高二选修第三册题型培优讲义.pdf

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1、曹老师微信：Education111666专注初高中数学 10 余年进 QQ 群下载 word 版学科网（北京）股份有限公司高高二二选选修修第第三三册册题题型型培培优优讲讲义义第 1 讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理.3题型一 分类加法计数原理.3题型二 分步乘法计数原理.5题型三:两个原理的综合应用.8第 2 讲排列及排列数 5 种题型总结.10题型一 排列的概念.10题型二 排列数的计算.12题型三 解排列数方程和不等式.13题型四 证明排列数恒等式.13题型五 排列的简单应用.14第 3 讲组合及组合数 5 种题型总结.18题型一 组合的概念.18题型二 组合数的计算.19题型三

2、解组合数方程和不等式.20题型四 组合数的性质及恒等式.20题型五 组合的简单应用.22第 4 讲 排列组合常见 11 种题型总结分析.25题型一 特殊元素与特殊位置优待法.25题型二 分类讨论思想.26题型三 插空法（不相邻问题）.26题型四 捆绑法（相邻问题）.27题型五 平均分组问题除法策略.28题型六 分配问题先分组再分配.29题型七 正难则反.31题型八 定序问题（消序法）.32题型九 相同元素隔板法.34题型十 涂色问题.35题型十一 与几何有关的组合应用题.38第 5 讲 二项式定理 11 种题型总结.41题型一 求nba)(展开式.41题型二 二项展开式中的系数.42题型三 二

3、项式系数和和各项系数和.42题型四 求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数.43题型五 求三项展开式中指定幂的系数.45题型六 有理项问题.46题型七 求系数最大小项问题.47题型八 利用“赋值法”及二项式性质，求部分项系数，二项式系数和.47题型九 利用二项式定理求余数.49题型十 利用二项式定理求近似值.50第 6 讲 条件概率和全概率公式及应用 3 种常考题型.55题型一 条件概率的计算.55曹老师工作室曹老师微信：Education111666专注初高中数学 10 余年进 QQ 群下载 word 版学科网（北京）股份有限公司题型二 条件概率的证明.59题型三 全概率公式及应用.60第 7

4、 讲 离散型随机变量的分布列及其性质 4 种常考题型.64题型一 随机变量概念.64题型二 离散型随机变量与连续型随机变量.65题型三 离散型随机变量分布列.66题型四 离散型随机变量分布列的性质.69第 8 讲 离散型随机变量的期望方差及其性质 3 种题型.71题型一 离散型随机变量的期望.71题型二 离散型随机变量的方差.75题型三 离散型随机变量的期望方差的性质.79第 9 讲 两点分布，二项分布及超几何分布 8 种常考题型.81题型一 两点分布的概念及分布列.82题型二 两点分布的期望方差.83题型三 独立重复实验发生 k 次的概率.84题型四 二项分布的概念.86题型五 二项分布的期

5、望方差.88题型六 二项分布的概率最大值问题.92题型七 超几何分布的概率.95题型八 超几何分布的期望方差.96第 10 讲 期望方差的实际应用.99第 11 讲 正态分布 3 种常考题型.114题型一 正态曲线.115题型二 利用正态分布求概率.117题型三 正态分布的实际应用.119第 12 讲 变量间的相关关系 6 种题型总结.126题型一 相关关系的判断.127题型二 求回归直线的方程.129题型三 两个变量间的相关性分析.132题型四 相关系数的计算.135题型五 线性回归方程恒过样本中心点的应用.140题型六 非线性回归方程.143第 13 讲 独立性检验 3 种常考题型.149

6、题型一 22 列联表.149题型二 等高条形图.151题型三独立性检验解决实际问题.154曹老师工作室曹老师微信：Education111666专注初高中数学 10 余年进 QQ 群下载 word 版学科网（北京）股份有限公司计计数数原原理理第第 1 讲讲 分分类类加加法法计计数数原原理理与与分分步步乘乘法法计计数数原原理理【考考点点分分析析】考考点点一一：分分类类加加法法计计数数原原理理完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 Nnm种不同的方法考考点点二二：分分步步乘乘法法计计数数原原理理完成一件事需要两个

7、步骤，做第 1 步有 m 种不同的方法，做第 2 步有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 Nnm种不同的方法考考点点三三：两两个个计计数数原原理理的的区区别别和和联联系系分类加法计数原理分步乘法计数原理联系回答的都是关于完成一件事情的不同方法的种数的问题区别一针对的是“分类”问题针对的是“分布”问题区别二各种方法相互“独立”各个步骤中的方法互相“依存”区别三任何一种方法都可以做完这件事只有各个步骤都完成才算做完这件事考考点点四四：分分类类加加法法计计数数原原理理的的推推广广完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第 n 类方案中有

8、mn种不同的方法，那么完成这件事共有 Nnmmm21种不同的方法考考点点五五：分分步步乘乘法法计计数数原原理理的的推推广广完成一件事需要分成 n 个步骤，做第 1 步有 m1种不同的方法，做第 2 步有 m2种不同的方法，做第 n步有 mn种不同的方法，那么完成这件事共有 Nnmmm21种不同的方法【题题型型目目录录】题型一：分类加法计数原理题型二:分步乘法计数原理题型三:两个原理的综合应用【典典型型例例题题】题题型型一一：分分类类加加法法计计数数原原理理【例例 1】现有 5 幅不同的油画，2 幅不同的国画，7 幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（）A7 种B9 种C1

9、4 种D70 种曹老师工作室曹老师微信：Education111666专注初高中数学 10 余年进 QQ 群下载 word 版学科网（北京）股份有限公司【例例 2】我们把各位数字之和为 6 的四位数称为“六合数”（如 2130 是“六合数”），则其中首位为 2 的“六合数”共有（）A18 个B15 个C12 个D9 个【例例 3】某校高二年级举行健康杯篮球赛，共 20 个班级，其中 1、3、4 班组成联盟队，2、5、6 班组成联盟队，一共有 16 支篮球队伍，先分成 4 个小组进行循环赛，决出 8 强（每队与本组其他队赛一场），即每个组取前两名（按获胜场次排名，如果获胜场次相同的就按净胜分排名

10、）；然后晋级的 8 支队伍按照确定的程序进行淘汰赛，淘汰赛第一轮先决出 4 强，晋级的 4 支队伍要决出冠亚军和第三、四名，同时后面的 4支队伍要决出第五至八名，则总共要进行篮球赛的场次为（）A32B34C36D38【例例 4】若m、Nn，0m，0n，且8mn，则平面上的点,m n共有（）A21 个B20 个C28 个D30 个【例例 5】某日，甲、乙、丙三个单位被系统随机预约到 A，B，C 三家医院接种疫苗且每个单位只能被随机预约到一家医院，每家医院每日至多接待两个单位已知 A 医院接种的是只需要打一针的腺病毒载体疫苗，B 医院接种的是需要打两针的灭活疫苗，C 医院接种的是需要打三针的重组蛋

11、白疫苗，则甲单位不接种需要打三针的重组蛋白疫苗的预约方案种数为（）A27B24C18D16【例例 6】如图，将钢琴上的 12 个键依次记为1212,a aa设112ijk 若3kj且4ji，则称,ijka a a为原位大三和弦；若4kj且3ji，则称,ijka a a为原位小三和弦用这 12 个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为_曹老师工作室曹老师微信：Education111666专注初高中数学 10 余年进 QQ 群下载 word 版学科网（北京）股份有限公司【题题型型专专练练】1为了方便广大市民接种新冠疫苗，提高新冠疫苗接种率，某区卫健委在城区设立了 11 个接种点，在乡

12、镇设立了 19 个接种点某市民为了在同一接种点顺利完成新冠疫苗接种，则不同接种点的选法共有（）A11 种B19 种C30 种D209 种2从甲地出发前往乙地，一天中有 4 趟汽车、3 趟火车和 1 趟航班可供选择某人某天要从甲地出发，去乙地旅游，则所有不同走法的种数是（）A16B15C12D83某高中为高一学生提供四门课外选修课：数学史物理模型化思维英语经典阅读红楼梦人物角色分析.要求每个学生选且只能选一门课程.若甲只选英语经典阅读，乙只选数学史或物理模型化思维，学生丙丁任意选，这四名学生选择后，恰好选了其中三门课程，则他们选课方式的可能情况有_种.4书架的第 1 层放有 4 本不同的计算机书

13、，第 2 层放有 3 本不同的文艺书，第 3 层放有 2 本不同的体育书.从书架上任取 1 本书，不同的取法有_种.5.从数字 1，2，3，4 中取出 3 个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于 6，则这样的三位数的个数为（）A7B9C10D136已知集合2,4,6,8A，1,3,5,7,9B，从 A 中取一个数作为十位数字，从 B 中取一个数作为个位数字，能组成_个不同的两位数，能组成_个十位数字小于个位数字的两位数应用分类加法计数原理的关键：用分类加法计数原理计数，关键在于根据问题的特点确定一个适合它的分类标准在这个分类标准下，完成这件事的任何一种方法只属于某一类，并且分别属于不

14、同种类的两种方法是不同的题题型型二二:分分步步乘乘法法计计数数原原理理【例例 1】仅有甲、乙、丙三人参加四项比赛，所有比赛均无并列名次，则不同的夺冠情况共有（）种.A34AB34C43D34C曹老师工作室曹老师微信：Education111666专注初高中数学 10 余年进 QQ 群下载 word 版学科网（北京）股份有限公司【例例 2】洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，如图，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数（图中白圈为阳数，黑点为阴数）.现利用阴数和阳数构成一个四位数，规则如下：（从左往右数

15、）第一位数是阳数，第二位数是阴数，第三位数和第四位数一阴一阳和为 7，则这样的四位数的个数有（）A120B90C48D12【例例 3】某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，而不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有_种【例例 4】如图所示，用 3 种不同的颜色涂入图中的矩形 A，B，C 中，要求相邻的矩形不能使用同一种颜色，则不同的涂法数为_.【例例 5】乘积式12312123aaabbccc展开后的项数是_.【例例 6】从 0，1，2，3 这四个数中选三个不同的数作为函数2()f xaxbx

16、c的系数，可组成不同的一次函数共有_个，不同的二次函数共有_个（用数字作答）【例例 7】正整数 2160 的不同正因数的个数为（）A20B28C40D50曹老师工作室曹老师微信：Education111666专注初高中数学 10 余年进 QQ 群下载 word 版学科网（北京）股份有限公司【题题型型专专练练】1五名高中生报考三所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法有_种2（1）将 4 封信投入 3 个信箱中，共有_种不同的投法；（2）某外语组有 9 人，每人至少会英语和日语中的一门，其中 7 人会英语，3 人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有_种不同的选法3.如图所示，用不同的五种

17、颜色分别为 A，B，C，D，E 五部分着色，相邻部分不能用同一种颜色，但同一种颜色可以反复使用，也可不使用，则复合这些要求的不同着色的方法共有（）ABCDEA500 种B520 种C540 种D560 种4为了丰富学生的课余生活，某学校开设了篮球、书法、美术、吉他、舞蹈、击剑共六门活动课程，甲、乙、丙 3 名同学从中各自任选一门活动课程参加，则这 3 名学生所选活动课程不全相同的选法有（）A120 种B150 种C210 种D216 种5某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为 6 个部分，如图所示现要栽种 4 种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有（）

18、A80 种B120 种C160 种D240 种6核糖核酸 RNA 是存在于生物细胞以及部分病毒、类病毒中的遗传信息载体参与形成 RNA 的碱基有 4种，分别用 A，C，G，U 表示在一个 RNA 分子中，各种碱基能够以任意次序出现，假设某一 RNA 分子由 100 个碱基组成，则不同的 RNA 分子的种数为（）A4100B1004C1002D1047用 0，1，2，3，4，5，6 七个数共可以组成_个没有重复数字的三位数.曹老师工作室曹老师微信：Education111666专注初高中数学 10 余年进 QQ 群下载 word 版学科网（北京）股份有限公司8电视台连续播放 6 个广告，其中含

19、4 个不同的商业广告和 2 个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有种不同的播放方式_.（结果用数值表示）9从1，0，1，2 这四个数中选三个不同的数作为函数2()f xaxbxc的系数，可组成不同的二次函数共有_个，其中不同的偶函数共有_个（用数字作答）题题型型三三:两两个个原原理理的的综综合合应应用用【例例 1】用 4 种不同颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，不同的涂色方法共有（）A24 种B36 种C48 种D72 种【例例 2】某学校为落实“双减政策，在每天放学后开设拓展课程供学生自愿选择，开学第一周的安排如下表.小明同学要在这一周内选择编程、书法、足球三门

20、课，不同的选课方案共有（）周一周二周三周四周五演讲、绘画、舞蹈、足球编程、绘画、舞蹈、足球编程、书法、舞蹈、足球书法、演讲、舞蹈、足球书法、演讲、舞蹈、足球注：每位同学每天最多选一门课，每门课一周内最多选一次.A15 种B10 种C8 种D5 种【例例 3】回文联是我国对联中的一种，它是用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的正整数，被称为“回文数”，如 22，575，1661 等那么用数字 1，2，3，4，5

21、 可以组成 4 位“回文数”的个数为（）A25B20C30D36曹老师工作室曹老师微信：Education111666专注初高中数学 10 余年进 QQ 群下载 word 版学科网（北京）股份有限公司【例例 4】用 0，1，2，3，4 这 5 个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字五位数？(1)偶数：(2)左起第二四位是奇数的偶数；(3)比 21034 大的偶数.【题题型型专专练练】1某学校举行秋季运动会，酷爱运动的小明同学准备在某七个比赛项目中，选择参加其中四个项目的比赛.根据赛程安排，在这七个比赛项目中，100 米赛跑与 200 米赛跑不能同时参加，且跳高与跳远也不能同时参加.则

22、不同的报名方法数为_.（用数字作答）2由 0、1、2、3、4、5 这 6 个数字可以组成_个没有重复数字的三位偶数.3（1）用 1、2、3、4、5 可以组成多少个四位数？（2）用 0，1，2，3，4，5 可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？4有 0，1，2，3，4，5 六个数字(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？(2)能组成多少个无重复数字且为 5 的倍数的四位数？(3)能组成多少个无重复数字且比 1230 大的四位数？5如图，从左到右共有 5 个空格(1)向 5 个空格中分别放入 0，1，2，3，4 这 5 个数字，一共可组成多少个不同的五位数的奇数？(2)用红、黄、蓝这 3 种颜色给

23、 5 个空格涂色，要求相邻空格用不同的颜色涂色，一共有多少种涂色方案？曹老师工作室曹老师微信：Education111666专注初高中数学 10 余年进 QQ 群下载 word 版学科网（北京）股份有限公司第第 2 讲讲排排列列及及排排列列数数 5 种种题题型型总总结结【考考点点分分析析】考考点点一一：排排列列的的有有关关概概念念定义：一般地，从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同的元素中取出 m 个元素的一个排列相同排列：两个排列相同，当且仅当两个排列的元素相同，且元素的排列顺序也相同考考点点二二：排排列列数数与与排排列列数数公公式式排列数：从

24、 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同排列的个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号 Amn表示 排 列 数 公 式：mnA121mnnnn!mnn；特 别 地，!1221nnnnAnn(m，nN*且 mn)，规定：0！1.【题题型型目目录录】题型一：排列的概念题型二：排列数的计算题型三：解排列数方程和不等式题型四：证明排列数恒等式题型五：排列的简单应用【典典型型例例题题】题题型型一一：排排列列的的概概念念【例例 1】下列问题是排列问题的是（）A10 个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？B平面上有 2022 个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以

25、构成多少条线段？C集合123,na a aa的含有三个元素的子集有多少个？D从高三（19）班的 54 名学生中选出 2 名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？【例例 2】从集合3,5,7,9,11中任取两个元素，相加可得多少个不同的和？相除可得多少个不同的商？作为椭圆222210,0 xyabab中的 a，b，可以得到多少个焦点在 x 轴上的椭圆方程？作为双曲线222210,0 xyabab中的 a，b，可以得到多少个焦点在 x 轴上的双曲线方程？上面四个问题属于排列问题的是（）曹老师工作室曹老师微信：Education111666专注初高中数学 10 余年进 QQ 群下载 w

26、ord 版学科网（北京）股份有限公司ABCD【例例 3】（多选题）下列问题中，属于排列问题的有（）A从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别担任正、副班长，共有多少种不同的选取方法B从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加志愿者活动，共有多少种不同的选取方法C平面上有五个点，任意三点不共线，这五个点最多可确定多少条直线D从 1，2，3，4 四个数字中任选两个组成一个两位数，共有多少个不同的两位数【例例 4】（多选题）下列问题中，属于排列问题的是（）A有 10 个车站，共有多少种不同的车票B有 10 个车站，共有多少种不同的票价C平面内有 10 个点，共可作出多少条不同的有向线段D从 10 名同学中选出

27、 2 名分别参加数学和物理竞赛，有多少种选派方法【题题型型专专练练】1下面问题中，是排列问题的是（）A由 1，2，3 三个数字组成无重复数字的三位数B从 40 人中选 5 人组成篮球队C从 100 人中选 2 人抽样调查D从 1，2，3，4，5 中选 2 个数组成集合2下列问题属于排列问题的是（）从 10 个人中选 2 人分别去种树和扫地；从 10 个人中选 2 人去扫地；从班上 30 名男生中选出 5 人组成一个篮球队；从数字 5，6，7，8 中任取两个不同的数作幂运算.ABCD3（多选题）从集合3，5，7，9，11中任取两个元素，下列四个问题属于排列问题的是（）.A相加可得多少个不同的和B

28、相除可得多少个不同的商C作为椭圆22221xyab中的 a，b，可以得到多少个焦点为 x 轴上的椭圆方程D作为双曲线22221xyab中的 a，b，可以得到多少个焦点在 x 轴上的双曲线方程4（多选题）下列问题是排列问题的是（）A求从甲乙丙三名同学中选出两名分别参加数学物理兴趣小组的方法种数B求从甲乙丙三名同学中选出两名参加一项活动的方法种数曹老师工作室曹老师微信：Education111666专注初高中数学 10 余年进 QQ 群下载 word 版学科网（北京）股份有限公司C求从a，b，c，d中选出 3 个字母的方法种数D求从 1，2，3，4，5 中取出 2 个数字组成两位数的个数探究排列的

29、核心是“顺序”，有“顺序”就是排列问题那么如何判断是否有顺序呢？最常用的办法是把得到的结果变换元素的位置，如果结果变了，就是有“顺序”，若结果不变，就是无“顺序”题题型型二二：排排列列数数的的计计算算【例例 1】10871087A89A8A_【例例 2】计算：458885894A2AAA_【例例 3】阶乘是基斯顿卡曼（Christian Kramp）于 1808 年发明的一种运算，正整数 n 的阶乘记为 n!，它的值为所有小于或等于 n 的正整数的积，即!1 2 31nnn （）根据上述材料，以下说法错误的是（）A4!24B8!40320C12!12 11!D2!3!1!2!(1)!1!nnn

30、【例例 4】对任意正整数 n，定义 n 的双阶乘!n：当 n 为偶数时，!246 4 2nnnn ；当 n 为奇数时，!245 3 1nnnn ，则下列四个命题中错误的是（）A209!208!209!B208!2 104!C208!的个位数字为 0D209!的个位数字为 5【例例 5】1998199920212022,2022nnnnnN n可表示为（）A241998AnB251998AnC242022AnD252022An【题题型型专专练练】1若“!”是一种运算符号，并定义：1!1,2!2 12,3!3 2 16,，则100!98!的值为（）A5049B99!C9900D2!曹老师工作室曹老

31、师微信：Education111666专注初高中数学 10 余年进 QQ 群下载 word 版学科网（北京）股份有限公司2计算：7733A=A（）A44AB47AC47CD37A3543151413A15A14A（）A414AB31314AC313AD14!10!434910nnnn（*nN，10n）可以表示为（）A810AnB83AnC73AnD83Cn题题型型三三：解解排排列列数数方方程程和和不不等等式式【例例 1】若321A2Amm，则m（）A3B4C5D6【例例 2】已知自然数x满足322121326xxxAAA，则x（）A2B3C4D5【例例 3】（1）解不等式：3221326xxx

32、AAA；（2）解方程：4321140 xxAA【例例 4】不等式288A6Axx的解集为（）A2 8,B7,12C 712,xxxND 8【题题型型专专练练】1若332A10Ann，则n（）A7B8C9D102已知23301AA2!4m，则m的可能取值是（）A0B1C2D33不等式2886xxAA的解集为（）A2,3,4,5,6,7,8B2,3,4,5,6C8,9,10,11D 84（1）解方程：4321A140Axx；（2）解不等式：299A6Axx.5解不等式：322121326xxxAAA；题题型型四四：证证明明排排列列数数恒恒等等式式曹老师工作室曹老师微信：Education11166

33、6专注初高中数学 10 余年进 QQ 群下载 word 版学科网（北京）股份有限公司【例例 1】下列各式中，等于!n的是（）A!AmnmB1AnnCn 1nAD11Annn【例例 2】（1）求证：1!nnn n；（2）求证：111!1!nnnn；（3）求和：1232!3!4!1!nnL【例例 3】求证：（1）12111nnnnnnAAn A；（2）(1)!(1)!()!(1)!nnnknknkkk.【题题型型专专练练】1（多选题）下列等式正确的是（）A111 AAmmnnnB1!A1!mnnnmC!21nnn n！D11AAmmnnnm2证明111!1!nnnn，并利用这一结果化简：(1)12

34、392!3!4!10!；(2)1232!3!4!1!nn题题型型五五：排排列列的的简简单单应应用用【例例 1】从 5 本不同的书中选出 3 本分别送 3 位同学每人一本，不同的方法总数是（）A10B60C243D15【例例 2】从 6 名员工中选出 3 人分别从事教育、培训、管理三项不同的工作，则选派方案共有（）A60 种B80 种C100 种D120 种【例例 3】某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目如果将这两个节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（）曹老师工作室曹老师微信：Education111666专注初高中数学 10 余年进

35、QQ 群下载 word 版学科网（北京）股份有限公司A6B12C15D30【例例 4】若一个三位正整数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”，现从1,2,3,4,5这5个数字中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中“伞数”共有（）个.A60B35C20D53【例例 5】某诗词大会共设有十场比赛，每场比赛都有一首特别设计的开场诗词.若将 将进酒山居秋暝 望岳 送杜少府之任蜀州和另外确定的两首诗词排在后六场，并要求将进酒与望岳相邻，且将进酒排在望岳的前面，山居秋暝与送杜少府之任蜀州不相邻，且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有（）A144 种B48 种C36 种D72 种

36、【例例 6】（多选题）甲、乙、丙、丁、戊五人站成一排（）A若甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有 24 种B若最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法有 42 种C甲、乙不相邻的排法有 82 种D甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有 20 种【例例 7】现有 8 个人（5 男 3 女）站成一排(1)其中甲必须站在排头有多少种不同排法？(2)女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？(3)其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法？(4)其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？(5)甲、乙不能排在前 3 位，有多少种不同排法？(6)女生两旁必须有男生，有多少种不同排法？【题题型型专

37、专练练】1在 2022 年北京冬奥会和冬残奥会城市志愿者的招募项目中有一个“国际服务项目”，截止到 2022 年 1 月 25 日还有 8 个名额空缺，需要分配给 3 个单位，则每个单位至少一个名额且各单位名额互不相同的方法种数是（）A14B12C10D82将诗集诗经、唐诗三百首，戏剧牡丹亭，四大名著红楼梦、西游记、三国演义、水浒传7 本书放在一排，下面结论成立的是（）曹老师工作室曹老师微信：Education111666专注初高中数学 10 余年进 QQ 群下载 word 版学科网（北京）股份有限公司A戏剧放在中间的不同放法有7!种B诗集相邻的不同放法有6!种C四大名著互不相邻的不同放法有4

38、!3!种 D 四大名著不放在两端的不同放法有6 4!种32021 年是中国共产党百年华诞某学校社团将举办庆祝中国共产党成立 100 周年革命歌曲展演现从歌唱祖国 英雄赞歌 南泥湾 没有共产党就没有新中国4 首独唱歌曲和保卫黄河 唱支山歌给党听 我和我的祖国3 首合唱歌曲中共选出 4 首歌曲安排演出，要求最后一首歌曲必须是合唱，则不同的安排方法共有（）A40B240C120D3604中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”为传承和弘扬中华优秀传统文化，某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次讲座次序要求“礼”在第一次，“数”不在最后，“射”和“御”两次相邻，则“六艺

39、”讲座不同的次序共有（）A48 种B36 种C24 种D20 种5六个人站成一排照相，其中甲乙要相邻的站法种数有（）A720B120C240D3606甲乙丙丁戊 5 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有_种.7七名学生站成一排，其中甲不站在两端且乙不站在中间的排法共有_种.8排一张 5 个独唱和 3 个合唱的节目单，如果合唱节目不排两头，且任何两个合唱不相邻，符合条件的排法共有_种.9六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？(1)甲不站两端(2)甲乙必须相邻；(3)甲乙不相邻；(4)甲乙之间间隔两人；曹老师工作室曹老师微信：Education11166

40、6专注初高中数学 10 余年进 QQ 群下载 word 版学科网（北京）股份有限公司10快毕业了，7 名师生站成一排照相留念，其中老师 1 人，男生 4 人，女生 2 人，在下列情况下，各有多少种不同站法?（每题都要用数字作答）(1)两名女生必须相邻而站；(2)4 名男生互不相邻；(3)若 4 名男生身高都不等，按从高到低的顺序站.曹老师工作室曹老师微信：Education111666专注初高中数学 10 余年进 QQ 群下载 word 版学科网（北京）股份有限公司第第 3 讲讲组组合合及及组组合合数数 5 种种题题型型总总结结【考考点点分分析析】考考点点一一：组组合合及及组组合合数数的的概概

41、念念组合：一般地，从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素 合成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合组合数：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同 组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用符号mnC表示考考点点二二：组组合合数数公公式式及及其其性性质质公式：!121mnmnmmnnnnAACmmmnmn性质：性质 1：mnnmnCC性质 2：11mnmnmnCCC规定：10nC【典典型型例例题题】题题型型一一：组组合合的的概概念念【例例 1】（多选题）下面问题中，是组合问题的是（）A由 1，2，3 三个数字组成无重复数字的三位数B从

42、40 人中选 5 人组成篮球队C从 100 人中选 2 人抽样调查D从 1，2，3，4，5 中选 5 个数组成集合【例例 2】下列问题中，组合问题的个数是（）从全班 50 人中选出 5 人组成班委会；从全班 50 人中选出 5 人分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员、生活委员；从 1，2，3，9 中任取出两个数求积；从 1，2，3，9 中任取出两个数求差或商.A1B2C3D4【例例 3】（多选题）给出下列问题，属于组合问题的有（）A从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名分别去参加两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法B有 4 张电影票，要在 7 人中确定 4 人去观看，有多少种不同的选法

43、C某人射击 8 枪，击中 4 枪，且命中的 4 枪均为 2 枪连中，则不同的结果有多少种D从 2，3，5，7，11 中任选两个数相乘，可以得到多少个不同的积【题题型型专专练练】曹老师工作室曹老师微信：Education111666专注初高中数学 10 余年进 QQ 群下载 word 版学科网（北京）股份有限公司1以下四个问题，属于组合问题的是（）A从 3 个不同的小球中，取出 2 个排成一列B老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C在电视节目中，主持人从 100 位幸运观众中选出 2 名幸运之星D从 13 位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地2（多选题）下列问题中，属于组合问题的是（）

44、A10 支战队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少次比赛B10 支战队以单循环进行比赛，这次比赛的冠、亚军获得者有多少种可能C从 10 名员工中选出 3 名参加同一种的娱乐活动，有多少种选派方法D从 10 名员工中选出 3 名分别参加不同的娱乐活动，有多少种选派方法3（多选题）下列问题中是组合问题的有（）.A某铁路线上有 4 个车站，则这条铁路线上需准备多少种车票B从 7 本不同的书中取出 5 本给某同学C3 个人去做 5 种不同的工作，每人做一种，有多少种分工方法D把 3 本相同的书分给 5 个学生，每人最多得一本，有多少种分配方法4（多选题）给出下列问题，其中是组合问题的是（）A

45、由 1，2，3，4 构成的含 3 个元素的集合B从 7 名班委中选 2 人担任班长和团支书C从数学组的 10 名教师中选 3 人去参加市里新课程研讨会D由 1，2，3，4 组成无重复数字的两位数题题型型二二：组组合合数数的的计计算算【例例 1】2356C+C=（）A25B30C35D40【例例 2】已知 n，m 为正整数，且nm，则在下列各式中错误的是（）A36A120；B77712127ACA；C111CCCmmmnnn；DCCmn mnn【例例 3】13777577CCCC_【例例 4】设 n 为正整数，则关于123231CCnnnn，下列说法正确的是（）A该代数式的值唯一确定B该代数式的

46、值有两种情况C该代数式的值有三种情况D该代数式的值有无数种情况【题题型型专专练练】1求值：346774CC_曹老师工作室曹老师微信：Education111666专注初高中数学 10 余年进 QQ 群下载 word 版学科网（北京）股份有限公司2.3479A10C_（用数字作答）3322334CCC（）A36CB35CC26CD45C题题型型三三：解解组组合合数数方方程程和和不不等等式式【例例 1】已知456253mmmCCC，则m _【例例 2】若1331CA4Cxxxxx，则 x 的值为_【例例 3】若3323C5Ann，则正整数n _.【例例 4】已知211CC,11CC,3xxnnxx

47、nn则 x_.【题题型型专专练练】1已知4nC，5nC，6nC成等差数列，则12nC_.2已知531333195nnnCCC，则n的值是（）A9B7C9 或6D83（1）若46CCnn，则n的取值集合是_.（2）222223410CCCC_.题题型型四四：组组合合数数的的性性质质及及恒恒等等式式【例例 1】已知xN，则方程2155CCxx的解是_【例例 2】已知34mmCC，则21889mmmCCC_【例例 3】下列等式不正确的是（）A111mmnnmCCnB12111mmmnnnAAn AC11mmnnAnAD11kkknnnnCkCkC曹老师工作室曹老师微信：Education111666

48、专注初高中数学 10 余年进 QQ 群下载 word 版学科网（北京）股份有限公司【例例 4】（多选题）对于mn，m，Nn，关于下列排列组合数，结论正确的是（）A!mnmCn nmBmn mnnCCC11mmmnnnCCCD11mmnnAmA【例例 5】（多选）969594989898C2CC（）A9799CB299CC96100CD4100C【例例 6】计算：2345678567891011CCCCCC+C_【题题型型专专练练】1.已知2121313CCxx，则x的值为（）A3B3 或 4C4D4 或 52已知2551616CCxxxxZ，则x _.3（多选题）下列四个关系式中，一定成立的是

49、（）A111!A!mnnmnB11AAmmnnnC32853C2C148D333345610CCCC3284（多选题）下列有关排列数组合数计算正确的有（）A35C5 4 360 B从2,3,5,7中任取两个数相乘可得24C个积C22223345100101CCCCCD10110012100101C100!nn nnn5（多选题）对nm 且*,m nN，下列等式一定恒成立的是（）.ACCmn mnnBACAmnmmnmC11CCCmmmnnnD11AAAmmmnnn6（多选题）下列有关排列数组合数的计算，正确的是（）A!A!mnmnB2221 AAmmnnnn曹老师工作室曹老师微信：Educat

50、ion111666专注初高中数学 10 余年进 QQ 群下载 word 版学科网（北京）股份有限公司C22223345100101CCCCCD221211CCnnnn是一个常数7计算：33132171312112CCCCnnnnnnnn_题题型型五五：组组合合的的简简单单应应用用【例例 1】如图，某城市的街区由 12 个全等的矩形组成（实线表示马路），CD 段马路由于正在维修，暂时不通，则从 A 到 B 的最短路径有（）A20 条B21 条C22 条D23 条【例例 2】绿水青山就是金山银山，浙江省对“五水共治”工作落实很到位，效果非常好现从含有甲的 5 位志愿者中选出 4 位到江西，湖北和安