第5章 弯曲内力.ppt

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1、第第5 5章章 弯曲内力弯曲内力5-1 5-1 平面弯曲、梁的计算简图平面弯曲、梁的计算简图5-2 5-2 弯曲内力弯曲内力剪力、弯矩剪力、弯矩5-3 5-3 剪力、弯矩方程及剪力图和弯矩图剪力、弯矩方程及剪力图和弯矩图 5-4 Q5-4 Q、M M、q q之间的关系之间的关系5.1 5.1 平面弯曲、梁的计算简图平面弯曲、梁的计算简图 一、基本概念一、基本概念2 2、梁、梁 以弯曲变形为主的杆件以弯曲变形为主的杆件外力（包括力偶）的作用线垂直于杆轴线。外力（包括力偶）的作用线垂直于杆轴线。(1)(1)受力特征受力特征(2)(2)变形特征变形特征 变形前为直线的轴线变形前为直线的轴线,变形后成

2、为曲线。变形后成为曲线。1 1、弯曲变形、弯曲变形3 3、平面弯曲、平面弯曲 作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内,弯曲变形后的弯曲变形后的轴线是一条在该纵向对称面内的平面曲线轴线是一条在该纵向对称面内的平面曲线,这种弯曲称为平面弯曲。这种弯曲称为平面弯曲。5.1 5.1 平面弯曲、梁的计算简图平面弯曲、梁的计算简图AB对称轴对称轴纵向对称面纵向对称面梁变形后的轴线与梁变形后的轴线与外力在同一平面内外力在同一平面内梁的轴线梁的轴线RAF1F2RB5.1 5.1 平面弯曲、梁的计算简图平面弯曲、梁的计算简图(3(3）支座的类型支座的类型4 4、梁的力学模型的简

3、化、梁的力学模型的简化(1）梁的简化梁的简化 通常取梁的轴线来代替梁通常取梁的轴线来代替梁。(2(2）载荷类型）载荷类型集中力集中力集中力偶集中力偶分布载荷分布载荷 可动铰支座可动铰支座FyAAAA5.1 5.1 平面弯曲、梁的计算简图平面弯曲、梁的计算简图固定铰支座固定铰支座固定端固定端AAAFYAFXFyFxM5.1 5.1 平面弯曲、梁的计算简图平面弯曲、梁的计算简图5 5、梁的分类、梁的分类（a）简支梁简支梁（b）悬臂梁悬臂梁（c）外伸梁外伸梁（d）静定组合梁静定组合梁中间铰中间铰静定梁静定梁5.1 5.1 平面弯曲、梁的计算简图平面弯曲、梁的计算简图（e）静不定梁静不定梁支座反力不能

4、由静力平衡方程完全支座反力不能由静力平衡方程完全 确定的梁。确定的梁。一、内力计算一、内力计算已知已知 如图，如图，F，a，l.求求 距距A端端x处截面上内力处截面上内力.解解:求支座反力求支座反力5-2 梁的弯曲内力梁的弯曲内力BAalFFyFxRBABF求内力求内力截面法截面法 弯曲构件内力弯曲构件内力剪力剪力弯矩弯矩1、弯矩、弯矩M 构件受弯时，横截面上其作用面垂构件受弯时，横截面上其作用面垂直于截面的内力偶矩。直于截面的内力偶矩。MFyFxRBABFmmxFyFSCFRBFSCM2、剪力剪力FS 构件受弯时，横截面上其作用线平行构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力。于截面的内力

5、。5-2 梁的弯曲内力梁的弯曲内力FSdxmmFS+1 1、剪力符号、剪力符号 使使d dx x 微段有左端向上而右端向下微段有左端向上而右端向下的相对的相对错动时错动时,横截面横截面m-m 上的剪力为正。或使上的剪力为正。或使d dx x微微段有顺时针转动趋势的剪力为正段有顺时针转动趋势的剪力为正。反之为负。反之为负。二、内力的符号规定二、内力的符号规定dxmmFSFS-5-2 梁的弯曲内力梁的弯曲内力 当当dx 微段的弯曲下凸（即该段的下半微段的弯曲下凸（即该段的下半部受拉部受拉）时）时，横截面横截面m-m 上的弯矩为正；上的弯矩为正；反之为负。反之为负。2 2、弯矩符号、弯矩符号+mm（

6、受拉）（受拉）MMm mm m（受压）（受压）M MM M-解解(1)求梁的支反力求梁的支反力 RA 和和 RB例题例题5.1 图示梁图示梁的计算简图。已知的计算简图。已知 F1、F2，且且 F2 F1，尺寸尺寸a、b、c和和 l 亦均为已知亦均为已知。试求梁在试求梁在 E、F 点处横截面处的剪力和弯矩点处横截面处的剪力和弯矩。RBBdEDAabclCFF1F2RA5-2 梁的弯曲内力梁的弯曲内力记记 E 截面处的剪力为截面处的剪力为FSE 和弯矩和弯矩 ME，且假设，且假设FSE 和弯矩和弯矩ME 的指向和转向的指向和转向均为正值均为正值.BdEDAabclCFF1F2RAAECFSERAM

7、E解得解得 5-2 梁的弯曲内力梁的弯曲内力取右段为研究对象取右段为研究对象AEcFSERAMEa-cb-cCDl-cBEFSEF1F2MME ERB解得解得+5-2 梁的弯曲内力梁的弯曲内力 计算计算 F点横截面处的剪力点横截面处的剪力 FS 和弯矩和弯矩 MF.BdEDAabclCFF1F2RAFdBFSFMFRB解得：解得：-+5-2 梁的弯曲内力梁的弯曲内力左侧左侧 梁段：向上的外力引起正值的剪力梁段：向上的外力引起正值的剪力向下的外力引起负值的剪力向下的外力引起负值的剪力右侧右侧 梁段：向下的外力引起正值的剪力梁段：向下的外力引起正值的剪力向上的外力引起负值的剪力向上的外力引起负值的

8、剪力三、计算规律三、计算规律1 1、剪力、剪力 5-2 梁的弯曲内力梁的弯曲内力2 2、弯矩、弯矩不论在截面的左侧或右侧向上的外力均将引起正值的弯矩不论在截面的左侧或右侧向上的外力均将引起正值的弯矩,而向下的外力则引起负值的弯矩。而向下的外力则引起负值的弯矩。左侧梁段左侧梁段 顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩逆时针转向的外力偶引起负值的弯矩逆时针转向的外力偶引起负值的弯矩右侧梁段右侧梁段 逆时针转向的外力偶引起正值的弯矩逆时针转向的外力偶引起正值的弯矩 顺时针转向的外力偶引起负值的弯矩顺时针转向的外力偶引起负值的弯矩例题例题5.2 轴的计例算简图如图所示，已知轴

9、的计例算简图如图所示，已知 F1=F2=F=60kN，a=230mm,b =100 mm 和和c=1000 mm.求求 C、D 点处横截面点处横截面上的剪力和弯矩上的剪力和弯矩。F2=FACDBbacF1=FRARB 解解(1)(1)求支座反力求支座反力5-2 梁的弯曲内力梁的弯曲内力(2)计算计算C 横截面上的剪力横截面上的剪力FSC和弯矩和弯矩 MC。看左侧看左侧F2=FACDBbacF1=FRARB(3)计算计算D横截面上的剪力横截面上的剪力FSD 和弯矩和弯矩 MD.看左侧看左侧5-2 梁的弯曲内力梁的弯曲内力5.3 5.3 剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图剪力方程和弯矩方程、剪力图

10、和弯矩图F FS S=F FS S(x x)MM=MM(x x)一、剪力方程和弯矩方程一、剪力方程和弯矩方程 1 1、剪力方程剪力方程2 2、弯矩方程弯矩方程二、剪力图和弯矩图二、剪力图和弯矩图 以平行于梁轴的横坐标以平行于梁轴的横坐标x x表表示横截面的位置，以纵坐标表示横截面的位置，以纵坐标表示相应截面上的剪力和弯矩。示相应截面上的剪力和弯矩。这种图线分别称为剪力图和弯这种图线分别称为剪力图和弯矩图。矩图。xFs(x)OF Fs s 图的坐标系图的坐标系M M 图的坐标系图的坐标系xOM M(x x)用函数关系表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规用函数关系表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯

11、矩的变化规律，分别称作剪力方程和弯矩方程。律，分别称作剪力方程和弯矩方程。例题例题5.45.4 如图如图所示的悬臂梁在自由端受集中荷载所示的悬臂梁在自由端受集中荷载 F F 作用作用,试试作此梁的剪力图和弯矩图作此梁的剪力图和弯矩图。BAFlx解解 (1)(1)将坐标原点取在梁的左端，将坐标原点取在梁的左端，列列出出梁的梁的剪力方程剪力方程 和弯矩方程和弯矩方程5.3 5.3 剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图FSxFFlxM例题例题5.55.5 图图示的简支梁示的简支梁,在全梁上受集度为在全梁上受集度为q q的均布荷载用的均布荷载用。试试作此梁的的剪力图和弯

12、矩图作此梁的的剪力图和弯矩图。解解 (1)(1)求支反力求支反力lqRARBABx(2(2）列剪力方程和弯矩方程。）列剪力方程和弯矩方程。5.3 5.3 剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图 剪力图为一倾斜直线。剪力图为一倾斜直线。绘出剪力图。绘出剪力图。x x=0=0 处处处处 ，x x=l l 处处处处 ,+ql/2ql/2BlqRAAxRB5.3 5.3 剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图弯矩图为一条二次抛物线弯矩图为一条二次抛物线.由由lqRAABxRB令令得驻点得驻点弯矩的极值弯矩的极值绘出弯矩图绘出弯矩图+l/25.

13、3 5.3 剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图由图可见，此梁在跨中点截面由图可见，此梁在跨中点截面上的弯矩值为最大上的弯矩值为最大但此截面上但此截面上 F FS S=0=0两支座内侧横截面上剪力两支座内侧横截面上剪力绝对值为最大绝对值为最大lqRAABxRB+ql/2ql/2+l/25.3 5.3 剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图解解 (1)(1)求梁的支反力求梁的支反力例题例题5.65.6 图图示的简支梁在示的简支梁在C C点处受集中荷载点处受集中荷载 P P作用作用。试作此试作此梁的剪力图和弯矩图梁的剪力图和弯矩图。lF

14、ABCabRARB因为因为ACAC段和段和CBCB段的内力方程不同，段的内力方程不同，所以必须分段写剪力方程和弯矩方程。所以必须分段写剪力方程和弯矩方程。将坐标原点取在梁的左端将坐标原点取在梁的左端5.3 5.3 剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图 ACAC段段xxlFABCabRARBCBCB段段5.3 5.3 剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图由由(1),(3)(1),(3)两式可知两式可知,AC,CB AC,CB 两段梁两段梁的剪力图各是一条平行于的剪力图各是一条平行于 x 轴的直轴的直线。线。+由由(2),(4)式可知

15、式可知，AC，CB 两两段梁的弯矩图各是一条斜直线段梁的弯矩图各是一条斜直线。xxlFABCabRARB+5.3 5.3 剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图2、以集中力、集中力偶作用处、分布荷载开始或结束处，及支、以集中力、集中力偶作用处、分布荷载开始或结束处，及支座截面处为分界点将梁分段。分段写出剪力方程和弯矩方程，然座截面处为分界点将梁分段。分段写出剪力方程和弯矩方程，然后绘出剪力图和弯矩图。后绘出剪力图和弯矩图。1、取梁的左端点为座标原点，、取梁的左端点为座标原点，x 轴向右为正轴向右为正;剪力图向上为剪力图向上为正；弯矩图向上为正。正；弯矩图向上为正。

16、5、梁上的最大剪力发生在全梁或各梁段的边界截面处；梁上的梁上的最大剪力发生在全梁或各梁段的边界截面处；梁上的最大弯矩发生在全梁或各梁段的边界截面，或最大弯矩发生在全梁或各梁段的边界截面，或Fs=0 的截面处的截面处。结论结论结论结论：3、梁上集中力作用处左、右两侧横截面上，剪（图）有突变，、梁上集中力作用处左、右两侧横截面上，剪（图）有突变，其突变值等于集中力的数值。在此处其突变值等于集中力的数值。在此处弯矩图则形成一个尖角弯矩图则形成一个尖角。4、梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩值（图）、梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩值（图）也有突变，其突变值等于集中力偶矩的数值。但在

17、此处剪力也有突变，其突变值等于集中力偶矩的数值。但在此处剪力图图没有变化没有变化。5.3 5.3 剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图例例5.7 外伸简支梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程外伸简支梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程和弯矩方程，作出梁的剪力图和弯矩图。和弯矩方程，作出梁的剪力图和弯矩图。ABqF=qaCa2a解：解：xy1、取参考坐标系、取参考坐标系Cxy。根据平衡条件求支座反力根据平衡条件求支座反力xx5.3 5.3 剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图2、列出梁的剪力方程和弯矩、列出梁的剪力方程和弯矩 方程方程y

18、ABqF=qaCa2axCA段段:xAB段段:x5.3 5.3 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程.剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图3、作梁的剪力图和弯矩、作梁的剪力图和弯矩 图图-qa(-)(-)(+)(-)E(+)5.3 5.3 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程.剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图设梁上作用有任意分布荷载设梁上作用有任意分布荷载其集度其集度5-4 5-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系一、弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系一、弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系q=q(x)规定规定q(x)向上为正。向上为正。将将x 轴的坐标原点取在轴的坐标原

19、点取在梁的左端。梁的左端。xyq(x)Fm假想地用坐标为假想地用坐标为x和和x+dx的两的两横截面横截面m-m和和n-n从梁中取出从梁中取出dx 一段。一段。m-m截面上内力为截面上内力为 FS(x),M(x)xmmnn dxFs(x)M(x)Fs(x)+dFs(x)M(x)+dM(x)mmnnq(x)Cx+dx截面处截面处 则分别为则分别为 FS(x)+dFS(x),M(x)+dM(x)。由于由于dx很小，略去很小，略去q(x)沿沿dx的变化。的变化。Fs(x)M(x)Fs(x)+dFs(x)M(x)+dM(x)mmnnq(x)C写出平衡方程写出平衡方程得到得到 略去二阶无穷小量即得略去二阶

20、无穷小量即得5-4 5-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系公式的几何意义公式的几何意义（1 1）剪力图上某点处的切线斜率等于该点）剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。处荷载集度的大小。（2 2）弯矩图上某点处的切线斜率等于该点）弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。处剪力的大小。5-4 5-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系M M(x x)图为一向图为一向上上凸的凸的二次抛物线。二次抛物线。F FS S(x x)图为一向右图为一向右下方倾斜的直线下方倾斜的直线。二、二、q(x)、Fs(x)图、图、M（x）

21、图三者间的关系图三者间的关系1、梁上有向下的均布荷载，即、梁上有向下的均布荷载，即 q(x)0 时，向右上方倾斜时，向右上方倾斜。当当 F S(x)0 时，向右下方倾斜时，向右下方倾斜。xOM(x)OM(x)x5-4 5-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系3、梁上最大弯矩、梁上最大弯矩 Mmax可能发生在可能发生在FS(x)=0 的截面上的截面上;或发生在集中力所或发生在集中力所在的截面上；或集中力偶作用处；在的截面上；或集中力偶作用处；最大剪力可能发生在最大剪力可能发生在集中力所在的截集中力所在的截面上；或分布载荷发生变化的区段上面上；或分布载荷发生变化的区

22、段上。4、在集中力作用处剪力图有突变，其、在集中力作用处剪力图有突变，其突变值等于集中力的值突变值等于集中力的值.弯矩图有转折。弯矩图有转折。5、在集中力偶作用处弯矩图有突变，其突变值等于集中力偶、在集中力偶作用处弯矩图有突变，其突变值等于集中力偶的值，但剪力图无变化。的值，但剪力图无变化。5-4 5-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系无荷载无荷载集中力集中力FC集中力偶集中力偶mC向下倾斜的直线向下倾斜的直线上凸的二次抛物线上凸的二次抛物线水平直线水平直线一般斜直线一般斜直线或或在在C处有转折处有转折一段梁上一段梁上的外力情的外力情况况剪力图剪力图的特征的特

23、征弯矩图弯矩图的特征的特征表表 5-1 在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征q0向下的均布荷载向下的均布荷载在在C处有突变处有突变F在在C处有突变处有突变m在在C处无变化处无变化C5-4 5-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系例例5.8 一外伸梁受力如图所示。试作梁的剪力图、弯矩图。一外伸梁受力如图所示。试作梁的剪力图、弯矩图。解：解：1、根据平衡条件求支座反力、根据平衡条件求支座反力AB1m1m4mF=3KNCDq=2KN/m5-4 5-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系AB1m1m4mF=3KNCDq=2KN/m2、由微分关系判断各段的、由微分关系判断各段的 形状。形状。载荷载荷CADBAD斜直线斜直线斜直线斜直线7-5 Q、M、q之间的关系之间的关系AB1m1m4mF=3KNCDq=2KN/m3、作、作 -图。图。4、作、作M-图。图。CA段：段：(-)DA段：段：-3KN4.2KN-3.8KN(+)(-)DB段：段：-3KN.m(-)Ex-2.2KN.m(-)3.8KN.m(+)(+)7-5 Q、M、q之间的关系之间的关系