组合学史若干问题研究_刘建军.docx

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1、 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果 .据 我所知，除了文中特別加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人己经发表或撰写过的 研究成果，也不包含为获得 一或其他教育机构的学位或证 V使用过的材料 与我 一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名： 签字 曰 月 / 姐 组合学史若干问题研究 摘要 组合学是现代数学学科中发展较快的一个分支，它虽然在 20世纪 60年代才独立成为数 学的一个分支，但其发展历史却是悠久的 本文分六个部分论述了它的历史发展。 一、 从三个方面论述了组合学思想的东方起源。出

2、现于中国的 3阶幻方是组合设计的 最早特例，在印度、阿拉伯等国家对幻方也有较早的研究 组合学中最基本的排 列、组合形式的事例在东方历史上大量出现。那些古老的富有益智性的数学游戏 为组合学早期的发展提供了大量的研究素材。古代东方世界在这些方面的研究事 例远远多于当时的西方世界，这充分说明了组合思想根源于东方世界的沃土中。 二、 考察了中世纪数学家对组合学相关内容的研究，主要体现在排列、组合公式的探 求，确立算术三角形和构作幻方三个专题。对这些专题的研究，东西方各有贡献。 三、 用现代组合符号解释了中国朱世杰的四元玉鉴中垛积招差部分和帕斯卡的论 算术三角形内容，指出这两部著作是东、西方对组合恒等式

3、研究的较早的系统 论著 *同时从二项式公式、反演公式及分拆公式三个角度论述了近现代对组合恒 等式的寻求和证明。 四、 以专题的形式讨论了经典计数问题中一些最基本内容的产生历史及其发展过程。 (1) 早期对一些计数函数的研究是引入组合学研究方法的重要内容，如 Fibonacci 数、 Cata丨 an数和 Stirling数等经典计数函数： （ 2)对东西方历史上对幂和问题的 研究作了较详细的考察，指出了形数法和燦积术在求幂和公式中的作用，特别地 给出了费马、帕斯卡和福尔哈勃计算幂和的方法： （ 3)对整数分拆的历史发展过 程作了较详细的论述，包括从莱布尼兹到欧拉、以及欧拉之后研究整数分拆的进

4、展等； （ 4)讨论了在组合学中引入容斥原理和递推方法的 “ 错位排问题 ”的发展 ; (5)分析了组合计数理论中重耍的定理 波利亚计数定理产生的历史，讨论 了波利亚得出这一定理的方法。 五、 阐述了组合设计理论中几个重耍内容的产生和发展。 （ 1)详述了丨 8世纪中期提 出的区组设计问题以及这些问题出现的多 种形式及解决方法 ：（ 2)对组合设计中 正交拉丁方的历史予以阐述，分析了拉丁方问题的研究中欧拉猜想和麦克奈希猜 想的作用： （ 3)简述了有限射影儿何及有限域在组合设计中的意义及其对组合设 计理论发展的推动作用。 . 六、 对现代组合学中较抽象化的内容 一一组合集论予以讨论，主要论述了

5、拉姆齐理论 及相异代表系发展历史的主耍脉络。 11 * ABSTRACT Combinatorics, formed as a branch of mathematics in 1960s, has a long history. It holds a rapid speed of development in recent years. Its history will be stated in six parts as following: 1. It9s developed by three aspects that the origin of combinatorial idea is

6、 traced to the ancient east. The order 3 magic square appeared in ancient China is the oldest instance for combinatorial design. There also were a large number of examples on magic square in ancient India and Arab. Some mathematical games and recreations acted as an essential role in the development

7、 of earlier combinatorics. 2. This part gives a study on the some objects in combinatorics researched in the middle ages. Those researches are substantially composed by search for the formulae of permutation and combination, the arithmetical triangle and the magic square. Both the east and west gave

8、 a contribution to those subjects. 3. Interpret the contents both on the pile and difference in Precious Mirror of the Four Elements (Si Yuan Yu Jian) and the arithmetical triangle in Treat on the Arithmetical triangle Traite du Triangle Arithmetique). Both works are the much earlier books study the

9、 combinatorial identities in system. Furthermore, the modem researches on the identities are investigated which are derived from the binomial coefficients, inversion relations and partition polynomials. 4. The history of primary problems in enumerative combinatorics is explored in some special subje

10、cts. (1) Discuss earlier researches on such counting functions, as Fibonacci numbers, Catalan numbers and Stirling numbers. (2) Interpret in detail the contributions that the west and east countries had given to the subject sum of powers, especially P. Fermat, B. Pascal and J. Faulhabes methods to t

11、his subject. (3) Expound the outline of the development of partition of integer. (4) Analyze the evolution of problem of derangement and the principle of inclusion-exclusion. (5) Relate the arisen history of P61ya theorem and explore the method that P6 -lya gave this theorem. 5. The evolution of fou

12、r fundamental components in design theory is delivered. (!) State the appearance of block design and its resolution. (2) Formulate the history of OZ5 (orthogonal Latin squares) and show the role that Eulers conjecture and MacNeish conjecture on OLS played in the progress of study on Latin square. (3

13、) State briefly the motivation that finite projective plan and finite field offer to the development of combinatorial design. 6. The history of Ramsey theory and SDR in combinatorial set theory is briefly discussed. In short, I hope to present a concise history of Combinatorics through above discuss

14、ion. So the development of this mathematical branch can be distinctly acquainted. 引 言 . 1 0.1组合学的研究对象和特点 . 1 0.2组合学史的分期 . 2 0.3组合学史的研究现状 . ： . 3 0.4本文的研究范围及意义 . . 5 第一章组合学思想的东方起源 . ： . 7 1.1幻方 . 7 1.2排列组合 . 8 1.3组合游戏 . 10 第二章中世纪的组合学知识 . 14 2.1排列数和组合数公式的寻求 . 14 2.2算术三角形的相关运算 . 18 2.3中世纪幻方研究的发展 . 21 第

15、三章组合恒等式的早期产生及近现代推导 . 27 3.1早期得出组合恒等式的两种主要方法 . 27 3.2组合恒等式的近现代推导和证明 . 37 第四章计数理论中几个经典问题的发展 . 42 4.1早期的三种重要计数函数 . 42 4.2幂和公式的研究历程 . 47 4.3整数 分拆问题 . 55 4.4错位排问题研究及容斥原理的应用 . 59 4.5 P61ya计数定理 . 62 第五章组合设计的早期发展 . 65 5.1区组设计的提出与发展 . 65 5.2正交拉丁方问题 . 70 5.3有限射影平面与有限域的引入 . 73 第六章组合集论的诞生 . . . 75 6.1鸽洞原理到拉姆齐理论

16、 . 75 6.2相异代表系与拟阵理论的建立 . 77 结 胃 . . . 8 主要参考文献 . 82 m . 85 组合学正式源起于莱布尼兹 （ Gottfried Wilhelm Leibniz 1646-17丨 6)的研究工作，它是 门既古老又新颖的数学分支 莱布尼兹在论组合的艺术 （ Z)出 ertarfo rfe drte 1666)中首次在近代数学的意义下使用 “ 组合 ” 一词， “ 组合分析 （ combinatorial analysis)” 一词最早出现在尼古拉斯 (P. Nicholson)1818 年的论文 *Essays on the Combinatorial an

17、alysis” 中， “ 组合学（或组合学 combinatorics)” 一词则较早地出现在列维 （ F. W. Levi) 1940 年发表的 “On a method of finite combinatorics which applies to the theory of infinite groups” 文中 ， “ Combinatorics” 即是 “combinatorial mathematics” 的缩写。从 20 世纪 60年代后，组合学逐渐发展成为一个独立的数学分支。 组合学最早是粕数论及概率计算交叉在一起的，一些著名的数论函数如欧拉函数 麦比乌斯函数分拆函数 p()

18、等 .至今仍是组合学讨论的对象；而概率的方法一直是 求解组合问题的一种重要方法。 20世纪 90年代以来，由于计算机科学的巨大发展，己经促 使组合学改变了旧有面貌，形成了富有生命力的新兴数学分支。 0.1组合学的研究对象和特点 由于组合学与其他学科交叉很大，所以不易给出一个精确定义。大致来说，它是研究任 意一组离散性事物按照一定规则安排或配置方法的数学。特别当指定的规则较简单时，主要 问题就是要计算一切可能的安排或配置的方法数。如果指定规则隐含有对象安排的技巧性， 则安排或配置的存在性问题便成为主耍问题 举例来说，图论中的计数问题，各种条件下的 排列、组合、复合、划分、分类、检索、区组设计、递

19、归、生成函数、数列变换等方面的许 多问题，都是组合学研究的具体对象。 图论属于组合学，近些年已有独立的趋向 I本文不涉及 。 现代组合学主要研究离散事物间的关系结构 美国代数学家伯克霍夫 （ G.Birkhoff)已 经明确地指出过，因为现代数学都以 “ 量化模式 ” （ 理想化的形式结构 )为对象 .所以组合学 也是要研究离散事物关系结构的模式问题，而且采用的方法力求模式化 。作为现代数学分 支的现代组合学，主要是研究离散对象的 “ 关系结构 ” ，不像经典抽象代数那样专门研究代 数系统的本身结构。同时，伯克霍夫认为，代数发展的一个趋势是 “ 系统结构 ” 的研究正让 位给 “ 关系 ” 的

20、研究。 F. W. Levi, On a method of finite combinatorics which applies to the theory of infinite groups, Bulletin of the Calcutta Mathematical Society， (32) 1940: .65-68. 图论的历史参见： N. Biggs, E. Lloyd, and & W丨 Ison, OopA TTieo/y /73dW9J(5, Clarendon Oxford Press, 1976, 徐利治 ， 组合学的发展趋势及关于发展研究的建议 曲阜师范大学学报 _】

21、列 4年第 20卷第 3期 M-8 现代组合学同 20世纪 初麦克马洪 （ P. A. MacMahon， 1854-1929)研究的组合分析学很 不一样，现代组合学的主要特点是 大量应用了抽象代数学工具和矩阵工具，使问题的提法 和处理方法表现出极大的一般性。从罗塔 （ Gian-Car丨 Rota, 1932-1999)，霍尔 （ Marshall Hall， 1910-1990)等人的 一系列工作中可以明显地肴到这一点。其另一重耍特点是：适应着计算 机科学发展的现状、趋势和耍求，组合学很注重方法的可行性和程序化的研究 这样，又由 此派生出 “ 算法组合学 ” 等新颖的小分支。 0.2组合学

22、史的分期 结合组合学的研究方法和内容，并根据作者现己苹捱的资料，我们可以按照历史上对组 合学这门学科作出奠基性工作的论文，把组合学发展的历史分为以下几个时期： (1) 古代， 17世纪 60年代以前 这是以帕斯卡论箅术三角形（丨 665)及莱布尼兹论组合的艺术（丨 666)为标志。 此期间组合学主耍研究的内 W是排列数和组合数（不重和可重 ） 计算公式 .排列数或组合数 之间的关系 （ 即一些恒等式 )； 以及整数分拆等一些问题。 论算术三角形主要论述了关于算术三角形的构成和性质及其应用。该书的第一部分 根据加法 公式定义了算术三角形并由算术三角形得出丨 9个推论，这些推论可以说成是有系 统的

23、组合恒等式；另外帕斯卡首次把二项式系数、形数和组合数之间建立了统一关系。论 组合的艺术共由 12个问题组成，前 3个问题是可重和不可重组合，并应用了算术三角形 的构作法则解决这些问题；第 4一 12个问题研究了排列问题及排列数的递推公式。 这两部著作给出了组合学中最基本的计算公式和原则。从这两部著作中所涉及的一些数 学内容来看，组合学作为 一门学科已初具雏形。 (2) 近代，丨 7世纪 60年代至 20世纪 60年代 这一时期，组合学在研究内容、研究方法以及在其它学科中的应用等方面都取得了很大 的进展，同时受到数论、概率论和化学等推动而迅速发展，得到了一般的存在性定理和计算 原理。丨 901年

24、德国数学家内和 （ E.Netto, 1848-1919)出版第一本组合学教科书组合学教 程，英国数学家麦克马洪 (P_ A_ MacMahon)两大卷组合分析于 1915 19丨 6年出版。 爱多士（ Paul Erd6s, 1913-1996)关于组合学的经典论文集计数的艺术也全面地总结了 先前互不关联的计数技巧问题 。 内托的 组合学 共由 13章构成，按其内容可分为儿个主题：排列组合的基本原则： 二项和多项式定理和组合恒等式：限位排列；级数反演；整数分拆（包括图表法 )； 生成函 数：组合算法 、区组设计 三元系；组合应用。 V中基本包括了现今组合学的大部分内容。 但从内容和方法上，基

25、本以初等方法为主，如抽象代数等高等方法还未引入。 美 布鲁斯 谢克特著，王元、李文林译，我的火脑敞开 / -天才数学家保罗 爱多士传奇，上海 译文出版社， 2002: 68-69. Nctto E Lehrbuch Der Combinatorik, Viggo Brun und Th. Skolem, J.Y. Chelsea, Vorwort, 1901, 而麦克马洪的组合分析 中各章主耍的内容如下：第一、二章讨论对称函数，第三 章是他的 “ 大定理 ”(The Master theorem)， 第四章讲排歹！ J,第五章讲了组合与 Simon Newcomb 问题 （ Composit丨

26、 on and Simon Newcombs problem)， 第六章讲完美分拆，第七章讲有关棋盘 和拉丁方的排列，第八章讲多重分拆数 （ Multipartite numbers)， 第九、十章讨论分拆问题， 第十一、十二章讨论平面和立体分拆 该书中还列出了当时相关研究的大量目录，随后一个 阶段关于组合学内容的研究多是围绕此书中提到的内容进行的。 1936年英国统计学家费舍尔 （ R.A.Fisher, 1890-1962)等人成功地应用正交拉丁方于麦 田统计实验中，这极大地促进了现代组合学的形成：同时，在组合问题研究中开始大景引入 其它数学学科的知识，不断地充实了组合学的研究内容。 (3

27、) 现代， 20世纪 60年代至现在。 罗塔 （ Gian-Carlo Rota)对现代组合学的建立作了重耍工作。包括呼吁建立组合学这们 学科、组织讨论班、编撰组合学论文集、组织召开组合学会议、创立专门的学术刊物。他和 同事们发表了现代组合学的系列基础性论文（共 10篇，参见附录 2),把组合学与其它数学 学科联系起来。 1958年 4月在美国哥伦比亚 （ Columbia)召开了第十届应用数学会议 （ The Tenth Symposium in Applied Mathematics)， 会后由美国数学会出版了组合分析一书。组合学 的专门期刊组合论杂志 （ Journal of Combi

28、natorial Theory)于 1965年创刊。 1969年在牛 津大学召开了第一届组合学的专门会议。 另一方面，由于组合学在其它学科中的重耍应用，又产生了一些新的数学分支，如组合 几何、组合矩阵、组合拓扑、组合代数等等。 0.3组合学史的研究现状 关于组合学史的研究，国内外有很多研究成果，据作者现己掌握的资料看，其中有些以 书籍的形式出现，另一些则以论文的形式发表于数学和数学史期刊上。其中书籍主要有下面 几种如下： 英国组合学家比格斯 （ N.L.Biggs)与罗伊德 （ E.ICLIoyd)、 威尔逊 （ R.J.Wilson)载于 组合学手册中第 44章 “ 组合学史 ” 他们指山，

29、与其说组合学起源于西方的文明，不 如说起源于东方的文明，并以东方古老的组合事例予以说明气另外他们从分拆、对称函数、 区组设计、算法组合等几个方面给出组合学发展的简略脉络，但其内容多基于西方传统的资 料，对东方在这方面取得的成果未有论及，尤其在组合计数方面。 MacMahon P.A. Combinatory analysis, Cambridge Univ. Press. Cambridge, 1915-1916; reprinted, Chelsea, New York, 1960. Biggs N. L., Lloyd E. K. and Wilson R. J.t The history

30、 of combinatorics, in R. L. Graham, M. Grttschel and L. Lovdsz (editors), Handbook of Combinatorics North-Holland, Amsterdam, 1995: 2163-2198. 这一观点在 Biggs， N. L.的 The Roots of Combinatorics. /加 r/_fl No_ 2,6 (1979): 109-136.) 文中有 更多的论述 卡兹 （ Victor J. Katz)在数学史导引 的部分章节中给出了早期世界各个国家对组合 学中一些问题的研究，多为排列和组

31、合公式问题。 迪克逊 （ Dickson L.E.)的数论史 的第 3章中综述了从 1669-1918年间有关整数 分拆的历史文献，同时简单介绍了整数分拆的研究成果。 卡伯特 （ Jean-LucChabert)的算法史 从卵石到微芯片 中讨论了东西方的幻方 及一些构作方法。 史密斯 （ Smith D JE.)的 d iSowrce 5走 / Mj/AemaZ/cs和李文林的数学珍宝 历史 文献精选 中节录了帕斯卡关于算术三角形的研究内容及贝努利、关孝和的幂和研究内容。 以论文的形式出现在数学、数学史的相关期刊上的有几十笟 .现摘录其中如下几篇： 波耶尔 （ Carl B.Boyer)的 “

32、Pascals formula for the sums of powers of the integers 5 讨论 了帕斯卡和费马获得幂和公式的方法。 埃尔德 （ Alder H.L.)的 “Partition identities From Euler to the Present” 系统讨论了 分拆恒等式的发展演变，特别是由欧拉分拆等式到罗杰斯一拉马努占恒等式的发展过程。 诺布罗克 （ Eberhard Knobloch)的 “The mathematical studies of G. W. Leibniz on combinatorics”, 该文介绍了莱布尼兹在组合学方面的以下

33、:作 ：（ 1) 些关于排列和组 合的公式； （ 2)对称函数； （ 3)自然数的分拆。同时对莱布尼兹之前组合学及其后分拆理论 的发展给了简述。 棣黎斯 （ Hans Ludwig DEVR 丨 ES)的 “Historical Notes on Steiner System” 中分析了组 合设计中 Steiner系产生的背景，叙述了普吕克、柯克 !1和斯坦纳等人的三元系研究工作间 的关系。指出了前人对 Steiner三元系历史的错误认识。 】 998年在英国开放大学 （ the Open University)召开了为期一天的组合学史会议，会议 上共提交了九篇论文 。这是数学史界一次专门的讨

34、论组合学史的会议。近两年里，在一些 Victor J. Katz, A History of Mathematics -an in/rot/uc/zon, ADDISON-WESLEY, 1998: 228-230 DicksonL.E., History of Theory of Numbers. Vo. II, New York: Chelsea Publishing Company. 19S2.101-164. Jean-Luc Chaberti A History of Algorithms From the pebble to the Microchipy Springer, 199

35、9: 49-81. E.Smith D., A Source Book in Mathematics. Dover publication, inc. New York 1959.67-79, 67-79, 85-90. 李文林，数学珍宝 历史文献精选，科学山版社，丨 998: 68-72， 11丨 -113, 299-303, 432-442. Carl B.Boyer, PascaPs formula for the sums of powers of the integers, Scripa Mathematical (9)1943: 237-244. Alder H. L., Part

36、ition Identities from Euler to the Present, Amer. Math. Monthly. 76(1969): 733-746. Knobloch E., The mathematical studies of G.W. Leibniz on combinatorics, Historia Moth. I (1974): 409-430. (ft Hans Ludwig DE VRIES, Historical Notes on Steiner System, Discrete Mathematics, 52(1984): 293-297. 与会代表及报吿

37、题自如下： Eberhard Knobloch (Berlin): Renaissance combinatorics-, Anthony Edwards (Cambridge): Myths about Pascals triangle； Keith Lloyd (Southampton): The life and work, of J. Howard Redfieldx OU Film: Four colours suffice% Terry Griggs (Open University): Thomas Kirkman； Ian Anderson (Glasgow): The Ans

38、tice mystery： Harald Gropp (Heidelberg): History of configurations Norman Biggs (London): Finite geometries； David Singmaster (London): Recreational combinatorics 数学会议上也常有关于组合学史研究的报告 。 国内对组合学史的研究也有一些，这些文章从组合学的角度研究了中国传统数学中的垛 积招差，表明了组合计数的系列成果。如钱宝琮 1928年发表 “ 朱世杰燦积术广义 ” ，用早期 组合符号表达块积公式 ,章用在 “ 垛积比类疏证 ” 中

39、用现代组合符号表示出了 “ 李菩兰恒 等式 ” ，同时阐明了计数函数一 “ 李氏数 ” 的意义 ，这些论文最早从组合学观点出发研究垛 积术；李俨曾系统地研究了中国传统数学中的纵横图 ,傅庭芳的 “ 中算传统方法与两种计 数函数 ”分析了中算垛积差分法，并利用此法重新构建了 Srir/hg数和 (： &数 ;何绍庚 论述了明安图级数回求的方法 ;罗见今的系列论文中讨论了幻方与数学游戏，中国传统数 学中的诸多计数函数如数、 /*数 、 Cato/aw数，组合恒等式、差分理论及级数反 演等内容 ;李兆华对汪莱的递兼数理中的组合恒等式及一些性质予以论述 ;沈康身对 “ 关孝和和李善兰的幂和公式 ” 的

40、研究除了上述这些，还有一些与计数理论相关的中国 传统数学研究的专题性文章 ,这些论文对中国传统数学中有关 组合计数理论的内容作了现代 的分析。 这些书籍和论文对组合学史的研究起了很大的推动作用。但总的来讲，国内对组合学史 的研究多为针对中国传统数学中的某些问题或某个数学家的专门性研究，没有把这些置于组 合学史的整个发展过程中 .而国外对组合学史的研究则对东方的组合成果没有足够重视。 0.4本文的研究范围及意义 由于水平和资料所限，本论文参考文献大多为英、中资料，在此基础上对组合学的部分 发展的历史作了研究 按数学百科全书 11第 661-665页的划分，本文的研究更侧重于 “ 组合分析 ” 历

41、史的研究。它包括组合分析的 基本概念、经典组合问题、与计数问题相关的 一些计数函数和计数定理、选择定理（以 Hall定理为基础的一系列结果 )、区组设计，等等。 关于组合优化的历史，荷兰数学家 Alexander Schrijver己有一些关于组合优化专齒历史的论 0 2000 年 3 月在美 H Horida At丨 antic 大学召开的 Thirty-first Southeastern 丨 ntemational Conference on Combinatorics, Graph Theory， and Computing: 2001 年 4 /在英国 Glasgow 大学召开 th

42、e 53rd British Mathematical CoHoquium.英国数学家 Latin Wilson在这两个数学会议上作了关于组合学史研究的报吿， 报告趨 M 分规为 ： history of Combinatorics 1: Earliest Times to 8ernou 出和 Victorian Combinatorics 钱宝琮，朱世杰垛积术广义，科学 ， IM8年 . 章用，垛积比类琉证，科学，丨丨 （ 23),丨 939. 李俨，中算家的纵横图研究，中算史论丛（ ) ，中国科学院丨丨 !版， 1954. 傅庭芳，中算传统方法与两种计数函数，自然杂志， 1985: 21-

43、26. 何绍庚，明安围的级数回求，自然科学史研究 ， 3 (3),丨 984. 郭世架、罗见今，戴煦对欧拉数的研究，自然科学史研究，丨 987,4: 362-370. 罗见今，李菩兰对 Stirling数和 Euler数的研究，数学研丸与评论 ， 4 (2), 1982; 徐李 S华诸家的计数函数，第三屈国际中国数学史讨论会论文集，科学出版社，丨 990: 明安图是卡塔兰数的首创 者，内紫古大学学报 1988,4: 242. 李兆华，汪莱 递兼数理、参两算经略论，中国数学史论文集 (二山东教育出版社，丨 986: 96. 沈康身，关孝和和李菩兰的幂和公式，中国数学史论文挺 (三 )， 山东教育

44、出版社，丨 985: 8W84. 数学百科全书 J编译委员会，数学 H科全书 （ 第一卷 ,科学出版社，丨 994: 661-665. 文发表 .如 “ 旅行问题 ” 和 “ 最小流问题 ” 夂即将发表的一篇名为 “On the history of combinatorial optimization” 文章中给山了 1960年前的详细史评，本文对此不加讨论。由于 组合学的离散性，本文将不可能完全按上面的发展分期为序进行讨论，只在第二章中限定在 中世纪这个跨度较大的时期 .专门讨论了此期间的三个专题，其它的儿部分是按内容和方法 的发展脉络进行的，同时每个专题又基本上是按时间顺序讨论。 文中把东方的组合计数问题及成果与西方的历史相结合，从时间、内容及方法上探讨计 数问题在东、西方数学历史发展中的互补性，把在计数问题的有犬 研究和取得的一些成