课时规范练52　平面向量的数量积.docx

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1、课时规范练52平面向量的数量积一、基础巩固练1.(2024湖南邵阳模拟)已知向量a=(1,3),b=(1,-1),c=(4,5).若a与b+c垂直,则实数的值为()A.219B.411C.2D.-472.(2024河北保定模拟)已知等边三角形ABC的边长为1,设BC=a,CA=b,AB=c,那么ab+bc+ca=()A.3B.-3C.32D.-323.(2022全国乙,理3)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=3,|a-2b|=3,则ab=()A.-2B.-1C.1D.24.(2023北京,3)已知向量a,b满足a+b=(2,3),a-b=(-2,1),则|a|2-|b|2=()A.-2B.

2、-1C.0D.15.(2024湖南常德模拟)已知向量a为单位向量,向量b=(1,1),(a+b)(2a-b)=1,则向量a与向量b的夹角为()A.6B.4C.3D.26.(2024福建厦门模拟)平面上的三个力F1,F2,F3作用于同一点,且处于平衡状态.已知F1=(1,0),|F2|=2,=120,则|F3|=()A.12B.1C.3D.27.(多选题)(2024山东济南模拟)已知平面向量a=(1,3),b=(-2,1),则下列说法正确的有()A.|a|=10B.(2a-b)bC.a与b的夹角为钝角D.a在b上的投影向量的模为558.(2024湖北十堰模拟)已知向量a=(12,5),b=(m,

3、-2m-2),若ab,则|b|=.9.(2022全国甲,理13)设向量a,b的夹角的余弦值为13,且|a|=1,|b|=3,则(2a+b)b=.10.已知向量a=(-2,-1),b=(,1),则当a与b的夹角为钝角时,的取值范围为.二、综合提升练11.(2024江苏苏锡常镇模拟)两个粒子A,B从同一发射源发射出来,在某一时刻,它们的位移分别为sA=(4,3),sB=(-2,6),则sB在sA上的投影向量的模为()A.10B.102C.1010D.212.(2024浙江金丽衢十二校模拟)在三角形ABC中,AB=7,BC=8,AC=9,AM和AN分别是BC边上的高和中线,则MNBC=()A.14B

4、.15C.16D.1713.(多选题)(2024广东梅州模拟)已知向量a=(2,1),b=(cos ,sin ),c=(0,1),则下列说法正确的有()A.当且仅当tan =12时,abB.a在c上的投影向量为cC.存在,使得b=a-cD.存在,使得|a+b|=|a-b|14.(2024湖南雅礼中学模拟)已知向量a=(1,2),b=(4,2),若非零向量c与a,b的夹角均相等,则c的坐标可以为.(写出一个符合要求的答案即可)课时规范练52平面向量的数量积1.A解析 由题意,b+c=(1+4,5-1),a与b+c垂直,则a(b+c)=0,即1+4+3(5-1)=0,解得=219.2.D解析 在等

5、边三角形ABC中,有ab+bc+ca=11cos 120+11cos 120+11cos 120=-32.3.C解析 由已知得|a-2b|2=|a|2+4|b|2-4ab=1+12-4ab=9,解得ab=1.4.B解析 向量a,b满足a+b=(2,3),a-b=(-2,1),所以|a|2-|b|2=(a+b)(a-b)=2(-2)+31=-1.5.B解析 因为向量a为单位向量,向量b=(1,1),所以|a|=1,|b|=2.又(a+b)(2a-b)=2a2+ab-b2=1,即2|a|2+|a|b|cos-|b|2=1,所以cos=22.又0,所以向量a与向量b的夹角为4.6.C解析 由已知,可

6、得F1+F2+F3=0,所以F3=-(F1+F2).因为F1=(1,0),所以|F1|=1,所以F1F2=|F1|F2|cos=12(-12)=-1,所以|F3|2=F32=(F1+F2)2=|F1|2+|F2|2+2F1F2=1+4-2=3,所以|F3|=3.7.AD解析 对于A,|a|=12+32=10,故A正确;对于B,2a-b=(2,6)-(-2,1)=(4,5),故(2a-b)b=(4,5)(-2,1)=-8+5=-30,故2a-b与b不垂直,故B错误;对于C,cos=ab|a|b|=(1,3)(-2,1)1+94+1=152=2100,故a与b的夹角为锐角,故C错误;对于D,a在b

7、上的投影向量的模为|ab|b|=|(1,3)(-2,1)|4+1=55,故D正确.故选AD.8.13解析 因为ab,所以12m+5(-2m-2)=0,解得m=5,则b=(5,-12),|b|=52+(-12)2=13.9.11解析 由题得,ab=13cos=1313=1,则(2a+b)b=2ab+|b|2=2+9=11.10.(-12,2)(2,+)解析 因为a与b的夹角为钝角,所以cos 0,即cos =ab|a|b|=-2-152+10,所以-2-1-12.同时-21-1,所以2.所以的取值范围为(-12,2)(2,+).11.D解析 设sB与sA的夹角为,则cos =sBsA|sB|sA

8、|,所以sB在sA上的投影向量的模为|sB|cos =sBsA|sA|=105=2.12.C解析 设AB=a,AC=b,BM=BC(R),则有AM=AB+BC=AB+(AC-AB)=(1-)AB+AC=(1-)a+b.由余弦定理得cosBAC=AB2+AC2-BC22ABAC=72+92-82279=1121.AMBC,AMBC=0,即(1-)a+b(b-a)=0,(1-2)ab-(1-)a2+b2=0,其中ab=|a|b|cosBAC=631121=33,a2=49,b2=81,解得=14.由题知BN=12BC,MN=BN-BM=14BC.MNBC=14BC2=16.13.ABD解析 对于A

9、,ab2sin =cos tan =12,故A正确;对于B,因为ac=1,所以a在c上的投影向量为ac|c|c|c|=c,故B正确;对于C,a-c=(2,0),假定存在,使得b=a-c,则有cos =2,sin =0,而cos -1,1,即cos =2不成立,因此不存在,使得b=a-c,故C错误;对于D,|a+b|=|a-b|(a+b)2=(a-b)24ab=0,即2cos +sin =0,则tan =-2,因此存在,使得|a+b|=|a-b|,故D正确.故选ABD.14.(1,1)(答案不唯一)解析 设c=(x,y),因为a=(1,2),b=(4,2),所以cos=ac|a|c|=x+2y5x2+y2,cos=bc|b|c|=4x+2y25x2+y2.因为c与a,b的夹角均相等,所以cos=cos,所以x+2y5x2+y2=4x+2y25x2+y2,化简得x=y,所以c=(x,x).因为c为非零向量,所以可取x=1,此时c=(1,1).3