2024年九省联考新情境压轴题精选25题含答案.pdf-得力文库

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1、12024年九省联考新情境压轴题精选2024年九省联考新情境压轴题精选2525题题一、填空题1(20242024 重庆市重庆市联考题联考题)已知集合M=xN|1x12，集合A1,A2,A3满足每个集合都恰有4个元素；A1A2A3=M.集合Ai(i=1,2,3)中元素的最大值与最小值之和称为集合Ai的特征数，记为Xi(i=1,2,3)，则X1+X2+X3的最大值与最小值的差为.2(20242024 湖北省湖北省联考题联考题)记maxxa,bf(x)，minxa,bf(x)分别表示函数 f(x)在a,b上的最大值和最小值则 minm-3,3maxn0,9|m+n-2 n|=.3(2024202

2、4 广东省广东省联考题联考题)1643年法国数学家费马曾提出了一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其到这个三角形的三个顶点的距离之和为最小.它的答案是：当三角形的三个角均小于120时，所求的点为三角形的正等角中心(即该点与三角形的三个顶点的连线段两两成角120)，该点称为费马点.已知ABC中，其中A=60，BC=1，P为费马点，则PB+PC-PA的取值范围是.4(20242024 安徽省黄山市安徽省黄山市模拟题模拟题)剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的中国民间艺术.其传承赓续的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会

3、认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣，具有认知、教化、表意、抒情、娱乐、交往等多重社会价值.现有如图所示剪纸图案，其花纹中就隐含方程为x23+y23=a23(a0)的曲线C(称为星形线)，则曲线C的内切圆半径为;以曲线C上点(m,n)(mn0)为切点的直线被坐标轴截得的线段长等于.2二、解答题5(20242024 湖北省湖北省联考题联考题)记A=l(x)|l(x)=kx+m,k,mR，若l0(x)A，满足：对任意l(x)A，均有maxxa,b|f(x)-l(x)|maxxa,b|f(x)-l0(x)|，则称l0(x)为函数 f(x)在xa,b上“最接近”直线.已知函数g(x)=2ln

4、x-x2+3，xr,s.(1)若g(r)=g(s)=0，证明：对任意l(x)A，maxxr,s|g(x)-l(x)|1;(2)若r=1，s=2，证明：g(x)在x1,2上的“最接近”直线为：l0(x)=(2ln2-3)x-1+x02+2+g(x0)2，其中x0(1,2)且为二次方程2x2+(2ln2-3)x-2=0的根.36(20242024 浙江省浙江省联考题联考题)在微积分中，求极限有一种重要的数学工具-洛必达法则，法则中有一结论：若函数 f(x)，g(x)的导函数分别为 f(x)，g(x)，且limxaf(x)=limxag(x)=0，则limxaf(x)g(x)=limxaf(x)g

5、(x).设a0，k是大于1的正整数，若函数 f(x)满足：对任意x0,a，均有 f(x)fxk成立，且limx0f(x)=0，则称函数 f(x)为区间0,a上的k阶无穷递降函数.结合以上两个信息，回答下列问题：(1)试判断 f(x)=x3-3x是否为区间0,3上的2阶无穷递降函数;(2)计算：limx0(1+x)1x;(3)证明：sinxx-3b0)的离心率为63，直线l与相切，与圆O:x2+y2=3a2相交于A，B两点.当l垂直于x轴时，|AB|=2 6.(1)求的方程;(2)对于给定的点集M，N，若M中的每个点在N中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为d(M,N)

6、.()若M，N分别为线段AB与圆O上任意一点，P为圆O上一点，当PAB的面积最大时，求d(M,N);()若d(M,N)，d(N,M)均存在，记两者中的较大者为 H(M,N).已知H(X,Y)，H(Y,Z)，H(X,Z)均存在，证明：H(X,Z)+H(Y,Z)H(X,Y).58(20242024 全国全国模拟题模拟题)对称变换在对称数学中具有重要的研究意义.若一个平面图形 K 在 m(旋转变换或反射变换)的作用下仍然与原图形重合，就称 K 具有对称性，并记 m为K的一个对称变换.例如，正三角形R在m1(绕中心O作120的旋转)的作用下仍然与R重合(如图1图2所示)，所以m1是R的一个对称变换，

7、考虑到变换前后 R的三个顶点间的对应关系，记 m1=123312；又如，R在l1(关于对称轴 r1所在直线的反射)的作用下仍然与 R重合(如图1图3所示)，所以l1也是R的一个对称变换，类似地，记l1=123132.记正三角形R的所有对称变换构成集合S.一个非空集合G对于给定的代数运算。来说作成一个群，假如同时满足：.a,bG，abG；.a,b,cG，abc=a bc；.eG，aG，ae=ea=a；.aG，a-1G，aa-1=a-1a=e.对于一个群G，称中的e为群G的单位元，称中的a-1为a在群G中的逆元.一个群G的一个非空子集H叫做G的一个子群，假如H对于G的代数运算来说作成一个群.(1)

8、直接写出集合S(用符号语言表示S中的元素)；(2)同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一，如 m1=123312=132321=213132=231123=312231=321213.对于集合 S 中的元素，定义一种新运算*，规则如下：a1a2a3b1b2b3*b1b2b3c1c2c3=a1a2a3c1c2c3，a1,a2,a3=b1,b2,b3=c1,c2,c3=1,2,3.证明集合S对于给定的代数运算*来说作成一个群；已知H是群G的一个子群，e，e分别是G，H的单位元，aH，a-1，a分别是a在群G，群H中的逆元.猜想e，e之间的关系以及a-1，a之间的关系，并给出证明；写出群S的所有子群

9、.图1 图2 图369(20242024 福建省福建省模拟题模拟题)对于函数 f(x)，若实数x0满足 f(x0)=x0，则称x0为 f(x)的不动点.已知a0，且 f(x)=12lnx+ax2+1-a的不动点的集合为A.以minM和maxM分别表示集合M中的最小元素和最大元素.(1)若a=0，求A的元素个数及maxA;(2)当A恰有一个元素时，a的取值集合记为B.(i)求B;(ii)若 a=minB，数列 an 满足 a1=2，an+1=f(an)a，集合 Cn=nk=1|ak-1|,43 ，n N*.求证：n N*，maxCn=43.710(20242024 广东省汕头市广东省汕头市模

10、拟题模拟题)2023年11月，我国教育部发布了中小学实验教学基本目录，内容包括高中数学在内共有16个学科900多项实验与实践活动.我市某学校的数学老师组织学生到“牛田洋”进行科学实践活动，在某种植番石榴的果园中，老师建议学生尝试去摘全园最大的番石榴，规定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，学生小明两手空空走出果园，因为他不知道前面是否有更大的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到.假设小明在果园中一共会遇到n颗番石榴(不妨设n颗番石榴的大小各不相同)，最大的那颗番石榴出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能在这些番石榴中摘到那颗最大的，小明在老师的指导下采

11、用了如下策略：不摘前k(1k100,bn=12203-n,1n500,0,n500,dn=anbn，证明：d200n-14n+2.1215(20242024 河南省开封市河南省开封市模拟题模拟题)在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用.设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互索.对于任意正整数n，欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数，记为(n).(1)试求(3)，(9)，(7)，(21)的值;(2)设n是一个正整数，p，q是两个不同的素数，试求(3n)，(pq)与(p)和(q)的关系;(3)RSA算法是一种非对称加密算法，它

12、使用了两个不同的密钥：公钥和私钥.具体而言：准备两个不同的、足够大的素数p，q;计算n=pq，欧拉函数(n);求正整数k，使得kq除以(n)的余数是1;其中(n,q)称为公钥，(n,k)称为私钥.已知计算机工程师在某 RSA 加密算法中公布的公钥是(187,17).若满足题意的正整数 k从小到大排列得到一列数记为数列bn，数列cn满足80cn=bn+47，求数列tancntancn+1的前n项和Tn.1316(20242024 河南省河南省模拟题模拟题)若函数 f(x)的定义域、值域都是有限集合A=a1,a2,，an，nN N*，则定义 f(x)为集合A上的有限完整函数已知g(x)是定义在有

13、限集合M=1,2,3,4,5,6,7上的有限完整函数(1)求7i=1ig(i)的最大值；(2)当i=1，2，3，4时，均有g(i)g(i+1)，求满足条件的g(x)的个数；(3)对于集合M上的有限完整函数 g(x)，定义“闭环函数”如下：g1(x)=g(x)，对kN N*，且k6，gk+1(x)=g(gk(x)(注：g7k+i(x)=gi(x)，kN N*，i=1，2，7).若xM，m N N*，g1(x)=g1+m(x)，则称 g(x)为“m 阶闭环函数”证明：存在一个闭环函数 g(x)既是 3 阶闭环函数，也是 4 阶闭环函数(用列表法表示g(x)的函数关系).1417(20242024

14、广东省广东省联考题联考题)如图，已知椭圆的短轴长为4，焦点与双曲线x24-t-y2t=1的焦点重合.点P 4,0，斜率为12的直线l1与椭圆交于A,B两点.(1)求常数t的取值范围，并求椭圆的方程.(2)(本题可以使用解析几何的方法，也可以利用下面材料所给的结论进行解答)极点与极线是法国数学家吉拉德迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作圆锥曲线论稿中正式阐述的.对于椭圆:x2a2+y2b2=1，极点P x0,y0(不是原点)对应的极线为lP:x0 xa2+y0yb2=1，且若极点P在x轴上，则过点P作椭圆的割线交于点A1,B1，则对于lP上任意一点Q，均有kQA1+kQB1=2kPQ(

15、当斜率均存在时).已知点 Q 是直线 l1上的一点，且点 Q 的横坐标为 2.连接 PQ 交y轴于点 E.连接 PA,PB 分别交椭圆于M,N两点.设直线AB、MN分别交y轴于点D、点T，证明：点E为D、T的中点；证明直线：MN恒过定点，并求出定点的坐标.1518(20242024 福建省福建省联考题联考题)已知集合Sn=X X=x1,x2,xn,xi 0,1,i=1,2,n，其中n2.对于A=a1,a2,an，B=b1,b2,bnSn，定义A与B之间的距离为d A,B=ni=1ai-bi.(1)记I=1,1,1,1S4，写出所有AS4使得d I,A=3；(2)记I=1,1,1Sn，A、BS

16、n，并且d I,A=d I,B=pn，求d A,B的最大值；(3)设PSn，P中所有不同元素间的距离的最小值为 k，记满足条件的集合P的元素个数的最大值为m，求证：m2nC0n+C1n+Ck-1n.1619(20242024 安徽省黄山市安徽省黄山市模拟题模拟题)取整函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其定义如下：设xR，不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作x，函数y=x称为取整函数.另外也称x是x的整数部分，称x=x-x为x的小数部分.(1)直接写出ln和-34 的值;(2)设a，bN*，证明：a=bab+bab ，且0bab b-1，并求在b的倍数中不大于a的正整数的个数;(

17、3)对于任意一个大于 1的整数a，a能唯一写为a=pa11 pa22 pakk，其中 pi为质数，ai为正整数，且对任意的i j，都有 pi1,nN*)的指数(Textranslationfailed)1720(20242024 湖南省湖南省联考题联考题)直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如x=ty+1表示过点(1,0)的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线(1)若圆C1：x2+y2=1是直线族mx+ny=1(m,nR R)的包络曲线，求m，n满足的关系式；(2)若点P(x0,y0)不在直线族：(

18、2a-4)x+4y+(a-2)2=0(aR R)的任意一条直线上，求y0的取值范围和直线族的包络曲线E；(3)在(2)的条件下，过曲线 E上A，B两点作曲线 E的切线l1，l2，其交点为P.已知点C(0,1)，若A，B，C三点不共线，探究PCA=PCB是否成立？请说明理由1821(20242024 山东省日照市山东省日照市模拟题模拟题)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12经过点F1且倾斜角为 02的直线l与椭圆交于A，B两点(其中点A在x轴上方)，且ABF2的周长为8.将平面xOy沿x轴向上折叠，使二面角A-F1F2-B为直二面角，如图所示，

19、折叠后A，B在新图形中对应点记为A，B.(1)当=3时，求证：AOBF2；求平面AF1F2和平面ABF2所成角的余弦值；(2)是否存在 0an，则称n是数列A的一个“D时刻”.记D(A)是数列A的所有“D时刻”组成的集合，D(A)的元素个数记为card(D,A).(1)对数列A:-1，1，-2，2，-3，3，写出D(A)的所有元素;(2)数列A:a1，a2，a6满足a1,a2,a6=1,2,3,4,5,6，若card(D,A)=4，求数列A的种数.(3)证明：若数列A满足an-an-1-1(n=2,3,4,N)，则card(D,A)a1-aN.2023(20242024 江苏省徐州市江苏省徐州

20、市模拟题模拟题)对于每项均是正整数的数列P：a1，a2，an，定义变换T1，T1将数列P变换成数列T1(P)：n，a1-1，a2-1，an-1.对于每项均是非负整数的数列Q：b1，b2，bm，定义S(Q)=2 b1+2b2+mbm+b21+b22+b2m，定义变换T2，T2将数列Q各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T2(Q).(1)若数列P0为2，4，3，7，求S(T1(P0)的值；(2)对于每项均是正整数的有穷数列P0，令Pk+1=T2(T1(Pk)，kN N.()探究S(T1(P0)与S(P0)的关系；()证明：S(Pk+1)S(Pk).2124(20242024 湖南省张

21、家界市湖南省张家界市模拟题模拟题)每个大于1的自然数n均可写成素数乘积的形式n=pk11pk22pkmm，其中mN*，k1，k2，kmN，p1，p2，pm是互不相同的素因数，若存在ki2(1im)，则称n有素数平方因子.定义在N*上的莫比乌斯函数(m)=0,若m有素数平方因子1,若m=1(-1)r,若m是r个不同素数之积，例如(15)=(35)=(-1)2=1，(50)=(252)=0.d|ng(d)表示d取遍n的所有正整数因子时对g(d)求和，例如当g(n)=n时，d|6g(d)=d|6d=1+2+3+6=12.(1)求(2025)，(105);(2)当nN*且n2时，求d|n(d);(3

22、)假设 f(x)和g(x)是定义在N*上的函数，满足 f(n)=d|ng(d)=d|ngnd.求证：g(n)=d|n(d)fnd.2225(2024浙江省联考题)在平面直角坐标系xOy中，我们把点(x,y),x,yN*称为自然点.按如图所示的规则，将每个自然点(x,y)进行赋值记为P(x,y)，例如P(2,3)=8，P(4,2)=14,P(2,5)=17.(I)求P(x,1);(II)求证：2P(x,y)=P(x-1,y)+P(x,y+1);(III)如果P(x,y)满足方程P(x+1,y-1)+P(x,y+1)+P(x+1,y)+P(x+1,y+1)=2024，求P(x,y)的值.12024

23、年九省联考新情境压轴题精选2024年九省联考新情境压轴题精选2525题题一、填空题1(20242024 重庆市重庆市联考题联考题)已知集合M=xN|1x12，集合A1,A2,A3满足每个集合都恰有4个元素；A1A2A3=M.集合Ai(i=1,2,3)中元素的最大值与最小值之和称为集合Ai的特征数，记为Xi(i=1,2,3)，则X1+X2+X3的最大值与最小值的差为.【答案】12【解析】解：由题意知，当A1=1,2,3,12,A2=4,5,6,11,A3=7,8,9,10,X1+X2+X3的最大值为45.当A1=1,4,5,6,A2=3,10,11,12,A3=2,7,8,9,X1+X2+X3

24、的最小值为33.则X1+X2+X3的最大值与最小值的差为12.故答案为：122(20242024 湖北省湖北省联考题联考题)记maxxa,bf(x)，minxa,bf(x)分别表示函数 f(x)在a,b上的最大值和最小值则 minm-3,3maxn0,9|m+n-2 n|=.【答案】2【解析】解：m+n-2 n=n-12+m-1，当n 0,9时，n 0,3，令 f x=x-12+m-1，x 0,3，f 1=m-1，f 3=m+3，f 0=m=f 2，可知函数y=f x的最大值在x=1或x=3处取得，令 m-1=m+3，解得m=-1，当m-1时，m+3=m+3 m-1，此时 f xmax=m+

25、3；当m-1时，m+3 m-1，此时 f xmax=m-1=1-m；则maxn 0,9m+n-2 n=m+3,m-11-m,m-1，令g m=m+3,m-11-m,m-1，则当-1m3时，g m=m+32；当-3m2；则函数g m在m-3,3上的最小值为2，2故 minm-3,3maxn 0,9m+n-2 n =2.故答案为2.3(20242024 广东省广东省联考题联考题)1643年法国数学家费马曾提出了一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其到这个三角形的三个顶点的距离之和为最小.它的答案是：当三角形的三个角均小于120时，所求的点为三角形的正等角中心(即该点与三角形的三个顶点

26、的连线段两两成角120)，该点称为费马点.已知ABC中，其中A=60，BC=1，P为费马点，则PB+PC-PA的取值范围是.【答案】33,1【解析】如图，根据题意，设 PA=m,PB=n,PC=t，PAC=060，则 PBA=，PAB=PCA=60-，在PBC中，由余弦定理有cos120=n2+t2-12nt=-12n+t=nt+1 在PAC中，由正弦定理有tsin=msin 60-，在PAB中，由正弦定理有msin=nsin 60-，故t=msinsin 60-n=msin 60-sin，则nt=m2，由，n+t=m2+1，且msin 60-sin+msinsin 60-=m2+1 1+1m

27、2=sin 60-sin+sinsin 60-，设x=sin 60-sin，则x=32cos-12sinsin=32tan-12，由题意，tan 0,31tan33,+，所以x 0,+，而1+1m2=x+1x，由对勾函数的性质可知1+1m22,+)00)的曲线C(称为星形线)，则曲线C的内切圆半径为;以曲线C上点(m,n)(mn0)为切点的直线被坐标轴截得的线段长等于.【答案】12a；a【解析】曲线C有x轴，y轴，y=x，y=-x四条对称轴，由曲线的对称性，内切圆心为坐标原点，只需考察第一象限内，曲线上的点到原点距离的最小值即为内切圆半径，第一象限内曲线上的点为P(x,y)，则|PO|=x2+

28、y2，令x13=a13cos，y13=a13sin，0,2，则|PO|=a2(cos6+sin6)=a1-34sin22，故当=4时，|PO|min=12a，即内切圆半径为12a;由曲线的对称性，只需考察第一象限内的点(m,n)(m0,n0)为切点的直线，考查函数y=a23-x2332，则切线方程为y=-m23a23-m22(x-m)+n，设切线与x轴，y轴交点为A，B，4由于m23+n23=a23，令y=0，得A点坐标 m13n3+m,0，令x=0，得B点坐标 m23n3+n,0，故|AB|=(n1)2+m2+(m2)1+n)2=22(n2+m2)2+n2m2+n3=a.二、解答题5(202

30、=0的根.【答案】证明：(1)由题意g(x)=2x-2x=2(1-x)(1+x)x，则当x(0,1)时，g(x)0，g(x)在区间(0,1)上单调递增;当x(1,+)时，g(x)0，g(x)在区间(1,+)上单调递减.又g(r)=g(s)=0，0r1s.g(x)在区间r,s上的最大值为gmax(x)=g(1)=2，根据函数 g(x)的图象特点，可知对任意 l(x)A，均有maxxr,s|g(x)-l(x)|maxxr,s|g(r)-l(r)|g(s)-l(s)|,|g(1)-l(1)|=maxxr,s|l(r)|,|l(s)|,|2-l(1)|，下面讨论|l(r)|,|l(s)|的大小：若|l

31、(r)|,|l(s)|至少有一个大于等于1，则maxxr,s|g(x)-l(x)|1;若|l(r)|,|l(s)|两个都小于1，则l(r)1，l(s)1，因为l(x)是直线，故对任意xr,s，均有l(x)1，l(1)1，即maxxr,s|g(x)-l(x)|maxxr,s|l(r)|,|l(s)|,|2-l(1)|1.由可知，maxxr,s|g(r)-l(r)|,|g(s)-l(s)|,|g(1)-l(1)|1.当l(x)=g(1)2=1时，公众号：慧博高中数学最新试题maxxr,s|g(x)-l(x)|=1，maxxr,s|g(r)-1|,|g(s)-1|,|g(1)-1|=1，此时等号成立

32、.(2)设h(x)=(2ln2-3)(x-1)+2，再令 f(x)=g(x)-h(x)，f(x)=g(x)-h(x)=2x-2x-(2ln2-3).令m(x)=2x-2x-(2ln2-3)，可得m(x)=-2x2-20，f(2)0，f(x)单调递增;xx0,2时 f(x)0，k是大于1的正整数，若函数 f(x)满足：对任意x0,a，均有 f(x)fxk成立，且limx0f(x)=0，则称函数 f(x)为区间0,a上的k阶无穷递降函数.结合以上两个信息，回答下列问题：(1)试判断 f(x)=x3-3x是否为区间0,3上的2阶无穷递降函数;(2)计算：limx0(1+x)1x;6(3)证明：sin

33、xx-3cosx，x,32.【答案】解：(1)设F(x)=f(x)-fx2=78x3-32x，由于F(1)=78-321，即有对任意t 0,2，均有 f(t)ft2，所以 f(t)ft2 ft2n，因为limx0sinxx=limx0cosx=1，所以limn+ft2n=limn+sint2nt2n3limn+1cost2n=1所以 f(t)1，t 0,2，证毕!7(20242024 江苏省徐州市江苏省徐州市联考题联考题)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为63，直线l与相切，与圆O:x2+y2=3a2相交于A，B两点.当l垂直于x轴时，|AB|=2

34、 6.(1)求的方程;7(2)对于给定的点集M，N，若M中的每个点在N中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为d(M,N).()若M，N分别为线段AB与圆O上任意一点，P为圆O上一点，当PAB的面积最大时，求d(M,N);()若d(M,N)，d(N,M)均存在，记两者中的较大者为 H(M,N).已知H(X,Y)，H(Y,Z)，H(X,Z)均存在，证明：H(X,Z)+H(Y,Z)H(X,Y).【答案】解：(1)由题意知ca=63，在x2+y2=3a2中，令x=a得y=2a，2 2a=2 6，a=3，则c=2，b=1，的方程为x23+y2=1.(2)由(1)知a=3，则圆O

35、:x2+y2=9，圆心为O(0,0)，半径为r=3，(i)当AB斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，A(x1,y1)，B(x2,y2).y=kx+mx2+3y2=3(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0，=36k2m2-4(1+3k2)(3m2-3)=12(3k2-m2+1)=0，则3k2-m2+1=0，设O到AB的距离为d=|m|k2+1，则|AB|=2 9-d2.d2=m2k2+1=3k2+1k2+1=3-2k2+1 1,3,所以d 1,3.当点P到线段AB的距离为d+r时，PAB的面积最大，则SPAB122 9-d2(d+3)=(9-d2)(d+3)2=(3+d)3(3-d

36、)，d 1,3,令 f(d)=(d+3)3(3-d)，d 1,3,f(d)=3(d+3)2(3-d)-(d+3)3=(d+3)2(6-4d)，当1d0，f d单调递增;当32d3 时，f(d)3 2+3 6，所以 SPABmax=27 34.取圆O的半径OD与线段AB交于C，半径OF与圆O交于E，如图，则线段AB上的点C、E，到圆O上的点的距离最小值分别为CD，EF，当半径OHAB于G时，线段AB上的点到圆上点的距离最小值中，GH为最大值，为r-d，故PAB的面积最大时，d(M,N)=r-d=3-32=32.(ii)H(X,Y)=maxd(X,Y),d(Y,X)，H(Y,Z)=maxd(Y,Z

37、),d(Z,Y)，H(X,Z)=maxd(X,Z),d(Z,X)，H(X,Z)+H(Y,Z)d(X,Z)+d(Z,Y)d(X,Y)，同理H(X,Z)+H(Y,Z)d(Y,Z)+d(Z,X)d(Y,X)，H(X,Z)+H(Y,Z)maxd(X,Y),d(Y,X)=H(X,Y).【解析】本题考查椭圆与圆有关的新定义问题，椭圆与圆中的面积最值问题，涉及利用导数判断最值，涉及集合的概念理解，属难题.公众号：慧博高中数学最新试题(1)在圆方程中令x=a，求得l垂直于x轴时的|AB|=2 2a，结合已知可得a、b、c的值，即可得椭圆方程；(2)(i)当 AB 斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y=kx+

38、m，设 O 到 AB 的距离为 d=|m|k2+1，则|AB|=2 9-d2，要求 PAB 面积最大，则 SPAB12 2 9-d2(d+3)，构造函数，利用导数求最值，可得SPABmax=27 34，当 AB 斜率不存在时，SPAB 3 2+3 6，综上可得 SPABmax=27 34，分析可得d(M,N)=r-d；(ii)由题意理解最小距离的最大值概念，利用放缩法即可得证.8(20242024 全国全国模拟题模拟题)对称变换在对称数学中具有重要的研究意义.若一个平面图形 K 在 m(旋转变换或反射变换)的作用下仍然与原图形重合，就称 K 具有对称性，并记 m为K的一个对称变换.例如，正三

39、角形R在m1(绕中心O作120的旋转)的作用下仍然与R重合(如图1图2所示)，所以m1是R的一个对称变换，考虑到变换前后 R的三个顶点间的对应关系，记 m1=123312；又如，R在l1(关于对称轴 r1所在直线的反射)的作用下仍然与 R重合(如图1图3所示)，所以l1也是R的9一个对称变换，类似地，记l1=123132.记正三角形R的所有对称变换构成集合S.一个非空集合G对于给定的代数运算。来说作成一个群，假如同时满足：.a,bG，abG；.a,b,cG，abc=a bc；.eG，aG，ae=ea=a；.aG，a-1G，aa-1=a-1a=e.对于一个群G，称中的e为群G的单位元，称中的a-

40、1为a在群G中的逆元.一个群G的一个非空子集H叫做G的一个子群，假如H对于G的代数运算来说作成一个群.(1)直接写出集合S(用符号语言表示S中的元素)；(2)同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一，如 m1=123312=132321=213132=231123=312231=321213.对于集合 S 中的元素，定义一种新运算*，规则如下：a1a2a3b1b2b3*b1b2b3c1c2c3=a1a2a3c1c2c3，a1,a2,a3=b1,b2,b3=c1,c2,c3=1,2,3.证明集合S对于给定的代数运算*来说作成一个群；已知H是群G的一个子群，e，e分别是G，H的单位元，aH，a-1，

41、a分别是a在群G，群H中的逆元.猜想e，e之间的关系以及a-1，a之间的关系，并给出证明；写出群S的所有子群.图1 图2 图3【答案】解：(1)由题设可知，正三角形 R 的对称变换如下：绕中心 O 作 120 的旋转变换 m1=123312；绕中心 O 作 240 的旋转变换 m2=123231；绕中心 O 作 360 的旋转变换 m3=123123；关于对称轴r1所在直线的反射变换l1=123132；关于对称轴r2所在直线的反射变换l2=123321；关于对称轴r3所在直线的反射变换l3=123213.综上，S=123312,123231,123123,123132,123321,12321

42、3 .(形式不唯一)10(2).a1a2a3b1b2b3，b1b2b3c1c2c3S，a1a2a3b1b2b3*b1b2b3c1c2c3=a1a2a3c1c2c3S；.a1a2a3b1b2b3，b1b2b3c1c2c3，c1c2c3d1d2d3S，a1a2a3b1b2b3*b1b2b3c1c2c3*c1c2c3d1d2d3=a1a2a3c1c2c3*c1c2c3d1d2d3=a1a2a3d1d2d3a1a2a3b1b2b3*b1b2b3c1c2c3*c1c2c3d1d2d3=a1a2a3b1b2b3*b1b2b3d1d2d3=a1a2a3d1d2d3所以a1a2a3b1b2b3*b1b2b3c

43、1c2c3*c1c2c3d1d2d3=a1a2a3b1b2b3*b1b2b3c1c2c3*c1c2c3d1d2d3;.123123S,a1a2a3b1b2b3Sa1a2a3a1a2a3*a1a2a3b1b2b3=a1a2a3b1b2b3=a1a2a3b1b2b3*b1b2b3b1b2b3，而a1a2a3a1a2a3=b1b2b3b1b2b3=123123，所以e=123123；.a1a2a3b1b2b3S,b1b2b3a1a2a3S，a1a2a3b1b2b3*b1b2b3a1a2a3=b1b2b3a1a2a3*a1a2a3b1b2b3=e；综上可知，集合S对于给定的新运算*来说能作成一个群e=

44、e，a-1=a，证明如下：先证明e=e：由于H是G的子群，取aH，则aG，a-1G，根据群的定义，有ae=a，ae=a，所以ae=ae，所以a-1ae=a-1ae，即 a-1ae=a-1ae，即ee=ee，所以e=e再证明a-1=a：由于e=e，e=a-1a，e=aa，所以a-1a=aa，所以a-1 aa-1=a aa-1，所以a-1e=ae，所以a-1=aS的所有子群如下：H1=123123 ,H2=123123,123132 ，H3=123123,123321 ，H4=123123,123213 ，11H5=123312,123231,123123 ，H6=123312,123231,12

45、3123,123132,123321,123213 9(20242024 福建省福建省模拟题模拟题)对于函数 f(x)，若实数x0满足 f(x0)=x0，则称x0为 f(x)的不动点.已知a0，且 f(x)=12lnx+ax2+1-a的不动点的集合为A.以minM和maxM分别表示集合M中的最小元素和最大元素.(1)若a=0，求A的元素个数及maxA;(2)当A恰有一个元素时，a的取值集合记为B.(i)求B;(ii)若 a=minB，数列 an 满足 a1=2，an+1=f(an)a，集合 Cn=nk=1|ak-1|,43 ，n N*.求证：n N*，maxCn=43.【答案】解法一：(1)

46、当a=0时，f(x)=12lnx+1，其定义域为(0,+).由 f(x)=x得，12lnx-x+1=0.设g(x)=12lnx-x+1，则g(x)=1-2x2x.当x 0,12时，g(x)0;当x12,+时，g(x)g(1)=0，又g(e-2)=-e-20，所以g e-2g120，所以g(x)在 0,12恰有一个零点x0，即 f(x)在12,+恰有一个不动点x=1，在 0,12恰有一个不动点x=x0，所以A=x0,1，所以A的元素个数为2.又因为x00时，f(x)=12lnx+ax2+1-a，其定义域为(0,+).由 f(x)=x得，12lnx+ax2-x+1-a=0.设h(x)=12lnx+

47、ax2-x+1-a，则h(x)=12x+2ax-1=4ax2-2x+12x.设F(x)=4ax2-2x+1，则=4-16a.当a14时，0，F(x)0，h(x)0，所以h(x)在(0,+)单调递增.又h(1)=0，所以h(x)在(0,+)恰有一个零点x=1，即 f(x)在(0,+)恰有一个不动点x=1，符合题意;12当0a0，故F(x)恰有两个零点x1，x2(x10，F(1)=4a-10，所以0 x110，h(x)0;当x(x1,x2)时，F(x)0，h(x)0，h(x)0;所以h(x)在(0,x1)单调递增，在(x1,x2)单调递减，在(x2,+)单调递增;注意到h(1)=0，所以h(x)在

48、(x1x2)恰有一个零点x=1，且h(x1)h(1)=0，h(x2)1时，h(x)h(1)=0，所以 f(x)x，即f(x)x1，故若an1，则an+11，因此，若存在正整数 N使得aN1，则aN-11，从而aN-21，重复这一过程有限次后可得a11，与a1=2矛盾，从而，nN*，an1.下面我们先证明当x1时，lnx1时，G(x)=1x-32=2-3x2x0，所以G(x)在(1,+)单调递减，所以G(x)1时，lnx1时，12lnx+14x2+34-x14x2-14x，从而12lnx+14x2+34x-114(x-1)，即f(x)x-114(x-1)，故f(a)an-114(an-1)，即a

49、n+1-11，an+11，所以an-10，an+1-10，故|an+1-1|14|an-1|，故n2时，|an-1|14|an-1-1|142|an-2-1|14n-1|a1-1|=14n-1.所以nN*，nk=1|ak-1|nk=114k-1=1-14n1-14=431-14n0)，则n(x)=-1+1x-1x3+1x2=-x3+x2+x-1x3=-(x-1)2(x+1)x30，所以n(x)在(0,+)单调递减，又因为n(1)=0，所以当x(0,1)时，n(x)0，当x(1,+)时，m(x)0，当x(1,+)时，m(x)1时，t(x)=2x-2x=2(x2-1)x0，所以t(x)在(1,+)

50、单调递增，所以当x1时，t(x)t(1)=0，所以(x)0，所以(x)在(1,+)单调递增，所以(x)(1)=1，故若an1，则 an+1 1，因此，若存在正整数 N 使得 aN 1，则 aN-1 1，从而 aN-2 1，重复这一过程有限次后可得 a1141，与a1=2矛盾，从而，nN*，an1.下面先证明当 x 1 时，lnx 1时，g(x)g(1)=0，所以当x1时，lnx12x-1x.所以f(x)x-1=12lnx+14x2+34-xx1212x-1x+14x2+34-xx=(x-1)34x21，an+11，所以an-10，an+1-10，故f(an)an-114(an-1)，即an+1

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