2024版高考数学一轮复习第七章平面向量复数课时规范练32平面向量的数量积与平面向量的应用.docx

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1、课时规范练32基础巩固组1.(2023河北正定中学高三月考)已知|a|=4,|b|=1,且(2a-3b)b=3,则向量a,b夹角的余弦值为()A.-34B.34C.56D.-56答案:B解析:设向量a,b的夹角为,因为(2a-3b)b=2ab-3|b|2=241cos-3=3,所以cos=34.故选B.2.(2022江苏苏州三模)已知单位向量a,b,c满足2a+3b+4c=0,则ab=()A.-2912B.-78C.0D.14答案:D解析:由2a+3b+4c=0可得2a+3b=-4c,等号两边分别平方可得4a2+12ab+9b2=16c2,所以4+12ab+9=16,解得ab=14.故选D.3

2、.(2023山东潍坊高三月考)已知向量a=(23,2),向量e=12,32,则向量a在向量e上的投影向量为()A.(3,3)B.(-3,1)C.(1,3)D.14,34答案:A解析:a在e上的投影向量为ae|e|2e=3+31e=2312,32=(3,3).故选A.4.(2023山东烟台高三期末)如图,在ABC中,BAC=3,AD=2DB,P为CD上一点,且满足AP=mAC+12AB,mR.若|AC|=3,|AB|=4,则APCD的值为()A.-3B.-1312C.1312D.112答案:C解析:因为AD=2DB,所以AB=32AD,所以AP=mAC+12AB=mAC+34AD.因为C,P,D

3、三点共线,所以m+34=1,即m=14,所以AP=14AC+12AB.又CD=ADAC=23ABAC,所以APCD=14AC+12AB23ABAC=13AB214AC213ABAC=13|AB|214|AC|213|AB|AC|cos3=1316-149-134312=1312.故选C.5.(2023河南郑州高三期末)若向量a,b互相垂直,且满足(a+b)(2a-b)=2,则|a+b|的最小值为()A.-2B.1C.2D.2答案:B解析:由题设,ab=0且(a+b)(2a-b)=2a2-ab+2ab-b2=2a2-b2=2,a2=1+b22,而|a+b|2=a2+2ab+b2=a2+b2=1+

4、32b21,当|b|=0时,等号成立,|a+b|min=1.故选B.6.(2023广东佛山高三月考)线段AB是圆O:x2+y2=9的一条直径,直线x-2y+10=0上有一动点P,则PAPB的最小值为()A.9B.10C.11D.12答案:C解析:因为O:x2+y2=9的圆心到直线x-2y+10=0的距离d=1012+22=105,所以PAPB=(PO+OA)(POOA)=PO2OA21052-9=11.故选C.7.(多选)(2023福建泉州高三月考)设向量a,b满足|a|=|b|=1,且|b-2a|=5,则以下结论正确的是()A.abB.|a+b|=2C.|a-b|=2D.向量a,b夹角为60

5、答案:AC解析:由|b-2a|=5,可得|b|2+4|a|2-4ab=5,又|a|=|b|=1,所以1+4-4ab=5,即ab=0,则ab,故A正确,D错误;|a+b|=|a|2+|b|2+2ab=12+12+20=2,故B错误;|a-b|=|a|2+|b|2-2ab=12+12-20=2,故C正确.故选AC.8.(2021全国乙,理14)已知向量a=(1,3),b=(3,4),若(a-b)b,则=.答案:35解析:由已知得,a-b=(1-3,3-4),由(a-b)b,得3(1-3)+4(3-4)=0,即15-25=0,解得=35.9.(2023陕西西安高三月考)已知向量a=(cos 30,-

6、sin 210),b=(-3,1),则a与b夹角的余弦值为.答案:-12解析:由a=(cos30,-sin210)知a=32,12,故ab=32(-3)+121=-1,|a|=1,|b|=2,记a与b的夹角为,则cos=ab|a|b|=-112=-12.10.(2021新高考,15)已知向量a+b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2,则ab+bc+ca=.答案:-92解析:a+b+c=0,(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=0,1+4+4+2(ab+bc+ca)=0,ab+bc+ca=-92.综合提升组11.(2023天津武清高三月考)如图,在等腰直角三角形ABC中

7、,斜边AC=2,M为AB的中点,D为AC的中点.将线段AC绕着点D旋转得到线段EF,则MEMF=()A.-2B.-32C.-1D.-12答案:D解析:易得BC=2,D为线段EF中点,则ME+MF=2MD,(ME+MF)2=4MD2,MEMF=FE,(MEMF)2=FE2,则MEMF=14(ME+MF)2-(MEMF)2=MD214FE2.又MD=12BC=22,EF=AC=2,所以MEMF=12144=-12.故选D.12.(2023湖南师大附中高三月考)已知|a|=2,|b|=1,且a与b的夹角为45,若向量(2a-b)与(a-3b)的夹角是锐角,则实数的取值范围是.答案:(1,6)(6,6

8、)解析:当(2a-b)与(a-3b)夹角为锐角时,(2a-b)(a-3b)=2a2-(6+2)ab+3b2=4-(6+2)+30,解得16.但当=6时,(2a-b)与(a-3b)共线,不合题意,舍去,故的取值范围为(1,6)(6,6).创新应用组13.(2023福建莆田高三开学考试)已知向量a,b,c满足a+b+c=0,(a-b)(a-c)=0,|b-c|=9,则|a|=()A.3B.3C.33D.9答案:B解析:由已知可得a=-b-c,则(a-b)(a-c)=(-2b-c)(-b-2c)=(2b+c)(b+2c)=0,即2b2+2c2+5bc=0.因为|b-c|=9,所以b2+c2-2bc=81.所以b2+c2=45,bc=-18,因此,|a|2=a2=(-b-c)2=b2+c2+2bc=9,故|a|=3.故选B.