环线问题--2024年六年级下册小升初数学思维拓展含答案.pdf

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1、试卷第 1 页，共 19 页 学科网（北京）股份有限公司环线问题环线问题【知识点归纳】1环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每相遇一次合走一圈（每隔第一次相遇时间就相遇一次）；第几次相遇就合走几圈；如果是同向而行，则每多跑一圈就追上一次（每隔第一次追及时间就追上一次）第几次追上就多跑几圈环形跑道：同相向而行的等量关系：乙程甲程跑道长，背向而行的等量关系：乙程+甲程跑道长 2解题方法：（1）审题：看题目有几个人或物参与；看题目时间：“再过多长时间”就是从此时开始计时，“多长时间后”就是从开始计时；看地点是指是同地还是两地甚至更多 看方向是同向、背向还是相向；看事件指的是结果是相遇还是

2、追及 相遇问题中一个重要的环节是确定相遇地点，准确找到相遇地点对我们解题有很大帮助，一些是题目中直接给出在哪里相遇，有些则需要我们自己根据两人速度来判断 追击问题中一个重要环节就是确定追上地点，从而找到路程差比如“用 10 秒钟快比慢多跑 100 米”我们立刻知道快慢的速度差这个是追击问题经常用到的，通过路程差求速度差（2）简单题利用公式（3）复杂题，尤其是多人多次相遇，一定要画路径图，即怎么走的线路画出来相遇问题就找路程和，追击问题就找路程差1如图，8 时 10 分,有甲、乙两人以相同的速度分别从相距 60 米的 A，B 两地顺时针方向沿长方形 ABCD的边走向 D 点.甲 8 时 20 分

3、到 D 点后,丙、丁两人立即以相同速度从 D 点出发.丙由 D 向 A 走去,8 时 24 分与乙在 E 点相遇；丁由 D 向 C 走去，8 时 30 分在 F 点被乙追上.问三角形 BEF 的面积为多少平方米?板块二：典题精练板块二：典题精练 板块一：知识精讲板块一：知识精讲 环线问题-2024年六年级下册小升初数学思维拓展含答案试卷第 2 页，共 19 页 2圆形跑道上等距插着 2015 面旗子，甲与乙同时同向从某个旗子出发，当甲与乙再次同时回到出发点时，甲跑了 23 圈，乙跑了 13 圈不算起始点旗子位置，则甲正好在旗子位置追上乙多少次？3如图，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时

4、开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了 100 米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前 60 米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长 4一个圆周长 70 厘米，甲、乙两只爬虫从同一地点，同时出发同向爬行，甲以每秒 4 厘米的速度不停的爬行，乙爬行了 15 厘米后，立即反向爬行，并且速度增加 1 倍，在离出发点 30 厘米处与甲相遇，问爬虫乙原来的速度是多少？5环形跑道一圈长为 400 米，甲、乙两人同时从同一起跑线沿跑道同向而行，甲每分钟走 120 米，乙每分钟走 100 米问（l）甲第一次追上乙时，两人各走了多少米？（2）甲第二次追上乙时，在起跑线前多少米？（3）甲第二次追上乙时，两

5、人各走了多少圈？试卷第 3 页，共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 6在 400 米的环形跑道上，甲、乙两人同时同地起跑，如果同向而行 3 分 20 秒相遇，如果背向而行 40 秒相遇，已知甲比乙快，求甲、乙的速度各是多少？7一个圆周长 90 厘米，3 个点把这个圆周分成三等分，3 只爬虫 A，B，C 分别在这 3 个点上.它们同时出发，按顺时针方向沿着圆周爬行.A 的速度是 10 厘米/秒，B 的速度是 5 厘米/秒，C 的速度是 3 厘米/秒，3只爬虫出发后多少时间第一次到达同一位置？8如下图，有一个圆，两只小虫分别从直径的两端与 C 同时出发，绕圆周相向而行它们第一次相遇在离 A

6、点 8 厘米处的 B 点，第二次相遇在离 C 点处 6 厘米的点，这个圆周的长是多少？试卷第 4 页，共 19 页 9一条环形跑道长 400 米，小青每分钟跑 260 米，小兰每分钟跑 210 米，两人同时出发，经过多少分钟两人相遇 10（2005 年 小学生数学报 优秀小读者评选活动）有一种机器人玩具装置，配备长、短不同的两条跑道，其中长跑道长 400 厘米，短跑道长 300 厘米，且有 200 厘米的公用跑道(如下图)机器人甲按逆时针方向以每秒 6 厘米的速度在长跑道上跑动，机器人乙按顺时针方向以每秒 4 厘米的速度在短跑道上跑动 如果甲、乙两个机器人同时从A点出发，那么当两个机器人在跑道

7、上第 3 次迎面相遇时，机器人甲距离出发点A点多少厘米?11在环形跑道上，两人都按顺时针方向跑时，每 12 分钟相遇一次，如果两人速度不变，其中一人改成按逆时针方向跑，每隔 4 分钟相遇一次，问两人各跑一圈需要几分钟？试卷第 5 页，共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 12 2000 年华校入学试题）甲、乙两车同时从同一点A出发，沿周长 6 千米的圆形跑道以相反的方向行驶 甲车每小时行驶 65 千米，乙车每小时行驶 55 千米一旦两车迎面相遇，则乙车立刻调头；一旦甲车从后面追上一车，则甲车立刻调头，那么两车出发后第 11 次相遇的地点距离有多少米？13 下图中有两个圆只有一个公共点 A，

8、大圆直径 48 厘米，小圆直径 30 厘米两只甲虫同时从 A 点出发，按箭头所指的方向以相同速度分别沿两个圆爬行 问：当小圆上甲虫爬了几圈时，两只甲虫首次相距最远？14甲、乙两人在跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长400米，甲每秒钟跑8米，乙每秒钟跑6米。（1）如果甲、乙两人在跑道上相距8米处同时反向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？（2）如果甲在乙前面8米处同时同向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？试卷第 6 页，共 19 页 15甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？16小

9、张和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步小王的速度是200米/分小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，1分钟后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分？小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？17如图，A、B 是圆直径的两个端点，小华在点 A，小明在点 B，他们同时出发，反向而行他们在 C 点第一次相遇，C 点离 A 点 100 米；在 D 点第二次相遇，D 点离 B 点 80 米求这个圆的周长 试卷第 7 页，共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 18幸福村小学有一条 200 米长的环形跑道，冬冬和晶晶同时从起跑线起跑，冬冬每秒钟跑 6

10、米，晶晶每秒钟跑 4 米，问冬冬第一次追上晶晶时两人各跑了多少米，第 2 次追上晶晶时两人各跑了多少圈？19如图，在 400 米的环形跑道上，A，B 两点相距 100 米。甲、乙两人分别从 A，B 两点同时出发，按逆时针方向跑步。甲每秒跑 5 米，乙每秒跑 4 米，每人每跑 100 米，都要停 10 秒钟。那么甲追上乙需要时间是多少秒？20一个圆的周长为 1.44 米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发，沿圆周相向爬行1 分钟后它们都调头而行，再过 3 分钟，它们又调头爬行，依次按照 1、3、5、7、（连续奇数）分钟数调头爬行这两只蚂蚁每分钟分别爬 5.5 厘米和 3.5 厘米，那么经过多长的时

11、间它们初次相遇？试卷第 8 页，共 19 页 21小新和正南在操场上比赛跑步，小新每分钟跑 250 米，正南每分钟跑 210 米，一圈跑道长 800 米，他们同时从起跑点出发，那么小新第三次超过正南需要多少分钟？22甲、乙两人沿 400 米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后甲比原来速度增加 2 米/秒，乙比原来速度减少 2 米/秒，结果都用 24 秒同时回到原地。求甲原来的速度。23有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙相背而行甲每分钟走 40 米，乙每分钟走 38 米，丙每分钟走 36 米在途中，甲和乙相遇后 3 分钟和丙

12、相遇问：这个花圃的周长是多少米？24两名运动员在湖的周围环形道上练习长跑甲每分钟跑 250 米，乙每分钟跑 200 米，两人同时同地同向出发，经过 45 分钟甲追上乙；如果两人同时同地反向出发，经过多少分钟两人相遇？试卷第 9 页，共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 25在一条长 400 米的环形跑道上，正在进行一场 5000 米的长跑比赛1 号队员的平均跑步速度是每秒 6米，2 号队员平均每分钟跑 08 圈当 1 号队员与 2 号队员在比赛开始一段时间后又并肩而跑的时候，l号队员距离终点还有多远？26 在一圆形跑道上，甲从 A 点、乙从 B 点同时出发反向而行，6 分后两人相遇，再过

13、4 分甲到达 B 点，又过 8 分两人再次相遇.甲、乙环行一周各需要多少分？27 下图中有两个圆只有一个公共点 A，大圆直径 48 厘米，小圆直径 30 厘米两只甲虫同时从 A 点出发，按箭头所指的方向以相同速度分别沿两个圆爬行 问：当小圆上甲虫爬了几圈时，两只甲虫首次相距最远？试卷第 10 页，共 19 页 28已知猫跑 5 步的路程与狗跑 3 步的路程相同；猫跑 7 步的路程与兔跑 5 步的路程相同。而猫跑 3 步的时间与狗跑 5 步的时间相同；猫跑 5 步的时间与兔跑 7 步的时间相同，猫、狗、兔沿着周长为 300 米的圆形跑道，同时同向同地出发。问当它们出发后第一次相遇时各跑了多少路程

14、？29上海小学有一长300米长的环形跑道，小亚和小胖同时从起跑线起跑，小亚每秒钟跑6米，小胖每秒钟跑4米()1小亚第一次追上小胖时两人各跑了多少米？()2小亚第二次追上小胖两人各跑了多少圈？30绕湖一周是 24 千米，小张和小王从湖边某一地点同时出发反向而行小王以每小时 4 千米的速度每走1 小时后休息 5 分钟，小张以每小时 6 千米的速度每走 50 分钟后休息 10 分钟两人出发后经过多长时间第一次相遇？试卷第 11 页，共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 31如图，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了 100 米以后，他们第一次

15、相遇，在甲走完一周前 60 米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长 32三个环行跑道如图排列，每个环行跑道周长为 210 厘米；甲、乙两只爬虫分别从A、B两地按箭头所示方向出发，甲爬虫绕 1、2 号环行跑道作“8”字形循环运动，乙爬虫绕 3、2 号环行跑道作“8”字形循环运动，已知甲、乙两只爬虫的速度分别为每分钟 20 厘米和每分钟 l5 厘米，甲、乙两爬虫第二次相遇时，甲爬虫爬了多少厘米?33一条环形跑道长 400 米，甲骑自行车每分钟骑 450 米，乙跑步每分钟 250 米，两人同时从同地同向出发，经过多少分钟两人相遇？试卷第 12 页，共 19 页 34如图,学校操场的 400 米跑道中套

16、着 300 米小跑道,大跑道与小跑道有 200 米路程相重甲以每秒 6 米的速度沿大跑道逆时针方向跑,乙以每秒 4 米的速度沿小跑道顺时针方向跑,两人同时从两跑道的交点A处出发,当他们第二次在跑道上相遇时,甲共跑了多少米?35甲、乙二人在操场的 400 米跑道上练习竞走，两人同时出发，出发时乙在前，甲在后，出发后 8 分钟甲、乙第一次相遇，出发后的 24 分钟时甲、乙第二次相遇假设两人的速度保持不变，你知道出发时乙在甲前多少米吗？36乌龟和兔子从同地点出发，背向而行，在环形跑道上赛跑，经过 25 分钟相遇。这条跑道长多少米？相遇时兔子比乌龟多跑了多少米？试卷第 13 页，共 19 页 学科网（

17、北京）股份有限公司 37运动员小明在环形公路上练长跑，小明离开教练一小时后，教练才想起小明忘带了记时表，立刻骑上自行车送表给小明，已知环形公路全长 35 千米，小明每小时跑 15 千米，教练骑自行车的速度是每小时 25千米，那么教练送表给小明至少需要多少小时？38两辆电动小汽车在周长为 360 米的圆形道上不断行驶，甲车每分行驶 20 米甲、乙两车同时分别从相距 90 米的 A、B 两点相背而行，相遇后乙车立即返回，甲车不改变方向，当乙车到达 B 点时，甲车过 B 点后恰好又回到 A 点此时甲车立即返回（乙车过 B 点继续行驶），再过多少分与乙车相遇？39公园环湖跑道长 3600 米，淘气和爸

18、爸两人同时反方向跑步，淘气每分钟跑 250 米，爸爸每分钟跑 350米。（1）估计两人在何处相遇，在环形图中标出来。（2）多长时间后两人相遇？试卷第 14 页，共 19 页 40如图所示，大圈是 400 米跑道，由A到B的跑道长是 200 米，直线距离是 50 米父子俩同时从A 点出发逆时针方向沿跑道进行长跑锻炼，儿子跑大圈，父亲每跑到B点便沿直线跑父亲每 100 米用 20 秒，儿子每 100 米用 19 秒如果他们按这样的速度跑，儿子在跑第几圈时，第一次与父亲相遇？41如图在长为 400 公尺的环形跑道上AB 两点之间的跑道长 100 公尺。甲从 A 点乙从 B 点同时出发相背而跑。两人相

19、遇后乙即转身与甲同向而跑当甲跑到 A 时乙恰好跑到 B。继续跑若甲追上乙时甲从出发开始算起共跑了多少公尺 42有甲、乙、丙 3 人，甲每分钟行走 120 米，乙每分钟行走 100 米，丙每分钟行走 70 米。如果 3 个人同时同向，从同地出发，沿周长是 300 米的圆形跑道行走，那么多少分钟之后 3 人又可以相聚？43小林和小军沿着公园的环湖跑道跑步，跑道一圈的长度是 4500m。他们两人同时从同一地点反方向跑步，如图所示。小林每分跑 170m，小军每分跑 130m，多长时间后两人相遇？试卷第 15 页，共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 44绕湖一周是 20 千米，甲乙二人从湖边某一地

20、点同时出发反向而行，甲以每小时 4 千米的速度每走 1 小时后休息 5 分钟，乙以每小时 6 千米的速度每走 50 分钟后休息 10 分钟，则两人从出发到第一次相遇用了多少分钟？45甲和乙两人分别从圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了100 米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前 60 米处又第二次相遇求此圆形场地的周长？46甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行.现在已知甲走一圈的时间是 70 分钟，如果在出发后 45 分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是多少分钟?47在 300 米的环形跑道上，田奇和王强同学同时同地起跑，如果同向而

21、跑 2 分 30 秒相遇，如果背向而跑则半分钟相遇，求两人的速度各是多少？试卷第 16 页，共 19 页 48 三个环行跑道如图排列，每个环行跑道周长为 210 厘米；甲、乙两只爬虫分别从A、B两地按箭头所示方向出发，甲爬虫绕 1、2 号环行跑道作“8”字形循环运动，乙爬虫绕 3、2 号环行跑道作“8”字形循环运动，已知甲、乙两只爬虫的速度分别为每分钟 20 厘米和每分钟 l5 厘米，甲、乙两爬虫第二次相遇时，甲爬虫爬了多少厘米?49甲用 45 秒可绕一环行跑道跑一圈，乙与甲同时从同地反向跑，每隔 15 秒，与甲相遇一次，乙跑完一圈用多少秒？50丁丁和丽丽从圆形街心花园的同一地点出发，同向而行

22、，20 分钟后两人再一次相遇。丽丽每分钟走 70米，丁丁每分钟走 85.7 米。这个圆形街心花园的占地面积是多少？试卷第 17 页，共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 51如图，在长为 490 米的环形跑道上，A、B 两点之间的跑道长 50 米，甲、乙两人同时从 A、B 两点出发反向奔跑。两人相遇后，乙立刻转身与甲同向奔跑，同时甲把速度提高了 25%，乙把速度提高了 20%。结果当甲跑到点 A 时，乙恰好跑到了点 B。如果以后甲、乙的速度和方向都不变，那么当甲追上乙时，从一开始算起，甲一共跑了多少米？52如图，一个长方形的房屋长 13 米，宽 8 米甲、乙两人分别从房屋的两个墙角出发，甲

23、每秒钟行 3 米，乙每秒钟行 2 米.问:经过多长时间甲第一次看见乙?53 甲、乙两人沿环形跑道相对运动，从相距 200 米的两点出发，如果沿小弧运动，甲与乙在 10 秒后相遇；如果沿大弧运动，经过 15 秒后相遇 当甲跑完环形跑道一圈时，乙只跑了 125 米，求环形跑道的周长及甲、乙两人的速度 试卷第 18 页，共 19 页 54如图，沿着边长为 90 米的正方形，按逆时针方向，甲从 A 出发，每分钟走 65 米，乙从 B 出发，每分钟走 72 米当乙第一次追上甲时在正方形的哪一条边上？55甲、乙、丙在湖边散步，三人同时从同一点出发，绕湖行走，甲速度是每小时 5.4 千米，乙速度是每小时 4

24、.2 千米，她们二人同方向行走，丙与她们反方向行走，半个小时后甲和丙相遇，在过 5 分钟，乙与丙相遇那么绕湖一周的行程是多少？56小张和小王各以一定速度，在周长为 500 米的环形跑道上跑步.小王的速度是 180 米/分（1）小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，75 秒后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分？（2）小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？57如图，两只小爬甲和乙虫从 A 点出发，沿长方形 ABCD 的边，按箭头方向爬行，在距 C 点 32 厘米的E 点它们第一次相遇，在距 D 点 16 厘米的 F 点第二次相遇，在距 A 点 16 厘米

25、的 G 点第三次相遇，求长方形的边 AB 的长。试卷第 19 页，共 19 页 学科网（北京）股份有限公司58两人在环形跑道上跑步，两人从同一地点出发，小明每秒跑 3 米，小雅每秒跑 4 米，反向而行，45 秒后两人相遇。如果同向而行，几秒后两人再次相遇。59下图中，外圆周长 40 厘米，画阴影部分是个“逗号”，两只蚂蚁分别从 A，B 同时爬行甲蚂蚁从 A 出发，沿“逗号”四周顺时针爬行，每秒爬 3 厘米；乙蚂蚁从 B 出发，沿外圆圆周顺时针爬行，每秒爬行 5 厘米两只蚂蚁第一次相遇时，乙蚂蚁共爬行了多少米？60甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.

26、5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？答案第 1 页，共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案：参考答案：12497.5【详解】如下图，标出部分时刻甲、乙、丙、丁的位置 先分析甲的情况，甲 10 分钟，行走了 AD 的路程；再看乙的情况，乙的速度等于甲的速度，乙 14 分钟行走了 60+AE 的路程，乙 20 分钟走了 60+AD+DF 的路程 所以乙 10 分钟走了(60+AD+DF)-(AD)=60+DF 的路程 有6060101410ADAEDF+=，有()()6075 60ADDFAEEDAE=+=+然后分析丙的情况,丙 4 分钟,行了走

27、ED 的路程,再看丁的情况,丁的速度等于丙的速度,丁 10 分钟行走了 DF 的距离 有410EDDF=，即 5ED2DF 联立()()6075 6052ADAEEDDFAEEDAEEDDF=+=+=+=，解得871845AEEDDF=于是,得到如下的位置关系：ABCD11160(87+18)60 8718 4515(87+18)222=2497.5BEFABEEDFFCBSSSSS=四边形 25 次【详解】设每两面旗子间距离为 1，即跑道周长为2015因为:23:13vv甲乙=，设23vx=甲，13vx=乙，甲要追上乙则需比乙多跑n圈，()23132015xx tn=，102015x tn=

28、，即甲追上乙时所花时间4032ntx=，则甲追上乙时，所走路程为40323 4032322nxnx=；要恰好在旗子位置追上，则所走路程一定为整数，即n为偶数，所以2,4,6,8,10n=（最多多跑 10 圈）；综上所述，甲正好在旗子位置追上乙 5 次 答案第 2 页，共 20 页 3480【详解】注意观察图形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完12圈的路程，当甲、乙第二次相遇时，甲乙共走完 1+1232圈的路程所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为 1：3，因而第二次相遇时乙行走的总路程为第一次相遇时行走的总路程的 3 倍，即 1003=300 米有甲、乙第二次相遇时，共行走(1 圈60)+3

29、00，为32圈，所以此圆形场地的周长为 480 米 43.75 厘米/秒【详解】根据题意，甲共行了 7030=40（厘米），所需的时间是 404=10（秒）在 10 秒内乙按原速爬了15 厘米，按 2 倍的速度爬行了 15+30=45（厘米），因此，不难求出乙原有的速度 解：因为，甲共行了 7030=40（厘米），所需的时间是 404=10（秒）10 秒内乙爬行：15+30=45（厘米），假设 10 秒乙全是按原速爬行，可爬行：15+452=37.5（厘米），所以，乙原有的速度是：37.510=3.75（厘米/秒）5（1）甲第一次追上乙时，甲走了 2400 米，乙走了 2000 米（2）甲第二

30、次追上乙时，甲恰好在起跑线上（3）甲第二次追上乙时，甲走了 12 圈，乙走了 10 圈【详解】（1）甲第一次追上乙时所用时间：400（120-100）=20 分钟）这时：甲走了 12020=2400（米）乙走了 10020=2000（米）（2）第二次追上乙时所用时间为第 1 次的 2 倍，即 40 分钟，这时甲走了 12040=4800（米）4800400=12（圈），说明甲此时在起跑线上（3）甲第二次追上乙时，甲走了 12040400=12（圈）乙走了 10040400=10（圈）答：甲第一次追上乙时，甲走了 2400 米，乙走了 2000 米甲第二次追上乙时，甲恰好在起跑线上这时甲走了 1

31、2 圈，乙走了 10 圈 66 4【详解】甲乙的速度和为：4004010=(米/秒)，甲乙的速度差为：4002002=(米/秒)，甲的速度为：10226（）+=(米/秒)，乙的速度为：10224=（）(米/秒)760【详解】先考虑 B 与 C 这两只爬虫，什么时候能到达同一位置 开始时，它们相差 30 厘米，每秒钟 B 能追上 C（5-3）厘米.30（5-3）15（秒）答案第 3 页，共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 因此 15 秒后 B 与 C 到达同一位置以后再要到达同一位置，B 要追上 C 一圈，也就是追上 90 厘米，需要90（5-3）45（秒）B 与 C 到达同一位置，出发后

32、的秒数是 15，60，105，150，195，再看看 A 与 B 什么时候到达同一位置 第一次是出发后，30（10-5）=6（秒）以后再要到达同一位置是 A 追上 B 一圈.需要：90（10-5）18（秒）A 与 B 到达同一位置，出发后的秒数是 6，24，42，60，78，96，对照两行列出的秒数，就知道出发后 60 秒 3 只爬虫到达同一位置 答：3 只爬虫出发后 60 秒第一次爬到同一位置 836【详解】如图所示，第一次相遇，两只小虫共爬行了半个圆周，其中从A点出发的小虫爬了 8 厘米，第二次相遇，两只小虫又爬了一个圆周，所以两只小虫从出发共爬行了 1 个半圆周，其中从A点出发的应爬行8

33、 324=(厘米)，比半个圆周多 6 厘米，半个圆周长为8 3618=(厘米)，一个圆周长就是：(8 36)236=(厘米)98 分钟【详解】小青每分钟比小兰多跑 50 米一圈是 400 米 400/50=8 所以跑 8 分钟 10120【详解】第一次在1B点相遇，这时甲、乙共跑了 400 厘米(见左下图)；第二次在2B点相遇，这时甲、乙又共跑了 700 厘米(见右上图)；同理，第三次相遇时，甲、乙又共跑了 700 厘米 那么到第三次相遇时两者共跑了4007007001800+=厘米，共用时间1800(64)180+=（秒），甲跑了6 1801080=（厘米），距A点400 3 1080120

34、=（厘米）116 分钟 12 分钟【详解】把这个跑道的长度看做整体“1”，答案第 4 页，共 20 页 则较快的速度为：（11214）2 4122 16 较慢的速度是：111=4612 所以跑完一圈较快的需要时间：1166（分钟）较慢的跑完一圈需要时间：111212（分钟）答：各跑一圈时，较快的需要 6 分钟，较慢的需要 12 分钟。123000【详解】首先是一个相遇过程，相遇时间：6(6555)0.05+=小时，相遇地点距离A点：55 0.052.75=千米 然后乙车调头，成为追及过程，追及时间：6(6555)0.6=小时，乙车在此过程中走的路程：55 0.633=千米，即 5 圈余 3 千

35、米，那么这时距离A点千米甲车调头后又成为相遇过程，同样方法可计算出相遇地点距离A点千米，而第 4 次相遇时两车又重新回到了A点，并且行驶的方向与开始相同所以，第 8 次相遇时两车肯定还是相遇在A点，又11 332=，所以第 11 次相遇的地点与第 3 次相遇的地点是相同的，距离A点是 3000 米 132【详解】我们知道，大小圆只有一个公共点(内切)，而在圆上最远的两点为直径两端，所以当一只甲虫在 A点，另一只在过 A 的直径另一直径端点 B，所以在小圆甲虫跑了 n 圈，在大圆甲虫跑了 m12圈；于是小圆甲虫跑了 30n，大圆甲虫跑了 48(m12)48m24因为速度相同，所以相同时内路程相同

36、，起点相同，所以 30n48m24；即 5n8m4，有不定方城知识，解出有 n4，m2，所以小甲虫跑了 2 圈后，大小甲虫相距最远 14（1）28 秒；（2）196 秒【分析】（1）相遇时间（跑道一圈的长度8 米）（甲的速度乙的速度）；答案第 5 页，共 20 页 学科网（北京）股份有限公司（2）求两人首次相遇就是求甲追上乙的时间，从开始到相遇甲比乙多跑了（4008）米，追及时间路程差（甲的速度乙的速度）；据此解答。【详解】（1）（4008）（68）39214 28（秒）答：经过 28 秒两人首次相遇。（2）（4008）（86）3922 196（秒）答：经过 196 秒两人首次相遇。【点睛】掌

37、握环形中相遇和追及问题的解题方法是解答题目的关键。15100【详解】从开始到两人第十次相遇的这段时间内，甲、乙两人共跑的路程是操场周长的 10 倍，为300 103000=米，因为甲的速度为每秒钟跑3.5米，乙的速度为每秒钟跑 4 米，所以这段时间内甲共行了3.5300014003.54=+米，也就是甲最后一次离开出发点继续行了 200 米，可知甲还需行300200100=米才能回到出发点 16300 3【详解】两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程小张的速度是500 1 200300=（米/分）在环形的跑道上，小张要追上小王，就是小张比小王多跑一圈（一个周长），因此需要的时间是：500(3

38、00200)5=（分）300 55003=（圈）17440 米【分析】第一次相遇，两人合起来走了半圈，第二次相遇，两人合起来走了一圈，因此，从开始出发到第二次相遇，两人合起来走了一圈半也就是说，第二次相遇时两人合起来走的路程是第一次相遇时合起来所走路程的 3 倍，因此，不难看出 AD 的距离是 AC 距离的 3 倍，所以再求圆周的长度就比较简单了【详解】解：因为 AC=100 米，AD 的长度是 AC 长度的 3 倍AD=AC3=1003=300（米）半个圆的周长：30080=220（米）整个圆的周长：2202=440（米）18600 400,6 4【详解】这是一道封闭路线上的追及问题，冬冬与

39、晶晶两人同时同地起跑，方向一致因此，当冬冬第一 答案第 6 页，共 20 页 次追上晶晶时，他比晶晶多跑的路程恰是环形跑道的一个周长(200 米)，又知道了冬冬和晶晶的速度，于是，根据追及问题的基本关系就可求出追及时间以及他们各自所走的路程 冬冬第一次追上晶晶所需要的时间：20064100=（）(秒)冬冬第一次追上晶晶时他所跑的路程应为：6 100600=(米)晶晶第一次被追上时所跑的路程：4 100400=(米)冬冬第二次追上晶晶时所跑的圈数：600 22006=（）(圈)晶晶第 2 次被追上时所跑的圈数：400 22004（）=(圈)19140 秒【分析】如果甲、乙均不休息，那么甲追上乙的

40、时间为 100（54）100（秒）；此时甲跑了 1005500（米），乙跑了 1004400（米）；而实际上甲跑 500 米，在前 4 个 100 米处都要停 10 秒，所以一共停了 4个 10 秒，则跑 500 米所需的时间为 100410140（秒），所以 140 秒时甲跑了 500 米，即是从 A 点跑了一圈多 100 米，正好在 B 点上；而乙跑 400 米，在前 3 个 100 米处都停 10 秒，一共停了 3 个 10 秒，则跑400 米所需的时间为 100310130（秒），所以 130 时乙跑了 400 米，即从 B 点跑了一圈，正好在 B 点上；所以，甲追上乙需要时间是 14

41、0 秒。据此解答。【详解】100（54）1001 100（秒）1005500（米）（500100）100 400100 4（次）100410 10040 140（秒）答：甲追上乙需要时间是 140 秒。【点睛】本题主要考查环形跑道追击问题，要利用追击路程速度差追击时间，求出正常情况不停下的追击时间，再求到实际追击的路程，找到停下的时间，最后与正常追击的时间相加即可。2064 分【详解】解：因为圆的半周长是：1.442=0.72（米）=72（厘米）如果不考虑往返的情况，两只蚂蚁所需的相遇时间是：72（5.53.5）=8（分）然后再考虑往返的情况，如下表：答案第 7 页，共 20 页 学科网（北京

42、）股份有限公司 经过时间（分）1 3 5 7 9 11 13 15 16 向上半圆爬行的时间 1 2 2 2 1 向下半圆爬行的时间 2 2 2 2 不难看出，第 15 分钟后，两只蚂蚁向下半圆爬行刚好都需要 8 分钟 根据表格分析，它们初次相遇的时间是：1+3+5+7+9+11+13+15=64（分）【点睛】利用列表法进行分析，也是解决行程问题常用的手段 2160【详解】小新第一次超过正南时比正南多跑了一圈，根据Sv t=差差，可知小新第一次超过正南需要：80025021020=（）(分钟)，第三次超过正南时比正南多跑了三圈，需要800 325021060=（）(分钟)22173米/秒【分析

43、】因为相遇前后甲乙的速度和没有改变，如果相遇后两人合跑一圈用 24 秒，则相遇前两人合跑一圈也用 24 秒。以甲为研究对象，甲以原速 V 跑了 24 秒的路程与以（V2）跑了 24 秒的路程之和等于 400米，据此解答。【详解】解：设甲的原有速度为 V 米/秒 24V24（V2）400 24V24V48400 48V40048 48V352 V35248 V173 答：甲原来的速度是173米/秒。【点睛】发现相遇前后甲乙速度和不变，是解答本题的关键。238892 米【详解】第一个相遇：在 3 分钟的时间里，甲、丙的路程和为（40+36）3=228（米）第一个追及：这 228米是由于在开始到甲、

44、乙相遇的时间里，乙、丙两人的速度差造成的，是逆向的追及过程，可求出甲、乙相遇的时间为 228（38-36）=114（分钟）第二个相遇：在 114 分钟里，甲、乙二人一起走完了全程 答案第 8 页，共 20 页 所以花圃周长为（40+38）114=8892（米）【点睛】这个三人行程的问题由两个相遇、一个追及，题目中所给的条件只有三个人的速度，以及一个“3分钟”的时间把这样一个抽象的三人行程问题分解为三个简单的问题，使解题思路更加清晰 245【详解】在封闭的环形道上同向运动属追及问题，反向运动属相遇问题同地出发，其实追及路程或相隔距离就是环形道一周的长这道题的解题关键就是先求出环形道一周的长度环形

45、道一周的长度可根据两人同向出发，45 分钟后甲追上乙，由追及问题，两人速度差为：25020050=(米/分)，所以路程差为：50 452250=(米)，即环形道一圈的长度为 2250 米所以反向出发的相遇时间为：22502502005+=（）(分钟)251400 米【详解】先统一两个队员跑步的速度单位：l 号队员：660=360（米分钟）；2 号队员：40008=320（米分钟）追及时间：400（360-320）=10（分钟）此时 1 号队员跑了：36010=3600（米）距离终点：5000-3600=1400（米）答：l 号队员距终点还有 1400 米 2620 30【详解】由题意知，甲行

46、4 分相当于乙行 6 分.（抓住走同一段路程时间或速度的比例关系）从第一次相遇到再次相遇，两人共走一周，各行 12 分，而乙行 12 分相当于甲行 8 分，所以甲环行一周需 12820（分），乙需 204630（分）.274 圈【详解】我们知道，大小圆只有一个公共点(内切)，而在圆上最远的两点为直径两端，所以当一只甲虫在 A点，另一只在过 A 的直径另一直径端点 B，所以在小圆甲虫跑了 n 圈，在大圆甲虫跑了 m12圈；答案第 9 页，共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 于是小圆甲虫跑了 30n，大圆甲虫跑了 48(m12)48m24 因为速度相同，所以相同时内路程相同，起点相同，所以

47、30n48m24；即 5n8m4，由不定方程知识，解出有 n4，m2，所以小圆甲虫跑了 4 圈后，大小甲虫相距最远 28猫跑 8437.5 米，狗跑 23437.5 米，兔跑 16537.5 米【分析】由题意，根据路程、时间之间的关系，可以求得猫与狗的速度之比为 925，猫与兔的速度之比为2549。设单位时间内猫跑 1 米，则狗跑259米，兔跑4925米；据此可求狗追上猫一圈需要的时间以及兔追上猫一圈需要的时间；进而求出猫、狗、兔再次相遇的时间，则各自跑的路程可求。【详解】由题意可知，猫与狗的速度之比为 925，猫与兔的速度之比为 2549。设单位时间内猫跑 1 米，则狗跑259米，兔跑492

48、5米；狗追上猫一圈需 300（2591）6754（单位时间）兔追上猫一圈需 300（49251）6252（单位时间）猫、狗、兔再次相遇的时间，应既是6754的整数倍，又是6252的整数倍。6754与6252的最小公倍数等于两个分数中，分子的最小公倍数除以分母的最大公约数，即 6754，6252()675 62254,8437.5 上式表明，经过 8437.5 个单位时间，猫、狗、兔第 1 次相遇。此时，猫跑了 8437.5 米，狗跑了：8437.525923437.5（米），兔跑了 8437.5492516537.5（米）。答：当它们出发后第一次相遇时，猫跑了 8437.5 米，狗跑了 234

49、37.5 米，兔跑了 16537.5 米。【点睛】首先根据它们的速度比求出狗追上猫一圈、兔追上猫一圈所需的时间单位是完成本题的关键。29900 600,4 6【详解】第一次追上时，小亚多跑了一圈，所以需要300(64)150=秒，小亚跑了6 150900=（米）小胖跑了4 150600=（米）；第一次追上时，小胖跑了2圈，小亚跑了3圈，所以第二次追上时，小胖跑4圈，小亚跑6圈 302 小时 40 分 答案第 10 页，共 20 页【分析】根据题意，可以发现，每 1 小时 5 分，小王走 4 千米，休息 5 分钟，每 1 小时小张走 6=5（千米），休息 10 分钟，而湖一周的长度是 24 千米

50、，很容易估算出两人相遇的时间应该在 2 个多小时这样在两轮休息后不用休息两人就可以相遇因此只要求出两轮休息后到相遇所用的时间，就可以使问题得以解决【详解】解：到第二轮休息时，也就是 2 小时 10 分，小王共走了 42=8（千米），而小张走了 52+6=11（千米）这时两人还相距 24（811）=5（千米）由于从此时到相遇已经不需要休息，因此，共同走完这 5 千米两人共需的时间是：5（46）=0.5（时）=30（分）所以，他们第一次相遇共需 2 小时 10 分30 分=2 小时 40 分 31480【详解】注意观察图形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完12圈的路程，当甲、乙第二次相遇时，甲乙共