全国通用初中数学竞赛培优辅导讲义1-10)讲.docx

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1、全国通用初中数学竞赛培优辅导讲义1-10)讲全国通用初中数学竞赛培优辅导讲义1-10)讲全国通用初中数学竞赛培优辅导讲义1-10)讲全国初中数学竟赛辅导讲义修订(1)数的整除一内容提要：假如整数A除以整数B(B0)所得的商A/B是整数,那么叫做A被B整除.0能被所有非零的整数整除.能被7整除的数的特征：抹去个位数减去原个位数的2倍其差能被7整除。如1001100298能被7整除又如700770014686，681256能被7整除能被11整除的数的特征：抹去个位数减去原个位数其差能被11整除如1001100199能11整除又如10285102851023102399能11整除例1已知两个三位数3

2、28和92x的和还是三位数75y且能被9整除。求x,y解：x,y都是0到9的整数，75y能被9整除，y=6.32892x567，x=3例2己知五位数x1234能被12整除，求X解：五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除，当1234X能被3整除时，x=2，5，8当末两位X4能被4整除时，X0，4，8X8例3求能被11整除且各位字都不一样的最小五位数解：五位数字都不一样的最小五位数是10234，但124034，不能被11整除，只调整末位数仍不行调整末两位数为30，41，52，63，均可，五位数字都不一样的最小五位数是10263。练习分解质因数：写成质因数为底的幂的連乘积全国通用初中数学竞赛培优

3、辅导讲义1-10)讲全国通用初中数学竞赛培优辅导讲义1-10)讲5931859128732761010110296987能被3整除，那么a=_2若四位数a12X能被11整除，那么X_-3若五位数3435m能被25整除4当m=_时，59610能被7整除5当n=_时，n6能被11整除的最小五位数是_,最大五位数是_7能被4整除的最大四位数是_，能被8整除的最小四位数是_88个数：125，756，1011，2457，7855，8104，9152，70972中，能被下列各数整除的有填上编号：6_,8_,9_,11_9从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_个，能被3整除但不是5的倍数的

4、共_个。10由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被3整除的数共有几个？为什么？1234能被15整除，试求A的值。11己知五位数A12求能被9整除且各位数字都不一样的最小五位数。13在十进制中，各位数码是0或1，并能被225整除的最小正整数是1989年全国初中联赛题全国通用初中数学竞赛培优辅导讲义1-10)讲全国通用初中数学竞赛培优辅导讲义1-10)讲初中数学竞赛辅导资料2倍数约数内容提要1两个整数A和BB0，假如B能整除A记作BA，那么A叫做B的倍数，B叫做A的约数。例如315，15是3的倍数，3是15的约数。2由于0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除

5、。0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数。如0是7的倍数，7是0的约数。3整数AA0的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，A，2A，都是A的倍数，例如5的倍数有5，10，。4整数AA0的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括1和A。例如6的约数是1，2，3，6。5通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。6公约数只要1的两个正整数叫做互质数例如15与28互质。7在有余数的除法中，被除数除数商数余数若用字母表示可记作：ABQR，当A，B，Q，R都是整数且B0时，AR能被B整除例如23372则232能被3整除。例题例1写出下

6、列各正整数的正约数，并统计其个数，从中总结出规律加以应用：2，22，23，24，3，32，33，34，23，223，2232。其规律是：设Aab(a，b是质数,m，n是正整数)那么合数A的正约数的个是m+1(n+1)例如求360的正约数的个数解：分解质因数：36023325，360的正约数的个数是31211124个例2用分解质因数的方法求24，90最大公约数和最小公倍数解：24233，902325最大公约数是23，记作24，906最小公倍数是23325360，记作全国通用初中数学竞赛培优辅导讲义1-10)讲全国通用初中数学竞赛培优辅导讲义1-10)讲24,90=360例3己知32，44除以正整

7、数N有一样的余数2，求N解：322，442都能被N整除，N是30，42的公约数30，426，而6的正约数有1，2，3，6经检验1和2不合题意，N6，3例4一个数被10余9，被9除余8，被8除余7，求合适条件的最小正整数分析：依题意假如所求的数加上1，则能同时被10，9，8整除,所以所求的数是10，9，8的最小公倍数减去1。解：10,9,8=360,所以所求的数是359练习2112的正约数有_,16的所有约数是_2分解质因数300_,300的正约数的个数是_3用分解质因数的方法求20和250的最大公约数与最小公倍数。4一个三位数能被7，9，11整除，这个三位数是_5能同时被3，5，11整除的最小

8、四位数是_最大三位数是_6己知14和23各除以正整数A有一样的余数2，则A_7写出能被2整除，且有约数5，又是3的倍数的所有两位数。答_8一个长方形的房间长1.35丈，宽1.05丈要用同一规格的正方形瓷砖铺满，问正方形最大边长能够是几寸？若用整数寸作国边长，有哪几种规格的正方形瓷砖合适？9一条长阶梯，假如每步跨2阶，那么最后剩1阶，假如每步跨3阶，那么最后剩2阶，假如每步跨4阶，那么最后剩3阶，假如每步跨5阶，那么最后剩4阶，假如每步跨6阶，那么最后剩5阶，只要每步跨7阶，才能正好走完不剩一阶，这阶梯最少有几阶？全国通用初中数学竞赛培优辅导讲义1-10)讲全国通用初中数学竞赛培优辅导讲义1-1

9、0)讲初中数学竞赛辅导资料3质数合数内容提要1正整数的一种分类：1?质数合数质数的定义：假如一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数质数也称素数。合数的定义：一个正整数除了能被1和本身整除外，还能被其他的正整数整除，这样的正整数叫做合数。2根椐质数定义可知1)质数只要1和本身两个正约数，2)质数中只要一个偶数2假如两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是2，假如两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是2，3任何合数都能够分解为几个质数的积。能写成几个质数的积的正整数就是合数。例题例1两个质数的和等于奇数a(a5)。求这两个数解：两个质数的和等于奇数，必有一个是2所求的两个

10、质数是2和a2。例2己知两个整数的积等于质数m,求这两个数解：质数m只含两个正约数1和m,又1m=m，所求的两个整数是1和m或者1和m.例3己知三个质数a,b,c它们的积等于30，求合适条件的a,b,c的值解：分解质因数：30235合适条件的值共有：?=532cba?=352cba?=523cba?=253cba?=325cba?=235cba应注意上述六组值的书写排列顺序，此题假如改为4个质数a,b,c,d它们的积等于210,即abcd=2357那么合适条件的a，b，c，d值共有24组，试把它写出来。例4试写出4个連续正整数，使它们个个都是合数。解：此题答案不是唯一的设N是不大于5的所有质数

11、的积，即N235，那么N2，N3，N4，N5就是合适条件的四个合数即32，33，34，35就是所求的一组数。此题可推广到n个。令N等于不大于n+1的所有质数的积，那么N2，N3，N4，N(n+1)就是所求的合数。练习31小于100的质数共_个，它们是_全国通用初中数学竞赛培优辅导讲义1-10)讲全国通用初中数学竞赛培优辅导讲义1-10)讲2己知质数P与奇数Q的和是11，则P，Q3己知两个素数的差是41，那么它们分别是4假如两个自然数的积等于19，那么这两个数是假如两个整数的积等于73，那么它们是假如两个质数的积等于15，则它们是5两个质数x和y，己知xy=91,那么x=_,y=_,或x=_,y

12、=_.6三个质数a,b,c它们的积等于1990.那么?=cba7能整除311513的最小质数是8己知两个质数A和B合适等式AB99，ABM。求M及BAAB的值9试写出6个連续正整数，使它们个个都是合数。10具备什么条件的最简正分数可化为有限小数？11求合适下列三个条件的最小整数：1)大于12)没有小于10的质因数3)不是质数12某质数加上6或减去6都还是质数，且这三个质数均在30到50之间，那么这个质数是13，一个质数加上10或减去14都还是质数，这个质数是。全国通用初中数学竞赛培优辅导讲义1-10)讲全国通用初中数学竞赛培优辅导讲义1-10)讲初中数学竞赛辅导资料4零的特性内容提要一零既不是

13、正数也不是负数，是介于正数和负数之间的唯一中性数。零是自然数，是整数，是偶数。1零是表示具有相反意义的量的基准数。例如：海拔0米的地方表示它与基准的海平面一样高；收支衡可记作结存0元。2零是断定正、负数的界线。若a0则a是正数，反过来也成立，若a是正数，则a0记作a0?a是正数读作a0等价于a是正数bb时,a-b0；当a全国通用初中数学竞赛培优辅导讲义1-10)讲全国通用初中数学竞赛培优辅导讲义1-10)讲可用不等式表示其值范围如下：1.55近似数1.6a,a2a2,aa,a+1a3x表示一切有理数，下面四句话中正确的共几句？答：_句。1x22有最小值0，2x+3|有最大值0，32x2有最大值

14、2，43x1有最小3。4绝对值小于5的有理数有几个？它们的积等于多少？为什么？6要使下列等式成立，字母X、Y应取什么值？X0，XX30，X1Y3207下列讲法正确吗？为什么？全国通用初中数学竞赛培优辅导讲义1-10)讲全国通用初中数学竞赛培优辅导讲义1-10)讲1a的倒数是a1；2方程a1X3的解是X13a3n表示一切自然数，2n1表示所有的正奇数；4假如ab,那么m2am2b(a、b、m都是有理数)8X取什么值时，下列代数式的值是正数？XX1XX1X2全国通用初中数学竞赛培优辅导讲义1-10)讲全国通用初中数学竞赛培优辅导讲义1-10)讲初中数学竞赛辅导资料5an的个位数内容提要1整数a的正

15、整数次幂an,它的个位数字与a的末位数的n次幂的个位数字一样。例如20023与23的个位数字都是8。20，1，5，6，的任何正整数次幂的个位数字都是它们本身。例如57的个位数是5，620的个位数是6。3其规律是：2的正整数次幂的个位数是按2、4、8、6四个数字循环出现，即24k+1与21，24K2与22，24K3与23，24K4与24的个位数是一样的K是正整数。3和7也有类似的性质。44，8，9的正整数次幂的个位数，可仿照上述方法，可以以用422，823，932转化为以2、3为底的幂。5综上所述，整数a的正整数次幂的个位数有如下的一般规律：a4Km与am的个位数一样(k,m都是正整数。例题例1

16、20032003的个位数是多少？解：20032003与32003的个位数是一样的，200345003，32003与33的个位数是一样的，都是7，2003的个位数是7。例2试讲明6320001472002的和能被10整除的理由解：20004500，200245002632000与34的个位数一样都是1，1472002与72的个位数一样都是9，6320001472002的和个位数是0，6320001472002的和能被10整除。例3K取什么正整数值时，3k2k是5的倍数？从表中可知，当K1，3时，32的个位数是5，am与a4n+m的个位数一样m,n都是正整数，a是整数，当K为任何奇数时，3k2k是

17、5的倍数。练习51在括号里填写各幂的个位数K是正整数全国通用初中数学竞赛培优辅导讲义1-10)讲全国通用初中数学竞赛培优辅导讲义1-10)讲220的个位数是45的个位数是330的个位数是87的个位数是74K+1的个位数是31179的个位数是216314的个位数是32k-172k-1的个位数是72k32k的个位数是74k-164k-3的个位数是7710331522205525的个位数是2目前知道的最大素数是22160911，它的个位数是。3讲明如下两个数都能被10整除的理由。5353333319871989199319914正整数m取什么值时，3m1是10的倍数？5设n是正整数，试讲明2n7n+2能被5整除的理由。6若a4的个位数是5，那么整数a的个位数是若a4的个位数是1，那么整数a的个位数是若a4的个位数是6，那么整数a的个位数是若a2k-1的个位数是7，那么整数a的个位数是712+22+32+92的个位数是，12+22+32+192的个位数是，12+22+32+292的个位数是。8.a,b,c是三个连续正整数，a2=14884,c2=15376,那么b2是A15116B15129C15144D15321