2024年中考数学模拟试题全等三角形.doc

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1、2024年中考数学模拟试题全等三角形一、选择题1、（2024 苏州二模）如图,和均是边长为2的等边三角形,点是边、的中点,直线、相交于点.当绕点旋转时,线段长的最小值是 （ ）A. B. C. D. 答案：D2、（2024青岛一模）如图，在ABC中，C=90，AB=5cm，AC=4cm，点D在AC上，将BCD沿着BD所在直线翻折，使点C落在斜边AB上的点E处，则DC的长为（）A cmB cmC2cmD cm【考点】翻折变换（折叠问题）【分析】首先由勾股定理求出BC，由折叠的性质可得BED=C=90，BE=BC=3cm，得出AE=ABBE=2cm，设DC=xcm，则DE=xcm，AD=（4x）c

2、m，由勾股定理得出方程，解方程即可【解答】解：C=90，AB=5cm，AC=4cm，BC=3cm，将BCD沿着直线BD翻折，使点C落在斜边AB上的点E处，BEDBCD，BED=C=90，BE=BC=3cm，AE=ABBE=2cm，设DC=xcm，则DE=xcm，AD=（4x）cm，由勾股定理得：AE2+DE2=AD2，即22+x2=（4x）2，解得：x=故选：B3(2024新疆乌鲁木齐九十八中一模)如图，边长为2a的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接HN则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（）A aBaCD【考点】全

3、等三角形的判定与性质；等边三角形的性质【分析】取CB的中点G，连接MG，根据等边三角形的性质可得BH=BG，再求出HBN=MBG，根据旋转的性质可得MB=NB，然后利用“边角边”证明MBGNBH，再根据全等三角形对应边相等可得HN=MG，然后根据垂线段最短可得MGCH时最短，再根据BCH=30求解即可【解答】解：如图，取BC的中点G，连接MG，旋转角为60，MBH+HBN=60，又MBH+MBC=ABC=60，HBN=GBM，CH是等边ABC的对称轴，HB=AB，HB=BG，又MB旋转到BN，BM=BN，在MBG和NBH中，MBGNBH（SAS），MG=NH，根据垂线段最短，MGCH时，MG最

4、短，即HN最短，此时BCH=60=30，CG=AB=2a=a，MG=CG=a=，HN=，故选：D【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点4. （2024上海市闸北区中考数学质量检测4月卷）如图，已知BDACDA，则不一定能使ABDACD的条件是（ ）（A）BDDC （B）ABAC （C）BC （D）BADCAD答案：B5. （2024湖南湘潭一模）如图，在和中，已知，还需添加两个条件才能使，不能添加的一组条件是A， B， C， D，答案：C 6. （2024广东东莞联考）如图，过ABCD的对角

5、线BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH，那么图中的AEMG的面积S1与HCFM的面积S2的大小关系是（）AS1S2BS1S2CS1=S2D2S1=S2【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质【分析】根据平行四边形的性质和判定得出平行四边形GBEP、GPFD，证ABDCDB，得出ABD和CDB的面积相等；同理得出BEM和MHB的面积相等，GMD和FDM的面积相等，相减即可求出答案【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，EFBC，HGAB，AD=BC，AB=CD，ABGHCD，ADEFBC，四边形HBEM、GMFD是平行四边形，在ABD和CDB中；，ABDCDB（SSS），即

6、ABD和CDB的面积相等；同理BEM和MHB的面积相等，GMD和FDM的面积相等，故四边形AEMG和四边形HCFM的面积相等，即S1=S2故选：C【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出ABD和CDB的面积相等，BEP和PGB的面积相等，HPD和FDP的面积相等，注意：如果两三角形全等，那么这两个三角形的面积相等7. （2024广东深圳一模）如图，过边长为3的等边ABC的边AB上一点P，作PEAC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连接PQ交边AC于点D，则DE的长为（）ABCD不能确定【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的性质；等腰

7、三角形的性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定与性质【专题】证明题【分析】过P作PFBC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，证PFDQCD，推出FD=CD，推出DE=AC即可【解答】解：过P作PFBC交AC于F，PFBC，ABC是等边三角形，PFD=QCD，APF=B=60，AFP=ACB=60，A=60，APF是等边三角形，AP=PF=AF，PEAC，AE=EF，AP=PF，AP=CQ，PF=CQ，在PFD和QCD中，PFDQCD，FD=CD，AE=EF，EF+FD=AE+CD，AE+CD=DE=AC，AC=3，DE=，故选B【点评】本

8、题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中填空题1（2024天津市和平区一模）如图，ABC和CDE都是等边三角形，且EBD=66，则AEB的大小=126【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质【分析】由等边三角形的性质得出BC=AC，ABC=ACB=BAC=DCE=60，CD=CE，得出BCD=ACE，由SAS证明BCDACE，得出CBD=CAE，再证明CBD6=ABE，得出ABE=CAE6，求出ABE+BAE=BAC6，

9、即可求出AEB的大小【解答】解：ABC和CDE都是等边三角形，BC=AC，ABC=ACB=BAC=DCE=60，CD=CE，BCD=ACE，在BCD和ACE中，BCDACE（SAS），CBD=CAE，EBD=66，CBD=ABE+（6660）ABE=CAE6，ABE+BAE=CAE+BAE6=BAC6=54，AEB=18054=126；故答案为：126【点评】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等得出对应角相等是解决问题的关键2（2024天津五区县一模）如图，AB=AC，要使ABEACD，应添加的条件是B=C或AE=AD（添加一个条件即可）

10、【考点】全等三角形的判定【专题】开放型【分析】要使ABEACD，已知AB=AC，A=A，则可以添加一个边从而利用SAS来判定其全等，或添加一个角从而利用AAS来判定其全等【解答】解：添加B=C或AE=AD后可分别根据ASA、SAS判定ABEACD故答案为：B=C或AE=AD【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键三、解答题1(2024重庆巴蜀 一模）如图，点C，D在线段BF上，ABDE，AB=DF，BC=DE求证：A

11、C=FE【分析】首先由ABDE，可以得到B=EDF，然后利用SAS证明ABC与DEF全等，最后利用全等三角形的性质即可解决问题【解答】证明：ABDE，B=EDF，在ABC与DEF中，ABCDEF（SAS），AC=FE2(2024重庆巴南 一模）已知：D=E，AD=AE，1=2求证：BD=CE【分析】先证出BAD=CAE，再由ASA证明ABDACE，得出对应边相等即可【解答】证明：1=2，BAD=CAE，在ABD与ACE中，ABDACE（ASA），BD=CE3.(2024重庆铜梁巴川一模）如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，ABCD，AE=DF，A=D求证：AB=CD【分析】

12、根据平行线的性质得出B=C，再根据AAS证出ABEDCF，从而得出AB=CD【解答】解：ABCD，B=C，在ABE和DCF中，ABEDCF，AB=CD4(2024重庆巴南 一模）如图，ABCD中，点E是BC边上的一点，且DE=BC，过点A作AFCD于点F，交DE于点G，连结AE、EF（1）若AE平分BAF，求证：BE=GE；（2）若B=70，求CDE的度数（3）若点E是BC边上的中点，求证：AEF=2EFC【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，DE=BC，易证得AEB=AEG，又由AE平分BAF，可证得ABEAGE，即可证得BE=GE；（1）由（1）可知ABEAGE，故此可知DGF=AG

13、E=70，在RtDGF中，利用直角三角形两锐角互余可求得CDE=20；（3）延长AE，交DC的延长线于点M，易证得ABEMCE，又由AFCD，可得EF是RtAFM的斜边上的中线，继而证得结论【解答】解：（1）四边形ABCD是平行四边形，ADBC，AD=BCDAE=AEBDE=BC，AD=DEDAE=AEDAEB=AEDAE平分BAF，BAE=GAE在ABE和AGE中，ABEAGE（ASA）BE=GE（2）由（1）可知：ABEAGE，B=EGA=70DGF=EGA=70AFCD，GFD=90GDF+DGF=90CDE=9070=20（3）延长AE，交DC的延长线于点M四边形ABCD是平行四边形，

14、ABCDBAF=AFD，M=BAE点E是BC边上的中点，BE=CE在ABE和MCE中，ABEMCE（AAS）AE=MEAFCD，EF=AE=EM=AMM=EFCAEF=BAE+EFC=2EFC5、（2024齐河三模）如图1：在四边形ABCD中，ABAD，BAD120，BADC90E、F分别是BC、CD上的点且EAF60探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DGBE连结AG，先证明ABEADG，再证明AEFAGF，可得出结论，他的结论应是EFBEDF；探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，ABAD，BD180E、F分别是BC、CD上的点，且EA

15、FBAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70，试求此时两舰艇之间的距离？答案：解：问题背景：EFBEDF；探索延伸：EFBEDF仍然成立证明如下：如图，延长FD到G，使DGBE，连接AG，BADC180，ADCADG180，BADG，在ABE和ADG中，ABEA

16、DG（SAS），AEAG，BAEDAG，EAFBAD，GAFDAGDAFBAEDAFBADEAFEAF，EAFGAF，在AEF和GAF中，AEFGAF（SAS），EFFG，FGDGDFBEDF，EFBEDF；实际应用：如图，连接EF，延长AE、BF相交于点C，AOB3090（9070）140，EOF70，EAFAOB，又OAOB，OACOBC（9030）（7050）180，符合探索延伸中的条件，结论EFAEBF成立，即EF1.5（6080）210海里答：此时两舰艇之间的距离是210海里6、（2024青岛一模）已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC上，且AE=CF，作EGFH

17、，分别与对角线BD交于点G、H，连接EH，FG（1）求证：BFHDEG；（2）连接DF，若BF=DF，则四边形EGFH是什么特殊四边形？证明你的结论【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定【分析】（1）由平行四边形的性质得出ADBC，AD=BC，OB=OD，由平行线的性质得出FBH=EDG，OHF=OGE，得出BHF=DGE，求出BF=DE，由AAS即可得出结论；（2）先证明四边形EGFH是平行四边形，再由等腰三角形的性质得出EFGH，即可得出四边形EGFH是菱形【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，AD=BC，OB=OD，FBH=EDG，AE=CF，BF=D

18、E，EGFH，OHF=OGE，BHF=DGE，在BFH和DEG中，BFHDEG（AAS）；（2）解：四边形EGFH是菱形；理由如下：连接DF，如图所示：由（1）得：BFHDEG，FH=EG，又EGFH，四边形EGFH是平行四边形，BF=DF，OB=OD，EFBD，EFGH，四边形EGFH是菱形7、（2024青岛一模）把RtABC和RtDEF按如图（1）摆放（点C与E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上已知：ACB=EDF=90，DEF=45，AC=8cm，BC=6cm，EF=10cm如图（2），DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向ABC匀速移动，在DEF移动的同时，点P从

19、ABC的顶点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止移动，DEF也随之停止移动DE与AC交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（1）用含t的代数式表示线段AP和AQ的长，并写出t的取值范围；（2）连接PE，设四边形APEQ的面积为y（cm2），试探究y的最大值；（3）当t为何值时，APQ是等腰三角形【考点】相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；等腰三角形的性质【专题】动点型【分析】（1）根据题意以及直角三角形性质表达出CQ、AQ，从而得出结论，（2）作PGx轴，将四边形的面积表示为SABCSBPESQCE即可求解，（3）根据题意以及三角形相似对边比例性质

20、即可得出结论【解答】（1）解：AP=2tEDF=90，DEF=45，CQE=45=DEF，CQ=CE=t，AQ=8t，t的取值范围是：0t5；（2）过点P作PGx轴于G，可求得AB=10，SinB=，PB=102t，EB=6t，PG=PBSinB=（102t）y=SABCSPBESQCE=当（在0t5内），y有最大值，y最大值=（cm2）（3）若AP=AQ，则有2t=8t解得：（s）若AP=PQ，如图：过点P作PHAC，则AH=QH=，PHBCAPHABC，即，解得：（s）若AQ=PQ，如图：过点Q作QIAB，则AI=PI=AP=tAIQ=ACB=90A=A，AQIABC即，解得：（s）综上所

21、述，当或或时，APQ是等腰三角形8(2024浙江杭州萧山区模拟)在ABC中，AB=AC，点E，F分别在AB，AC上，AE=AF，BF与CE相交于点P求证：PB=PC，并直接写出图中其他相等的线段【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质【专题】几何图形问题【分析】可证明ABFACE，则BF=CE，再证明BEPCFP，则PB=PC，从而可得出PE=PF，BE=CF【解答】解：在ABF和ACE中，ABFACE（SAS），ABF=ACE（全等三角形的对应角相等），BF=CE（全等三角形的对应边相等），AB=AC，AE=AF，BE=CF，在BEP和CFP中，BEPCFP（AAS），PB=PC，B

22、F=CE，PE=PF，图中相等的线段为PE=PF，BE=CF，BF=CE【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，是基础题，难度不大9(2024云南省一模)在ABC中，AB=AC，点E，F分别在AB，AC上，AE=AF，BF与CE相交于点P求证：EBCFCB【考点】全等三角形的判定【专题】证明题【分析】首先根据等边对等角可得ABC=ACB，再根据等式的性质可得BE=CF，然后再利用SAS判定EBCFCB【解答】证明：AB=AC，ABC=ACB，AE=AF，ABAE=ACAF即BE=CF，在EBC和FCB中，EBCFCB（SAS）【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个

23、三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件10. （2024吉林长春朝阳区一模）探究：如图，ABC是等边三角形，在边AB、BC的延长线上截取BM=CN，连结MC、AN，延长MC交AN于点P（1）求证：ACNCBM；（2）CPN=120应用：将图的ABC分别改为正方形ABCD和正五边形ABCDE，如图、，在边AB、BC的延长线上截取BM=CN，连结MC、DN，延长MC交DN于点P，则图中CPN=90；图中CPN=72拓展：若将图的ABC改为正n边形，其它条件不变，则CPN=（用含n的代数式表示）【考点】四边形综合题【分析】探究：

24、（1）利用等边三角形的性质得到BC=AC，ACB=ABC，从而得到ACNCBM（2）利用全等三角形的性质得到CAN=BCM，再利用三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，即可求解应用：利用正方形（或正五边形）的性质得到BC=DC，ABC=BCD，从而判断出DCNCBM，再利用全等三角形的性质得到CDN=BCM，再利用三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和（或者三角形的内角和），即可拓展：利用正n五边形的性质得到BC=DC，ABC=BCD，从而判断出DCNCBM，再利用全等三角形的性质得到CDN=BCM，再利用三角形的内角和，即可【解答】探究：（1）解：ABC是等边三角形，BC=AC，ACB=A

25、BC=60 ACN=CBM=60在ACN和CBM中，ACNCBM （2）解：DCNCBM，CAN=BCM，ABC=BMC+BCM，BAN=BAC+CAN，CPN=BMC+BAN=BMC+BAC+CAN=BMC+BAC+BCM=ABC+BAC=60+60=120，故答案为120应用：将等边三角形换成正方形， 解：四边形ABCD是正方形，BC=DC，ABC=BCD=90 MBC=DCN=120 在DCN和CBM中，DCNCBMCDN=BCM，BCM=PCNCDN=PCN在RtDCN中，CDN+CND=90，PCN+CND=90，CPN=90，将等边三角形换成正五边形， 五边形ABCDE是正五边形，

26、BC=DC=108 MBC=DCN=72 在DCN和CBM中，DCNCBMBMC=CND，BCM=CDN，ABC=BMC+BCM=108CPN=180（CND+PCN）=180（CND+BCM）=180（BCM+BMC）=180108=72故答案为90，72拓展 解：方法和上面正五边形的方法一样，得到CPN=180（CND+PCN）=180（CND+BCM）=180（BCM+BMC）=180108=72故答案为【点评】本题是四边形的综合题，也是一道规律题，主要考查了正n边形的性质，涉及知识点比较多，如等边三角形、正方形、正五边形的性质，如由四边形ABCD是正方形，得到BC=DC，ABC=BCD

27、=90，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，对顶角相等，解题的关键是充分利用三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和（或者三角形的内角和）11（2024湖南省岳阳市十二校联考一模）数学活动：擦出智慧的火花由特殊到一般的数学思想数学课上，李老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的点，过点E作EFAE，过点F作FGBC交BC的延长线于点G（1）求证：BAE=FEG（2）同学们很快做出了解答，之后李老师将题目修改成：如图2，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点AEF=90，且EF交正方形外角DCG的平分线于点F，求证：AE=EF经过思考，小明展示了一种正确的解题思

28、路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证AMEECF，所以AE=EF请借助图1完成小明的证明；在（2）的基础上，同学们作了进一步的研究：（3）小聪提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小聪的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由【考点】四边形综合题【分析】（1）根据AEF=90，即可得到AEB+FEG=90，在直角ABE中，利用三角形内角和定理得到BAE+AEB=90，然后根据同角的余角相等，即可证得；（2）作AB的中点M，连接ME，根据ASA即可证明AMEECF

29、，然后根据全等三角形的对应边相等即可证得；（3）在AB上取一点M，使AM=EC，连接ME，同（2）根据ASA即可证明AMEECF，然后根据全等三角形的对应边相等即可证得【解答】解：（1）AEF=90，AEB+FEG=90，又直角ABE中，BAE+AEB=90，BAE=FEG；（2）作AB的中点M，连接ME正方形ABCD中，AB=BC，又AM=MB=AB，BE=CE=BC，MB=BE，ABE是等腰直角三角形，BME=45，AME=135，又ECF=180FCG=18045=135AME=ECF，在AME和ECF中，AMEECF，AE=EF；（3）在AB上取一点M，使AM=EC，连接MEBM=BE

30、，BME=45，AME=135，CF是外角平分线，DCF=45，ECF=135AME=ECFAEB+BAE=90，AEB+CEF=90BAE=CEF在AME和ECF中，AMEECF（ASA），AE=EF【点评】本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，要注意题目之间的联系，正确作出辅助线构造全等的三角形是本题的关键12. （2024湖北襄阳一模） (本题11分）如图，在正方形ABCD中，AB=5，P是BC边上任意一点，E是BC延长 线上一点，连接AP，作PFAP，使PFPA，连接CF，AF，AF交CD边于点G，连接PG（1）求证：GCFFCE；（2）判断线段PG，PB与DG之间的数量关系

31、，并证明你的结论；（3）若BP2，在直线AB上是否存在一点M，使四边形DMPF是平行四边形，若存在，求出BM的长度，若不存在，说明理由 第1题答案：（1）证明：过点F作FHBE于点H，HKM 四边形ABCD是正方形， ABCPHFDCB90,ABBC， BAPAPB90 APPF, APBFPH90 FPHBAP 又APPF BAPHPF PHAB，BPFH PHBC BPPCPCCH CHBPFH 而FHC90. FCHCFH45 DCF904545 GCFFCE （2）PGPBDG 证明：延长PB至K，使BK=DG, 四边形ABCD是正方形 AB=AD, ABKADG=90 ABKADG

32、AK=AG, KABGAD, 而APF=90 ,AP=PF PAFPFA45 BAPKABKAP45 PAF KAPGAP KP=PG, KBBP=DGBPPG 即，PGPBDG； （3）存在. 如图，在直线AB上取一点M，使四边形DMPF是平行四边形， 则MDPF，且MDFP， 又PF=AP， MD=AP 四边形ABCD是正方形， AB=AD，ABP=DAM ABPDAM AMBP=2， BMABAM=52=3. 当BM=3，BM+AM=AB时，四边形DMPF是平行四边形13. （2024广东一模）（本题满分10分）定义：数学活动课上，乐老师给出如下定义：有一组对边相等而另一组对边不相等的凸

33、四边形叫做对等四边形理解：（1）如图1，已知A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请在方格图中画出以格点为顶点，AB、BC为边的两个对等四边形ABCD；（2）如图2，在圆内接四边形ABCD中，AB是O的直径，AC=BD求证：四边形ABCD是对等四边形；（3）如图3，在RtPBC中，PCB=90，BC=11，tanPBC=，点A在BP边上，且AB=13用圆规在PC上找到符合条件的点D，使四边形ABCD为对等四边形，并求出CD的长解：（1）如图1所示（画2个即可） （2）如图2，连接AC，BD，AB是O的直径，ADB=ACB=90，在RtADB和RtACB中， RtADBRtACB，AD=BC，又

34、AB是O的直径，ABCD，四边形ABCD是对等四边形（3）如图3，点D的位置如图所示：若CD=AB，此时点D在D1的位置，CD1=AB=13；若AD=BC=11，此时点D在D2、D3的位置，AD2=AD3=BC=11，过点A分别作AEBC，AFPC，垂足为E，F，设BE=x，tanPBC=，AE=，在RtABE中，AE2+BE2=AB2，即，解得：x1=5，x25（舍去），BE=5，AE=12，CE=BCBE=6，由四边形AECF为矩形，可得AF=CE=6，CF=AE=12，在RtAFD2中，综上所述，CD的长度为13、12或12+13. （2024广东河源一模）已知一张矩形纸片OACB，将该

35、纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B，C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B和折痕OP设BPt 。（1）如图，当BOP30时，求点P的坐标；（2）如图，经过点P再次折叠纸片，使点C 落在直线PB上，得点C和折痕PQ，若AQm，试用含有t的式子表示m； （3）在（2）的条件下，当点C恰好落在边OA上时，求点P的坐标。（直接写出结果即可） 解：（1）根据题意，有OBP = 90，OB = 6，在RtOBP中，由BOP = 30，BP =t，得OP2t.OP 2 OB 2+BP 2，即（2t）2 62+t 2，解得t1，t2（舍去）点P的坐

36、标为（ ，6）（2）OBP，QCP分别是由OBP，QCP折叠得到的，OBP OBP，QCP QCP.OPBOPB，QPCQPC.OPB+OPB +QPC+QPC180，OPB +QPC90.BOP +OPB90，BOPCPQ.又OBPC = 90，OBPPCQ.由题意知，BPt，AQm，BC11，AC6，则PC11t，CQ6m（0t11）.（3）点P的坐标为（，6）或（，6）.三角形的边与角一、选择题1（2024天津南开区二模）如图，四边形ABCD中，ADBC，B=90，E为AB上一点，分别以ED，EC为折痕将两个角（A，B）向内折起，点A，B恰好落在CD边的点F处.若AD=3，BC=5，则E

37、F的值是（ ）AB2CD2考点：三角形中的角平分线、中线、高线答案：A试题解析：分别以ED，EC为折痕将两个角（A，B）向内折起，点A，B恰好落在CD边的点F处，EA=EF，BE=EF，DF=AD=3，CF=CB=5，AB=2EF，DC=DF+CF=8，作DHBC于H，ADBC，B=90，四边形ABHD为矩形，DH=AB=2EF，HC=BCBH=BCAD=53=2，在RtDHC中，DH=2，EF=DH=故选：A2（2024天津五区县一模）如图，在A1B1C1中，已知A1B1=7，B1C1=4，A1C1=5，依次连接A1B1C1三边中点，得A2B2C2，再依次连接A2B2C2的三边中点得A3B3

38、C3，则A5B5C5的周长为1【考点】三角形中位线定理【专题】压轴题；规律型【分析】由三角形的中位线定理得：A2B2、B2C2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，所以A2B2C2的周长等于A1B1C1的周长的一半，以此类推可求出A5B5C5的周长为A1B1C1的周长的【解答】解：A2B2、B2C2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，以此类推：A5B5C5的周长为A1B1C1的周长的，则A5B5C5的周长为（7+4+5）16=1故答案为：1【点评】本题主要考查了三角形的中位线定理，关键是根据三角形的中位线定理得：A2B2、B2C2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，所以A2B2C2的周长等于A1B1C1的周长的一半32024泰安一模）将一副三角板按图中的方式叠放，则等于（）A75B60C45D30【考点】三角形内角和定理【分析】首先根据三角板可知：CBA=