2024版新教材高考数学一轮复习第8章平面解析几何第3节圆的方程学案含解析新人教A版20230519167.doc

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1、2024版新教材高考数学一轮复习第8章平面解析几何第3节圆的方程学案含解析新人教A版20230519167第三节圆的方程一、教材概念结论性质重现1圆的定义及方程定义平面上到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)圆心：(a，b)，半径：r一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)圆心：，半径：(1)确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质圆心在过切点且与切线垂直的直线上圆心在任一弦的中垂线上两圆内切或外切时，切点与两圆圆心共线(2)方程x2y2DxEyF0，当D2E24F0时，表示圆心为，半径r的圆；当D2E24F0时，表示一个点；当D2E24Fr2.(2)

2、若M(x0，y0)在圆上，则(x0a)2(y0b)2r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0a)2(y0b)2r2.3常用结论以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.二、基本技能思想活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“”(1)确定圆的几何要素是圆心与半径()(2)方程x22axy20一定表示圆()(3)圆x22xy2y0的圆心是()(4)若点M(x0，y0)在圆x2y2DxEyF0内，则xyDx0Ey0F0()2若圆(x1)2(y1)22关于直线ykx3对称，则k的值是()A2 B2 C1 D1B解析：由题意知直

3、线ykx3过圆心(1,1)，即1k3，解得k2.3过点A(1，1)，B(1,1)，且圆心在直线xy20上的圆的方程是()A(x3)2(y1)24B(x3)2(y1)24C(x1)2(y1)24D(x1)2(y1)24C解析：设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r.因为圆心C在直线xy20上，所以b2a.又|CA|2|CB|2，所以(a1)2(2a1)2(a1)2(2a1)2，所以a1，b1.所以r2.所以方程为(x1)2(y1)24.4若点(1,1)在圆(xa)2(ya)24的内部，则实数a的取值范围是()A(1,1)B(0,1)C(，1)(1，)Da1A解析：因为点(1,1)在圆的内部，所以(

4、1a)2(1a)24，所以1a0且圆C的半径r2a，A(a,0)因为点A到直线xy40的距离d，所以d，解得a6或a2，所以A(2，0)或A(6,0)因为A在直线xy40的左上方，所以A(2,0)，所以C(2,4)，r4，所以圆C的标准方程为(x2)2(y4)216.(2)古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著圆锥曲线论中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点A(a,0)，B(a,0)，动点P满足(其中a和是正常数，且1)，则P的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”，该圆的半径为_解析：设P(x，y)，由动点P满足(其中a和是正常数，且1)，所以，化简得x2xa2y20，即y2a2，所以该圆半

5、径r.求圆的方程的两种方法(1)几何法通过研究圆的性质进而求出圆的基本量确定圆的方程时，常用到圆的三个性质：圆心在过切点且垂直于切线的直线上；圆心在任一弦的中垂线上；两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解(2020重庆育才中学3月月考)圆C以直线l：(2m1)x(m1)y2m0上的定点为圆心，半径r4，则圆C的方程为()A(x2)2(y2)216 B(x2)2(y2)216C(x2)2(y2)216 D(x2)2(y2)216A解析：由(2m1)x(m1)y2m0，可得(2xy2)m(xy)0，所以直线过的交点，解得即直线过定点(2,2)，则所求

6、圆的方程为(x2)2(y2)216.故选A考点2与圆有关的轨迹问题综合性设定点M(3,4)，动点N在圆x2y24上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹解：如图，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.由于平行四边形的对角线互相平分，故，从而又点N在圆上，故(x3)2(y4)24.因此所求轨迹为圆(x3)2(y4)24，但应除去两点和(点P在直线OM上时的情况)求与圆有关的轨迹问题的常用方法(1)直接法：由题设直接求出动点坐标所满足的关系式(2)定义法：利用定义写出动点的轨迹方程(3)代入法：若动点P(x，y)随着圆上的另一动点Q(x

7、1，y1)运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，可将点Q的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程1若动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为()Ax2y232 Bx2y216C(x1)2y216 Dx2(y1)216B解析：设P(x，y)，则由题意可得2，化简整理得x2y216.2如图，已知点A(1,0)与点B(1,0)，点C是圆x2y21上的动点，连接BC并延长至点D，使得|CD|BC|.求AC与OD的交点P的轨迹方程解：设动点P(x，y)，由题意可知P是ABD的重心由A(1,0)，B(1,0)，设动点C(x0，y0)，则D(2x01,2y0)由

8、重心坐标公式得则代入x2y21，整理得y2(y0)，故所求轨迹方程为y2(y0)考点3与圆有关的最值问题综合性考向1斜率型、截距型、距离型最值问题已知实数x，y满足方程x2y24x10.(1)求的最大值和最小值；(2)求yx的最大值和最小值；(3)求x2y2的最大值和最小值解：原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设k，即ykx.当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时，解得k(如图1)所以的最大值为，最小值为.(2)yx可看作是直线yxb在y轴上的截距，当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此

9、时，解得b2(如图2)所以yx的最大值为2，最小值为2.(3)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3)又圆心到原点的距离为2，所以x2y2的最大值是(2)274，最小值是(2)274.与圆有关的最值问题的3种几何转化法(1)形如m的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如maxby的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如m(xa)2(yb)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题考向2利用对称性求最值已知圆C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M，N分别是圆C1，C

10、2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为()A54 B1 C62 DA解析：P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|1，同理|PN|的最小值为|PC2|3，则|PM|PN|的最小值为|PC1|PC2|4.作C1关于x轴的对称点C1(2，3)所以|PC1|PC2|PC1|PC2|C1C2|5，即|PM|PN|PC1|PC2|454.求解形如|PM|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决1设点P是函数y图

11、象上的任意一点，点Q的坐标为(2a，a3)(aR)，则|PQ|的最小值为_2解析：函数y的图象表示圆(x1)2y24在x轴及下方的部分令点Q的坐标为(x，y)，则得y3，即x2y60，作出图象如图所示由于圆心(1,0)到直线x2y60的距离d2，故直线x2y60与圆(x1)2y24相离，因此|PQ|的最小值是2.2已知A(0,2)，点P在直线xy20上，点Q在圆C：x2y24x2y0上，则|PA|PQ|的最小值是_2解析：因为圆C化为标准方程为(x2)2(y1)25，所以圆C是以C(2，1)为圆心，r为半径的圆设点A(0，2)关于直线xy20的对称点为A(m，n)，故解得故A(4，2)所以|A

12、C|3.连接AC交圆C于点Q，由对称性可知|PA|PQ|AP|PQ|AQ|AC|r2.第四节直线与圆、圆与圆的位置关系一、教材概念结论性质重现1直线与圆的位置关系的判断(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系进行判断dr相离(2)代数法：联立直线与圆的方程，求联立后所得方程的判别式，直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，代数法与几何法是不同的方面和思路，解题时要根据题目特点灵活选择2圆与圆的位置关系设圆O1：(xa1)2(yb1)2r(r10)，圆O2：(xa2)2(yb2)2r(r20)方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方

13、程组的解的情况相离dr1r2无解外切dr1r2一组实数解相交|r1r2|dr1r2两组不同的实数解内切d|r1r2|(r1r2)一组实数解内含0d|r1r2|(r1r2)无解(1)用代数法判断两圆的位置关系时，要准确区分两圆内切、外切或相离、内含(2)两圆的位置关系与公切线的条数：内含：0条内切：1条相交：2条外切：3条外离：4条3常用结论(1)当两圆相交(切)时，两圆方程(x2，y2项的系数相同)相减便可得公共弦(公切线)所在的直线方程(2)圆的切线方程常用结论过圆x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0xy0yr2.二、基本技能思想活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错

14、的打“”(1)“k1”是“直线xyk0与圆x2y21相交”的必要不充分条件()(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切()(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交()(4)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程()(5)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切()2已知直线ymx与圆x2y24x20相切，则m的值为()A B C D1D解析：由x2y24x20得圆的标准方程为(x2)2y22，所以该圆的圆心坐标为(2,0)，半径r.又直线ymx与圆x2y24x20相切，则圆心到直线的距离d，解得m1.3若过点A(3,0

15、)的直线l与曲线(x1)2y21有公共点，则直线l斜率的取值范围为()A(，) B，C DD解析：数形结合可知，直线l的斜率存在设直线l的方程为yk(x3)，则圆心(1,0)与直线yk(x3)的距离应小于等于半径1，即1，解得k.4若直线l：3xy60与圆x2y22x4y0相交于A，B两点，则|AB|_.解析：由x2y22x4y0得(x1)2(y2)25，所以该圆的圆心坐标为(1,2)，半径r.又圆心(1,2)到直线3xy60的距离为d.由r2d2，得|AB|210，即|AB|.5圆x2y240与圆x2y24x4y120的公共弦长为_2解析：由得两圆公共弦所在直线方程为xy20.又圆x2y24

16、的圆心到直线xy20的距离为.由勾股定理得弦长的一半为，所以，所求弦长为2.考点1直线和圆的位置关系基础性1直线xy20与圆x2(y1)24的位置关系是()A相交 B相切 C相离 D不确定A解析：由题意，可得圆心(0,1)到直线xy20的距离为d0)相切，则r()A3 B4 C5 D6C解析：抛物线C：x24y的准线方程为y1，圆M：(x3)2(y4)2r2(r0)的圆心为(3,4)因为准线恰好与圆M相切，所以圆心到准线的距离为r|41|5.3若直线xy10与圆(xa)2y22有公共点，则实数a的取值范围是()A3，1 B1,3C3,1 D(，31，)C解析：由题意得圆心为(a,0)，半径为，

17、圆心到直线的距离为d.由直线与圆有公共点可得，即|a1|2，解得3a1.所以实数a的取值范围是3,1判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系(2)代数法：联立方程之后利用判断(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题考点2圆与圆的位置关系综合性(1)圆C1：x2y22y0与C2：x2y22x60的位置关系为()A外离 B外切 C相交 D内切D解析：圆C1：x2y22y0的圆心为C1(0,1)，半径为r11.圆C2：x2y22x60的圆心为C2(，0)，半径为r23，所以|C1C2|

18、2.又r2r12，所以|C1C2|r2r12，所以圆C1与C2内切(2)已知圆C1：x2y22x6y10，圆C2：x2y210x12y450.求证：圆C1和圆C2相交；求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长证明：由题意得，圆C1化为标准方程为(x1)2(y3)211，圆C2化为标准方程为(x5)2(y6)216，则圆C1的圆心C1(1,3)，半径r1，圆C2的圆心C2(5,6)，半径r24.两圆圆心距d|C1C2|5，r1r24.因为|r1r2|4，所以|r1r2|dr1r2，所以圆C1和C2相交解：将圆C1和圆C2的方程相减，得4x3y230，所以两圆的公共弦所在直线的方程为4x3

19、y230.圆心C2(5,6)到直线4x3y230的距离d3，故公共弦长为22.(1)判断两圆位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大小关系判断，一般不用代数法重视两圆内切的情况，作图观察(2)两圆相交时，两圆的公共弦所在直线的方程，可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到(3)求两圆公共弦长，常选其中一圆，由弦心距d、半弦长、半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解1若圆x2y24x4y10与圆x2y22x130相交于P，Q两点，则直线PQ的方程为_x2y60解析：两个圆的方程两端相减，可得2x4y120，即x2y60.2如果圆C：x2y22ax2ay2a240与圆O：x2y

20、24总相交，那么实数a的取值范围是_(2，0)(0,2)解析：圆C的标准方程为(xa)2(ya)24，圆心坐标为(a，a)，半径为2.依题意得022，所以0|a|0)，则圆心(a，b)到直线xy30的距离d，所以r2，即2r2(ab3)23.因为所求圆与直线xy0相切，所以(ab)22r2.又因为圆心在直线xy0上，所以ab0.联立，解得故圆C的方程为(x1)2(y1)22.思路参考：设出圆的一般方程，用待定系数法求解解：设所求圆的方程为x2y2DxEyF0，则圆心为，半径r.因为圆心在直线xy0上，所以0，即DE0.又因为圆C与直线xy0相切，所以.即(DE)22(D2E24F)，所以D2E

21、22DE8F0.又知圆心到直线xy30的距离d，由已知得d2r2，所以(DE6)2122(D2E24F)联立，解得故所求圆的方程为x2y22x2y0，即(x1)2(y1)22.1本题考查圆的方程的求法，解法灵活多变，基本解题策略是设出圆的方程，借助于待定系数法求解2基于课程标准，解答本题需要掌握圆的标准方程和一般方程的一般形式，体现了数学运算、直观想象的核心素养3基于高考评价体系，本题通过圆的代数性质和几何性质之间相互联系和转化，体现了基础性已知圆C的圆心在直线y4x上，且与直线l：xy10相切于点P(3，2)，则圆C的方程为_(x1)2(y4)28解析：(方法一)如图，设圆心(x0，4x0)依题意得1，解得x01，即圆心坐标为(1，4)，半径r2，故圆的方程为(x1)2(y4)28.(方法二)设所求方程为(xx0)2(yy0)2r2.根据已知条件得解得因此所求圆的方程为(x1)2(y4)28.