湖北省八市2024届高三下学期3月联考数学试卷含答案.docx

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1、 2024年湖北省八市高三（3月）联考数学试卷命题单位：本试卷共4页，19题，全卷满分150分考试用时120分钟祝考试顺利注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，3非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效4考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.

2、 设集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 若，则（ ）A. B. C. 3D. 53. 设复数是关于的方程的一个根，则（ ）A B. C. D. 4. 如图，在正方体中，分别为的中点，则与平面垂直的直线可以是（ ）A. B. C. D. 5. 已知今天是星期三，则天后是（ ）A. 星期一B. 星期二C. 星期三D. 星期五6. 已知函数为偶函数，其图像在点处的切线方程为，记的导函数为，则（ ）A. B. C. D. 27. 设某直角三角形的三个内角的余弦值成等差数列，则最小内角的正弦值为（ ）A. B. C. D. 8. 设直线：，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，

3、再次经轴反射后与轴交于点若，则的值为（ ）A. B. C. D. 2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 某校为了解高一新生对数学是否感兴趣，从400名女生和600名男生中通过分层抽样的方式随机抽取100名学生进行问卷调查，将调查的结果得到如下等高堆积条形图和列联表，则（ ）性别数学兴趣合计感兴趣不感兴趣女生男生合计100参考数据：本题中0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A. 表中B. 可以估计该校高一新生中对数学不感兴趣的女生人

4、数比男生多C. 根据小概率值的独立性检验，可以认为性别与对数学的兴趣有差异D. 根据小概率值的独立性检验，可以认为性别与对数学的兴趣没有差异10. 某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数的图象是双曲线，设其焦点为，若为其图象上任意一点，则（ ）A. 是它的一条对称轴B. 它的离心率为C. 点是它的一个焦点D. 11. 已知函数存在两个极值点，且，设的零点个数为，方程的实根个数为，则（ ）A. 当时，B. 当时，C. 一定能被3整除D. 的取值集合为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12. 若，则_13. 设等比数列的前项和为，若，则公比的取值范围为_14. 记，分别表示函数在上

5、最大值和最小值则_四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. 在中，已知（1）求的大小；（2）若，求函数在上的单调递增区间16. 如图，一个质点在随机外力作用下，从数轴点1的位置出发，每隔向左或向右移动一个单位，设每次向右移动的概率为（1）当时，求后质点移动到点0位置的概率；（2）记后质点的位置对应的数为，若随机变量的期望，求的取值范围17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2正方形，点在上，点为的中点，且平面（1）证明：平面；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值18. 已知双曲线经过椭圆的左、右焦点，设的离心率分别为，且（1）求的方程；（2）设为上一点，且在第

6、一象限内，若直线与交于两点，直线与交于两点，设的中点分别为，记直线的斜率为，当取最小值时，求点的坐标19. 英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式（1）根据该公式估算的值，精确到小数点后两位；（2）由该公式可得：当时，试比较与的大小，并给出证明；（3）设，证明：2024年湖北省八市高三（3月）联考数学试卷本试卷共4页，19题，全卷满分150分考试用时120分钟祝考试顺利注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，2选择题的作答：每小

7、题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，3非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效4考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由并集交集的概念即可得解.【详解】由题意，对比选项可知只有C选项符合题意.故选：C.2. 若，则（ ）A. B. C. 3D. 5【答案】B【解析】【分析】利用向量加法和数量积的坐标表

8、示直接计算求解即可.【详解】由题意可知，所以，故选：B3. 设复数是关于的方程的一个根，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将代入方程结合复数的乘法运算即可得解.【详解】将代入方程得：，得，即.故选：D.4. 如图，在正方体中，分别为的中点，则与平面垂直的直线可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】作出与平面平行的平面，证明面即可.【详解】连接，如下图所示：因为分别为的中点，故/，/，又面面，故/面；又面面，故/面；又面，故面/面；则垂直于平面的直线一定垂直于面；显然面面，故，又，面，故面，又面，故；同理可得，又面，故面，也即面；若其它选项的直线垂直

9、于平面，则要与平行，显然都不平行.故选：D.5. 已知今天是星期三，则天后是（ ）A. 星期一B. 星期二C. 星期三D. 星期五【答案】A【解析】【分析】结合二项式展开式，求出它除以7的余数，可得结论.【详解】即除以7的余数为5，所以天后是星期一.故选：A.6. 已知函数为偶函数，其图像在点处的切线方程为，记的导函数为，则（ ）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】先推导出偶函数的导数为奇函数，再根据条件得到，再利用奇函数的的性质求.【详解】因为为偶函数，所以，两边求导，可得.又在处的切线方程为：，所以.所以.故选：A7. 设某直角三角形的三个内角的余弦值成等差数列，则最小内角

10、的正弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设出三个角度的大小关系，结合已知条件求得最小角的正切值，再求正弦值即可.【详解】设，根据题意可得，且，即，又，则，解得，又，则.故选：C.8. 设直线：，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点若，则的值为（ ）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】根据光学的性质，根据对称性可先求关于直线的对称点，后求直线，可得、两点坐标，进而由可得.【详解】如图，设点关于直线的对称点为，则得，即，由题意知与直线不平行，故，由，得，即，故直线的斜率为，直线的直线方程为：，令得，故，令得，故由

11、对称性可得，由得，即，解得，得或，若，则第二次反射后光线不会与轴相交，故不符合条件故，故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 某校为了解高一新生对数学是否感兴趣，从400名女生和600名男生中通过分层抽样的方式随机抽取100名学生进行问卷调查，将调查的结果得到如下等高堆积条形图和列联表，则（ ）性别数学兴趣合计感兴趣不感兴趣女生男生合计100参考数据：本题中0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A. 表中B. 可以估计该校高一新

12、生中对数学不感兴趣的女生人数比男生多C. 根据小概率值的独立性检验，可以认为性别与对数学的兴趣有差异D. 根据小概率值独立性检验，可以认为性别与对数学的兴趣没有差异【答案】ACD【解析】【分析】根据分层抽样的定义及等高条形图的特点即可得出的列联表中的数据，利用列联表中的数据计算观测值，再跟临界值进行比较即可求解.【详解】由题可知，抽取男生人数为人，女生抽取的人数人，由等高条形图知，抽取男生感兴趣的人数为人，抽取男生不感兴趣的人数为人，抽取女生感兴趣的人数为人，抽取女生不感兴趣的人数为人，的列联表如下性别数学兴趣合计感兴趣不感兴趣女生男生合计100由此表可知，故A正确；女生不感兴趣的人数约为人，

13、男生不感兴趣的人数约为人，所以估计该校高一新生中对数学不感兴趣的女生人数比男生少，故B 错误；零假设为：性别与对数学的兴趣没有差异依据小概率值的独立性检验，有充分证据推断不成立，因此可以认为不成立，即可以认为性别与对数学的兴趣有差异；故C正确；零假设为：性别与对数学的兴趣没有差异依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即可以认为性别与对数学的兴趣没有差异；故D正确故选：ACD.10. 某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数的图象是双曲线，设其焦点为，若为其图象上任意一点，则（ ）A. 是它的一条对称轴B. 它的离心率为C. 点是它的一个焦点D. 【答案】ABD【

14、解析】【分析】由题意可知反比例函数的图象为等轴双曲线，进一步分别计算出离心率以及即可逐一判断求解.【详解】反比例函数的图象为等轴双曲线，故离心率为，容易知道实轴，是虚轴，坐标原点是对称中心，联立实轴方程与反比例函数表达式得实轴顶点，所以，其中一个焦点坐标应为而不是，由双曲线定义可知故选：ABD.11. 已知函数存在两个极值点，且，设的零点个数为，方程的实根个数为，则（ ）A. 当时，B. 当时，C. 一定能被3整除D. 的取值集合为【答案】AB【解析】【分析】分和两种情况，利用导数判断原函数单调性和极值，结合图象分析，零点分布，进而可得结果,【详解】由题意可知为二次函数，且为的零点，由得或，当

15、时，令，解得或；令，解得；可知：在内单调递增，在内单调递减，则为极大值点，为极小值点，若，则，因为，即，两者相矛盾，故，则有2个根，有1个根，可知，若，可知，；若，可知，；若，可知，；故A正确；当时，令，解得；令，解得或；可知：在内单调递增，在内单调递减，则为极大值点，为极小值点，若，则，因为，即，两者相矛盾，故，若，即，可知，；若，即，可知，；若，即，可知，；此时，故B正确；综上所述：的取值集合为，的取值集合为，故CD错误；故选：AB.【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定

16、义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12. 若，则_【答案】#【解析】【分析】由两角和的正切公式求解即可.【详解】由可得：，即，解得：.故答案为：13. 设等比数列前项和为，若，则公比的取值范围为_【答案】【解析】【分析】由可得，讨论或，即可得出答案.【详解】由，因为，所以由，可得，由可得，即，即，即，即，则，因为若，则，解得：，若，则，解得：，所以公比的取值范围为：.故答案：.14. 记，分别表示函数在上的最大值和最小值则_【答案】2【解析】【分析】根据题意，由，设为变量，可通

17、过分类讨论求出，再求出当时的最小值；或由在时的最大值只可能在或或处取得，结合图象可得原式的最小值【详解】由，设为变量，令，当时，当时，当时，最大值只可能在或或处取得，所以的最大值为，所以，当时，原式的最小值为2或者由在时的最大值只可能在或或处取得，令，当时，当时，当时，结合图象可得原式的最小值为2故答案为：2.【点睛】关键点睛：读懂题意，分析，最大值只可能在或或处取得，所以的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. 在中，已知（1）求的大小；（2）若，求函数在上的单调递增区间【答案】（1）或 （2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理及三角函数的特

18、殊值对应特殊角即可求解；（2）利用大边对大角及三角形的内角和定理，再利用诱导公式及三角函数的性质即可求解.【小问1详解】在中，由正弦定理可得：，即，解得，又，故或【小问2详解】由，可得，故.,令,解得.由于，取，得；取，得；取，得，故在上的单调递增区间为16. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从数轴点1的位置出发，每隔向左或向右移动一个单位，设每次向右移动的概率为（1）当时，求后质点移动到点0的位置的概率；（2）记后质点的位置对应的数为，若随机变量的期望，求的取值范围【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用独立重复实验的概率求解（2）写出随机变量可能值，利用期望大于0解不等式求解.【

19、小问1详解】后质点移动到点0的位置，则质点向左移动了3次，向右移动了2次，所求概率为：【小问2详解】所有可能的取值为，且，由，解得，又因为，故的取值范围为17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，点在上，点为的中点，且平面（1）证明：平面；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）连接交与点，根据题意证得且，得到四边形为平行四边形，得出，结合线面平行的判定定理，即可证得平面；（2）取的中点，证得平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：连接交与点，连接，可得平面与

20、平面的交线为，因为平面，平面，所以，又因为为的中点，所以点为的中点，取的中点，连接，可得且，又因为为的中点，可得且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，且平面，所以平面【小问2详解】解：取的中点，连结，因为，可得，且，又因为，且，所以，所以，又因为，且平面，所以平面，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，可得，因为为的中点，为的中点，可得，则，设是平面的法向量，则，取，可得，所以，设是平面的法向量，则，取，可得，所以；设平面与平面的夹角为，则，即平面与平面的夹角的余弦值为18. 已知双曲线经过椭圆的左、右焦点，设的离心率分别为，且（1）求的方程；（2）设为上一点，且在第一象

21、限内，若直线与交于两点，直线与交于两点，设的中点分别为，记直线的斜率为，当取最小值时，求点的坐标【答案】（1）的方程为的方程为 （2）【解析】【分析】（1）由题意可得，解方程即可求出，即可求出的方程；（2）设直线的斜率分别为，由题意可得，设直线的方程为：，联立可得，同理可得，即可求出直线的斜率为，再由基本不等式即可得出答案.【小问1详解】依题意可得，得，由，得，解得，故的方程为的方程为【小问2详解】易知，设，直线的斜率分别为，则，在，即有，可得为定值设直线的方程为：，联立可得恒成立，设，则有，可求得，设直线的方程为：，同理可得，则由可得：，点在第一象限内，故，当且仅当，即时取等号，而，故等号可

22、以取到即当取最小值时，联立，可解得，故的方程为：的方程为：，联立可解得，即有【点睛】关键点点睛：本题（2）问的关键点在于设直线的斜率分别为，由题意可得，联立直线与椭圆的方程求得，联立直线与椭圆的方程同理可得，即可求出直线的斜率为，再由基本不等式即可得出答案.19. 英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式（1）根据该公式估算的值，精确到小数点后两位；（2）由该公式可得：当时，试比较与的大小，并给出证明；（3）设，证明：【答案】（1）； （2），证明见解析； （3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据麦克劳林公式求得，赋值即可求得近似值；（2）构造函数，利用导数判断其单调性和最值，即可证明；（3）根据（2）中所得结论，将目标式放缩为 ，再裂项求和即可证明.【小问1详解】令，则，故，由麦克劳林公式可得，故.【小问2详解】结论：，证明如下：令，令，故在上单调递增，故在上单调递增，即证得，即【小问3详解】由（2）可得当时，且由得，当且仅当时取等号，故当时，而，即有故而，即证得.【点睛】关键点点睛：本题第三问的处理关键是能够利用第二问结论，将原式放缩为，再利用裂项求和法证明，对学生已知条件的利用能力以及综合应用能力提出了较高的要求，属综合困难题.第30页/共30页学科网（北京）股份有限公司