上的载荷（包括支座反力）有三种类型：作用于梁上的载荷（包括支座反力）有三种类

5、型： 集中载荷、均布载荷和集中载荷、均布载荷和集中力偶集中力偶。简支梁简支梁外伸梁外伸梁悬臂梁悬臂梁m3.支座的分类支座的分类一、剪力和弯矩一、剪力和弯矩已知如图所示，已知如图所示，F、a、l。 求距求距A端端x处截面上内力。处截面上内力。FaFlFYAFXAFBAABB（1）求外力）求外力 lalFYlFaFmXAYBAAX)(F , 0 , 00F , 0第二节第二节 梁的内力计算梁的内力计算ABPFYAFXAFBmmx（2）求内力，应用）求内力，应用截面法截面法xFMmlalFFQYAYCAY , 0)( , 0AFYAQMFBFMQ 弯曲构件内力弯曲构件内力剪力剪力Q弯矩弯矩M弯矩弯矩

6、M 构件受弯时，横截面上构件受弯时，横截面上位于轴线所在平面内的内力偶。位于轴线所在平面内的内力偶。矩心为横截面形心矩心为横截面形心。 CC 剪力剪力Q 构件受弯时，横截面上过截面形心且平行于截面的内力构件受弯时，横截面上过截面形心且平行于截面的内力。内力的正负规定内力的正负规定: :（1 1）剪力剪力Q。 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。（2 2）弯矩弯矩M。使微段梁产生上弯趋势的为正弯矩；反之为负弯矩。使微段梁产生上弯趋势的为正弯矩；反之为负弯矩。Q(+)Q()Q()Q(+)M(+)M(+)M()M()上弯为正上弯为正左上右下为正左上右下为正例例

7、11-1 如图所示简支外伸梁，受集中力偶如图所示简支外伸梁，受集中力偶M和均布荷载和均布荷载q的的作用。求梁的作用。求梁的1-1、2-2、3-3、4-4截面上的剪力和弯矩。截面上的剪力和弯矩。 M A B RA RB 1 1 x a a a q B C D 2 2 3 3 4 4 解解 （1）计算支座反力。）计算支座反力。0BMqaaMFqaMaFAA412021220Y4520qaaMFqaFFBBA0AM02252aFqaMB由由得得由由得得由由校核校核可据此判断支座反力计算正确。可据此判断支座反力计算正确。（2）计算剪力。）计算剪力。 如图所示，设如图所示，设1-1截面上的剪力为截面上的

8、剪力为Q1（按规定其图示（按规定其图示为正向），可得为正向），可得x A 1 1 a y C FA Q1 M1 0Y01QFAAFQ 1AFQ 2AFQ 3BAFFQ4同理可得 0CM01MaFAaFMA1MaFMA23MaFMA24 (3)计算弯矩。计算弯矩。如图所示，设如图所示，设1-1截面上的弯矩为截面上的弯矩为M1（按规定其图示为（按规定其图示为正向），可得正向），可得同理可得 MaFMA2由以上例题可以得出结论：由以上例题可以得出结论：v（1）计算内力时按支座反力的实际方向确定其正负号，）计算内力时按支座反力的实际方向确定其正负号，与坐标系相一致。与坐标系相一致。v（2）计算弯曲内力

9、时，选用截面左侧还是右侧计算应以）计算弯曲内力时，选用截面左侧还是右侧计算应以计算简便为原则。计算简便为原则。v（3）集中力作用处，左、右两侧的剪力不同，弯矩相同。）集中力作用处，左、右两侧的剪力不同，弯矩相同。v（4）集中力偶作用处，左、右两侧面上的剪力相同，但）集中力偶作用处，左、右两侧面上的剪力相同，但弯矩不同。弯矩不同。 内力与横截面位置坐标内力与横截面位置坐标x间的函数关系式为间的函数关系式为2. 2. 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图)(xQQ 剪力方程；)(xMM 弯矩方程。)(xQQ 剪力图的图线表示；)(xMM 弯矩图的图线表示。二、剪力图和弯矩图二、剪力图和弯矩图1.剪力方程和

10、弯矩方程剪力方程和弯矩方程一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置不同而变化 剪力图、弯矩图剪力图、弯矩图v剪力、弯矩方程法剪力、弯矩方程法 )()(xMMxQQ剪力方程剪力方程弯矩方程弯矩方程 剪力图剪力图弯矩图弯矩图 例例11-2 已知如图悬臂梁受均布荷载已知如图悬臂梁受均布荷载q的作用，梁的长度为的作用，梁的长度为l。求作此梁的剪力图和弯矩图。求作此梁的剪力图和弯矩图。 Lq LxAB解（1）求支座反力。 0Y0qlFAqlFA0AM022qlMA22qlMA (2)写出内力方程。(3)根据方程画内力图。qlQmax22maxqlMFA x（+） QqxFQAxFqxMMAA22)0

11、(lx x 22ql82qlM 2l 例例11-3 已知图示简支梁，受力已知图示简支梁，受力P、2P的作用的作用,AC=CD=DB=a。作剪力图和弯矩图，确定作剪力图和弯矩图，确定Qmax和Mmax。 解解 （1）求支座约束反力。02230020aPaPaFMPPFFYABBA得 FA=4P/3，FB=5P/3 aaxPPPFxQaaxPPFxQaxPFxQAAA3,233522,31, 03433222111（2）列剪力方程和弯矩方程。 （3）绘制Q图和M图。显然在三段内中剪力皆为常值，在剪力图中是三条水平线段，如图所示； 弯矩方程都是一次函数，在弯矩图中为三条直线段，如图所示。 （4）最大

12、剪力和最大弯矩值。m axm ax5533QPMPa当梁上有几项载荷同时作用时，由每一项载荷所引起的梁当梁上有几项载荷同时作用时，由每一项载荷所引起的梁的支座反力、剪力和弯矩都不受其他载荷的影响。这样，的支座反力、剪力和弯矩都不受其他载荷的影响。这样，就可以先分别计算出梁在各项载荷作用下某一截面上的剪就可以先分别计算出梁在各项载荷作用下某一截面上的剪力和弯矩，再求出它们的代数和，即得到梁在这几项载荷力和弯矩，再求出它们的代数和，即得到梁在这几项载荷共同作用下该截面上的剪力和弯矩。此即共同作用下该截面上的剪力和弯矩。此即叠加法叠加法。 例例11-4 如图所示外伸简支梁，已知梁受均布荷载如图所示外

13、伸简支梁，已知梁受均布荷载q作用，作用，CB=a,AC=a/2。作剪力图和弯矩图，确定作剪力图和弯矩图，确定 Q max和和 M max。 ，02232300230aaqaFMaqFFYCBBC解解 （1）求支座约束反力。得 (2)列剪力方程和弯矩方程。 )23,2(89)2, 0 (222221111aaxqxqaFqxxQaxqxxQCqaFC89qaFB83（3）绘制Q图和M图 。（4）最大剪力和最大弯矩值。 2maxmax598128qaqaQMv（1）任一截面上的剪力和弯矩）任一截面上的剪力和弯矩始终假定为正向始终假定为正向。这样由平。这样由平衡方程所得结果的正负号就与正负号规定相一

14、致。衡方程所得结果的正负号就与正负号规定相一致。v（2）截面位置参数可以都从坐标原点算起，也可以从另外）截面位置参数可以都从坐标原点算起，也可以从另外的点算起，仅需的点算起，仅需写清方程的适用范围写清方程的适用范围即可。即可。v（3）方程的适用范围，在）方程的适用范围，在集中力集中力（包括支座反力）作用处，（包括支座反力）作用处，剪力方程应为开区间，因在此处剪力方程应为开区间，因在此处剪力图有突变剪力图有突变；在；在集中力偶集中力偶作用处，弯矩方程应为开区间，因在此处作用处，弯矩方程应为开区间，因在此处弯矩方程有突变弯矩方程有突变。v（4）若所得方程为）若所得方程为x的二次或二次以上方程，则在

15、作图时除的二次或二次以上方程，则在作图时除计算该段的端值外，应注意曲线的凸、凹向极值。计算该段的端值外，应注意曲线的凸、凹向极值。 列剪力方程与弯矩方程和绘制剪力与弯矩方程时应注意：列剪力方程与弯矩方程和绘制剪力与弯矩方程时应注意：一、载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系一、载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系对dx 段进行平衡分析，有0)(d)(d)()(0 xQxQxxqxQY即为)(dd)(xQxxqdxxq(x)q(x)M(x)+d M(x)Q(x)+d Q(x)Q(x)M(x)dxAy xqxxQddx第三节第三节 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系剪力与分布载荷间的关

16、系为剪力与分布载荷间的关系为0)(d)()(d(21)()d( 02xMxMxxqxMxxQMA即为)(d)(dxQxxM)(d)(dd)(d22xqxxQxxM 弯矩与分布载荷间的关系为弯矩与分布载荷间的关系为弯矩、剪力与分布载荷间的关系为弯矩、剪力与分布载荷间的关系为 Q图上某处的斜率等于梁在该处的分布载荷集度图上某处的斜率等于梁在该处的分布载荷集度q； M图上某处的斜率等于图上某处的斜率等于梁在该处的剪力梁在该处的剪力Q。二、几种常见载荷作用下梁的内力图特征二、几种常见载荷作用下梁的内力图特征外力外力无分布载荷段均布载荷段集中力集中力偶q=0q0q0QFs 0 x斜直线增函数xQxQ降函

17、数xQCQ1Q2Q1 Q2 =P 突变xQC无变化斜直线xM增函数xM降函数抛物线xM凸状xM凹状折角 突变xMMxmMM211M 2M例例11-5 如图所示外伸简支梁，同时受集中力如图所示外伸简支梁，同时受集中力F，弯矩，弯矩M0，均布载荷均布载荷q作用，试作出梁的剪力图、弯矩图。作用，试作出梁的剪力图、弯矩图。 A B 06.MKN m114F=3KN C D q=2KN/m 0AM3.8BFKN 0BM7.2AFKN解解 （1）根据平衡条件求支座反力。 校核其无误。 0Y 由（2）由微分关系判断各段的Q-图、M-图的形状。Q 图M 图载荷0q 0qC0q 倾斜直线倾斜直线(3)从左向右绘

18、制剪力图和弯矩图。 (-) (+) (-) E -3KN 4.2KN 3.8KN.m Q x 3.8KN.m (-) (+) 1.41.KN m(+) -3KN.m M x 本章小结v1.梁弯曲时横截面上有两种内力：剪力和弯矩。梁弯曲时横截面上有两种内力：剪力和弯矩。 确定横截面上剪力和弯矩的基本方法是截面法。在掌握这确定横截面上剪力和弯矩的基本方法是截面法。在掌握这一方法的基础上，也可以直接利用外力确定剪力和弯矩。一方法的基础上，也可以直接利用外力确定剪力和弯矩。 微段左上右下，剪力为正；微段上凹下凸，弯矩为正。微段左上右下，剪力为正；微段上凹下凸，弯矩为正。v2.本章主要介绍了三种作剪力图

19、和弯矩图的方法：本章主要介绍了三种作剪力图和弯矩图的方法： （1）根据剪力方程和弯矩方程作图；）根据剪力方程和弯矩方程作图； （2）用叠加法作图；）用叠加法作图； （3）用载荷集度、剪力和弯矩三者之间的微分关系作图。）用载荷集度、剪力和弯矩三者之间的微分关系作图。其中，用剪力方程和弯矩方程作图是最基本的方法，要重其中，用剪力方程和弯矩方程作图是最基本的方法，要重点掌握。点掌握。本章小结v3.作剪力图和弯矩图的基本方法，可分为以下几个步骤：作剪力图和弯矩图的基本方法，可分为以下几个步骤： （1）根据平衡条件求支座反力；）根据平衡条件求支座反力； （2）在集中力（包括支座反力）、集中力偶作用处，或

20、均）在集中力（包括支座反力）、集中力偶作用处，或均布布荷载规律发生变化处分段；荷载规律发生变化处分段； （3）列出各段梁的剪力方程和弯矩方程；）列出各段梁的剪力方程和弯矩方程； （4）根据剪力和弯矩方程画出剪力图和弯矩图；）根据剪力和弯矩方程画出剪力图和弯矩图； （5）确定最大剪力和最大弯矩及其所在的截面。）确定最大剪力和最大弯矩及其所在的截面。v4.载荷集度载荷集度q、剪力、剪力Q和弯矩和弯矩M三者之间有以下的微分关系，三者之间有以下的微分关系，即即 由这些关系，可以得到剪力图和弯矩图的一些规律。利用这由这些关系，可以得到剪力图和弯矩图的一些规律。利用这些规律，可校核所作内力图的正误，更简捷的作出内力图。些规律，可校核所作内力图的正误，更简捷的作出内力图。qdxdQQdxdMqdxMd22 谢谢大家！